设a,b,c∈R+,求证：：√ab(a+b)+√bc(b+c)+√ca(c+a)>√(a+b)(b+c)(c+a)

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-05-26 14:16 标签： http ce.sd38.bc.ca
设a,b,c∈R+,求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9
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（1/a+1/b+1/c)≥9/(a+b+c);(bc+ac+ab)/abc≥9/(a+b+c);所以只证：(a+b+c)(bc+ac+ab)≥9abc；abc+a²c+a²b+b²c+abc+ab²+bc²+ac²+abc≥9(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a≥6abc因为：a²+b²≥2ab,a²+c²≥2ac,b²+c²≥2bc,所以得证
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最简单的办法就是直接利用一个重要的不等式：柯西不等式第二个办法就是暴力展开后（展开后得到 3+sigma（a/b+b/a）），均值不等式就可以得到。
证明：∵a,b,c∈R+∴由柯西不等式可得：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(1+1+1)²=9.等号仅当a=b=c时取得。∴（a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9.
扫描下载二维码已知：a，b，c∈R+，求证：．
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证明：∵a，b，c∈R+∴，，，∴，∴即证；
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证明的不等式两边同时乘以2，再利用均值不等式a+b≥2，a，b＞0，进行代入证明；
本题考点：
不等式的证明．
考点点评：
此题主要考查均值不等式的应用，比较简单，解题的关键就是不等式两边同时乘以2，是一道基础题；
扫描下载二维码已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：（1）++≤（2）ab+bc+ca≤．_答案_百度高考
数学 不等式的证明...
已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：（1）++≤（2）ab+bc+ca≤．
第-1小题正确答案及相关解析
证明：（1）由柯西不等式可得：（++）2≤（a+b+c）（1+1+1），∵a+b+c=1，∴（++）2≤3，∴++≤；（2）∵a+b+c=1，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，又a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，将以上三个不等式相加得：2（a2+b2+c2）≥（2ab+2bc+2ac），即a2+b2+c2≥ab+bc+ac，∴1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac=3（ab+bc+ac），∴ab+bc+ca≤．证明不等式ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2
充电光束TA0467
利用均值不等式由于2ab≤a^2+b^22bc≤ b^2+c^2 2ac≤a^2+c^2 上述相加后除以二即可!
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(a-b)^2=a^2+b^2-2ab(a-c)^2=a^2+c^2-2ac(c-b)^2=c^2+b^2-2bc3个式子相加得(a-b)^2+(a-c)^2+(c-b)^2=2（a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca）所以a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca=[(a-b)^2+(a-c)^2+(c-b)^2]/2
>=0所以ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2
不等式两边同时乘以2 把ab bc ca 移到平方项一边 可凑成(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0恒成立
因为0≤（a-b）^2+（a-c）^2+（b-c）^2所以，2（ab+ac+bc）≤2(a^2+b^2+c^2)即有ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2
扫描下载二维码设a、b、c∈R+,求证：a/（1+a+ab）+b/（1+b+bc）+c/(1+c+ca)≤1洪耀伟123，你给的数据算出的答案是59/60哦
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说明：均值不等式是同次同倍的转化,分子为1次,分母有常数,1次,2次,所以可以用均值将常数、2次转化为1次,易知此题对称,取等条件为a=b=c=1,可放心使用均值证明：因为1+ab&=2√ab,所以1+a+ab&=a+2√ab,所以a/(1+a+ab)&=a/(a+2√ab)=√a/(√a+2√b)同理b/(1+b+bc)&=√b/(√b+2√c)&&&&c/(1+c+ca)&=√c/(√c+2√a)取等条件为a=b=c=1所以a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca)&=√a/(√a+2√b)+√b/(√b+2√c)+√c/(√c+2√a)=[√a/(√a+2√b)+√b/(√b+2√c)+√c/(√c+2√a)]*[(√a+2√b)+(√b+2√c)+(√c+2√a)]/[3(√a+√b+√c)](乘一个,比一个）=[√a+√b+√c]一下就放过了!没天理了!唉!重证：以a为主元整理,分析法证明,见图吧!没有找到简单方法,遗憾!
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证明：令abc=k 左边=ac/(c+ac+k)+b/((abc/k)+b+bc)+c/(1+c+ca)
=ac/(c+ac+k)+1/((ac/k)+1+c)+c/(1+c+ca)(易见当k=1,左边=1） 左式减去1,得：ac/(c+ac+k)+1/((ac/k)+1+c)-ac/(c+ac+1)-1/(ac+1+c)
证其<=0即可。下略。
此题有误.取a=b=1,c=0.5，不等式a/（1+a+ab）+b/（1+b+bc）+c/(1+c+ca）＞1。.
用换元法的简单解法:
我在我的空间里给了一种方法，看能不能帮上你/ayumimemory/blog/item/caad1a8a82a1fa.html
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