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淘豆网网友近日为您收集整理了关于函数项级数一致收敛的判别法的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：函数项级数一致收敛的判别法 第23卷第5期2009年9月甘肃联合大学学报(自然科学版)Journal of Gansu Lianhe University(Natural Sciences)V01.23 No.5sept.2009文章编号:09)05-0110-05函数项级数一致收敛的判别法金玮(宁夏大学,数学计算机学院,宁夏银川750021)摘要:给出了判断函数项级数一致收敛的多种方法,并对每种新方法给予严格证明,内容丰富,方法多样,以利于对函数项级数一致收敛的深入了解和更为广泛的应用.关键词:函数项级数;一致收敛;判别法中图分类号:0174.41 文献标识码:A对于函数项级数,研究函数的解析性质至关重要,函数项级数必须具有一致收敛性,而判断函数项级数的一致收敛性往往是比较困难的,本文对在教材上常见的一致收敛的判法不再赘述,对教材之外的一些判别进行总结归纳.1判别函数项级数一致收敛的基本方法定理l设“。(z)为定义在数集D上正的函数列,记吼(上)=‰+l(x)/u。(z),若limq。(z)一g(z)≤q&1,且t‘。(z)在D上一致有界,则函数项级数∑(来源：淘豆网[/p-6502499.html])“。(z)在D上一致收敛.H一1定理2设“。(z)为定义在D上的函数列,若lim巧:忑万=q(z)≤q&1对V z∈D成立,则函n1●∞数项级数∑‰(z)在D上一致收敛.H掌1定理3设“。(z)为定义在D上的函数列,若1im二掣=户(z)存在,那么Ir+∞上n尥。1)若对Vz∈D,p(z)&p&1,则函数项级数∑Un(z)--.-燃n=l2)若对V z∈D,夕(z)&p&1,则函数项级数∑让。(。)不一致收敛.^一1证明由定理条件知,对Ve&o,j N使得对V九&N,有夕(z)一e&一lnu。(x)/lnn&夕(z)+￡,即 1/np‘曲+·&l‘。(z)&1/np‘曲一‘.则当户(z)&户&1对Vz∈D成立时,有Un(x)&l/np,而P级数∑1Inp当p&l时收敛,由优级数判别法知函数项级数≥:“。(z)在D上二=l一致收敛;而当P(z)&夕&1对Vz∈D成立时,有Un(x)&g(来源：淘豆网[/p-6502499.html])t;llnp,而P级数∑1/np当P&1时发散,从而函数项级数∑‰(z)在D上不一致收n毫1敛.定理4设函数列{越。(z))在闭区间[口,6]上连续,可微,且存在一点z。∈[口,6],使得∑‰nll(z)在点XO处收敛;∑“。7(z)在[口,6]上一致收_一l敛,则函数项级数∑Un(z)在[口,6]上一致收敛.证明已知∑&。(z)在点z。∈[口,6]收敛,n=1即Ve&0,了N1(￡),使得,l≥Nl(￡)时,对VP∈时,有I∑毗(z。)l&￡成立.对V z∈[口,6],有l∑锹7(面)l&e.根据拉格朗日中值定理,V竹&N,V P∈N+,VxE[口,6],有,r+。p,rt。’肿Pl。譬以z)一艺Ut(&270)l≤l。圣,“7t(p上茹n+l h--a*'F1 上皇井1收稿日期:.基金项目:宁夏大学青年科学基金资助项目(QN200701).作者简介:金玮(1975一),女,宁夏中宁人,宁夏大学讲师,硕士,主要从事(来源：淘豆网[/p-6502499.html])函数逼近论的研究. 万方数据第5期金玮:函数项级数一致收敛的争J别法 111(z一-TO)I&￡(6一口) (f介于z与zo之间).于是V&&N,V户∈N+,z∈[口,6],&}I R+★l冉tI∑‰(z)I=I∑毗(z)一∑纵(z。)+I一井l I一计l t一井1≤≤e(6一口)+￡一e(6一口+1).即∑五。(z)在[口,6]上一致收敛.,rl+2函数项级数一致收敛的几个新的判别法及证明定理5 设函数项级数∑‰(z),∑砜(z)都是定义在数集D上的正项函数项级数,‘丝黑+r(z),挖·∞,z∈D.设inff,.(z))----rl,sup{r(x))一--rz.z∈D 土∈D1)当n&o,r2&,+∞时,∑‰(z)与∑%(z)在数集D上是同时一致收敛或同时不一致收敛.‘2)当rl=0,吃&+∞时,若≥:%(z)在D上一致收敛,则∑Un(z)在D上也一致收敛.3)当n&o,r2=+∞时,若∑“。(z)在D上一致收敛,则≥:%((来源：淘豆网[/p-6502499.html])z)在D上也一致收敛.