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2015人教版高中数学必修四第三章 三角恒等变换作业题及答案解析8
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高中数学必修4三角恒等变换测试题6(含答案)
（数学必修4）第三章
三角恒等变换
[综合训练B组]
一、选择题
12tan13???1
．设a?cos66,b?,c?则有（
） 2?21?tan13A.a?b?c
1?tan22x2．函数y?的最小正周期是(
) 21?tan2x
????3．sin163sin223?sin253sin313?（
22?34．已知sin(?x)?,则sin2x的值为（
15．若??(0,?)，且cos??sin???，则cos2??(
．6．函数y?sin4x?cos2x的最小正周期为（
二、填空题
1．已知在?ABC中，3sinA?4cosB?6,4sinB?3cosA?1,则角C的大小为
sin65o＋sin15osin10o
2．计算：的值为_______． ooosin25－cos15cos80
3．函数y?sin2x2x??cos(?)的图象中相邻两对称轴的距离是 336
贡献者：chenqiang709
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三角恒等变换一、选择题1．的值是(
)． A．B．－C．2 D．－22．cos 40°＋cos 60°＋2cos 140°cos2 15°－1的值是(
)．A．0 B．C．D．3．已知sin(&#61537;－&#61538;)cos &#61537;－cos(&#61537;－&#61538;)sin &#61537;＝，且&#61538;在第三象限，则sin的值是(
)．A．－B．－C．±D．±4．已知＝，则tan &#61553;＝(
)．A． B． C． D．5．tan(&#61537; +45°)－tan(45°－&#61537;)等于(
)．A．2tan 2&#61537;B．－2tan 2&#61537;C．D．－6．已知sin(&#61537;－&#61538;)cos&#61472;&#61537;－cos(&#61537;－&#61538;)sin &#61537;＝，且 &#61538;&#61472;为第三象限角，则cos &#61538;等于(
)．A． B．－ C． D．－7．2sin 14°cos 31°＋sin 17°等于(
)．A． B．－C． D．－8．在△ABC中，若0＜tan Α?tan B＜1，那么△ABC一定是(
)．A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．形状不确定9．已知 &#61553;&#61472;为第三象限角且sin4&#61553;＋cos4&#61553;＝，则sin 2&#61553;等于(
)．A．B． C．－D．－10．sin 6°?cos 24°?sin 78°?cos 48°的值为(
)．A． B．C． D．二、填空题11．若sin x－sin y＝－，cos x－cos y＝，x，y都是锐角，则tan(x－y)的值为
．12．化简＝__________．13．若3sin &#61553;＝cos &#61553;，则tan 4&#61553;＝
．14．若＜&#61537;＜，＝－，则tan &#61537;＝
．15． 求函数y＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x的最小正周期＝
．16．已知＝k(＜&#61537;＜)，试用k表示sin &#61537;－cos &#61537;的值
．三、解答题17．化简：cos2A＋cos2(＋A)＋cos2(＋A)．18．已知：&#61538;∈(0，)，&#61537;∈(，)且cos(－&#61537;)＝ ，sin(＋&#61538;)＝，求：cos &#61537;，cos(&#61537;＋&#61538;)．19．(1)已知tan(&#61537;－&#61538;)＝，tan &#61538;＝&#61485;，且&#61537;，&#61538;∈(0，&#61552;)，求2&#61537;－&#61538;的值．(2)已知cos(&#61537;－)＝，sin(－&#61538;)＝，且＜&#61537;＜&#61552;，0＜&#61538;＜，求cos(&#61537;＋&#61538;)的值．20．已知tan 2&#61553;＝&#61485;&#61490;，2&#61553;∈，求．参考答案一、选择题1．D解析：原式＝＝＝＝－＝－2．2．C解析：原式＝＋cos 40°－cos 40°＋cos 30°＝＋＝．3．D解析：∵sin(&#61537;－&#61538;－&#61537;)＝，∴sin &#61538;＝－．又知 &#61538;&#61472;是第三象限角，∴cos &#61538;＝－．又cos &#61538;＝1－2sin2，∴sin ＝±＝±．4．B解析：∵＝＝，∴＝，即tan ＝2．∴ ＝＝＝－．