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高中数学审核员
算法初步、推理
与证明、复数
算法与程序框图
1.算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问
题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是
的，而且能够在有限步之内完成.
2.程序框图又称 流程图
，是一种用 规定的图形
及 文字说明
来准确、直观地表示算法
通常程序框图由 程序框
组成，一个或
几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程
带方向箭头，按照算法进行的顺序将
3.三种基本逻辑结构
(1)顺序结构是由 若干个依次执行的处理步骤
成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构.
(2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否
成立而选择执行不同的流向的结构形式.
其结构形式为
(3)循环结构是指 从某处开始，按照一定条件反复
执行处理某一步骤的情况
.反复执行的处理步骤称
.循环结构又分为 当型（
其结构形式为
4.算法的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、
不惟一性、普遍性.
1.下列关于算法的说法正确的有( C
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧
义或模糊；
④算法执行后产生确定的结果.
只有①不正确，算法不是唯一的，其他
2.关于程序框图的图形符号的理解,正确的有(
①任何一个程序框图都必须有起止框；②输入
框只能在开始框之后，输出框只能放在结束框
之前；③判断框是唯一具有超过一个退出点的
图形符号；④对于一个程序来说，判断框内的
条件是唯一的
任何一个程序都有开始和结束，因而必
须有起止框；输入和输出可以放在算法中任何
需要输入、输出的位置；判断框内的条件不是
唯一的，如a>b,亦可写为a≤b.故只有①③对.
3.下列说法不正确的是(
A.三种基本逻辑结构包含顺序结构、条件结
构、循环结构
B.一个程序框图一定包含顺序结构
C.一个程序框图一定包含循环结构
D.一个程序框图不一定包含条件结构
并不是每个程序框图都有循环结构.
4.如图所示的是一个算法的流程图，
已知a1=3,输出的结果为7，则a2
已知图形是一个顺序结构的
框图，表示的算法的功能是求两数a1、a2的算术
平均数，已知a1=3,输出结果为7，有
解得a2=11.
5.阅读右图程序框图（框图中的赋值符
号“=”也可以写成“←”或“：=”），
若输出的S的值等于16，那么在程序框
图中的判断框内应填写的条件是( A
即1+1+2+…+i=16,
∴i(i+1)=30,∴i=5.
又i=i+1=6,∴应填i>5？.
算法的设计
已知点P（x0，y0）和直线l:Ax+By+C=0，
求点P（x0，y0）到直线l的距离d，写出其算法
并画出程序框图.
利用点到直线的距离公式可写出算法,
而程序框图利用顺序结构比较简单.
算法如下：
第一步，输入x0,y0及直线方程的系数A，B，C.
第二步，计算Z1=Ax0+By0+C.
第三步，计算Z2=A
第四步，计算
第五步，输出d.
给出一个问题，设计算法应注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学
(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；
(3)将解决问题的过程划分为若干个步骤；
(4)用简练的语言将各个步骤表示出来.
写出求过两点M(-2,-1）、N(2,3)的
直线与坐标轴围成面积的一个算法.
算法：(1)取x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3;
(3)在（2）中令x=0得到y的值m,得直线与y轴交
点（0，m）；
(4)在（2）中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交
点（n,0）；
(6)输出运算结果.
算法的顺序结构
f(x)=x2-2x-3.求f(3)、f(-5)、f(5)，并计
算f(3)+f(-5)+f(5)的值.设计出解决该问题的一
个算法，并画出程序框图.
算法如下：
第一步，令x=3.
第二步，把x=3代入y1=x
第三步，令x=-5.
第四步，把x=-5代入y2=x
第五步，令x=5.
第六步，把x=5代入y3=x
第七步，把y1,y2,y3的值代入y=y1+y2+y3.
第八步，输出y1,y2,y3,y的值.