证明由丝兴一r(z),n--+oo,z∈D,则取V^~Z,●eo&0,j No,当,l&No时,对一切z∈D有J乱。(z)/%(z)一r(z)I&eo净一￡+rl≤一￡+r(z)&“。(z)/%(z)&r(z)+￡o&7&2+￡o净(n—eo)%(z)&“。(z)&(r2+勖)%(z).1)当n&0,r2&+oo时,取￡o&n,易知∑‰(z)与∑%(z)同时一致收敛或同时不一致收敛.2)当r-=0,rz&+∞时,由式(1)的右半部分可以知道若∑%(z)在D上一致收敛,则芝:‰(z)在D上也一致收敛.3)当r。&o,r2=+∞时,由式(1)的右半部分可以知道若∑‰(z)在D上一致收敛,则∑%(z)在D上也一致收敛.定理6设∑‰(z)是定义在数集D上的正项函数项级数,“。(工)在D上有界(n=1,2,…),若塑:尝2+r(z),玎一∞,z∈D,设,.=“_kx)+sup{,.(z)),则工(来源：淘豆网[/p-6502499.html])∈D1)r&1时,∑‰(z)在D上一致收敛;2)r&1时,∑‰(z)在D上不一致收敛.证明1)I:1:i%专导:,.(z),行一∞,取e&1一r,了No,当,l≥No时,对一切z∈D有I酱叫z,l&￡。净岩&出,+eo&r-I-￡o&1净“井l(z)&(r+￡0)‰(z)&(r+￡o)2“,l(z)&…&(r+eo)”Ⅳo+1“Ⅳo(z)专‰(工)&(r+￡o)”Ⅳo“Ⅳo(z),由“No(z)在D上有界,即存在M&O,对一切z∈D有I“Ⅳo(z)I≤M,“。(z)&志(r+勖)”.由∑(,.+e。)。收敛,得∑赤(r+￡。)。收敛,由优先级判别法知∑Un(工)在D上一致收敛.2)r&l时,jz。∈D使ro(z)&1,即.1im坠鸣堕譬一ro(z)&1净lim‰(z)≠0,-·∞“H Lx0 J er-.·oo因此∑/,ln(z。)不收敛,所以∑“。(z)在D上不一致收敛.(来源：淘豆网[/p-6502499.html])注:suP{r(z)}=1时,≥:“。(z)在D上是否z∈D 一一致收敛无法判断.定理7设∑‰(z)是定义在数集D上的正项函数项级数,若Ⅸ而。r(z),设r=sup{,.(z)},则1)r&1时,∑‰(z)在D上一致收敛;2)r&l时,∑‰(z)在D上不一致收敛.证明 1)r&1时,由Ⅸ■矿r(z),取￡。&1一r,了No,当,l&No时,对一切z∈D有l托:两一r(z)f&e。辛讫:两&r(z)+￡o&r+￡o净‰(z)&(r+￡o)。.由r+r。&1,由优先级判别法知∑“。(z)在D E一致收敛.)z(‰=l∑讲一)Z(‰小∑一))OOzz((M“=I∑=∑耐万方数据112 甘肃联舍大学学报(自然科学版) 第23卷2),.&1时,了zo∈D便r(xo)&1,由lim“—■∞彤而一r(zo)&1辛limu。(工o),即∑‰(z)在n—●∞●一D上不一致收敛.定理8设∑‰(工)是定义在数集D上的正项函数项级数,‰(z(来源：淘豆网[/p-6502499.html]))在D上有界(咒=1,2’..·),若,z(0:2)一1):r(z),设r。i∈n。f{r(z)),则当r&1时,∑‰(z)在D上一致收敛.证明由r&1,扎(芒U播I一1):m),取￡。、。+LZ, ,—}&1一r,j NI,竹≥M时,对一切37,∈D有l,z(蒜一1)叫z,{&￡。净竹(崧一1)&如)~&r飞&1.取1&s&r—e。,j N2,,l≥N2,有1+!≯≥(1+去)。, Normax(N。,N2),当竹≥No时,对一切z∈D有描&1十竿&(·+爿/=号孚.“井l LzJ ,l \ ,l 挖因此以’“。(z)≥(,l+1)‘M井l(z)毒咒’“.(z)≤N￥UNo(z).由乱Ⅳo(z)在D上有界,则存在M&0,使得对一切工∈D,有l“No(z)l≤胁”。(z)≤了NgM.由s&1时,∑是半收敛,由优先级判别法知∑‰(z)在D上一致收敛.定理9设∑t‘。(工)是定义在数集D上的正项函数项(来源：淘豆网[/p-6502499.html])级数,”。(z)=,(z,咒),对每一个z∈D,非负函数,(z,y)在[1,+∞]上递减,若l ,严抽(z,y)dy在数集D上一致收敛,则∑‰(z)在数集D上一致收敛.,+“证明由I f(x,y)dy在数集D上一致收敛,对V￡&O存在一个N,当n)N时,对一切自然数P和一切z∈D有ff’f(z,y)dyf&e由I“。+l(z)十“。+2(z)+…+砧什,(z)I&lf’f(x,y)dyf&￡,所以∑‰(z)在数集D上一致收敛.3关于莱布尼兹型函数项级数的一致收敛的判别法定义1设有函数项级数∑(一1)井1“。(z),H墨1其中“。