5．A解析：原式＝－＝＝＝2tan 2&#61537;．6．B解析：由已知得sin(－&#61538;)＝，即sin &#61538;＝－，又 &#61538;&#61472;为第三象限角，∴cos &#61538;＝－．7．A解析：原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°)＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°＝sin(31°＋14°)＝sin 45°＝．8．B解析：∵A，B是△ABC内角，又∵0＜tan Α?tan B＜1，∴A，B∈(0，)．∵0＜＜1，cos Acos B＞0，∴cos Acos B－sin Asin B＞0，即cos(A＋B)＞0，∴0＜A＋B＜，∴&#61552;－(A＋B)＝C＞，∴△ABC一定是钝角三角形．9．A解析：∵＝，∴(sin2&#61553;＋cos2&#6sin2&#61553;?cos2&#61553;＝，∴1－sin22&#61553;＝，∴sin22&#61553;＝．∵2k&#61552;＋&#61552;＜&#61553;＜2k&#61552;＋&#61552;，∴4k&#61552;＋2&#61552;＜2&#61553;＜4k&#61552;＋3&#61552;．∴sin 2&#61553;＝．10．A解析：sin 6°?cos 24°?sin 78°?cos 48°＝＝＝＝．二、填空题11．答案：－．解析：由 平方相加，可求cos(x－y)＝．∵0＜x＜，0＜y＜且sin x－sin y＝－＜0，∴0＜x＜y＜，∴－＜x－y＜0，∴ sin(x－y)＝－，∴tan(x－y)＝－．12．答案: －cos 2．解析：原式＝＝＝＝|cos 2|．∵＜2＜&#61552;，∴cos 2＜0．∴原式＝－cos 2．13．答案：．解析：∵3sin &#61553;＝cos &#61553;，∴tan &#61553;＝．∴tan 2&#61553;&#61472;＝＝，tan 4&#61553;&#61472;＝＝．14．答案： -2．解析：∵＜&#61537;＜，∴5&#61552;＜2&#61537;＜，＜＜，∴，2&#61537;&#61472;均为第三象限角，&#61537;为第二象限角．∵sin 2&#61537;＝－，∴cos 2&#61537;＝－，又cos 2&#61537;＝2cos2 &#61537;－1，∴cos &#61537;＝－＝＝－．又sin 2&#61537;＝2sin &#61537;cos &#61537;＝－，∴sin &#61537;＝＝，∴tan &#61537;＝＝－2．15．答案：&#61552;．解析：y＝1＋sin 2x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋2＝sin(2x＋)＋2．故最小正周期为&#61552;．16．答案：．解析：∵＝＝2sin &#61537;cos &#61537;，∴k＝2sin &#61537;cos &#61537;．而(sin &#61537;－cos &#6－2sin &#61537;cos &#61537;＝1－k．又＜&#61537;＜，于是sin &#61537;－cos &#61537;＞0，所以sin &#61537;－cos &#61537;＝．三、解答题17．解析：原式＝＋＋＝＋[cos 2A＋cos()＋cos()]＝＋(cos 2A－cos 2A＋sin 2A－cos 2A－sin 2A)＝．18．答案：＝，cos(&#61537;＋&#61538;)＝－．解析：∵＜&#61537;＜，∴－＜－&#61537;＜0．∵cos(－&#61537;)＝，∴sin(－&#61537;)＝－，∴cos &#61537;＝cos[－(－&#61537;)]＝cos?cos(－&#61537;)＋cos?sin(－&#61537;)＝?＋?(－)＝．又∵0＜&#61538;＜，∴＜＋&#61538;＜&#61552;．∵sin(＋&#61538;)＝，∴cos(＋&#61538;)＝，∴cos(&#61537;＋&#61538;)＝sin[＋(&#61537;＋&#61538;)]＝sin[(＋&#61538;)－(－&#61537;)] ＝sin(＋&#61538;)?cos(－&#61537;)－cos(＋&#61538;)?sin(－&#61537;)＝?－(－)?(－)＝－．19．答案：(1)2&#61537;－&#61538;＝－；(2)cos(&#61537;＋&#61538;)＝－．解析：(1)∵tan(&#61537;－&#61538;)＝，∴tan 2(&#61537;－&#61538;)＝＝．又∵2&#61537;－&#61538;＝2(&#61537;－&#61538;)＋&#61538;且tan &#61538;＝－，∴tan(2&#61537;－&#61538;)＝＝1．