勒贝格控制收敛定理_百度百科
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在数学分析和测度论中，控制收敛定理提供了积分运算和极限运算可以交换运算顺序的一个充分条件。在分析逐点收敛的函数数列的时，积分号和逐点收敛的极限号并不总是可以交换的。外文名Lebesgue control convergence theorem应用学科数学适用领域范围函数
控制收敛定理说明了，如果逐点收敛的列的每一项都能被同一个勒贝格可积的函数“控制”（即对的任何取值，函数的都小于另一个函数），那么列的极限函数的勒贝格积分等于函数列中每个函数的勒贝格积分的极限。勒贝格控制收敛定理显示出勒贝格积分相比于的优越性，在数学分析和实变函数论中有很大的应用。控制收敛定理能够成立的一个重要因素是存在一个可积的函数，使得函数列收敛的过程能够“安全”进行。如果缺少这个条件，调换运算次序就可能会导致各种后果。下面是一个例子：
定义函数 fn 为：对于 (0,1/n] 中的 x ， fn(x) = n 。对于(1/n,1]中的 x ，fn(x) = 0 。对(0,1] 中的任意 x ，当 n 趋于无穷大时，fn(x) 总趋于零，同时 fn 在(0,1] 上的积分总是1。结果是：
控制收敛定理不成立。由此可见，可积的控制函数是定理成立的必需条件。
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请教高手，黎曼积分，广义积分，无界
黎曼积分的可积条件之一是函数有界，但是在广义积分里无界函数也可能积分。问题一，高数里的定积分和黎曼积分是不是一个意思？问题二，黎曼积分表示的是函数与坐标轴包围的面积，如果函数无界，黎曼积分不可积，这是不是表示函数与坐标轴包围的面积不能计算或者面积无穷大？问题三，同问题二，广义积分里函数无界也可能积分，那么这个积分结果是函数与坐标轴包围的面积吗？也就是说当函数无界时，函数与坐标轴包围的面积有可能是可以计算的，并且面积的大小可通过广义积分计算？问题四，对上面的总结，黎曼积分的定义是这样的：函数与坐标轴包围的面积采用分割的办法分割，如果分割的极限存在（也可能就是面积可计算？）那么就可黎曼积分。那么既然函数无界也可能够计算面积，那么这个计算结果也应该是黎曼积分里的那个极限，既然极限存在，为什么么会有一个函数必须有界的这个条件呢？，书上那个推导是说无界点领域内f(x)*y(y为分割大小）中由于f(x)无穷大所以f(x)*y为无穷大，这不就变向表示无界函数的面积一定无穷大嘛，这个推导好像理由不充分呀f(x)无穷大，y可以无穷小呀？问题：是不是无界就是一个人为规定的条件，实际上这个条件并不是必要条件
就是说函数有界只是黎曼可积的研究范围（也就是说黎曼积分只研究有界函数）而不是黎曼可积的必要条件
提问者采纳
1、是；2、3、黎曼积分有两个条件：被积函数有界和积分区间有限，且被积函数可积与黎曼和收敛是等价的，黎曼和收敛时黎曼积分等于某个实数，当上述两个条件不满足时就叫做广义积分，一般分为无界函数积分与无穷限积分（也有既函数无界又积分限无穷的），它们都不是正常积分（黎曼积分），广义积分是可能收敛也可能发散的，它们的几何解释就是：当一个广义积分收敛时这个广义积分等于某个实数，它的几何意义是该积分对应的一个伸向无穷远的不封口的几何图形的面积就等于这个实数的绝对值；4、黎曼积分是对黎曼和取极限，且是对于任意分割，对于任意的界点集的选取，只要让读作“纳姆达”的希腊字母（即所有小△的直径中的最大者，这个字母打不上去）趋于零，就有黎曼和无限地接近某个实数，这时才称该函数（黎曼）可积，广义积分都是先将积分区间缩小一点使变成正常（黎曼）积分，（这时它是不存在收敛与发散的问题的，它等于这个积分限的函数），再对那个积分限取普通的极限，使积分区间趋于原来的积分区间，如果这个极限存在就说这个广义积分收敛，否则就说其发散；但愿这样说你懂了。𝝀𝝀
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其他1条回答
（1）不是一个意思，黎曼积分范围要小f（x）在[a,b]的定积分存在，我们称f（x）黎曼可积但是通常我们用来算的基本都是一样的（2）面积未必不能计算或者无穷大。可以参考广义黎曼积分。例如某函数存在奇点，它可能广义黎曼可积，也可能不可积。表达式不写了，太麻烦。。（3）基本同意，就是那个包围的理解需要排除奇点。（4）如果喜欢把对区间[a，b]的任意划分理解成坐标函数包围的分割，那么可以接受4的理解函数无界，未必能计算面积啊，有界是黎曼可以的必要条件。（不是广义黎曼积分）对于一个划分（分割），那么这个划分（分割）就确定了，所以不可以说y是无穷小的。也就是说一个分割确定了，那么y是个定值（虽然可以非常小，但是是定值），而f（x）是应变量所以f（x）*y为无穷大。