该算法对应的程序框图如图所示：
顺序结构的算法写好后，按顺序依次
画出流程图.在变量赋值时，以后赋的为准，前边
赋过值的变量，有新的数值时，原来的值无效.
如图所示的框图是解决某个
问题而绘制的程序框图，仔细分析各
图框内的内容及图框之间的关系，回
答下面的问题：
(1)框中x=a的含义是什么？
(2)框中y=-x2+mx的含义是什么？
(3)该程序框图解决的是怎样的一个问题？
(4)若输入的x值为0和4时，输出的值相等，则
①当输入的x值为3时，输出的值为多大？
②要想使输出的值最大，输入的x值应为多少？
③按照这个程序框图，当输入的x的值都大于
2时，x值大的输出的y值反而小，为什么？
(1)图框中x=a表示把a值赋给变量x.
(2)图框中y=-x2+mx的含义是：在执行该图框的前
提下，即当x=a时计算-x2+mx的值，并把这个值赋
(3)该程序框图解决的是求二次函数f（x）=-x2+mx
的函数值的问题.
(4)当输入的x值为0和4时，输出的y值相等，
即f（0）=f（4）.
∵f（0）=0，f（4）=-16+4m，
∴-16+4m=0，∴m=4.
∴f（x）=-x2+4x.
①∵f（3）=-32+3×4=3，
∴当输入的x值为3时，输出的y值为3.
②∵f（x）=-x2+4x=-（x-2）2+4，
当x=2时，f（x）max=4，
∴要想使输出的值最大，输入的x值应为2.
③∵f（x）=-(x-2)2+4,
∴函数f（x）在［2，+∞）上是减函数.
∴在［2，+∞）上，x的值越大，对应的函数值y反
从而当输入的x值大于2时，x值大的输出的y值反而
算法的条件结构
写出求该函数的函数值的算法及程序框图.
分析算法→写出算法→选择条件结构
→画出程序框图.
算法如下：
第一步：输入x；
第二步：如果x>0，则y=-2x；如果x=0，则y=0；
如果x100，故输出k=4.
3.（2009·福建文，6）阅读如图所示
的程序框图，运行相应的程序，输出
的结果是( D
程序运行过程中，S与n数值
变化对应如下表：
故S=2时，n=4.
4.若右面的程序框图输出的S是126，
即21+22+…+2n=126，
∴2n=64，即n=6.n=7应是第一次不满足条件，
5.一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出
,则判断框中应填入的条件是
6.（2009·海南·宁夏理，10）如果执行下边的
程序框图，输入x=-2,h=0.5,那么输出的各个数
输入x=-2时，y=0,执行x=x+0.5后x=-1.5.
当x=-1.5时，y=0,执行x=x+0.5后x=-1.
当x=-1时，y=0,执行x=x+0.5后x=-0.5.
当x=-0.5时，y=0，执行x=x+0.5后x=0.
当x=0时，y=0，执行x=x+0.5后x=0.5.
当x=0.5时，y=0.5,执行x=x+0.5后x=1.
当x=1时，y=1,执行x=x+0.5后x=1.5.
当x=1.5时，y=1,执行x=1.5+0.5后x=2.
当x=2时，y=1,此时2≥2,因此结束循环.
故输出各数之和为0.5+1+1+1=3.5.
二、填空题
7.在如右图所示的程序框图中，当程
序被执行后，输出s的结果是 286
数列4,7,10，…为等
差数列，令an=4+(n-1)×3=40,得
∴s=4+7+…+40=
8.（2009·安徽，理13文12）程序框图（即算法
流程图）如图所示，其输出结果是
由程序框图知，循环体被执行后a的值依
次为3，7，15，31，63，127.
9.如图所示算法程序框图中，令a=tan 315°，
b=sin 315°，c=cos 315°，则输出结果为
程序即求a，b，c中的最大值.
a=tan(360°-45°)=-tan 45°=-1,
b=sin(360°-45°)=-
c=cos(360°-45°)=cos 45°=
三、解答题
10.设计求1+3+5+7+…+31的算法，并画出相应的程
第一步：S=0；
第二步：i=1；
第三步：S=S+i；
第四步：i=i+2；
第五步：若i不大于31，返回执行第三步，否则
执行第六步；
第六步：输出S值.
