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已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.(1)求证：AN=BM;(2)求证：△CEF为等边三角形
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明略（2）证明略证明(1):∵△ACM， △CBN是等边三角形 　　　　∴AC="MC,BC=NC," ∠ACM="60°," ∠NCB="60°&&&&&&&&&&&&&&&" 2分　　　在△CAN和△MCB中 　　　AC=MC,∠ACN=∠MCB,NC=" BC" 　　　∴△CAN≌△MCB(SAS)　　　∴AN="BM&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&" 5分　& (2) ∵△CAN≌△MCB 　　　∴∠CAN=∠MCB 　　又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB="180°-60°-60°=60°" &&&&&&&&&&&7分　　　∴∠MCF=∠ACE 　　　在△CAE和△CMF中 　　　∠CAE=∠CMF,CA=CM,∠ACE=∠MCF 　　　∴△CAE≌△CMF(ASA) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&10分　　　∴CE="CF" 　　　∴△CEF为等腰三角形, &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&11分　　又∵∠ECF="60°" 　　∴△CEF为等边三角形. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&12分
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据魔方格专家权威分析，试题“已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，AN交M..”主要考查你对&&相似多边形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似多边形的性质相似三角形的判定相似三角形的性质相似三角形的应用
相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。（或相似系数）判定:如果对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形.如果所有对应边成比例，那么这两个多边形相似相似多边形的性质：相似多边形的性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。相似多边形的性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。相似多边形的性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。相似多边形的性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。相似多边形的性质定理5：若相似比为1，则全等。相似多边形的性质定理6：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。相似多边形的性质定理7：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） （3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。& 四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc易失误比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。相似三角形的应用：应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度）。
发现相似题
与“已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，AN交M..”考查相似的试题有：
718094697306729953690001739189694443如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN都是等边三角形,直线AN、MC交于点E,直线BM、CN交于点F.求证：△CEF为等边三角形.&
AOI测试0147
证明:∵△ACM,△CBN是等边三角形∴CM=CA CN=CB∠MCA=∠NCB=60°∴∠MCA+∠ACB=∠NCB+∠ACB即∠MCB=∠ACN在△BCM和△NCA中{CB=CN{∠BCM=∠NCA{CM=CA△BCM≌△NCA（SAS）∴BM=NA 2）：∵△ACM,△CBN是等边三角形∴AC=CA,AN=BM,∠MCA=∠NCB=60∴∠MCN=180-∠MCA-∠NCB=180-60-60=60∴∠ACN=∠MCB=120∴△ACN≌△MCB∴∠NAC=∠BMC∴△ACE≌△MCF∴CE=CF∴△CEF为正三角形
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把⊿MCB绕C点逆时针旋转60°。到达⊿ACN.∴AN=MB.同理，注意∠MCN＝60°.把⊿FCB绕C点逆时针旋转60°。应该到达⊿ECN.∴CE=CF.从而⊿ECF为等边三角形。
扫描下载二维码如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，BM与CN交于D点．若AC=3，BC=2，则CD=．
如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC=3，BC=2，则△MCD与△BND的面积比为&&& ．
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⑴. 试说明：AN=BM;
⑵. 求∠AOB 的度数. - 同桌100学习网
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3. 数学如图，已知点C为线段AB上的一点，ΔACM, ΔCBN 都是等边三角形，且AN, BM 相较于点O.
⑴. 试说明：AN=BM;
⑵. 求∠AOB 的度数.
3. 数学如图，已知点C为线段AB上的一点，ΔACM, ΔCBN 都是等边三角形，且AN, BM 相较于点O.
⑴. 试说明：AN=BM;
⑵. 求∠AOB 的度数.
提问者：LISHICHEN
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1.证明：因为△ACM，△CBN是等边三角形所以AC=MC,CB=CN,角MCA=角NCB=60度因为角ACB=角MCN+角MCA,角MCB=角NCB+角MCA又因为角MCA=角MCA所以角ACB=角MCB所以三角形MCB全等于三角形ACN所以AN=BM
回答者：teacher077
知如图点C为线段AB上的一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN,BM相较于点O
②∠BON=60°
(1)因为△ACM，
△CBN是等边三角形
所以AC=MC,CB=CN,角MCA=角NCB=60度
因为角ACB=角MCN+角MCA,角MCB=角NCB+角MCA
又因为角MCA=角MCA
所以角ACB=角MCB
所以三角形MCB全等于三角形ACN
(2)因为三角形MCB全等于三角形ACN
所以角CBM=角CNA
因为角NOB是三角形AOB的外角
所以角NOB=角NCB+角OBA=角NCB+角CNA=角NCB=60度
所以角AOB=180-角NOB=120度
所以∠BON=60°
回答者：teacher084分析：（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．解答：（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．
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科目：初中数学
来源：同步题
题型：解答题
如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边平行，那么这两个三角形也是位似三角形，它们的相似比是位似比，这个点是位似中心，利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大。
（1）如图（1）所示，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为（&&& ）&&&A.2、点P&&&&B.、点PC.2、点O&&&&D.、点O（2）如图（2）所示，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题。画法：①在△ABO内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；&&②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E'D′∥ED，交OB于点D′；&&③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形，试说明△C′D′E′是等边三角形。
科目：初中数学
来源：学年安徽省怀宁县九年级（上）期末数学试卷（解析版）
题型：解答题
如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90&，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．
科目：初中数学
来源：学年北师大版九年级（上）期末数学试卷（解析版）
题型：解答题
如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90&，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．
科目：初中数学
来源：同步题
题型：解答题
阅读下面材料：点 A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A上两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-2-4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a-b|；当A、B两点都不在原点时，①如图1-2-5所示，点A、B都在原点的右边，|AB|=|BO|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|； ②如图1-2-6所示，点A、B都在原点的左边，|AB|=|BO|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|；③如图1-2-7所示，点A、B在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(-b)=|a-b|
综上，数轴上 A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是（&&&& ），数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是（&&&& ），数轴上表示1和-3的两点之间的距离是（&&&& ）； （2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是（&&&& ），如果 |AB|=2，那么x为（&&&& ）； （3）当代数式|x+1|+|x-2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是（&&&& ）。