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出门在外也不愁----> 黎曼一起被称为是复变函数论的主要奠基人
黎曼一起被称为是复变函数论的主要奠基人
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&&&&科学家介绍&&&&0.欧拉&&&&&&&&&&&&王照良&&&&&&&&欧拉EulerLonhard，）,1707年4月出生于瑞士的巴塞尔。（1720年入读巴塞尔大学。1726年大学毕业。1727年到俄国的彼得堡科学院从事研究工作，并被聘为副教授，1730年晋升为教授。1733年担任该院高等数学教研室的领导工作。1741年―1766年应邀到柏林科学院工作。1766年又回到彼得堡科学院。于1783年9月去逝。在复变函数方面，欧拉把数学中最重要、最常用和最基本的五个常数：1，0，&&&&iπi,π,e用一个简单的等式e+1=0联系了起来。他在初等数学中引入了复变数，并推&&&&&&&&出了著名的欧拉公式：e&&&&&&&&iz&&&&&&&&=cosz+isinz。&&&&&&&&欧拉是十八世纪的数学巨星。他的最大功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支的产生与发展奠定了基础。在微分几何方面，欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。1766年，他出版了《关于曲面上曲线的研究》，这是微分几何发展史上的一个里程碑。在该著作中，他得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积分等等。欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。欧拉和其它数学家在解决物理方面问题的过程中，创立了微分方程学。欧拉所写的《方程的积分法研究》是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积。给出了费马小定理的三个证明。并引入了数论中重要的欧拉函数φ(n)。他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分支，而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题。欧拉是数学史上最多产的数学家，一生共发表论文856篇，专著31部。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出巨大贡献，更把数学推至几乎整个物理学的领域。&&&&&&&&1.柯西&&&&柯西（Cauchy,AugustinLouis，）1789年8月生于法国巴黎，1810年毕业于道路桥，梁工程学校。1811年开始学习拉格朗日的《解析函数》等书并着手研究数学经典问题。1816年因其数学上的成就成为法国巴黎科学院院士，同时任工科大学教授。1848年成为巴黎大学教授。1857年5月逝世。柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论。在他的第一篇复变函数论文《关于定积分理论的报告》中导出了柯西定理；1831年在他的另一篇论文中推出了柯西公式；关于函数在孤立奇点的留数方面，1841年他证明了&&&&&&&&Res(f(z),z0)=&&&&&&&&1f(z)dz；1846年他证明了留数定理。柯西首先阐明了上、下限是虚数的定2πi|z=z∫|=r&&&&0&&&&&&&&积分的有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。他在学术上成果相当丰硕，他的研究是多方面的。在代数学上，他有行列式论和群论的创造性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在分析学方面，他提出了极限的ε方法，他使得微积分的一系列概念建立在严密的基础上。他还证明了在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要的。他的全集26卷，数量上仅次于欧拉，居第二位。&&&&&&&&2.黎曼&&&&黎曼（Riemann，GoergFriedrichBernhard，），1826年9月生于德国汉诺威布列谢连兹，1845年在哥廷根大学师从高斯学习数学，1851年完成博士论文，1859年成为该校教授，同年被选为伦敦皇家学会会员和巴黎科学院院士，1866年7月病逝于意大利。