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已知函数f(x)=1-ax+ln1x（a为实常数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）-2x的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*且n≥3，求证：lnn+13＜13+14+15+…+1n．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（I）当a=1时，g(x)=1-2x-1x+ln1x，其定义域为（0，+∞），g′（x）=-2+1x2-1x=-2x2-x+1x2=-(2x-1)(x+1)x2，，令g′（x）＞0，并结合定义域知x∈(0，12)；&令g′（x）＜0，并结合定义域知x∈(12，+∞)；故g（x）的单调增区间为（0，12）；单调减区间为(12，+∞)．（II）f′(x)=ax2-1x=a-xx2，（1）当f′（x）≤0即a≤x在x∈（0，2）上恒成立时，a≤0，此时f（x）在（0，2）上单调递减，无极值；（2）当f′（x）≥0即a≥x在x∈（0，2）上恒成立时，a≥2，此时f（x）在（0，2）上单调递增，无极值．综上所述，a的取值范围为（-∞，0]∪[2，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f′（x）=1-xx2，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）=1-1x+ln1x在x=1处取得最大值0．即f（x）=1-1x+ln1x≤0，∴ln1x≤1-xx，令x=nn+1（0＜x＜1），则lnn+1n＜1n，即ln（n+1）-lnn＜1n，∴lnn+13=ln（n+1）-ln3=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln4-ln3）＜1n+1n-1+1n-2+…+13．故lnn+13＜13+14+15+…+1n．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=1-ax+ln1x（a为实常数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“已知函数f(x)=1-ax+ln1x（a为实常数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x..”考查相似的试题有：
283618406537491181822816263945566184ln1^2+ln2^2+...+ln2n^2=？_百度知道
ln1^2+ln2^2+...+ln2n^2=？
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原式=2（ln1+ln2+ln4+ln6+ln8+....ln2n）=2(ln1+ln2+ln2+ln2+ln2+ln3+ln2+ln4+.....ln2+lnn)=2nln2+lnn!
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已知数列｛an},a1=2,an+1=an+ln(1+1/n),a2,a3等于多少
求｛an}的通项公式
09-09-14 & 发布
a2-a1=ln2,a3-a2=ln3/2,a4-a3=ln4/3,......an-a(n-1)=ln[n/(n-1)],将上面各式相加得an-a1=ln2+ln3/2+ln4/3+....+ln[n/(n-1)]=ln[2*3/2*4/3*......*n/(n-1)]=lnn所以an=2+lnn.
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把an移一个过去就成了an+1-an=2（an-an-1），所以&an-an-1&是首项为a2-a1=1，公比为2的等比数列，所以an-an-1=2^n-2，an-1-an-2=2^n-3，an-2-an-3=2^n-4，········a2-a1=2^0=1把所有累加，所以an-a1=1+2+4+······+2^n-2，an=2^n-1
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＞＞＞已知函数f（x）=ex-ln（x+1）（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线..
已知函数f（x）=ex-ln（x+1）（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）证明：e+e12+e13+…+e1n≥ln(n+1)+n(n∈N*，e为常数)．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵函数f（x）=ex-ln（x+1），∴f′（x）=ex-1x+1，∴k=f′（0）=e0-10+1=0，f（0）=e0-ln1=1，∴曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程为：y-1=0．（2）∵f′（x）=ex-1x+1，x＞-1．∴由f′（x）=ex-1x+1=0，得x=0．当x＞0时，e＞1，1x+1＜1，所以当x＞0时，f′（x）＞0；当-1＜x＜0时，ex＜1，1x+1＞1，所以当x＜0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞）．（3）∵函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞），∴当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，∴f（x）≥1，∴ex-ln（x+1）≥1，即ex≥ln（x+1）+1，取x=1n，则e1n&≥ln（1n+1）+1=ln（n+1）-lnn+1，于是e≥ln2-ln1+1，e12≥ln3-ln2+1，e13≥ln4-ln3+1，…e1n≥ln（n+1）-lnn+1．相加得，e+e12+e13+…+e1n≥ln（n+1）+n．（n∈N*，e为常数）．故e+e12+e13+…+e1n≥ln(n+1)+n(n∈N*，e为常数)．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ex-ln（x+1）（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“已知函数f（x）=ex-ln（x+1）（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线..”考查相似的试题有：
557393523305811368288157564214460725