2012年高考真题理科数学解析汇编：数列.rar&&人教版
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2012年高考真题理科数学解析汇编：数列 一、选择题 1&．（2012年高考（新课标理））已知&为等比数列,&,&,则&&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 2&．（2012年高考（浙江理））设S&n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a&n}的前n项和,则下列命题错误的是&&&&（　　） A．若d&0,则数列{S&n}有最大项& B．若数列{S&n}有最大项,则d&0& C．若数列{S&n}是递增数列,则对任意的n&N*,均有S&n&0& D．若对任意的n&N*,均有S&n&0,则数列{S&n}是递增数列 3&．（2012年高考（重庆理））在等差数列&中,&,则&的前5项和&=&&&&（　　） A．7&&&&B．15&&&&C．20&&&&D．25& 4&．（2012年高考（四川理））设函数&,&是公差为&的等差数列,&,则&&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&&&&&D．& 5&．（2012年高考（上海理））设&,&.&在&中,正数的个数是&&&&（　　） A．25.&&&&B．50.&&&&C．75.&&&&D．100. 6&．（2012年高考（辽宁理））在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=&&&&（　　） A．58&&&&B．88&&&&C．143&&&&D．176 7&．（2012年高考（江西理））观察下列各式:a+b=1.a²+b2=3,a3+b3=4&,a4+b4=7,a5+b5=11,,则a10+b10=&&&&（　　） A．28&&&&B．76&&&&C．123&&&&D．199 8&．（2012年高考（湖北理））定义在&上的函数&,如果对于任意给定的等比数列&,&&仍 是等比数列,则称&为“保等比数列函数”.&现有定义在&上的如下函 数:①&;&&&②&;&&&&③&;&&&&④&. 则其中是“保等比数列函数”的&的序号为&&&&（　　） A．①&②&&&&B．③&④&&&&C．①&③&&&&D．②&④&& 9&．（2012年高考（福建理））等差数列&中,&,则数列&的公差为&&&&（　　） A．1&&&&B．2&&&&C．3&&&&D．4 10．（2012年高考（大纲理））已知等差数列&的前&项和为&,则数列&的前100项和为&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 11．（2012年高考（北京理））某棵果树前&年得总产量&与&之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前&年的年平均产量最高,&的值为&&&&（　　） A．5&&&&B．7&&&&C．9&&&&D．11&& 12．（2012年高考（安徽理））公比为&等比数列&的各项都是正&数,且&,则&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 二、填空题 13．（2012年高考（新课标理））数列&满足&,则&的前&项和为_______ 14．（2012年高考（浙江理））设公比为q(q&0)的等比数列{a&n}的前n项和为{S&n}.若&&& &,&,则q=______________. 15．（2012年高考（上海春））已知等差数列&的首项及公差均为正数,令&当&是数列&的最大项时,&____. 16．（2012年高考（辽宁理））已知等比数列&为递增数列,且&,则数列的通项公式&______________. 17．（2012年高考（江西理））设数列&都是等差数列,若&,则&__________。 18．（2012年高考（湖南理））设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,,xN依次放入编号为1,2,,N的N个位置,得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前&和后&个位置,得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段&个数,并对每段作C变换,得到&;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段&个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置. (1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置; (2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置. 19．（2012年高考（湖北理））回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则 (Ⅰ)4位回文数有__________个; (Ⅱ)&位回文数有_________个. 20．（2012年高考（广东理））(数列)已知递增的等差数列&满足&,&,则&______________. 21．（2012年高考（福建理））数列&的通项公式&,前&项和为&,则&___________. 22．（2012年高考（北京理））已知&为等差数列,&为其前&项和.若&,&,则&________. 三、解答题 23．（2012年高考（天津理））已知{&}是等差数列,其前&项和为&,{&}是等比数列,且&= &,&,&. (Ⅰ)求数列{&}与{&}的通项公式; (Ⅱ)记&,&,证明&&. 24．（2012年高考（新课标理））已知&分别为&三个内角&的对边,& (1)求&&&&&(2)若&,&的面积为&;求&. 25．（2012年高考（重庆理））(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.) 设数列&的前&项和&满足&,其中&. (I)求证:&是首项为1的等比数&列; (II)若&,求证:&,并给出等号成立的充要条件. 26．