19世纪的数学最具独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，在该论文中，他引入了解析函数的概念，注重一般性原理，他把复变函数的解析性建立于C―R方程的基础上。后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理。同时对于多值复变函数，他巧妙地引入一种特殊曲面―黎曼曲面，利用这种曲面不仅可以描述多值函数的性质，而且可以有效地使多值函数在曲面上单值化，从而把一些单值函数的结论推广到多值函数，确立了复变函数的几何理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。在黎曼短短的一生中，他在数学的许多领域都做出了划时代的贡献。他奠定了几何函数论的基础，定义了黎曼积分，给出了关于三角级数收敛的黎曼条件。1854年，他在一篇题目是《在几何学基础上的假设》的论文中，开创了非欧几何的另一片新天地――黎曼几何学。在此引入了n维流形和黎曼空间的概念，并定义了黎曼几何的曲率，为以后爱因斯坦的广义相对论提供了合适的数学基础。他还是解析数论的先驱，1859年他在论文《在给定大小之下的素数个数》中提出了黎曼猜想。&&&&&&&&3．维尔斯特拉斯&&&&维尔斯特拉斯（KarlWeierstrass，）1815年10月生于德国亚伐利亚。1834年进入波恩大学学习商业和法律。1839年，师从古德曼学习数学。由于库麦尔的推荐，维尔斯特拉斯1856年成为柏林大学的助理教授，1864年成为正教授。因维尔斯特拉斯的学术成就，格尼斯堡大学授予他名誉博士学位。1868年成为法国巴黎科学院院士。1897年2月在柏林去世。维尔斯特拉斯与柯西、黎曼一起被称为是复变函数论的主要奠基人。他用幂级数来定义解析函数，并建立了一整套解析函数理论，他关于解析函数的研究成果，成了复变函数论的主要内容。维尔斯特拉斯在数学的许多领域都作出了重大贡献。他证明了每个椭圆函数均可用一个基本椭圆函数和它的导函数简单地表示出来。他把椭圆函数论的研究推到了一个新的水平。他在代数学领域和变分学中都有许多重要的研究成果。他还是数学分析基础的主要奠基者之一。他给出了数学分析教材中一直沿用的连续函数的定义，他是将严格的论证引入分析学的一位大师。1872年，他发现了一个连续函数，但它却是处处不可微的函数，从而推动了函数论的发展。&&&&&&&&4．古尔萨&&&&古尔萨（Goursat,Eouard-Jean-Baptiste,）1858年生于法国洛特省兰萨茨，1876，年进入高等师范学校学习。1881年获理学博士学位，1897年任巴黎大学教授。1919年当选为法国科学院院士。曾任法国数学会主席。古尔萨是法国研究数学分析的先驱。1900年在《关于柯西解析函数的一般定义》一文中改进了柯西解析函数的定义，用更优的方法证明了柯西定理。他还对偏微分方程中存在性定理的证明做了改进。在超椭圆积分、不变量理论和曲面理论等方面得到大量成果。他编著的《数学分析教程》长期被许多国家用作高校教材。&&&&&&&&5.阿贝尔&&&&阿贝尔（Abel,NielsHenrik,）1802年8月生于挪威芬岛。1821年在洪堡老师的帮助，下进入克里斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法，开创了研究积分方程的先河。1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。1826年，阿贝尔来到巴黎，仍然坚持数学的研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一般性质”的论文，提交给巴黎科学院。1829年4月逝世于弗鲁兰。阿贝尔和雅可比（CarlGustavJacobi）是公认的椭圆函数论的创始人。1927年他的论文《关于椭圆函数的研究》中把椭圆函数积分的理论归结为椭圆函数的理论。使这一理论成为十九世纪分析中的重要领域之一。他当年研究方程式论时发现的交换群，即阿贝尔群今天仍然是代数学的一个重要研究领域。他发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都做出了巨大的贡献。&&&&&&&&6.阿达玛阿达玛（AdamaJacques，）1865年12月生于法国凡尔赛。1888年毕业于巴黎高等师，范学校。先后在巴黎布丰中学、波尔多理学院和巴黎大学理学院任职。1892年获科学博士学位。1909年到法兰西学院任教，一直到退休(1937)。1912年被选为法国科学院院士。他还是前苏联、美国、英国、意大利等国的科学院院士或皇家学会的会员以及许多国家的名誉博士。1963年10月于巴黎逝世。在复变函数方面。他致力于把A.-L.柯西在分析学上的局部理论推广到全局。在论文《泰勒级数所定义的函数的解析开拓》中首次把集合论引进复变函数论，更简单地重证了柯西有关收敛半径的结果；并探索了奇点在收敛圆上的位置及其性质。