∵&#61537;，&#61538;∈(0，&#61552;)且tan &#61538;＝－＜0，tan &#61537;＝＝∈(0，1)，∴0＜&#61537;＜，＜&#61538;＜&#&#61537;＜，－&#61552;＜－&#61538;＜－－&#61552;＜2&#61537;－&#61538;＜0，而在(－&#61552;，0)内使正切值为1的角只有一个－，∴2&#61537;－&#61538;＝－．(2)∵＜&#61537;＜&#61552;，0＜&#61538;＜，∴＜&#61537;－＜&#61552;，&#61485;＜－&#61538;＜．又∵cos(&#61537;－)＝－，sin(－&#61538;)＝，∴sin(&#61537;－)＝，cos(－&#61538;)＝，∴cos＝cos[(&#61537;－)－(－&#61538;)] ＝cos(&#61537;－)cos(－&#61538;)＋sin(&#61537;－)sin(－&#61538;)＝，∴cos(&#61537;＋&#61538;)＝2cos2－1＝．20．答案：－3＋2．解析：＝＝，∵tan 2&#61553;＝＝－2，∴tan2&#61553;－tan &#61553;－＝0，解得 tan &#61553;＝或tan &#61553;＝－．∵＜2&#61553;＜&#61552;，∴＜&#61553;＜，∴tan &#61553;＝，∴原式＝＝－3＋2．&&&
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三角恒等变换
[导读]2006年苍南县高中新课程备课会 数学四第三章《三角恒等变换》部分 苍南中学 郑伟民整理 3．1．1两角差的余弦公式 教学目标： 1． 通过引例让学生经历问题提出过程，激发学生探索数学规律的积极性。 2． 理解两角差的余弦公式及推导过程，并能进行简单的三角恒等变换。 3． ...
2006年苍南县高中新课程备课会
数学四第三章《三角恒等变换》部分
郑伟民整理
3．1．1两角差的余弦公式
教学目标：
1． 通过引例让学生经历问题提出过程，激发学生探索数学规律的积极性。
2． 理解两角差的余弦公式及推导过程，并能进行简单的三角恒等变换。
3． 通过公式的探究，使学生体验由简单到复杂的变换思想方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点：两角差的余弦公式的探究过程及公式的运用。
教学难点：探索过程的组织和引导；两角差余弦公式的探究思路的发现。
设计思路：创设情境，引出课题
猜想探究，发现公式
启发联想，证明公式
变式训练，掌握公式
学生小结，教师评价
布置作业，复习巩固
设计环节说明：
1．创设情境，引出课题：问题：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图所示，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A,C两点间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角（∠CAD）约为450，如何求这座电视发射塔的高度呢？问题的关键在求的值，实质能否用的三角函数值把与的三角函数值表示出来，进一步引出课题。
2．猜想探究，发现公式：
问题：与任意角的正弦、余弦值之间有什么关系呢？
辨析：会等于吗？
考察：两组数据（1），这时（2），这时
猜想：对任意的角都有成立。
3．启发联想，证明公式：
（1）探究的前提：该如何画图。建立直角坐标系，建立单位圆，进而利用三角函数线将角α、β、α-β各自的三角函数值用图形表示出来，以研究它们的联系。
（2）探究的核心：如何在已学知识的基础上构建和论证等式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。
（3）探究的完善：公式的推导过程是否有不严谨之处呢？引导学生对上述思维过程进行反思：能否真正体现公式中角度α，β的任意性呢？
4．变式训练，掌握公式
问题：你能利用差角余弦公式求的值吗？
变题1：你能求的值吗？
变题2：已知，求的值。
变题3：已知，求的值。
5．学生小结，教师评价：引导学生从数学探究的步骤、差角公式推导的方法、差角公式使用的条件、差角公式的作用等方面进行自我总结并发言。
6．布置作业，复习巩固：（1）P152习题3.1
T3，T4（2）利用差角公式可以解决哪些问题？
3．1．2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
教学目标：
1． 结合具体实例，使学生认识到求两角和与差的正弦、余弦、正切公式的必要性和实际意义，树立数学来源于生产生活现实并为社会现实服务的正确数学观。
2． 使学生经历由两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究过程，培养学生的探索精神。
3． 掌握两角和与差的三角公式的结构特点与功能，了解这些公式的内在联系，能运用公式解决基本 三角函数式的化简、求值、证明等问题
4． 进一步提高学生的推理能力和运算能力，使学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。
教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系.
