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线性回归问题与非线性回归分析
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非线性回归分析(常见曲线及方程)
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&&非​线​性​回​归​分​析​,​m​a​t​l​a​b​,​数​学​建​模
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回归分析（Regression Analysis）是研究一个变量Y与其他若干变量X之间相互关系的一种数学工具。它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖的变量之间的依存关系。粗略的将，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系。这个函数被称为回归函数，在实际问题中称为经验公式。（摘自：王正林等《精通MATLAB科学计算》）
我个人理解，在使用中，感觉跟拟合比较相近，但并不一样。对拟合而言，一个Y变量对应一个X变量，而回归分析的一个Y变量则有可能对应多个Y变量。从这个角度说，拟合也属于回归的一种。
一元多项式回归相对来说比较简单，可以完全看成是曲线拟合，使用的函数是polyfit，只需要设置拟合多项式的次数就好了，这里不做过多介绍。
多元线性拟合比一元要复杂一点，但也还比较简单，使用regress函数，这里也不做介绍。
这里主要介绍如何使用MATLAB进行非线性回归，即nlinfit函数的使用。
从理论分析上将要进行回归，必须要提供一个函数原因
beta=nlinfit(X,Y,fun,beta0)
其中：X和Y为变量列表；fun为要拟合的非线性函数原型；beta0为非线性函数原型各系数的猜测初始值；beta为与beta0对应的计算值。
相关的函数还有：
nlparci：系数的置信区间；nlpredci：预测输出及其置信区间；nlintool：非线性内核和预测的交互图形工具。具体使用这里不介绍，可以参考MATLAB文档或参考书。
具体的例子，我后面会专门写一篇有应用背景的博文介绍。
需要多说一点的是：这个非线性回归函数用起来还是很讨厌的，因为要输入猜测值。所以，如果你只是为了获得一个结果，而不是把这作为程序的一部分，那么推荐你使用非线性拟合软件 1stOpt，具体可以参考：。（不要怕，虽然是一个全新的软件，但是非常容易上手！）
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天戾军团1G3M
线性回归是利用数理统计中的回归分析,来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一,运用十分广泛.分析按照自变量和因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析和非线性回归分析.如果在回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析.如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析.数据组说明线性回归我们以一简单数据组来说明什么是线性回归.假设有一组数据型态为 y=y(x),其中 x={0,1,2,3,4,5},y={0,20,60,68,77,110} 如果我们要以一个最简单的方程式来近似这组数据,则非一阶的线性方程式莫属.先将这组数据绘图如下 图中的斜线是我们随意假设一阶线性方程式 y=20x,用以代表这些数据的一个方程式.以下将上述绘图的 MATLAB 指令列出,并计算这个线性方程式的 y 值与原数据 y 值间误差平方的总合.>> x=[0 1 2 3 4 5]; >> y=[0 20 60 68 77 110]; >> y1=20*x; % 一阶线性方程式的 y1 值 >> sum_sq = sum((y-y1).^2); % 误差平方总合为 573 >> axis([-1,6,-20,120]) >> plot(x,y1,x,y,'o'),title('Linear estimate'),grid 如此任意的假设一个线性方程式并无根据,如果换成其它人来设定就可能采用不同的线性方程式；所以我们 须要有比较精确方式决定理想的线性方程式.我们可以要求误差平方的总合为最小,做为决定理想的线性方 程式的准则,这样的方法就称为最小平方误差(least squares error)或是线性回归.MATLAB的polyfit函数提供了 从一阶到高阶多项式的回归法,其语法为polyfit(x,y,n),其中x,y为输入数据组n为多项式的阶数,n=1就是一阶 的线性回归法.polyfit函数所建立的多项式可以写成 从polyfit函数得到的输出值就是上述的各项系数,以一阶线性回归为例n=1,所以只有 二个输出值.如果指令为coef=polyfit(x,y,n),则coef(1)= ,coef(2)=,...,coef(n+1)= .注意上式对n 阶的多 项式会有 n+1 项的系数.我们来看以下的线性回归的示范：>> x=[0 1 2 3 4 5]; >> y=[0 20 60 68 77 110]; >> coef=polyfit(x,y,1); % coef 代表线性回归的二个输出值 >> a0=coef(1); a1=coef(2); >> ybest=a0*x+a1; % 由线性回归产生的一阶方程式 >> sum_sq=sum(y-ybest).