问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图（1）所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，∠E=30°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N．（1）试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）将图（1）中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图（2）的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连结OM、ON．试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．【考点】．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得两底角相等，根据线段中点的性质，可得OA=OB，根据AAS，可得两个三角形全等，根据全等三角形的性质，可得结果；（2）根据四个角是直角的四边形是矩形，可得四边形DMCN是矩形，根据矩形的性质，可得对边相等，根据等腰三角形的判定，可得DM与AM的关系，根据根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，对应角相等，根据同角的余角相等，可得答案．【解答】证明：（1）∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵O是AB的中点，∴OA=OB．∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°，在△OMA和△ONB中，，∴△OMA≌△ONB（AAS），∴OM=ON．（2）解：OM=ON，OM⊥ON．理由如下：连结OC，∵BN⊥DE，FM⊥CM，CM⊥BN，∴四边形DMCN是矩形，∴CN=DM，∵∠DAM=∠CAB=45°，∠DMA=90°，∴DM=MA，∴CN=MA∵∠ACB=90°，O为AB中点，∴CO=AB=AO，∠BCO=45°，CO⊥AB，∴∠NCO=∠MAO=135°，在△NOC和△MOA，中，∴△NOC≌△MOA（SAS），∴OM=ON，∠AOM=∠NOC，∵∠NOC+∠AON=90°，∴∠AOM+∠AON=90°，∴∠MON=90°，即OM⊥ON．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）由SAS证明三角形全等，再由全等三角形的性质，得出答案；（2）先证明矩形，再由SAS证明三角形全等，证明全等三角形的对应边相等、对应角相等，同角的余角相等．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：老师　难度：0.75真题：1组卷：95
解析质量好中差
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＞＞＞两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且..
两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．（1）如图2，求当x=12时，y的值是多少？（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；（3）求y与x之间的函数关系式．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）如图1：AB=DE=5，∵FC=x=12．∴DC=DF-FC=72．∵tanD=GCDC=EFDF=34，∴GC=218．∴y=12（EF+GC）oFC=4532．（2）当点E运动到AB上时，如图2；∵tanB=EFBF=ACBC=43，∴BF=94．∴x=FC=BC-BF=34．∵DC=DF-FC=134，GCDC=34；∴GC=3916．∴y=12（EF+GC）oFC=261128．（3）本题分两种情况：①当0＜x≤34时，如图3；DC=4-x；∵tanD=GCDC=EFDF=34，∴GC=3-34x．∴y=12（EF+GC）oFC=-38x2+3x．②当34＜x≤3时；如图4；y=S梯形EFCG-S△EHQ．由①知，梯形EFCG的面积为-38x2+3x．∵tanB=QFBF=ACCB=43，BF=3-x，∴QF=4-43x．∴EQ=3-QF=43x-1．∵S△DEF=6，Rt△EHQ∽Rt△EFD．∴S△EHQ：S△EFD=（EQ：ED）2；∴S△EHQ=625（43x-1）2；∴y=S梯形EFCG-S△EHQ=-38x2+3x-625（43x-1）2=-481600x2+9125x-625．
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据魔方格专家权威分析，试题“两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且..”考查相似的试题有：
195878182437129044176309195482925264把两个全等三角板ABC和DEF叠放在一起（如图1）且使三角板DEF的直角顶点D与三角板ABC的斜边的中点O重合.现将三角板DEF绕点O顺时针旋转a角（0度&小于&a&小于&90度）,四边形CHDK是旋转过程中两个三角板的重叠部分（如图2）.（1）在上述旋转过程中,BH与CK有怎样的数量关系?请说明你的猜想.（2）四边形CHDK的面积有何变化?请说明理由.
嗯哼若∠A=∠B=45°,(1)在上述旋转过程中,BH=CK;（2）四边形CHDK的面积不变化.若∠A＜∠B,(1)在上述旋转过程中,BH＞CK;（2）四边形CHDK的面积变小.若∠A＞∠B,(1)在上述旋转过程中,BH＜CK;（2）四边形CHDK的面积变大.
能详细一点吗？
不用了，谢谢。
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BH=CK,四边形CHDK越来越小
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唯yui一501
（1）∵∠A=∠C=45°,∠APD=∠QDC=90°,∴△APD∽△CDQ．∴AP：CD=AD：CQ．∴即AP×CQ=AD×CD,∵AB=BC=4,∴斜边中点为O,∴AP=PD=2,∴AP×CQ=2×4=8；故答案为：8．（2）AP•CQ的值不会改变．理由如下：∵在△APD与△CDQ中,∠A=∠C=45°,∠APD=180°-45°-（45°+α）=90°-α,∠CDQ=90°-α,∴∠APD=∠CDQ．∴△APD∽△CDQ．∴AP
．∴AP•CQ=AD•CD=AD2=（1
AC）2=8．（3）情形1：当0°＜α＜45°时,2＜CQ＜4,即2＜x＜4,此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ,过D作DG⊥AP于G,DN⊥BC于N,∴DG=DN=2由（2）知：AP•CQ=8得AP=8
AB•BC-1
CQ•DN-1
AP•DG=8-x-8
（2＜x＜4）情形2：当45°≤α＜90°时,0＜CQ≤2时,即0＜x≤2,此时两三角板重叠部分为△DMQ,由于AP=8
-4,易证：△PBM∽△DNM,∴BM
解得BM=2PB
．∴MQ=4-BM-CQ=4-x-8-4x
MQ•DN=4-x-8-4x
（0＜x≤2）．综上所述,当2＜x＜4时,y=8-x-8
．当0＜x≤2时,y=4-x-8-4x
（或y=x2-4x+8
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