（2012年高考（四川理））已知&为正实数,&为自然数,抛物线&与&轴正半轴相交于点&,设&为该抛物线在点&处的切线在&轴上的截距. (Ⅰ)用&和&表示&; (Ⅱ)求对所有&都有&成立的&的最小值; (Ⅲ)当&时,比&较&与&的大小,并说明理由. 27．（2012年高考（四川理））已知数列&的前&项和为&,且&对一切正整数&都成立. (Ⅰ)求&,&的值; (Ⅱ)设&,数列&的前&项和为&,当&为何值时,&最大?并求出&的最大值. 28．（2012年高考（上海理））对于数集&,其中&,&,定义向量集 &.&若对于任意&,存在&,使得&,则称X 具有性质P.&例如&具有性质P. (1)若x&2,且&,求x的值; (2)若X具有性质P,求证:1X,且当xn&1时,x1=1; (3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列&的通 项公式. 29．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分. 已知数列&满足& (1)设&是公差为&的等差数列.当&时,求&的值; (2)设&求正整数&使得一切&均有& (3)设&当&时,求数列&的通项公式. 30．（2012年高考（陕西理））设&的公比不为1的等比数列,其前&项和为&,且&成等差数列. (1)求数列&的公比; (2)证明:对任意&,&成等差数列. 31．（2012年高考（山东理））在等差数列&中,&&. (Ⅰ)求数列&的通项公式; (Ⅱ)对任意&,将数列&中落入区间&内的项的个数记为&,求数列&&的前&项和&. 32．（2012年高考（江西理））已知数列{an}的前n项和&,且Sn的最大值为8. (1)确定常数k,求 (2)求数列&的前n项和Tn. 33．（2012年高考（江苏））设集合&,&.记&为同时满足下列条件的集合&的个数: ①&;②若&,则&;③若&,则&. (1)求&; (2)求&的解析式(用&表示). 34．（2012年高考（江苏））已知各项均为正数的两个数列&和&满足:&,&, (&1)设&,&,求证:数列&是等差数列; (2)设&,&,且&是等比数列,求&和&的值.& 35．（2012年高考（湖南理））已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。 (1)&&&&若a1=1,a2=5,且对任意n∈N~,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{&an&}的通项公式. (2)&&&&证明:数列{&an&}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意&,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. 36．（2012年高考（湖北理））已知等差数列&前三项的和为&,前三项的积为&. (Ⅰ)求等差数列&的通项公式; (Ⅱ)若&,&,&成等比数列,求数列&的前&&项和. 37．（2012年高考（广东理））设数列&的前&项和为&,满足&,&&,且&、&、&成等差数列. (Ⅰ)求&的值; (Ⅱ)求数列&的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数&,有&. 38．（2012年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效) 函数&.定义数列&如下:&是过两点&的直线&与&轴交点的横坐标. (1)证明:&; (2)求数列&的通项公式. 39．（2012年高考（北京理））设A是由&个实数组成的&行&列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记&为所有这样的数表构成的集合. 对于&，记&为A的第&行各数之和&，&为A的第&列各数之和&； 记&为&，&，…，&，&，&，…，&中的最小值. （1）对如下数表A,求&的值； 1&&&&1&&&&-0.8 0.1&&&&-0.3&&&&-1 （2）设数表A=&形如 1&&&&1&&&&1 & & -1& 求&的最大值； （3）给定正整数&，对于所有的A∈S(2，&),求&的最大值。 40．（2012年高考（安徽理））数列&满足:& (I)证明:数列&是单调递减数列的充分必要条件是& (II)求&的取值范围,使数列&是单调递增数列. 2012年高考真题理科数学解析汇编：数列参考答案 一、选择题 1.&&【解析】选&&,&或&& && && 2.&&【答案】C& 【解析】选项C显然是错的,举出反例:―1,0,1,2,3,.满足数列{S&n}是递增数列,但是S&n&0不成立.& 3.&&【答案】B& 【解析】&,&,故&.& 【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前&项和公式,解题时要认真审题,仔细解答.& 4.&&D& ∵数列{an}是公差为&的等差数列,且&& ∴&& ∴&&&即&&& 得&& ∴&&& 本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习.&另外,&隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力.& 5.&&&对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数.& 当26≤k≤49时,令&,则&,画出k终边如右,& 其终边两两关于x轴对称,即有&,& 所以&+&++&+&+0& +&+&+&& =&+&++&+&+& +&,其中k=26,27,,49,此时&,& 所以&,又&,所以&,& 从而当k=26,27,,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49&0.& 对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数.&综上,可选D.& &本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键.& 6.&&【答案】B& 【解析】在等差数列中,&,答案为B& 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确.& 7.&&C【解析】本题考查归纳推理的思想方法.& 观察各等式的右边,它们分&别为1,3,4,7,11,,& 发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,,& 故&& 【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.