不共线的点经仿射就变换后变成什么是仿射变换?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-06-05 01:58 标签： 什么是仿射变换
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仿射变换在共线共点问题中的应用
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&&数​学​毕​业​论​文​ ​ ​仿​射​变​换​在​共​线​共​点​问​题​中​的​应​用
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高等几何习题答案
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如果说物理学是数学的延伸，那么光学则是几何学的延伸。
说到光和影，相信可以说得太多了。其中最好用的一个性质是光走最短路线。那么，我们利用这种性质可以发展出很多的命题，例如说最短路线问题、折射最短问题——某些命题直接推动了物理学的发展。几何学中的直线是可以用光线来表示的，光的反射恰好反映了轴对称这种几何变换。至于光的波粒二象性，则可以用坐标的函数图像来解释——函数图像是一条由不连续的点组成的曲线。这也许是一种可笑的猜想，但是戴德金分割却恰恰证明了这一点。光的衍射和干涉也可以用函数来进行计算，这些巧合实在是太令人咂舌了。至于说到几何学，那么我们也有种特殊的几何方法——射影几何——既然我们生活在这样一个三维空间里，那么自然而然地拥有研究平面变换和有向变换的工具。可是，射影变换却是在17世纪笛卡尔的坐标系统里面提出来的，奇怪的是从全等三角形想到的一些东西却能够得出这些结论。
我们今天重点谈论一下光背后的影子。
说起全等三角形，相信很多人知道的只是那些冗长和反复的判定定理，我们站在另外一个高度，可以想到的有更多。关于全等三角形，莫过于SAS、AAS、ASA、HL，但是这样的想法未免有些可笑——假若我们不从这些方面去考虑三角形的全等，而从三角形全等的定义去规定全等的判定方法——我们会得出一些很有趣的结论。如果我把一条边a上面的角分线设为Ba，一条边a上面的中线设为Ma，一条边a上面的垂线设为Ha。那么三条边的各种条件一共有3条边*5种条件=15种——判定全等三角形需要三个条件——这是相似推出来的——少于3个条件是不可能成立全等的。那么组合（条件一+条件二+条件三）一共有将近15*15*15=3375种。我们或许想通过程序可以解决这种冗杂的问题，现实中有更简单的方法。我们也许通过分析可以推导出更少的组合。把这些条件分为五个类：垂线对等、中线对等、角分线对等、角对等、边对等。则组合数目缩减到5*5*5=125种，首先条件中必须有对边相等，那么组合弱化到25=5*5种。在进一步弱化条件之后，发现关于同一条边的Ha、Ma、Ba只能有一条，则排除SHH、SBB、SMM这三种情况，剩下21种，再减去SAS、AAS、ASA三种，条件组合剩余19种。这便是分析的力量——可以将组合数目缩减100倍。
更进一步来看——应该把这个结果回归到三角形去。全等的一般情况是相似，想象一下，一个等边三角形受到中心正上方点光源的照射之后在下面的光屏上形成一个边缘清晰的影子，那么我们可不可以暂且将这个影子和原来的三角形的数量关系看作射影相似呢？如果可以，我们又有一个崭新的推论：我们要把这种立体空间上面的相似看作相似。如果点光源的位置偏移之后，那么这样的影子也可以看作是相似的，这样一来，便可以计算立体相似了。在进一步来说，我们现在有平面角、二面角，会不会有三面角或者是更进一步的多面角？答案自然是肯定的，我们把一个正四面体的顶角看作三面角，则这个三面角定义为60+60+60=180度，在此进一步推广这个定义，多面角的度数是相邻两两组合的面的夹角的总和——当然，这完全是为了方便说明由于变换产生的定义。完全是打比方，多面角和射影相似的定义远不止如此。
回到这些射影的东西来。说了这么久,还是要回归到题目中来。上面我们综合地讲了一下全等三角形和射影的一些零碎东西。下面我们来统一一下这些知识。
射影几何之所以被发展出来，很大程度上要感谢透视画法。那么我们从更简单的情况开始说起，说一下射影变换的特殊例子，仿射变换是一种很有意思的变换——我们学过三角形具有稳定性，而平行四边形的边被拉伸或者压缩之后可能变成矩形或者更扁的平行四边形。但是我们很容易可以得到直观上的这样一个结论：无论怎样拉伸或者压缩，变换之后的四边形的对边都是互相平行的。这种拉伸或者压缩我们称为仿射变换，而对边互相平行这个性质经过仿射变换之后仍然保留不变，我们定义为仿射性质。仿射变换如果用在笛卡儿坐标系中，那么想象一下，正方形网格会变成平行四边形网格。而我们刚刚所讨论的相似，在经过仿射变换之后竟然仍然相似，而全等也仍然全等。这个性质我们接下来还要提到。
说到这里，我们再来回过头探讨一下是不是所有抛物线都是相似的？这里我们要引入一个仿射变换的性质：变换前成比例的线段经过仿射变换后仍然成比例。那么我们可以得出这样一个结论：所有的二次曲线——这里不只是说抛物线，经过一定次数的仿射变换，都可以变为同一个类的曲线。那么这些曲线在仿射变换上是属于同一类的，但是没有经过变换的二次曲线，严格上说来不相互相似。
进一步来说，说到射影变换，最初的射影变换的确是用以艺术工作的，但是当解析几何发展到一定程度时，最好的一个例子是椭圆——如何去定义一些晦涩的概念或者是问题呢？这时候我们必须借助射影几何的威力。刚刚我们提到过仿射变换中有一些性质是不变的。但是这些性质遇上射影变换之后，大部分都会改变，比如平行的直线射影变换后不平行了，成比例的线段射影变换后不成比例了。诸如此类的性质实在是太多了，而我们还要重新把射影变换下不变的性质定义为射影性质——例如说直线不会变成二次曲线。而有趣的是，射影变换虽然是从立体艺术发展出来的，但是我们却最先把射影几何引入到平面来。说一个简单明了的定理结束我们的讨论：直角三角形ABC斜边AB上有一条高CD，则有一个定理称为射影定理：AC*AC=AD*AB；CD*CD=AD*BD；BC*BC=BD*AB，定理本身很简单，利用相似三角形可以推出来，但是有趣的是，CD可以看作是直角顶点C投影到斜边AB上的射影变换，这可以说是最简单的例子——点变成了线，而性质也随之发生了改变。而这个定理，则是反映了射影性质中最基本的一个性质，交比不变性。
说到这里，你会发现这两种变换中变量太多，而不变量实在是太少了——好的，所以数学家们发展出不变量理论，现在的射影研究大多是是围绕着不变量进行的。
虽然射影几何学还蒙着厚重的黑影，但是光正在影的背后走来。
略懂社热议
问问青春版，什么都略懂一点affine transform. 仿射转换不应用于三个共线点?
我们知道点p1p2p3和对应转换后的点p1`p2`p3`解一个六元一次方程就能得到仿射转换的参数m1 m2 m3 m4 tx ty公式如下(x`,y`)T（列矩阵）=(m1,m2;m3.m4)×(x,y)T（也是列矩阵）+(Tx,Ty)T（同是列矩阵）从线代角度我们解不出来最后的参数，所以共线三点不能做仿射转换请问从 几何角度如何解释?谢谢
仿射变换不是不能用于三点。是共线三点无法反解出仿射变换矩阵。用最简单的原理告诉你，仿射变换是6自由度的（2尺度2旋转2平移，二维射影几何。。。。）而一条直线，只有五自由度（二尺度，一旋转，二平移）5自由度的能反解出六自由度的吗？
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