(z)(挖=1,2,…)是区间[口,阳上的连续函数,且函数列在区间上单调减少收敛于0,则称这一级数为莱布尼兹型函数项级数.定理10 若∑(一1)一·“。(z),z∈[n,阳为:鬲莱布尼兹型函数项级数,由此级数在[口,6]上一致收敛.证明因为U。(z)是[口,6]上的连续函数,U。(z)在[口,6]收敛于连续函数“(z)=o;对Vz∈[口(来源：淘豆网[/p-6502499.html]),阳,‰(z)单调,所以由狄尼定理知U。(z)在[口,6]上一致收敛于乱(z)一0.又因为∑(一1)抖1≤1,故∑(一1)抖1一致有界;对Vz∈a,6],U。(z)单调,U。(z)在[口,6]上一致收敛于“(z)=o,所以由狄利克雷判别法知莱布尼兹型函数项级数芝:(一1)州‰(z)在;i[口,6]上一致收敛.4函数级数一致收敛的比较判别法定理11两个函数级数∑%(力与∑%∞,若H霉1≈斗lj N。∈N,当V,l&No,V z∈J有l“。(z)I&C I&On(z)I(其中C为正常数)且函数级数∞‘∑%(z)在区间J绝对一致收敛,则函数级数∑H。(z)在区间J绝对一致收敛.^鼍1证明已知级数∑%(z)在区间J绝对一H叠l致收敛,即对V e/C&o(其中C为正常数),j NI∈N,V咒&NI及P∈N,z∈J有I%。(z)I+1 w小(z)l+…+I%p(z)I&￡/C. (1)又由条件知了No∈N,V,l&No,z∈I有I‰(z)I&C l&qu(来源：淘豆网[/p-6502499.html])On(z)I. (2)取N--_max{No,N1),当V n&N,V P∈N,z∈I有l“井。(z)l+I“神2(z)l+…+l z‘井,(z)l&C(I%1(z)I+I‰2(z)I+…+I口井p(z)I)&C·￡/C一￡. 万方数据第5期金玮:函敷项级敖一致收敛的判别法 113由级数一致收敛柯西准则知,函数级数∑●-l‰(z)l在区间I一致收敛,从而级数∑‰(z)在”-1区间j绝对一致收敛.定理12 若有函数级数∑t‘l∽与∑诣∽,n--1 ^·lj No∈N,V,l&No,z∈I有l‰(z)l&Cv。(z)(其中C为正常数)且函数级数∑%(z)H#I在区间_r一致收敛,则函数级数∑&。(z)在区间1月置l绝对一致收敛.证明已知j No∈N,V恕&No,z∈I有IⅡ。(z)l&Cv。(z)(其中C为正常数).(1)又函数级数∑%(z)在区间I一致收敛,即n=1V e/C&0,j Nl∈N,V,l&Nl,户∈N,z∈I有I‰1(z)+砧舰(z)+…+_井p(曲I=t佴l(z)+‰(z)+…+%,(z)&￡/C (3)取N-一max{No,N1),当V,l&N,p∈N,z∈J有I“计l(z)+Ua+2(z)+…+“计p(z)l≤l“井l(z)I+I‰2(z)l十…十I‰。(z)l&C(%1(z)+zI骨帕(工)+…+%p(z))&C·e/C=￡.对一致收敛.推论2 有函数列(‰(z))在区间J一致有界,且函数级数∑%(z)在区间J绝对一致收敛,^t1∞则函数级数:∑‰(z)%(z)在区间I也绝对一致^鼻l收敛.证明由已知函数级数∑%(z)在区间I^瞄1绝对一致收敛,又函数列{乱。(z))在区间J一致有界,即j M&0,V 7l∈N,z∈I有I‰(z)I≤M,使当VnEN,z∈I有I钟。(z)·%(z)I≤M I%(z)I.∞由比较判法定理1知级数∑“。(z)%(z)在区间Jn-1绝对一致收敛.[例]证明:若函数级数∑口.(z)与∑“(z)n互1 ^-l在区间卜一致收敛,且V,l∈N,z∈I有a。(z)≤6^(z)≤“(z),则函数级数∑b。(z)在区间I—nil致收敛.证明由条件函数级数∑口,l(z)与∑厶(z)月11 nml从而函数级数蚤‰‘力在区间J绝对一致收敛‘在区间卜一致收敛,则级数竞(c.(z)一口。(z))在要塞理分型妻懋芏古薷小蔷黼掘j15lr 区间卜一致收敛,又V n E Nn--,Ivz∈I有‘三。(z)≤1推论(比较极限法)若有两个函数级数一…‘“”“~、”~—。‘1”一7、善%∞与善%∞瓴∞≠o),魄I%刨碍∞I=h且0≤五&+o。,若级数∑%(z)在区间J绝对一致收敛,则函数级数∑‰(z)在区间J也绝对^_l一致收敛.证明由lim I‰(z)/%(z)l=忌且0≤七&+∞即j￡o&O,了N∈N,当7l&N,z∈I有I I‰(x)/v。(z)l一五I&￡。,使I&。(z)/%(工)I&忌+co=C且C=h+eo&0.即V n&N及z∈J有I‰(z)l&Cl仉(z)1.又级数∑“(z)在区间I绝对一致收敛,由n=l比较判别法定理1知级数∑‰(z)在区间J也绝以(z)≤c。(z),故0≤巩(z)一口一(z)≤“(z)一口.