& 8.&&考点分析:本题考察&等比数列性质及函数计算.& 解析:等比数列性质,&,①&;&②&;③&;④&.选C& 9.&&【答案】B& 【解析】&,而&,解得&.& 【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力.& 10.答案A& 【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前&项和的公式的运用,以及裂项求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和.& 【解析】由&可得& && && && 11.&【答案】C& 【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C.& 【考点定位】&本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着&的增大,&变化超过平均值的加入,随着&增大,&变化不足平均值,故舍去.& 12.&【解析】选&& && 二、填空题 13.&【解析】&的前&项和为&& 可证明:&& && 14.&【答案】&& 【解析】将&,&两个式子全部转化成用&,q表示的式子.& 即&,两式作差得:&,即:&,解之得:&(舍去).& 15.&&&&& 16.&【答案】&& 【解析】&& && 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题.& 17.&&35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想&& (解法一)因为数列&都是等差数列,所以数列&也是等差数列.& 故由等差中项的性质,得&,即&,解得&.& (解法二)设数列&的公差分别为&,& 因为&,& 所以&.所以&.& 【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解.&体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式,前&项和,等差中项的性质等.& 18.&【答案】(1)6;(2)&& 【解析】(1)当N=16时,& &,可设为&,& &,即为&,& &,即&,&x7位于P2中的第6个位置,;& (2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第&个位置.& 【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.& 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.& 19.考点分析:本题考查排列、组合的应用.& 解析:(Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有&种.& 答案:90& (Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为&.& 法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有90个按此规律推导&,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数,因此&,则答案为&.& 20.解析:&.设公差为&(&),则有&,解得&,所以&.& 21.&【答案】&& 【解析】由&,可得&& && 【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.& 22.&【答案】1,&& 【解析】&,所以&,&.& 【考点定位】&本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前&项和公式的计算.& 三、解答题 23.&【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前&项和公式、数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力.& (1)设等差数列&的公差为&,等比数列&的公比为&,由&,得&,由条件得方程组&,故&& （2）& & & & 方法二：数学归纳法 （1）当&时，&，故等式成立。 && 【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原则.& 24.&【解析】(1)由正弦定理得:& && && (2)&& && 解得:&& 25.&(1)证明:由&,得&,即&.& 因&,故&,得&,& 又由题设条件知&,&& 两式相减得&&,即&,& 由&,知&,因此&& 综上,&对所有&成立,从而&是首项为1,公比为&的等比数列.& (2)当&或&时,显然&,等号成立.& 设&,&且&,由(1)知,&,&,所以要证的不等式化为:& && 即证:&& 当&时,上面不等式的等号成立.& 当&时,&与&,(&)同为负;& 当&时,&&&&&与&,(&)同为正;&&& 因此当&且&时,总有&(&)(&)&0,即& &,(&).& 上面不等式对&从1到&求和得,&& 由此得&& 综上,当&且&时,有&,当且仅当&或&时等号成立.& 26.&(1)由已知得,交点A的坐标为&,对&则抛物线在点A处的切线方程为&& (2)由(1)知f(n)=&,则&& 即知,&对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到a≥&& 当&,& &&& && && &2n3+1& 当n=0,1,2时,显然&& 故当a=&时,&对所有自然数都成立& 所以满足条件的a的最小值是&.& (3)由(1)知&,则&,&& 下面证明:&& 首先证明:当0&x&1时,&& 设函数&& && 当&& 故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g&& 所以,当0&x&1时,g(x)≥0,即得&& 由0&a&1知0&ak&1(&),因此&,从而& && && 本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.& 27.