这些成果至今仍是复变函数论的基本内容。他和学生合著的《泰勒级数及其解析开拓》成为了经典著作。他在研究函数的极大模时得到了著名的三圆定理，并应用到整函数的泰勒级数系数极大模的衰减和这个函数的亏格间的关系上，完善了(J.-)H.庞加莱的结果,获得了1892年法国科学院大奖。在其它领域，他的贡献体现在常微分方程定性理论、泛函分析、微分几何、数论、集合论、函数论、线性二阶偏微分方程定解问题和流体力学上。阿达玛曾在1936年来中国清华大学讲学三个多月。1964年中国出版了他的著作《偏微分方程论》。&&&&&&&&7.泰勒&&&&泰勒（BrookTaylor，）1685年8月生于英国米德尔塞克斯。1701年进入剑桥大学，圣约翰学院学习。1709年获法学硕士学位。1712年当选为英国皇家学会会员，1714获法学博士学位。1714年―1718年出任英国皇家学会秘书。1731年12月于伦敦逝世。泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内给出了著名定理―泰勒定理。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。1772年，拉格朗日强调了此公式的重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。此书还包括了他于数学上的其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题的研究等。&&&&&&&&8.麦克劳林&&&&麦克劳林（MaclaurinColin,），1698年2月生于苏格兰。岁进入格拉斯哥大学学习。1117岁时以有关引力问题的论文获硕士学位。19岁担任苏格兰阿伯丁市玛利查尔大学数学教授。1722年赴法国巴黎从事研究工作。1724年以《物体碰撞》荣获巴黎科学院奖金。1725年，在牛顿的推荐下又受聘于爱丁堡大学任数学教授。1746年1月逝世。麦克劳林是牛顿流数理论的继承者。他的名作《流数论》是最早为牛顿流数方法做出系统逻辑阐述的著作。麦克劳林以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说。同时，还把级数用作求积分的方法，以几何形式给出无穷级数收敛的积分判别法，领先于柯西对同一结果的发现。在讨论无穷级数时，他得到数学分析中著名的麦克劳林级数展开式并用待定系数法给予证明。他在代数学中的主要贡献是在1729年创立了用行列式方法求解多个未知数的联立线性方程，这一结果收入其遗作《代数论》中，后来由另一位数学家克莱姆于1750年再次得到。他还探讨过垂足曲线问题和蜂房结构理论，并以有关潮汐研究的成果与欧拉等人共同荣获1740年巴黎科学院奖金。麦克劳林的其它论述涉及到天文学、地图测绘学以及保险统计等学科。众多的创造性成就使他成为18世纪英国最有影响的数学家之一。&&&&&&&&9．罗朗&&&&罗朗（Laurent,P.A，）1813年9月生于法国巴黎。早年是理工科大学的高材生，1854年逝世。在复变函数方面，1843年在论文《柯西定理的推广》中独立给出柯西正在研究的复变函数论中的一些结果，包括著名的“罗朗级数展开式”，受到普遍关注和重视。同年他向巴黎科学院递交了另一篇有影响的论文《变分计算》他的研究工作对幂级数理论的发展以及解决固体热平衡问题和弹性现象具有非常。的价值。此外，他曾花费6年的时间探讨液压工程结构，为该结构理论上的研究奠定了基础。他的研究领域还涉足过光波现象及偏振理论等。&&&&&&&&10.约当&&&&约当（Jordan,Camille，）1838年1月生于法国里昂。毕业于多科工艺学校，先后在，多科工艺学校和法兰西学院任教。1881年被选为法兰西科学院院士。1885年至1921年担任法国数学杂志《纯粹数学与应用数学》的主编及发行人。1922年1月逝世。约当的数学研究的内容非常广泛，主要涉及代数学、几何学、拓扑学、数论、函数论、微分方程和理论物理等。此外，约当与19世纪其他数学家共同建立起来的傅立叶级数理论，对于应用数学而言，当时已是一个相当令人满意的工具。1881年约当给出函数收敛到它的傅立叶级数的充分条件。在现代数学中还有许多结果都冠上了他的名字，如约当代数、约当标准型等等。&&&&&&&&11.傅里叶&&&&傅里叶（Fourier,JeanBaptisteJoseph,）1768年3月生于法国欧塞尔。12岁由一，主教送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学，1794到巴黎高等师范学校学习，次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及。