(z)且级数∑(“(z)一口。(z))在区间J绝对一≈叠l致收敛,由比较判别法定理12知级数∑(以(z)n--1一口。(z))在区间I一致收敛,又已知级数∑%(z)在区间I一致收敛,从而级数∑b。(z)H-l n--1=∑[(以(z)一口。(工))+口。(z)]一∑(巩(z)一‰(z))+∑口。(z)在区间J上也一致收敛.^_15 函数项级数一致收敛的一个有效充要判别法定理13 设函数序列(“。(z))在(口,6)内一致有界,且‰(z)(忌=1,2…)关于工单调增加或万方数据114 甘肃联合大学学报(自然科学版) 第23卷单调减少,则∑地(。)在(n,6)内一致收敛管数^=1项级数善s匕∈￡.∞m(z)和∑k--1∈￡。。地(z)都收敛.证明先证明必要性∑纵(工)在(n,6)内一致收敛,即对任意给^一1定的￡&0,j N∈z+(N仅与￡有关),使当n&N,对一切X E-(a,b)及任意的P∈z+,有故井,一号&。--∑n+l毗(z)&号,。王_,r+。p一号&;:觊,。蚤。姒z)&号,又由于锹(z)(忌一1,2,…)关于z单调增加或单调减少,不妨设“。(z)(忌一1,2,…)关于z单调增加,且函数序列{U。(z))在(口,6)内一致有界,则每一个钕(z)在(口,6)内有界,必有上确界,令屉=sup Ut(z)贝qlim心(z)=屉=sup圾(z)工t‘4,6)x-.b- 工∈【a·∞由上有sup∑趣(z)=lira∑雄(z)=lim[“井l(z)ze“·吼:=l。+厂t:算1。.6-+‰(o十…‰(z)], sup地(z)2∈(4,6)limuk(z)=1im[“计l(z)+l‘批Q)+…‰峥(z)],#一f}+fep。。su。p。%。一。‰(z)一。蚤。,∈su。柚p,ut(z).因此有说明.su㈦p。,utze (z)l≤号&el(n·6)IZ。蚤,;|巩以z)inf机(z)收敛.土∈(口t6)再证充分性令仇(z)一“j(z)一收敛,同理可得∑^=,r卜Iinf毗(z),则显然有0工∈“.6)&仇(z)&sup地(z).j∈(口,6)[syp敞(z)工t~4·6).一inf地(z)]工∈(4,∞收敛,它可作为控制级数.因此∑饥(z)在(口,6)内一致收敛,而级数∑^尊1^一1in/毗(z)收敛,当然在f∈(4t矗)(口,6)内一致收敛,所以可推出∑‰(z)=王士1㈨&--]vt(z)+苫:耽纵z)在(口,6)一致收敛·由以上定理可推得以下两个推论:推论1 若函数序列{U。(z)}在(n,6)内一致有界,非负且同时单调增加或单调递减,则∑机(2)在(口,6)内一致收敛管数项级数∑k--l t#1sup毗(z)收敛.z∈(4,6)推论2 若函数序列(磁(z))在(口,6)内一致内一致收敛铮数项级数inf纵(z)都收敛.j∈(n·6)参考文献:荟刑su删p地Q)和善[1]汪林.数学分析中的问题和反例[M].昆明:云南***,.[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,5.E3]金玮,侯象乾.马泽玲.(o.户(D))三角插值多项式对函数及其导数的同时逼近[J].华中师范大学学报:自然科学版.):276-279.[4]金禅,侯象乾.(o,m)双周期整插值的推广[J].宁夏大学学报:自然科学版,);356—357.Several methods of j udging the convergence uniform of the function series】lN Wei(Department of puting Engineering,Ningxia Unversity.Yinchuan 750021,China)Abstract:It is given that several methods of j udging the convergence uniform of the function series inthis paper,and various methods are strictly proved.The content is rich and methods are various,SO itcontributes to deep understanding and wide application of several methods of j udging the convergenceuniform of the function series.Key words:discriminant method。∑M知件条知已由Do在、,Z(‰∑M则号变不、,工(数导且界有∑~。万方数据播放器加载中，请稍候...