&取n=1,得&&&&&①& 取n=2,得&&&&&②& 又②-①,得&&&&&&&&③& (1)若a2=0,&由①知a1=0,&& (2)若a2&,&&&④& 由①④得:&&&& (2)当a1&0时,由(I)知,&& 当&&,&(2+&)an-1=S2+Sn-1& 所以,an=&& 所以&& 令&& 所以,数列{bn}是以&为公差,且单调递减的等差数列.& 则&b1&b2&b3&&b7=&& 当n≥8时,bn≤b8=&&& 所以,n=7时,Tn取得最大值,且Tn的&最大值为& T7=&&& 本小题主要从三个层面对考生进行了考查.&第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.& 28.&(1)选取&,Y中与&垂直的元素必有形式&&& 所以x=2b,从而x=4&& (2)证明:取&.设&满足&.& 由&得&,所以&、&异号.& 因为-1是X中唯一的负数,所以&、&中之一为-1,另一为1,& 故1X&&猜测&,i=1,&2,&,&n&& 记&,k=2,&3,&,&n.& 先证明:若&具有性质P,则&也具有性质P.& 任取&,&、&&.当&、&中出现-1时,显然有&满足&;& 当&且&时,&、&≥1.& 因为&具有性质P,所以有&,&、&&,使得&,& 从而&和&中有一个是-1,不妨设&=-1.& 假设&&且&&,则&&.由&,得&,与& &&矛盾.所以&&.从而&也具有性质P&& 现用数学归纳法证明:&,i=1,&2,&,&n.& 当n=2时,结论显然成立;& 假&设n=k时,&有性质P,则&,i=1,&2,&,&k;& 当n=k+1时,若&有性质P,则&& 也有性质P,所以&.& 取&&,并设&满足&,即&.由此可得s与t中有且只有一个为-1.& 若&,则&,所以&,这不可能;& 所以&,&,又&,所以&.& 综上所述,&&,i=1,&2,&,&n&& 设&,&,则&等价于&.& 记&,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于& 原点对称&& 注意到-1是X中的唯一负数,&共有n-1个数,& 所以&也只有n-1个数.& 由于&,已有n-1个数,对以下三角数阵& && && && 注意到&,所以&,从而数列的通项公式为& &,k=1,&2,&,&n&& 29.解:(1)&,&& (2)由&,& 由&,即&;由&,即&& &.& (3)由&,故&,& && 当&时,以上各式相加得& &&& && 当&时,& && &&,&& 30.解析:(1)设数列&的公比为&(&)& 由&成等差数列,得&,即&& 由&得&,解得&(舍去)& ∴&&&&& (2)证法一:对任意&& && && && 所以,对任意&,&成等差数列& 证法二&&&对任意&,&& && && && && 因此,对任意&,&成等差数列.& 31.解析:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得&而a9=73,则&,&,于是&,即&.& (Ⅱ)对任意m∈&N~,&,则&,& 即&,而&,由题意可知&,& 于是&& &,& 即&.& 32.&【解析】& 解:&(1)当&时,&取最大值,即&,故&,从而&,又&,所以&& (2)&&&&因为&,&& 所以&& 【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用&来实现&与&的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意&不能用来求解首项&,首项&一般通过&来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列.& 33.&【答案】解:(1)当&时,符合条件的集合&为:&,& ∴&&=4.&&&&& (&2&)任取偶数&,将&除以2&,若商仍为偶数.再除以2&,•••&经过&次以后.商必为奇数.此时记商为&.于是&,其中&为奇数&.& 由条件知.若&则&为偶数;若&,则&为奇数.& 于是&是否属于&,由&是否属于&确定.& 设&是&中所有奇数的集合.因此&等于&的子集个数.& 当&为偶数〔&或奇数)时,&中奇数的个数是&(&).& ∴&.& 【考点】集合的概念和运算,计数原理.& 【解析】(1)找出&时,符合条件的集合个数即可.& (2)由题设,根据计数原理进行求解.& 34.&【答案】解:(1)∵&,∴&.& ∴&&.∴&&&&.& ∴数列&是以1&为公差的等差数列.& (2)∵&,∴&.& ∴&.(~)& 设等比数列&的公比为&,由&知&,下面用反证法证明&& 若&则&,∴当&时,&,与(~)矛盾.& 若&则&,∴当&时,&,与(~)矛盾.& ∴综上所述,&.∴&,∴&.& 又∵&&,∴&是公比是&的等比数列.& 若&,则&,于是&.& 又由&即&,得&.& ∴&中至少有两项相同,与&矛盾.∴&.& ∴&.& ∴&&.& 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法.& 【解析】(1)根据题设&和&,求出&,从而证明&而得证.& (2)根据基本不等式得到&,用反证法证明等比数列&的公比&.& &从而得到&的结论,再由&知&是公比是&的等比数列.最后用反证法求出&.& 35.&【解析】& 解(1)对任意&,三个数&是等差数列,所以& && 即&亦即&& 故数列&是首项为1,公差为4的等差数列.于是&& (Ⅱ)(1)必要性:若数列&是公比为q的等比数列,则对任意&,有& &由&知,&均大于0,于是& && && 即&=&=&,所以三个数&组成公比为&的等比数列.& (2)充分性:若对于任意&,三个数&组成公比为&的等比数列,& 则& &,& 于是&得&即& && 由&有&即&,从而&.& 因为&,所以&,故数列&是首项为&,公比为&的等比数列,& 综上所述,数列&是公比为&的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N~,三个数&组成公比为&的等比数列.& 【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.& 36.考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及基本运算.& 解析:(Ⅰ)设等差数列&的公差为&,则&,&,& 由题意得&&解得&或&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 所以由等差数列通项公式可得& &,或&.