^2); % 误差平方总合为 356.82 >> axis([-1,6,-20,120]) >> plot(x,ybest,x,y,'o'),title('Linear regression estimate'),grid[编辑本段]线性回归拟合方程最小二乘法一般来说,线性回归都可以通过最小二乘法求出其方程,可以计算出对于y=bx+a的直线,其经验拟合方程如下：其相关系数（即通常说的拟合的好坏）可以用以下公式来计算：理解回归分析的结果虽然不同的统计软件可能会用不同的格式给出回归的结果,但是它们的基本内容是一致的.我们以STATA的输出为例来说明如何理解回归分析的结果.在这个例子中,我们测试读者的性别（gender）,年龄（age）,知识程度（know）与文档的次序（noofdoc）对他们所觉得的文档质量(relevance)的影响.输出：Source | SS df MS Number of obs = 242 -------------+------------------------------------------ F ( 4,237) = 2.76 Model | 14. 3. Prob > F = 0.0283 Residual | 300. 1. R-squared = 0.0446 ------------- +------------------------------------------- Adj R-squared = 0.0284 Total | 314. 1. Root MSE = 1.1256 ------------------------------------------------------------------------------------------------ relevance | Coef.Std.Err.t P>|t| Beta ---------------+-------------------------------------------------------------------------------- gender | -.2 0.196 -.0825009 age | -.8 0.037 -.1341841 know | . 0.966 .0026877 noofdoc | -.8 0.018 -.1513428 _cons | 7...84 0.000 .-------------------------------------------------------------------------------------------输出这个输出包括一下及部分.左上角给出方差分析表,右上角是模型拟合综合参数.下方的表给出了具体变量的回归系数.方差分析表对大部分的行为研究者来讲不是很重要,我们不做讨论.在拟合综合参数中,R-squared 表示因变量中多大的一部分信息可以被自变量解释.在这里是4.46%,相当小.回归系数一般地,我们要求这个值大于5%.对大部分的行为研究者来讲,最重要的是回归系数.我们看到,年龄增加1个单位,文档的质量就下降 -.1020986个单位,表明年长的人对文档质量的评价会更低.这个变量相应的t值是 -2.10,绝对值大于2,p值也
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水泥用量憨丹封柑莩纺凤尸脯建 水灰比 砂率 附加济掺量 综合指标Z 470 0.32 40.6 1.17 52.95 473 0.35 42.6 1.14 50.7 476 0.38 40.2 1.11 50.7 479 0.3 42.2 1.08 53 482 0.33 39.8 1.05 52.65 485 0.36 41.8 1.02 52.8 488 0.39 39.4 0.99 52 491 0.31 41.4 0.96 50.75 494 0.34 39 0.93 54.6 497 0.37 41 0.9 50.2 500 0.4 43 1.2 53做出个二次回归方程！谢谢了！做出来再加100分急用！
提问者采纳
模型摘要模型 R R 方 调整的 R 方 估计的标准差1 .838a .703 .50憨丹封柑莩纺凤尸脯建5 7.00366a. 预测变量:(常量), 综合指标Z, 附加济掺量, 水灰比, 砂率。ANOVA(b)模型
平方和 df 均方 F 显著性1 回归 695.693 4 173.923 3.546 .082a 残差 294.307 6 49.051
合计 990.000 10
a. 预测变量:(常量), 综合指标Z, 附加济掺量, 水灰比, 砂率。b. 因变量: 水泥用量系数(a)
非标准化系数
标准化系数模型
B 标准误 Beta t 显著性1 （常量） 195.187 139.351
1.401 .211 水灰比 169.436 69.082 .565 2.453 .050 附加济掺量-86.463 27.022 -.865 -3.200 .019 砂率 3.948 2.054 .526 1.922 .103 综合指标Z 3.059 1.766 .421 1.732 .134a. 因变量: 水泥用量水泥用量 = 195.187 + 169.436*水灰比 - 86.463*附加济掺量 + 3.948*砂率 + 3.059*综合指标Z该模型能解释70.3%的样本。
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