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函数项级数一致收敛的判别法 第23卷第5期2009年9月甘肃联合大学学报(自然科学版)Journal of Gansu Lianhe University(Natural Sciences)V01.23 No.5sept.2009文章编号:09)05-0110-05函数项级数一致收敛的判别法金玮(宁夏大学,数学计算机学院,宁夏银川750021)摘要:给出了判断函数项级数一致收敛的多种方法,并对每...
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本 科 生 毕 业 论 文
目:函数项级数的收敛判别法探究
数学与计算机科学学院
数学与应用数学
或计算机科学与技术、信息与计算
科学、软件工程
师: 2013 年 5 月
日Huanggang
University
Topic :The convergence criterion of series expressed by function terms
College of Mathematics and Computer Science
Specialty :
Mathematics and Applied Mathematics
or Computer Science and Technology,or Information and Computing Science,or Software Engineering
Class :200902
函数项级数在数学科学本身和工程技术领域都有重要应用. 函数项级数和函数列的一致收敛性问题往往是数学分析的重点,又是难点,不易理解和掌握。 而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性,但是一致收敛的判别比较困难,函数项级数在区间上的一致收敛性与部分和函数列的一致收敛性是等价的。一种自然的思想是将正项级数的判别法推广到函数项级数一致收敛的判别法上去.目前,正项级数的D’Alembert判别法、Cauchy判别法、Raabe判别法和它们的极限形式顺利地推广到了函数项级数的一致收敛的判别上.此外,还有很多种判别函数项级数一致收敛的方法,这些方法视条件而定:
1 在和函数或极限函数可以求出的情况下,可以用定义。
2 利用余项的一致收敛性:在区间上一致收敛的充要条件是在上一致收敛于0,即,在上一致收敛于的充要条件是0.
3 利用Cauchy准则(函数项级数和函数列均可用).
4 利用函数项级数一致收敛的M判别法(Weierstrass判别法).
5 利用函数项级数一致收敛的Dimchler判别法和Abel判别法.
6 利用结论:如果函数列在上收敛于,且每一在上满足
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函数项级数一致收敛的几个判别法_数学与应用数学专业毕业论文.doc20页
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函数项级数一致收敛的几个判别法
数学与统计学院
数学与应用数学
原创性声明
本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.
本声明的法律责任由本人承担.
论文作者签名：
论文指导教师签名：
函数项级数一致收敛的判别法的讨论
天水师范学院 数学与统计学院 ,甘肃,天水,741000
摘要：本文着重介绍函数项级数一致收敛的几种判别法,首先通过问题引入探讨函数项级数一致收敛的概念,然后进一步研究了几种判别方法,即对数判别法；积分判别法；有效充要判别法；加逼收敛判别法等,并对每种新方法给予严格证明.
关键字：函数项级数；一致收敛性；积分判别法；有效充要判别法；加逼收敛判别法；比较判别法.
The Discussion on Some Method for Uniform Convergence of Function Series
the paper gives several discriminant method on uniform convergence of Function Series,firstly, discusses a series of function uniform convergence concepts by introducing a problem,and then further researches on several identifying method, such that logarithm discriminant method,integral discriminant method,effective sufficient discriminant method,and forced convergence test, etc,and new methods of each given strict proof.
Keywords: function Sintegraleffective sufficientand formore discriminant method
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函数项级数一致收敛的判别法
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