程序框图如图：
11.已知函数
写出求该函数的
函数值的算法并画出程序框图.
算法如下：
第一步，输入x.
第二步，如果x<0,那么使f(x)=3x-1;
否则f(x)=2-5x.
第三步，输出函数值f(x).
程序框图如下：
12.国庆期间，某超市对顾客实行购物优惠活动，规
定一次购物付款总额：
①若不超过200元，则不予优惠；
②若超过200元，但不超过500元，则按标价价
格给予9折优惠；
③如果超过500元，500元的部分按②条优惠，
超过500元的部分给予7折优惠，设计一个收款
的算法，并画出程序框图.
依题意，付款总额y与标价x之间的关系式
为（单位：元）
算法分析：
第一步，输入x值；
第二步，判断，如果x≤200,则输出x,结束算法；
否则执行第三步；
第三步：判断，如果x≤500成立，则计算y=0.9×x,
并输出y，结束算法；否则执行第四步；
第四步：计算y=0.9×500+0.7×(x-500)，并输出y，
程序框图：您好，欢迎来到新东方
&&&&&&正文
高中数学算法知识点总结：程序框图
来源：互联网资源
作者：新东方网整理
　　1、程序框图基本概念：
　　(一)程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
　　一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。
　　(二)构成程序框的图形符号及其作用&
　　学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
　　1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
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& 2015届高考数学考点冲刺 34 推理和证明、程序框图
2015届高考数学考点冲刺 34 推理和证明、程序框图
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资料概述与简介
考点34推理和证明、程序框图
1.根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为 （
2. 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为（
(A) 64 (B) 73
(C) 512 (D) 585
3.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（
4.阅读如图所示的程序框图，若编入的，则该算法的功能是（
A. 计算数列的前10项和
B.计算数列的前9项和
C. 计算数列的前10项和
D. 计算数列的前9项和
[解析]可得，所以，再由循环次数可知为10次，所以答案为A.
5.阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为
6.执行如图所示的程序框图，输入
的值为，则输入的的值_____.
，此时成立，输出.
8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果_________.
9. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（
10.执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=
（A）1+ + +…+
（B）1+ + +…+
（C）1+ + +…+
（D）1+ + +…+
11.执行右面的程序框图，如果输入的t∈[1，3]，则输出的s属于( )
A、[－3,4]
B、[－5,2]
C、[－4,3]
D、[－2,5]
12．（2012年高考（天津理））阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入的值为时,输出的值为（　　）
A． B． C． D．
右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图,表示估计结果,则图中空白框内应填入 （　　）
【解析:点落在单位圆内或圆上,随机产生1000个数,,故选D.
执行如图所示的程序框图,则输出的S的值是 （　　）
【解析】根据程序框图可计算得
由此可知S的值呈周期出现,其周期为4,输出时
因此输出的值与时相同,故选D
若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是______________.
下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是______________.
阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果__________.
1.识别程序框图和完善程序框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别、运行程序框图，理解框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对框图的考查常与函数和数列等结合，进一步强化框图问题的实际背景．
求解程序框图与新定义、三角函数相交汇问题的关键：第一，明晰新定义运算的规则．第二，读懂程序框图，一般按箭头流向读懂数据．有关含条件结构的程序框图的考题，常是需要对条件进行判断的算法，如分段函数求值、大小关系判断等．如本例就与比较大小有关，通过判断条件确定所执行的程序流向，并且对所遇到的情况进行分类或分情况执行程序．
18.设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：；对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（　　）
　　　　　　 B.　
