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高中数学：直线与平面垂直的定义
日 19:29:52
新华网综合
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直线与平面垂直的定义及判定案例分析
江苏省赣马高级中学
一、教案例描述
1.从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容；
2.培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观能力；
3.通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践，并应用于实践的这一哲学理念；
4.培养学生的数学观念，能自觉地运用“数学地”思维方式观察世界、分析事物、解决问题，并在此过程中提高学习数学的兴趣.
教学目标是教师预期的，在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实现教育意图最好的途径，也是科学加艺术的教育技艺的体现，所以笔者一向不采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法，而是在教学过程中于不知不觉间实现这些目标.
我们生活在三维空间中，对直线和平面是非常熟悉的，就拿学校旗坛中的旗杆来说，它与地面的关系给我们的印象是“互相垂直”的，请大家再列举一些生活中“直线与平面垂直”的具体事例，….
不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物，将旗杆（是许多事物的代表）看成直线l，将地面（也是许多事物的代表）看成平面 ，今天就来研究直线l与平面 垂直的有关知识.
2.进行新课
如图1，直线l代表旗杆，平面 代表地面，那么你认为l与 内的直线有什么关系？
学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系.在引言部分指出将“旗杆看成直线 ，将地面看成平面 ”，但现在面对抽象图形反过又来又将直线 看成旗杆，将平面 看成地面，意图是运用抽象与具体的结合，引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换.在教学中，教者试图用三角板来度量从而判断 与 内的直线是否垂直，学生往往会发出会意的笑声，教者说：“是的，立体几何中直线的互相垂直在大多数情况下是‘看’不出来的，也是度量不出来的，而是用心‘想’出来的.”这既复习了直线与直线互相垂直（特别是异面垂直）的观察、想象、判断、识别和论证，又为后继的学习准备了条件.
反过来，如果l（旗杆）与 （地面）内的直线都垂直，那么l与 是什么关系？
要求学生在不看课本的前提下总结出直线与平面垂直的定义，尽管总结的语言很可能不太理想，教者也不要“着急地”去照本宣科或越俎代庖，相信学生在经历了一番“挫折”后会逐步完善他们的表述语言，这样形成的知识也就能形成更加牢固的记忆.
麻烦大了，要判断直线l与平面 垂直，必须确定直线l与平面 内的所有（或任意一条）直线垂直.人们在研究和解决问题的过程中总是想采取简便的方式，现在我们追求的就是找到一种简易可行的判断直线与平面垂直的方法.
下面我们来模拟植树的活动，请一位学生上来演示，其他学生在课桌上同时演示，观察判断如何确定“树”是否与地面垂直，既充分又逐步体验简化了的判断直线与平面垂直方法的形成过程.
提出下面的系列问题：
（1）直线与平面内的一条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？
（2）直线与平面内的两条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？
（3）直线与平面内的一万条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？
（4）直线与平面内的无数条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？
（5）要想让直线与平面垂直，这条直线至少要与平面内的几条直线垂直？
（6）要想让直线与平面垂直，这条直线要与平面内的两条什么样的直线垂直？
在上述研究的基础上提出猜想：如果直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
通过演示和对上述系列问题的研讨，学生会慢慢领悟判定直线与平面垂直的本质：如果直线垂直于平面内无数条直线，也不能判定这条直线与这个平面垂直.因为这无数条直线有可能是互相平行的，这时这无数条直线只代表着一个方向，它只“相当于一条直线”.但是如果与平面内两条相交直线垂直，情况就完全不同了，虽然只有两条，而它们是相交的，它们代表着不同的两个方向，人们在植树时判定树是否与地面垂直运用的就这个原理.
猜想不能代替证明，我们还要用严密的逻辑推理来证明这个结论.…通过转化问题归结为：若直线l与平面 内的两条直线垂直，证明直线l与平面 内的任意直线垂直，进而转化为(如图2)：由
这样处理的意图是：抓住本质，排除干扰，使下面的目标能集中浓缩于证明 ⊥ .具体过程略.在教学时必须指出，这里应用的是构造全等三角形法和最简单的平面几何知识，消除学生的神秘感.
（1）直线与平面垂直的定义；
若l⊥m，l⊥n,相交直线m、
n确定平面 ，则l⊥ .又 g是 内的任意直线，则l⊥g
（2）直线与平面垂直的判定定理（编成诙谐的口诀：“线不在多，相交就行”，传神地点出问题的实质）；
（3）将和（1）与（2）综合起来，得右面的重要数学模式：
所谓数学模式，就是揭示事物本质的，具有相对固定格式的数学形式.模式由于它形式的简洁性，内容的深刻性，所以十分有利于理解、记忆、掌握、组装、检索、提取和运用.上述模式在以后的教学中，还要多次重复、强化，并与有关知识融合组装成有机的知识系统.该模式将成为立体几何中最重要、应用最频繁的得力“武器”.用方框围起来意在突出它的重要地位，再结合三种外显语言和大脑中的内部语言努力使该模式成为学生直观上的显然，以便运用时更加灵活自如、游刃有余.