1801年回国后任伊泽尔省地方&&&&&&&&长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。，1830年5月于巴黎逝世。傅立叶的主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年他在向巴黎科学院呈交的《热的传播》论文中，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。1822年他在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播的问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。&&&&&&&&12.拉普拉斯&&&&拉普拉斯（PierreSimondeLaplace，）,1749年3月生于法国诺曼底的博蒙昂诺日。1767年获得巴黎陆军学校数学教授职位。1785年当选为法国科学院院士。1795年任综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1816年成为法兰西学院院士，次年任该院院长。1827年3月于巴黎逝世。拉普拉斯主要研究天体力学和物理学，认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。尤其是拉普拉斯变换，导致了后来海维塞德发现运算微积分在电工理论中的应用。不能不说后来的傅里叶变换、梅林变换、Ｚ－变换和小波变换也受它的影响。拉普拉斯对于概率论也有很大的贡献，他的《概率的分析理论》这本七百万字巨著把自己的发现以及前人的所有发现统归一处。今天我们使用的那些名词，诸如随机变量、数字特征、特征函数、拉普拉斯变换和拉普拉斯中心极限定律等等都可以说是拉普拉斯引入或者经他改进的。&&&&&&&&13.华罗庚&&&&华罗庚（）1910年11月生于中国江苏省金坛县。1930年在《科学》杂志上发表《苏，家驹之代数五次方程式不能成立的理由》的论文。被熊庆来教授推荐到清华大学数学系任教。1934年成为文化基金会研究员。1936年作为访问学者到英国剑桥大学进修。1938年回国受聘为昆明西南联大教授。1946年及其后在前苏联、美国等地访问讲学。1950年回国，先任清华大学数学系教授，后任中国科学院数学研究所所长，中国数学会理事长，中国科学院数理化学部委员，中国科学院副院长等职。1979年先后到英、法、德、荷、美和日本等地讲学与访问。1982年华罗庚被选为美国国家科学院院士，是美国科学院历史上第一个当选为外籍院士的中国人。还先后当选为第三世界科学院院士，德国巴伐利亚科学院院士。并获多个大学的荣誉博士学位。1985年6月在日本因病去世。在复变函数中，他所著的《多个复变数典型域上的调和分析》给出典型域的完全正交系，得到柯西与泊松核的表达式，广泛影响到调和分析、复分析、微分方程等领域，该成果于1956年获中国首届国家自然科学一等奖。华罗庚对数学的贡献是多方面的，他在数论中解决了有广泛应用的高斯完整三角和的估计。《堆他的垒素数论》系统总结和发展了圆法与三角和估计法。他的专著还有《数论导引》《数论在近似分析中的、应用》《典型群》《高等数学引论》等。他一生共发表200余篇学术论文、10部专著。培养出陈景润、、、王元、陆启铿等一批优秀的数学家，形成了中国数学学派。&&&&&&&&14．杨乐&&&&杨乐(1939―)，1939年生于中国江苏省南通市。1956年进入北京大学数学系。1962年毕业后考入&&&&&&&&中国科学院数学所当研究生，在导师熊庆来指导下从事数学研究。1980年被选为中国科学院（数学）学部委员。曾任中国科学院数学与
系统科学研究院院长、数学研究所研究员。杨乐主要从事复分析研究。对整函数与亚纯函数亏值与波莱尔方向间的联系作了深入研究，他与张广厚合作取得了许多创造性的成果。他们在20世纪60年代中期到80年代初，共同发表了十多篇这方面的论文。解决了整函数和亚纯函数理论中许多重大问题。包括他们各自个人的工作在内，共同解决了6个方面的重大问题：一是在亏值与奇异方向间建立了简单、紧密的联系；二是在普遍的情况下对亏值数目得到了准确的估计；三是解决了奇异方向的分布问题；四是对渐近值与渐近路径作了系统研究；五是证明了某些新类型奇异方向的存在性；六是对函数结合导数的值分布问题作了深入研究。与英国学者合作解决了著名数学家立特沃德的一个猜想。对整函数及其导数的总亏量与亏值数目作出了精确估计。1982年他单独出版了《值分布理论及其新研究》一书。杨乐、张广厚因《整函数和亚纯函数的值分布理论》的研究成果1978年获全国科学大会奖，1982年又获中国国家自然科学二等奖。&&&&&&&&15．张广厚&&&&张广厚()1937年1月生于中国河北省唐山市。1956年9月考入北京大学数学系。