数学：已知数列{an}满足log2（Sn+1）=n，其中Sn为数列{an}的前几项和，求证：数列{an}为数列sn n是等比数列列

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-05-20 22:13 标签： 数列sn n是等比数列
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(理)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an+2SnSn-1=0(n≥2),(1)判断{}是否为等差数列?并证明你的结论;(2)求Sn和an;(3)求证:S12+S22+…+Sn2≤.(文)数列{an}的前n项和Sn(n∈N*),点(an,Sn)在直线y=2x-3n上.(1)求证:数列{an+3}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)数列{an}中是否存在成等差数列的三项?若存在,求出一组适合条件的三项;若不存在,说明理由.
(理)(1)解:S1=a1=,∴=2.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 当n≥2时,an=Sn-Sn-1,即Sn-Sn-1=-2SnSn-1,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ∴=2.故{}是以2为首项,以2为公差的等差数列.&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2)解:由(1)得=2+(n-1)·2=2n,Sn=.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 当n≥2时,an=-2SnSn-1=;&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 当n=1时,a1=.∴an=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (3)证法一:①当n=1时,成立.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②假设n=k时,不等式成立,即≤成立.则当n=k+1时,≤==＜=,即当n=k+1时,不等式成立.由①②可知对任意n∈N*不等式成立.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 证法二:==≤==.(文)(1)证明:由题意知Sn=2an-3n,∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-3(n+1)-2an+3n.∴an+1=2an+3.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ∴an+1+3=2(an+3).∴=2.又a1=S1=2a1-3,a1=3,∴a1+3=6.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ∴数列{an+3}成以6为首项以2为公比的等比数列.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2)解:由(1)得an+3=6·2n-1=3·2n,∴an=3·2n-3.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3)解:设存在s、p、r∈N*且s＜p＜r使as、ap、ar成等差数列,∴2ap=as+ar.∴2(3·2p-3)=3·2s-3+3·2r-3.∴2p+1=2s+2r,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 即2p-s+1=1+2r-s.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (*)∵s、p、r∈N*且s＜p＜r,∴2p-s+1为偶数,1+2r-s为奇数.∴(*)为矛盾等式,不成立.故这样的三项不存在.
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已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1＞log2（an+3），n∈N*．
题型：解答题难度：中档来源：月考题
解：（1）由，解得a1=1或a1=2，由假设a1=S1＞1，因此a1=2，又由，得（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0，即an+1﹣an﹣3=0或an+1=﹣an，因an＞0，故an+1=﹣an不成立，舍去因此an+1﹣an=3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an=3n﹣1（2）证明：由可解得；从而因此令，则、因（3n+3）3﹣（3n+5）（3n+2）2=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n）特别地，从而3Tn+1﹣log2（an+3）=log2f（n）＞0、即3Tn+1＞log2（an+3）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an..”主要考查你对&&比较法，等差数列的通项公式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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比较法等差数列的通项公式
比较法分类：
（1）求差比较法：要证a＞b，只要证a-b＞0； （2）求商比较法：要证a＞b，且b＞0，只要证＞1； 比较法的步骤是：
作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
实数比较大小的依据：
在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a、b之间具有以下性质：如图，如果a-b是正数，那么a&b;如果a-b是负数，那么a&b;如果a-b等于零，那么a=b，反之也成立，从而a-b&0等价于a&b;a-b=0等价于a=b;a-b&0等价于a&b．&
比较数（式）的大小常用的方法：
（1）一是利用作差法来判断差的符号；二是利用作商法（分母为正时）来判断商与1的大小。这两种方法的关键是变形，常用的变形的技巧有因式分解、通分、配方、有理化等，当两个代数式正负不确定且为多项式形式时常用作差法比较大小．当两个代数式均为正且为幂的乘积式时常用作商法比较大小．(2)比较大小时应熟记并应用“若a&b且ab&0则”这一结论，不能强化也不能弱化条件，在此时应引起特别重视。等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
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