19.观察下列等式:
照此规律, 第n个等式可为
20.对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则
21.在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记.设是两个不同的平面，对空间任意一点，,恒有，则（
a.平面与平面垂直
B. 平面与平面所成的（锐）二面角为
C. 平面与平面平行
D.平面与平面所成的（锐）二面角为
如图2所示：
22.定义“正对数”：，现有四个命题：（
①若，则；
②若，则；
23.当时，有如下表达式：
两边同时积分得：
从而得到如下等式：
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
24.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，，
第个三角形数为. 记第个边形数为，以下列出
了部分k边形数中第个数的表达式：
………………………………………
可以推测的表达式，由此计算_________.
25.设为平面内的个点.在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”.例如，线段上的任意点都是端点的中位点.现有下列命题：
①若三个点共线，在线段上，则是的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是_______.（写出所有真命题的序号）
26.设数列：，即当时，记.记. 对于，定义集合是的整数倍，，且.
（1）求集合中元素的个数；
（2）求集合中元素的个数.
又不是的倍数，
【方法归纳】
1．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．
2．类比推理的关键是找到合适的类比对象，如上例中的椭圆类比到双曲线，常见的平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
3．演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式；包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新的命题．
1.执行右边的程序框图所得的结果是（
【解析】，，
执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为（
【解析】B 由程序框图可知：
①，；②，；③，；④，；
⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.
3.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值 (
4.执行右面的程序框图，如果输人a=4,那么输出的n的值为
A.1　B、2　C、3 　D、 4
5.执行如图所示的程序框图，则输出的c的值是
6.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是
执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为A. 7
8.已知数列为等差数列,若,,则.类比上述结论,对于等比数列,若,则可以得到＝____________.
对大于l的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，，，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则的值为
“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2”，类比猜想关于球的相应命题为： __________________________________________________.
二．能力拔高
11.在计算机语言中有一种函数y=int（x）叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示不超过x的最大整数，如int（0.9）=0，int（3.14）=3，已知令则当n>1时,则
【解析由题意可知，地对应情况如下表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
1 4 2 8 5 7 1 4 2 …
观察上表可知：是一个周期为6的周期函数，所以故选D.
按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是
D．(28,57]
【解析】∵当时，，当时，，∴.
14．已知数列{an}（n∈N*）是各项均为正数且公比
不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{1nf（an）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列
函数”．现有定义在（0，+）上的三个函数：①；②
③f（x）=，则为“保比
差数列函数”的是（
15.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（
16.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是
A．3 B．4 C．5 D．6
17.观察下列算式：
若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则
【答案】45
【解析】第m(m>1)行第一个数是m2-(m-1)，最后一个数是m2+(m-1)，令m2-(m-1)≤2013≤m2+(m-1)，
即(((m=45.
18.执行如图所示的程序框图,输出的值为
19.设是有穷数列，且项数．：将数列，变成，其中是变换所产生的一项．开始，反复实施变换，直到只剩下一项而不能变换为止．则变换所产生的所有项的乘积为
20.观察下面两个推理过程及结论：
若锐角A，B，C满足A+B+C=,以角A，B，C分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：A=B+C2,
若锐角A，B，C满足A+B+C=，则（）+（）+（）=，以角，，分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：=2.
则：若锐角A,B,C满足A+B+C=，类比上面推理方法，可以得到的一个等式是______________.
三．提升自我
21.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果
【解析】．故选C．
22.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
23.已知正项等比数列中有，则在等差数列中，类似的结论有
【 解析】根据等比性质可知，。所以根据等差数列中，有。
24.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有__________颗珠宝；则件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用表示)
设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意(M(M(D)，有(D，且，则称为上的高调函数如果定义域为的函数是奇函数，当x≥时，，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是
【考点预测】
1.已知实数，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为（
2. 执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出S的值是（
3.阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为 (
4.已知数列{an}各项均为正数，如图的程序框图中，若输入的a1=1，k=6，则输出的S等于_______.
，可以推测，_______.
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