1962年成为中国科学院数学研究所熊庆来的研究生。1966年毕业留所工作。1979年升任研究员。1978年赴瑞士苏黎世参加国际函数论会议，并作学术报告。1979年、1980年分别应邀去美国康乃尔大学、普渡大学作访问教授。1983年任中国科协书记处书记。1987年1月病逝，终年50岁。张广厚在函数论领域内一直从事整函数和亚纯函数论的研究工作。1977年在《中国科学》上发表了著名论文《整函数和亚纯函数的亏值、渐近值和茹利雅方向的关系研究》，文中成功地建立了亏值、渐近值和茹利雅方向3个重要概念间的深刻关系，取得了突破性进展，被国际上同行誉为是近几年这一领域最重要的成果之一。1977年他还在《中国科学》外文版上发表了这个领域的重要论文《整函数和亚纯函数的渐近值》《关于整函数渐近路径的长度》、，回答了1964年、1973年两次国际函数论会议上提出的关于渐近值方面的5个问题。这些成就，被誉为是“惊人的成果”。已被整理成专著《整函数和亚纯函数理论》于1986年由科学出版社出版。张广厚和杨乐长期合作研究。解决了整函数和亚纯函数理论中许多重大问题。包括他们各自个人的工作在内，共同解决了6个方面的重大问题：一是在亏值与奇异方向间建立了简单、紧密的联系；二是在普遍的情况下对亏值数目得到了准确的估计；三是解决了奇异方向的分布问题；四是对渐近值与渐近路径作了系统研究；五是证明了某些新类型奇异方向的存在性；六是对函数结合导数的值分布问题作了深入研究。&&&&&&&&学科介绍&&&&数学是研究事物的数量关系和空间形式的一门科学。数学的产生和发展始终围绕着数和形这两个基本概念不断地深化和演变。大体上说，凡是研究数和它的关系的部分，划为代数学的范畴；凡是研究形和它的关系的部分，划为几何学的范畴。但同时数和形也是相互联系的有机整体。&&&&&&&&数学是一门高度概括性的科学，具有自己的特征。抽象性是它的第一个特征；精确性是它的第二个特征；应用的广泛性是它的第三个特征。一切科学技术的发展都需要数学，这是因为数学的抽象，使外表完全不同的问题之间有了深刻的联系。因此数学是自然科学中最基础的学科，常被誉为科学的皇后。数学在提出问题和解答问题方面，已经形成了一门特殊的科学。在数学的发展史上，有很多的例子可以说明，数学问题是数学发展的主要源泉。数学家门为了解答这些问题，要花费较大力量和时间。尽管还有一些问题仍然没有得到解答，然而在这个过程中，他们创立了不少的新概念、新理论、新方法，这些才是数学中最有价值的东西。&&&&&&&&1.复变函数论&&&&复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变函数。复变函数论产生于十八世纪，它的内容丰富，理论十分完美。它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程求根的公式中就出现了形为a+b?1的一类数，其中a,b是实数。?1在实数范围内是没有意义的，因此在很长时间里这类数不能为人们所理解。R.笛卡尔曾称之为虚数。但是随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。例如，每一个代数方程在此数域内至少有一个根，这就是代数学的基本定理。有时也称它为达朗贝尔定理，而最初的严格证明则是由C.F.高斯给出的。后来人们习惯以i表示?1，并且称a+bi为复数。在复数a+bi与平面上的点(a,b)之间可以建立一一对应。复变函数论产生于十八世纪。L.欧拉在初等函数中引进了复变数，并给出了著名的欧拉公式&&&&&&&&eix=cosx+isinx.&&&&欧拉公式提出了三角函数与指数函数间的联系。一些实际问题也推动着复变函数理论的产生与发展。早在1752年，法国数学家J.leR.达朗贝尔在他的关于流体力学的研究中，便考虑在什么条件下当平面上的点(x,y)趋于一点时复值函数&&&&&&&&u(x,y)+iv(x,y)存在导数。这里要求导数与(x,y)所沿的路径无关。这个问题的答案是：若f(z)=u+iv在域D内定义，且u,v作为x,y的函数在D内可微，则f(z)可导的充要条件为：&&&&?u?v?u?v==x?y，?y?x.&&&&&&&&（1）&&&&&&&&这个条件称为“柯西―黎曼条件”。在域D内可导的函数称为解析函数或全纯函数。由条件(1)易知，若u,v存在连续的二阶偏导数，则u,v应满足拉普拉斯方程。由(1)联系的两个调和函数称为共轭调和函数。十九世纪前半叶，柯西为复变函数理论的建立奠定了基础。他定义了复变函数的积分，并证明了下述柯西积分定理：若f(z)在区域D内解析，C为可求长的简单闭曲线，且C及其内部均含于D内，则&&&&&&&&∫&&&&&&&&C&&&&&&&&f(z)dz=0&&&&&&&&.&&&&&&&&从柯西积分定理可以得出一系列重要结论，诸如柯西积分公式、柯西不等式、唯一性定理、最大模原理等。