教学难点：探索过程的组织和引导，不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必需的基础知识学生是否熟练掌握的问题，运用已学知识和方法的能力问题.
设计思路：创设情境，引入课题
探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式
例题与练习
解决章头图中的实例
小结与作业
设计环节说明：
1．提问：在两角差余弦公式基础上我们能够直接解决章头图中的问题吗？创设情境，引出本节课研究的课题。
2．探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
问题一.从公式出发，如何探求两角和的余弦公式呢？引导学生从①函数名称；②角度与等方面的关系进行联想，启发从角度的形式上进行转化化归。
问题二.如何用的正、余弦来表示呢？引导学生如何从到，着重从函数名称的转变上进行探索。
问题三.怎样用的正切表示呢？引导学生探究：化切为弦，化未知为已知，再化弦为切，利用单角的正切来表示和差的正切。
3．分析六个和、差公式的特点，从角度、名称和结构等方面加以比较分析，归纳它们之间的逻辑关系图，并提问学生思考公式适用的条件。
4．知识的应用：
①公式的正用：例3，已知是第四象限角，求，，的值。化未知为已知，求值。并思考（1）=是否恒成立，融会诱导公式与和、差角公式；（2）删除条件是第四象限角，再求解。
②公式的逆用：例4利用和、差角公式计算下列各式的值：（1）
化简求值。
③灵活应用：求的值。通过一题多解熟练掌握公式的应用及相关技巧（如"1"的代换）。
④解决章头图中的问题，首尾呼应。
5．作业设置：习题3.1A组第7，8，10
二倍角的正弦、余弦、正切公式
教学目标：
1． 能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。
2． 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。
3． 通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。
教学重点：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，灵活运用倍角公式解决有关问题。
教学难点：倍角公式的灵活运用以及培养学生的转化、化归等数学思想
设计思路：复习和角公式，引入新课
探索并得出倍角公式
通过例题及变题，熟练掌握倍角公式
小结与作业
设计环节说明：
1．复习和角与差角公式，为新课的展开做铺垫
2．探索二倍角公式
问题一：吗？
问题二：能用的三角函数来表示吗？
问题三：还有与呢？
师生总结二倍角公式与和、差角公式的逻辑关系
3．通过例题及变题，熟练掌握倍角公式：
（1）分析求解例5：已知求的值.引导学生①理解倍角关系的对立统一，提高公式应用的灵活性；②一题多解熟练解题技能，培养发散性思维。
（2）练习：求值①；②；③④
（3）分析例6：在中，，求的值。综合应用公式解决复杂问题，一题多解，提高解题能力，培养创新意识。
变题：题设条件不变，如何求的值？
4．课堂小结：通过例题和练习总结二倍角公式的正用、逆用、变用（公式的变形）
5．作业设置：习题3.1A组第16、17题；
简单的三角恒等变换（第一课时）
教学目标：
① 掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路，不断提高从整体上把握变换过程的能力式推导。
② 弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
③ 深刻理解三角变换的思想，培养学生运用换元、逆向使用公式、方程等数学思想方法解决问题的能力。
教学重点：三角恒等变换的内容、思路和方法，以及在积化和差、和差化积、半角公式等方面的应用。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计。
设计思路：复习提问，创设情境
探索例1、2，明确思路
总结三角变换的内容、思路和方法
课堂训练，巩固提高
小结与作业
设计环节说明：
1．复习提问，创设情境：
２．出示问题，例１：试以表示　(学生自主探究)
３．思考：（１）已知，如何求
　　　　 （２）代数式变换与三角变换有什么不同呢？
４．变式训练：
（１）求证：。
（２）已知求的值。
５．出示问题，例２：求证：（１）
　　　　　　　　　　　　（２）
　　　　　　　　　(学生自主探究，师生一起总结)
６．变式训练：已知求证：
７．课堂总结：倍角公式的灵活运用，弄清倍、半关系的相对性。注意等价转化，换元、方程的思想。
８．作业设置：P１５８习题３．２Ａ组第１题（５）－（８），第２，３题。
　　　补充：在中，求证：（１）
　　　　　　　　　　　　　　　（２）
简单的三角恒等变换（第二课时）
教学目标：
① 能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换，化简三角函数式，提高学生的推理能力。
② 能正确地对形如的三角函数的性质进行讨论。
③ 由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、解决问题。
教学重点：灵活运用三角变换化简函数表达式，探究函数的有关性质，提升学生的探究能力。
教学难点：利用三角恒等变换化简函数表达式及对函数性质的讨论。
设计思路：复习提问，创设情境
探索例3，归纳总结
变式训练，提升能力
小结与作业.