（1）将一本书掀开一点，直立在桌上（图略），那么书脊与桌面是什么关系？为什么？
（2）屋面是由两个矩形组成的（图略），那么屋脊与山墙所在的平面是什么关系？为什么？
（3）设△ABC，若直线l⊥AB，l⊥BC，求证：l⊥CA.
H（4）做一个三角架，使三条腿中的任意两条腿都互相垂直（如图3），那么PA与BC、PB与CA、PC与AB分别是什么关系？为什么？
以上系列练习由浅入深，从具体到抽象，环环相扣，
层层递进，组成了一个使学生能力稳步增长的训练链条.
在教学中，运用多样化的手段增强训练的效果.如先口
述，继而写出规范的论证过程，再用黑板擦将图形擦得
模糊一些，要求在这种不十分清晰的情况下说出论证过程.若学生的基础较好，还可以将图形和字母全部擦去，借助于想象，运用动作和语言表述出论证过程.还可以运用“双簧”的表演形式，一个学生做动作，另一个学生口述.总之让上面的模式牢牢地在学生脑中扎下根来，并逐步能熟练的写出规范化的思辩论证过程，使《立体几何》的学习从这里走上阳光大道.虽然从本质看，这些都是重复性练习，但由于运用了多样化的形式，学生仍然乐于投入这样的教学活动，且能取得极佳的教学效果.
（5）在（4）的条件下，作PH⊥平面ABC于H，则H是△ABC的什么心？为什么？
（6）如图3，若PA⊥BC，PB⊥CA，则PC与AB是什么关系？为什么？
（7）如图3，若PA⊥BC，PB⊥CA，作PH⊥平面于H，则H是△ABC的什么心？为什么？
A组练习是以B组练习为铺垫，同时又是B组练习的拓展延伸.在（5）中，将上述模式重复运用了两次，题中给出了平面ABC的垂线PH，正好给（6）的证明以一定的暗示量.但在解决（6）时，应先将PH擦去，让学生感到有一定的困难.这时教者问：“估计到结论是PC⊥AB，问题是如何证明.关键是如何建立几条线段之间的联系，…”经思考后，在上题的启示下，学生定会感悟到作PH⊥面ABC于H，那么问题便迎刃而解.教者说：“我们在学习《平面几何》时，感到最为困难的是作辅助线，似乎辅助线是从天而降，非常神秘，难以捉摸.怎么样，现在在《立体几何》中，我们不是顺利地作出了一条关键性辅助线，从而使解题取得重大突破了吗！将已知与欲证分析透彻了，辅助线就能自己‘蹦’出来，一点也不神秘，我们完全可以熟练驾驭它.辅助线PH好似一座桥，架桥铺路是解数学题的永恒的法则.除了辅助线外，我们以前曾引进过，今后还将引许多辅助‘角色’，如辅助圆、辅助体、辅助球、辅助角、辅助元、辅助函数、辅助数列、辅助不等式…等等这些辅助‘角色’都将成为我们的好朋友和合作伙伴.”为今后的教学设下了良好的伏笔.做了这番工作后，解决（7）已是水到渠成之事.
