已知A为三n阶方阵阵,且E-A,2E-A和3E-A均不可逆。证明:r( E +2A)=3

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-06-07 15:37 标签： n阶方阵
一道线性代数题..设A为三阶方阵,且E-2A,E+2A及E-3A的秩都小于3,证明A可逆并求|E+6A|和|2E+A^-1|
▇爱新觉罗▇獷
由题意,|E-2A|=|E+2A|=|E-3A|=0,所以2,-2,3是A的特征值.A是三阶方阵,有三个特征值,所以2,-2,3是A的所有特征值.|A|=2×(-2)×3=-12≠0,所以A可逆.E+6A的特征值是1+6×2=13,1+6×(-2)=-11,1+6×3=19.所以|E+6A|=13×(-11)×19=-2717.2E+A^-1的特征值是2+1/2=5/2,2-1/2=3/2,2+1/3=7/3,所以|2E+A^-1|=5/2×3/2×7/3=35/4.
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