& 故&,或&.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (Ⅱ)当&时,&,&,&分别为&,&,&,不成等比数列;& 当&时,&,&,&分别为&,&,&,成等比数列,满足条件.& 故&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 记数列&的前&项和为&.& 当&时,&;当&时,&;& 当&时,& &&&& &.&当&时,满足此式.& 综上,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 37.解析:(Ⅰ)由&,解得&.& (Ⅱ)由&可得&(&),两式相减,可得&,即&,即&,所以数列&(&)是一个以&为首项,3为公比的等比数列.由&可得,&,所以&,即&(&),当&时,&,也满足该式子,所以数列&的通项公式是&.& (Ⅲ)因为&,所以&,所以&,于是&.& 点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题&,该加强命题的思考过程如下.& 考虑构造一个公比为&的等比数列&,其前&项和为&,希望能得到&,考虑到&,所以令&即可.由&的通项公式的形式可大胆尝试令&,则&,于是&,此时只需证明&就可以了.& 当然,&的选取并不唯一,也可令&,此时&,&,与选取&不同的地方在于,当&时,&,当&时,&,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.& 当&时,&;当&时,&;当&时,&.& 当&时,&,所以& &.& 综上所述,命题获证.& 下面再给出&的两个证法.& 法1:(数学归纳法)& ①当&时,左边&,右边&,命题成立.& ②假设当&(&,&&)时成立,即&成立.为了证明当&时命题也成立,我们首先证明不等式:&(&,&&).& 要证&,只需证&,只需证&,只需证&,只需证&,该式子明显成立,所以&.& 于是当&时,&,所以命题在&时也成立.& 综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数&,有&.& 备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识.& 法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供)& 当&时,&显然成立.当&时,&显然成立.& 当&时,&&& &,又因为&,所以&(&),所以&(&),所以& &.& 综上所述,命题获证.& 38.&【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用.先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项.& 解:(1)为&,故点&在函数&的图像上,故由所给出的两点&,可知,直线&斜率一定存在.故有& 直线&的直线方程为&,令&,可求得& && 所以&& 下面用数学归纳法证明&& 当&时,&,满足&& 假设&时,&成立,则当&时,&,& 由&即&也成立& 综上可知&对任意正整数恒成立.& 下面证明&& 由&& 由&,故有&即&& 综上可知&恒成立.& (2)由&得到该数列的一个特征方程&即&,解得&或&& &&&&&&①&&&&&&②& 两式相除可得&,而&& 故数列&是以&为首项以&为公比的等比数列& &,故&.& 法二(先完成Ⅱ,用Ⅱ证Ⅰ):(Ⅱ)&&的方程为&,令&得&& (不动点法)&令&,得函数&的不动点&.& && && 上两式相除得&.可见数列&是等比数列,其中公比&,首项为& &.&&&即为所求.& (Ⅰ)①由上知&(当&时).& ②又&(当&时).& ③易见,数列&&单调递减,所以数列&&单调递增,即& &.& 综合①②③得:&.& 【点评】以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式.既考查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有一定的难度.做这类试题那就是根据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系式即可.& 39.&【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力.& 解:(1)由题意可知&,&,&,&,&∴&& (2)先用反证法证明&:& 若&&&则&,∴&& 同理可知&,∴&&&&由题目所有数和为&&&&即&&&∴&& 与题目条件矛盾& ∴&.& 易知当&时,&存在&&&∴&的最大值为1& (3)&的最大值为&.& 首先构造满足&的&:& &,& &.& 经计算知,&中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且& &,& &,& &.& 下面证明&是最大值.&若不然,则存在一个数表&,使得&.& 由&的定义知&的每一列两个数之和的绝对值都不小于&,而两个绝对值不超过1的数&的和,其绝对值不超过2,故&的每一列两个数之和的绝对值都在区间&中.&由于&,故&的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小&于&.& 设&中有&列的列和为正,有&列的列和为负,由对称性不妨设&,则&.&另外,由对称性不妨设&的第一行行和为正,第二行行和为负.& 考虑&的第一行,由前面结论知&的第一行有不超过&个正数和不少于&个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于&(即每个负数均不超过&).&因此& &,& 故&的第一行行和的绝对值小于&,与假设矛盾.&因此&的最大值为&.& 40.&【解析】(I)必要条件& 当&时,&数列&是单调递减数列& 充分条件& 数列&是单调递减数列&& 得:数列&是单调递减数列的充分必要条件是&& (II)由(I)得:&& ①当&时,&,不合题意& ②当&时,&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& && 当&时,&与&同号,& 由&& && 当&时,存在&,使&与&异号& 与数列&是单调递减数列矛盾& 得:当&时,数列&是单调递增数列&
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