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这节课，从整体来看，教师本着“让学生充分经历知识的形成、发展和应用过程” 的教学理念，将教材中静态的数学知识还原成动态的生成过程，尽可能地为学生提供一种思考、交流、探究的空间，为促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习而教。
从教材处理看，重点突出了判定定理的教与学，对试验“从一条直线垂直于平面上两条相交直线” 到“这条直线可以垂直于平面内任意一条直线”这个难点的突破，师生经历了有意义的探究活动。利用旗杆在太阳下的影子的运动，以及折纸试验中平移和旋转，较好地帮助学生突破了教学难点，抓住了“平移”和“旋转”这个关键，使问题化难为易。另外对例题的处理有教师的创新之处，通过变式把原来例题中的“直四棱柱”改为“底面为正方形的直四棱柱”，设计了两个问题，为解决原例题搭了台阶，进行了铺垫，使问题能使大部分学生理解，体现了面向全体学生的教学思想。
从教学程序看，教师设置了问题串来引领学生探究和思考，设计的问题都在学生的最近发展区，有开放度、有思维量、能激发学生学习的积极性。课初承接直线与平面的位置关系，给出生活中直线与平面垂直的例子，自然引入旗杆和它在地面上的影子的垂直问题，为直线与平面垂直的意义的出台做了很好的铺垫。后续，教师设计了一系列的精彩问题，对直线与平面垂直的定义进行了深入剖析。在折纸试验中，教师自然提出折痕与桌面是否垂直的问题，以对话的形式层层设疑，不断的激发和调动学生去自主探究、交流反馈，促使学生的认知和思维得到深化，为直线与平面垂直的判定定理的产生奠定了基础。通过这些主体参与的学习活动，使学生体验了研究数学问题的方法，体现了“做中学”的教学思想。
从教学效果看，教师营造了宽松的教学氛围，让学生有更多的展示机会，每当学生展示后，教师都要对学生的成果及时使用激励性语言进行评价，以激发学生的内驱力。我们能够看得出教师给予学生的都是恰到好处的扶持帮助、牵线搭桥、评价鼓励，为学生能够顺利地完成本节课的探究任务注入了“润滑剂”，使课堂教学得以深入发展。习氛围浓厚，问题解决质量较高，练习有反馈，学后有反思，重点知识和技能得到巩固和强化，学习能力得到提升，体现了效率意识。
需要改进的是，问题解决过程中，教师的引导有过头的现象，“做中学”还有待深入研究。
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【下一篇】专题042　直线、平面平行的判定及其性质（复习设计）
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直线与直线、直线与平面、平面与平面平行：
线面平行 &面面平行
（1）：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
符号表示：a &Eα，b &Iβ，a∥bÞ
a∥α
（2）：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
符号表示：a∥α,a&Iβ,a∥b, α∩β=
bÞa∥b
（3）：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
符号表示： a&Iβ，b&Iβ，a∩b =
P， a∥α，b∥αÞβ∥α
（4）：如果两个平面互相平行，那么在一个平面内的任何一条直线与另一平面平行。
符号表示：α∥β，a&Iα
（5）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行
线线平行）
符号表示：α∥β，α∩γ= a，β∩γ= b &a∥b
（6）：一个平面内有两条相交直线与另一个平面的两条相交直线平行，那么这两个平面互相平行。（线线平行
面面平行）（特别说明：此定理在证明中不能直接用，只能在选择填空中应用）
结论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
①③ B②④ C②③④ D③④
①②③④
∥∥∥
∥∥&&∥
∥∥∥
∥&∥
∥∥∥&∥∥∥&
∥&&rA&
∥&&&rA∥
&&&rA∥
&&∥∥&rA∥
①∥&&rA&②∥&&&rA∴③&&&rA&∴④&&∥∥&rA∴
∥&&∥
∥&&∥
∵∥
∴∥∵&&
∵∥∴∥∥
∵△∴∥
∵∥∴∥
∵∴∥
∴∥∵&&
∵∴∥
&∴∥
巩固作业：
1．（2013年高考陕西卷（文））如图,
四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,
O为底面中心, A1O&平面ABCD,
(Ⅰ) 证明:
平面A1BD //
平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
【答案】解: (Ⅰ) 设 .
(Ⅱ)& .
在正方形AB CD中,AO = 1 . &
2．（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥 中, ,
(1)当正视图方向与向量
的方向相同时,画出四棱锥
的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);
(2)若 为 的中点,求证: ;
(3)求三棱锥 的体积.
【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形 中,过点 作 ,垂足为 ,
由已知得,四边形 为矩形, &
在 中,由 ,
,依勾股定理得:
又由 平面 得, &
中,由 , ,得 &
正视图如右图所示:
(Ⅱ)取 中点 ,连结 , &
在 中,是 中点,
∴ , ,又 , &
∴四边形 为平行四边形,∴ &
又 平面 ,平面 &
(Ⅲ) &
又 , ,所以 &
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)取 的中点 ,连结 , &
在梯形 中, ,且 &
∴四边形 为平行四边形
∴ ,又 平面 ,平面 &
∴ 平面 ,又在 中,
平面 ,平面 &
∴ 平面 .又 ,
∴平面 平面 ,又 平面 &
(Ⅲ)同解法一
3．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））
，求三棱锥
4.【2012高考山东文19】如图，几何体
是四棱锥，△
为正三角形， .
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)若∠
，M为线段AE的中点，
求证： ∥平面 .
【答案】(19)(I)设
中点为O，连接OC，OE，则由
，即OE是BD的垂直平分线，
(II)取AB中点N，连接
∵M是AE的中点，∴
∵△
是等边三角形，∴
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即
所以ND∥BC，
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.
5.【2012高考辽宁文18】如图，直三棱柱
， ， AA&=1，点M，N分别为 和 的中点。
(Ⅰ)证明： ∥平面 ;
(Ⅱ)求三棱锥 的体积。
（椎体体积公式V= Sh,其中S为地面面积，h为高）
【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。
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