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同济大学概率论与数据统计第二章
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(天津大学概率论课件)3-5
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《概率论与数理统计教程》魏宗舒_课后习题解答答案_1-8章.doc90页
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第一章 事件与概率 1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
1 10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
2 一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，
1 记9个合格品分别为 ，记不合格为次，则
2 记2个白球分别为，，3个黑球分别为，，，4个红球分别为，，，。则 ，，，，，，，，
1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。
叙述的意义。
2 在什么条件下成立？
3 什么时候关系式是正确的？
什么时候成立？
1 事件表示该是三年级男生，但不是运动员。
等价于，表示全系运动员都有是三年级的男生。
3 当全系运动员都是三年级学生时。
4 当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了个零件，以事件表示他生产的第个零件是合格品（）。用表示下列事件：
1 没有一个零件是不合格品；
2 至少有一个零件是不合格品；
3 仅仅只有一个零件是不合格品；
4 至少有两个零件是不合格品。
4 原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为；
1.4 证明下列各式：
证明 （1）―（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10―12页（1.5）式和 1.6 式的证法。
1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个
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& &&&自考《概率论与数理统计（经管类）》真题练习：相互独立正态分布随机变量的可加性（6.25）
自考《概率论与数理统计（经管类）》真题练习：相互独立正态分布随机变量的可加性（6.25）
10:34&&自考365 【
　　单选题
　　1.[2012年1月]
　　设随机变量X～N（-1，3），Y～N（1，2），且X与Y相互独立，则X+2Y～
　　A.N（1，10）
　　B.N（1，11）
　　C.N（1，5）
　　D.N（1，7）
　　　　 　　
　　正确答案：B
　　答案解析：本题考查相互独立正态分布随机变量的可加性。因为正态分布随机变量具有可加性，所以X+2Y仍服从正态分布，且E(X+2Y)＝E(X)+2E(Y)＝1，D(X+2Y)＝D(X)+4D(Y)＝11，故选择B。
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中心极限定理及其应用；【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最；【关键词】：中心极限定理正态分布随机变量；一、概述；概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科；1、定理一（林德贝格―勒维定理）；，=a,；，…是一列独立同分布的随机变量，且；E?D?；&0),k=1,2,…则有；limp(k?1；n??；??；?na；?x)?；?n；12?
中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。【关键词】：中心极限定理 正态分布 随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。 二、定理及应用1、定理一（林德贝格―勒维定理）若?k1，=a,?2，…是一列独立同分布的随机变量，且E?D?k=k??x2(?2&0) ,k=1,2,…则有limp(k?1n????n?na?x)??nn12???e?t22dt。当n充分大时，??k?1k?na?n~N（0,1），k?1??nk~N（na,n?）22、定理二（棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理）在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。, 错误！未?找到引用源。为n次试验中事件A出现的次数,则limp(n??n?npnpq?x)??2?1x??e?t22dt其中q?1?p。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。例1：设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少?解：设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量X1，X2，…，X5000独立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。由独立同分布的中心极限定理可知 [3] =I-φ（1.414）=1-0.5例2：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的且同分布，设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重为50吨的汽车承运，每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977？解：设Xi(i=1，2，…，n)是装运第i箱的重量，n为所求箱数。由条件可把X1，X2，…，Xn看作独立同分布的随机变量，而n箱的总重量为Tn=X1+X2+…+Xn，是独立同分布的随机变量之和。由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n 根据独立同分布的中心极限定理： [3] 即最多可以装98箱。例3：报名听心理学课程的学生人数K是服从均值为100的泊松分布的随机变量，负责这门课的教授决定，如果报名人数不少于120，就分成两班，否则就一班讲授。问该教授讲授两个班的概率是多少?分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120，精确解为P（x≥120）=e-100 100i/i！很难求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值为100的泊松分布随机变量等于100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和，即X= Xi，其中每个Xi具有参数1的泊松分布，则我们可利用中心极限定理求近似解。[2]解：可知E(X)=100，D(X)=100
教授讲授两个班的概率是0.023。例4：火炮向目标不断地射击，若每次射中目标的概率是0、1。 (1)求在400次射击中击中目标的次数在区间［30，50］内的概率。(2)问最少要射击多少次才能使击中目标的次数超过10次的概率不小于0.9？ 分析：显然火炮射击可看作是伯努利实验。[1]即我们知道，正态分布可近似于二项分布，而且泊松分布可近似于二项分布，当二项分布b(n，p)，n较大、p较小时可用泊松分布估计近似值。如果p接近1，有q=l-p很小，这时也可用泊松分布计算；但是当n较大，p不接近0或1时，再用泊松分布估计二项分布的概率就不够精确了，这时应采用拉普拉斯定理来计算。解：(1)设在射击中击中目标的次数为Yn，所求概率(30≤Yn&50)等于：
最小正整数n=147就是所要求的最小射击数。以上例子都是独立同分布的随机变量，可以用中心极限定理近似估算，但是如果不同分布，中心极限定理是否也成立呢? 李雅普诺夫定理当随机变量Xi独立，但不一定同分布时，中心极限定理也成立。定理3[2](李雅普诺夫定理)：设X1，X2，…，Xn，…为独立随机变量序列，且E(Xn)=an，D(Xn)=σn2存在，Bn2= σn2（n=1，2，…），若存在δ&0，使得： 也就是说，无论各个随机变量Xi服从什么分布，只要满足李雅普诺夫条件，当n很大时，它们的和近似服从正态分布。 由于在大学本科阶段接触的不同分布的样本较少，本文对它的应用将不举例说明。 中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本均值总是近似地服从正态分布。正是这个结论使得正态分布在生活中有着广泛的应用。 四、中心极限定理的意义首先，中心极限定理的核心内容是只要n足够大，便可以把独立同分布的随机变量和的标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。其次，中心极限定理对于其他学科都有着重要作用。例如数理统计中的参数（区间）估计、假设检验、抽样调查等；进一步，中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路，用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明只要样本容量足够地大，得知未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。 参考文献[1]邓永录 著 应用概率及其理论基础.清华大学出版社。 [2]魏振军 著 概率论与数理统计三十三讲.中国统计出版社。 [3]程依明 等 著 概率论与数理统计习题与解答.高等数学出版社。包含各类专业文献、文学作品欣赏、专业论文、生活休闲娱乐、行业资料、高等教育、中心极限定理应用62等内容。
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