设计环节说明：
1．提问：如何求三角函数的基本性质呢？创设情境，引导学生对形如的三角函数的性质进行复习，为更好的解决例3做准备工作。
2．探索例3：如何求函数的周期，最大值和最小值呢？启发学生逆用不同的和差公式进行三角恒等变换，将三角函数式化成类似于的标准形式，再进行求解。
3．变式训练：
①改变条件，突出求函数最值的基本思路和要点，例3中添加条件，如何求函数的最值；
②改变三角函数式，进一步强化三角恒等变换在化简函数式方面的关键地位，探求函数的主要性质；
③在前面的基础上，由特殊到一般，求函数的最值，引导学生如何引入辅助角。之后教师进行点评总结。
4．作业创设：①求函数的最大值；②P157，习题3.2A组第5题；③思考题：求函数的最值。
简单的三角恒等变换（第三课时）
教学目标：
① 熟练掌握求三角函数最值的常用思路和方法，进一步提高学生三角变换的能力。
② 掌握解数学应用问题的步骤和方法，能正确的选择自变量，建立函数关系式，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，进一步理解数学建模思想。
③ 培养学生独立思考、自主探究的能力，学会数学地思考问题、解决问题。
教学重点：求三角函数式的最值，解数学应用问题的思路、步骤和方法。
教学难点：如何科学地把实际问题转化为数学问题，如何选择自变量建立函数关系式。
设计思路：复习求三角函数式最值的方法，创设情境
探究例4，明确思路
条件变换，题目引申
科学点评，变式训练
练习、交流、反馈、巩固
小结与作业
设计环节说明：
1． 复习求三角函数式在某一区间上的最值的基本思路：利用三角变换将多个三角函数统一化归为只含有一个函数的形式，尤其是形如的函数。
2． 探究例4，总结一般解法：给出题目之后适当启发思路关键在找出面积S与角α之间的函数关系式，然后由学生自主探究、合作交流完成整个过程并展示，再由教师点评①在求最值时注意自变量的范围；②应用问题转化为数学问题，最后结论要回归到实际问题。
3． 变题设计：若例题中去掉条件"记"，要求改成"求矩形ABCD的最大面积"还有其它解决方法吗？教师引导学生思考选择不同的自变量以寻求不同的解决方案。之后教师进行点评：①建立数学模型的关键是选择恰当的自变量，不同的自变量决定了数学模型的繁简程度；②自变量的引入通常有代数和三角两种方法，有些方法虽然无法最终解决问题，但能促进对函数模型多样性的理解。
4． 变式训练：①已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，A、B是扇形弧上的动点，AB//PQ，ABCD是扇形的内接矩形，求矩形ABCD面积的最大值。并结合训练进行交流、反馈，从而巩固了数学建模的思想方法。
5． 尝试小结：在求有关最值问题时，常常可以设一个角为未知数，从而把实际问题转化为三角问题，然后利用三角函数的有界性、单调性、奇偶性等性质来求解。
6． 作业设置：①课本P160页B组第7题；②海中有一小船S，在一条东西方向的海岸线的南方，距海岸线的最近点B为5km，在B的正东岸有一个小镇Q离B也是5km，划船的人想用最短的时间到达Q，已知他每小时步行6km，但每小时只能划船4km，他应该朝什么方向划船登岸？
三角恒等变换
品德与社会
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