特别地，若f(z)在域D内解析，则它在D内任意阶导数存在，并且在D内每点a的邻域内&&&&&&&&f(z)可展为z?a的幂级数。作为柯西积分定理的推广，则有应用广泛的留数定理。代数学基本定理就&&&&是留数定理的一个简单推论。应用它还可计算一些较复杂的定积分。从几何观点看，定义在域D内的一个解析函数w=f(z)，把D映为w平面的一个区域。这样的映射具有保持角度的性质，所以称为保角映射，又称共形映射。十九世纪中叶，黎曼对此作了很多研究。他首先提出了如下的原理（狄利克雷原理）：在简单闭曲线C上给了一个连续函数?，则必存在于C内调和且连续到C上的函数u，u在C上的值与?相同。在此基础上，黎曼得出共形映射的基本定理：若单连通域D的边界多于一点，&&&&&&&&z0为D内一点且θ0为一实数，则存在唯一的单叶解析函数w=f(z)&&&&&&&&将D映为w平面上的单位圆|w|1，且满足&&&&&&&&f(z0)=0,&&&&数常常可以化到单位圆内去研究。&&&&&&&&f(z0)0&&&&&&&&这个定理称为黎曼映射定理，它是复变函数几何理论的基础。根据这个定理，对于单连通区域内解析函&&&&&&&&后来C.卡拉西奥多里进一步指出，在黎曼映射定理中，若域D的边界为一简单闭曲线C，则C上的点与圆周|w|=1上的点也一一对应。如前所述，解析函数在每点邻域内可以展为幂级数，所以幂级数是研究解析函数的有力工具。这也是K.外尔斯特拉斯从事研究的出发点。若幂级数&&&&∞&&&&&&&&f(z)=∑cnzn&&&&n=0&&&&&&&&(2)&&&&&&&&Γ|z|R内解析，而在圆周|z|=R上f(z)至少有一个奇点z0，的收敛半径R为有穷正数，则f(z)在λ&&&&即不存在以&&&&&&&&z0为心的圆γ和在γ内解析的函数g(z)，使在Γ与γ的交内有g(z)=f(z)。&&&&&&&&当|z|=R上所有的点都是f(z)的奇点时，f(z)就不能从Γ内解析开拓出去，这时|z|=R称为&&&&&&&&f(z)的自然边界。关于收敛圆周上的奇点及自然边界的研究，J.阿达玛等人均有很好的工作。&&&&&&&&zz若|z|=R上的点0不是f(z)的奇点，则f(z)可以经过0利用幂级数开拓到|z|=R以外的部分。&&&&从幂级数(2)出发，向各个方向尽量进行解析开拓，所得的全体幂级数构成一个集合。这个集合定义了一个完全解析函数。关于完全解析函数，H.庞加莱和V.沃尔泰拉等人有重要工作。完全解析函数可以是单值的或多值的。对于多值函数，自变量z绕某些点一圈后函数从一个值变为另一个值，这些点称为分支点。黎曼曲面是表示多值函数的具体的几何方法，它是由一些互相适当连接的重叠的平面构成的。一个多值函数的重要例子是代数函数，即由代数方程P(z,w)=0确定的函数。这种函数的黎曼曲面恒可连续变形到球面或带有若干个环柄的球面。环柄的个数称为黎曼曲面的亏格，它决定了该曲面的很多重要性质。总之，复变函数的主要研究对象是解析函数，包括单值函数、多值函数以及几何理论三大部分。在近三个世纪的历史进程中，经过许多学者的努力，使得复变函数论获得了巨大发展，并且形成了一些专门的研究领域。单值函数中最基本的两类函数是整函数和亚纯函数，它们分别是多项式和有理函数的发展。外尔斯特拉斯多项式的因式分解定理推广到整函数，而G.米塔-列夫勒则将有理函数分解为部分分式的定理推&&&&&&&&广到亚纯函数。E.皮卡、E.波莱尔等进一步发现了整函数的取值与多项式的取值之间有着很大的相似性。在此基础上，1925年R.奈望林纳建立了亚纯函数值分布的近代理论，对函数论的发展产生了重要影响。从十九世纪末一直到现在，有很多学者从事函数值分布论的研究，特别是50年代对奈望林纳逆问题（即已知函数的值分布性质再求该函数）的研究有所突破后，发展的更快，更为突出的成果是德森在1978年彻底解决了奈望林纳于1925年提出的逆问题和1984年彻底解决了奈望林纳于1928年提出的猜想。我国的值分布研究在国际上处于领先地位。熊庆来、庄圻泰、杨乐、张广厚等的研究成果都是国际上公认的重大成就。80年代，值分布论正在不断地开拓应用课题。例如随机幂级数值分布性质的研究。特别是复分析动力系统的研究近年来获得了很大发展。函数值分布论和复变函数论与其他领域也存在着密切联系。例如，1973年A.伯恩斯坦应用实变函数的思想引进T函数，它在值分布论的亏量问题、整函数的最小模问题以及单叶函数的研究中都发挥了显著效用。关于多值函数的研究主要是围绕着黎曼曲面及单值化的问题来进行的。1913的H.外尔在其经典著作《黎曼曲面概念》中首先给出了抽象黎曼曲面的定义，它是流形这个现代数学基本概念的雏形。黎曼曲面的研究不仅使自身形成了完美的理论，而且它为代数几何、自守函数、复流形、代数数论等近代数学重要分支的研究提供了简单、明了的模型。多值函数论是一门综合性的现代数学，在它的研究中几乎使用了所有现代数学的概念和方法，如微分几何、代数几何、李群、拓扑学、偏微分方程、泛函分析等。由于它的强大生命力，它的发展反过来又促进了其它学科的发展。半个世纪以来，许多著名数学家都从事过多复变函数论的研究。我国数学家华罗庚、陆启铿、龚升、钟家庆等人在这方面作了很多的研究，并取得了显著的成绩，在国际上有一定影响。在复变函数论的应用上，共形映射具有重要的地位。H.E.茹柯夫斯基通过共形映射研究绕机翼的流动便是著名的例子。实际应用中，常常要借助近似方法具体地构造出映射函数。这方面有不少研究工作。当然，有时并不需要知道具体的映射函数，只是应用其几何性质。这就推动了复变函数几何理论的发展。单叶函数的研究是复变函数几何理论的一个重要组成部分，特别是1916年L.比伯巴赫提出的单位圆内形如&&&&∞*&&&&&&&&z+∑anzn&&&&n=2&&&&&&&&的单叶解析函数应有&&&&&&&&|an|≤n的猜测引起了许多学者的注意。近70年来，围绕着比伯巴赫猜想曾有不少&&&&&&&&研究工作，但是直到1984年，L.de布朗基才完全证实了这个猜想。证明中主要应用了莱伯德―米林的工作，C.勒夫纳的参数表示法以及关于雅可比多项式的结果。柯西―黎曼方程表明了解析函数与椭圆型偏微分方程组之间的联系，20世纪50年代以来，L.伯斯，И.H.韦夸等考虑较为一般的椭圆型偏微分方程组，并引入广义解析函数的概念。解析函数决定的映射为共形映射，它把无穷小圆映为无穷小圆；而广义解析函数则决定了拟共形映射，它把无穷小圆映为无穷小椭圆。L.V.阿尔福斯，M.A.拉夫连季耶夫为拟共形映射的理论奠定了基础。解析函数虽然在区域内部有很好的性质，但是当自变量z趋向于边界时，函数的变化情况常常十分复杂。关于这方面的研究就形成了一个专门的领域，称为解析函数边界性质。经典的结果有法图定理，H.H.卢津和И.И.普里瓦洛夫在这方面也有系统的研究。近年来，出现了聚集合的概念，进一步将研究引向深入。近代还有些函数论研究工作不再是考虑个别的函数，而是把具有某种性质的一族函数合在一起研究。事实上，P.蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究，并且显示了其威力。近年来从这种观点出发的研究有了很大发展。例如H空间，它与其他数学分支产生了较密切的联系。&&&&p&&&&&&&&复变函数理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分析。但是在多变数时，定义域的复杂性大大增加了，函数的性质较之单变数时也有显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。&&&&&&&&2.积分变换&&&&在自然科学和工程技术中，为把较复杂的运算简单化，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的。十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪英国著名的无线电工程师海维赛德(Heaviside)为了求解电工学、物理学领域中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的符号法。后来就演变成了今天的积分变换法。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，一般是含有参变量α的积分&&&&b&&&&&&&&F(α)=∫f(t)K(t,α)dt&&&&a&&&&&&&&（a,b可为无穷）.&&&&&&&&它的实质就是把某函数类中的函数f(t)通过上述积分的运算变成另一函数类中的函数F(α)，这里&&&&&&&&K(t,α)是一个确定的二元函数，称为积分变换的核。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。f(t)称为像原函数，F(α)称为f(t)的像函数，在一定条件下，它们是一一对应而变换&&&&是可逆的。积分变换可将函数的微积分运算转化为代数运算，把复杂，耗时的运算简单、快速完成。积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。这两种积分变换不仅在数学的许多分支中，而且在其它学科如振动力学，电工学，无线电技术领域中都有着广泛的应用，它们已成为这些学科领域中不可缺少的运算工具。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和快速傅里叶变换、沃尔什变换。&&&&&&&&分享给好友::
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