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& 【经典专题】高三数学二轮复习专题第一部分 专题复习讲义《1-3-2数列的综合应用》课时演练（人教版）教师专用
【经典专题】高三数学二轮复习专题第一部分 专题复习讲义《1-3-2数列的综合应用》课时演练（人教版）教师专用
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资料概述与简介
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
解析：　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
a5＝5，S5＝15，
∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
＝＝－，数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.
2．(2012·新课标全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为(　　)
解析：　an＋1＋(－1)nan＝2n－1，a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，
a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，
a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，
a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，
a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234
＝＝1 830.
3．“神七升空，举国欢庆”，据科学计算，运载“神七”的“长征二号”F火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是(　　)
解析：　设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式得na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.故选C.
4．已知曲线C：y＝(x＞0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2＞x1＞0.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么(　　)
A．x1，，x2成等差数列
B．x1，，x2成等比数列
C．x1，x3，x2成等差数列
D．x1，x3，x2成等比数列
解析：　由题意，B1，B2两点的坐标为，，所以直线B1B2的方程为：y＝－(x－x1)＋，令y＝0，得x＝x1＋x2，
x3＝x1＋x2，因此，x1，，x2成等差数列．
5．设等差数列{an}满足3a8＝5am，a1＞0，(Sn)max＝S20，则m的值为(　　)
解析：　设公差为d，则由3a8＝5am，得a1＝d.
由(Sn)max＝S20得a20＞0，a21＜0，d＜0，代入解得＜m＜.
又mN*，所以m＝13.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数y＝ax2＋x(aN*)的图象上，则(　　)
A．n与an的奇偶性相异
B．n与an的奇偶性相同
C．a与an的奇偶性相异
D．a与an的奇偶性相同
解析：　Sn＝an2＋n，an＝Sn－Sn－1＝an2＋n－a(n－1)2－(n－1)＝2an＋1－a(n≥2)，an与1－a的奇偶性相同，故选C.
7．(2012·浙江卷)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.
解析：　方法一：S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，
将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，
3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0.
解得q＝(q＝－1不合题意，舍去)．
方法二：设等比数列{an}的首项为a1，
由S2＝3a2＋2，得
a1(1＋q)＝3a1q＋2.
由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.
由－得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．
q＞0，q＝.
8．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，a2＝2，anan＋1an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，且an＋1an＋2≠1，则a1＋a2＋a3＝________，S2 010＝________.
解析：　将a1＝1，a2＝2代入计算得a3＝3.
a1＋a2＋a3＝1＋2＋3＝6.
则a2·a3·a4＝a2＋a3＋a4，
即6a4＝5＋a4.
a4＝1，a3·a4·a5＝a3＋a4＋a5，
即3a5＝3＋1＋a5，a5＝2.
可知数列{an}是以3为周期循环出现1,2,3的数列．
故S2 010＝(1＋2＋3)×670＝4 020.
答案：　6　4 020
9.如图的倒三角形数阵满足：(1)第1行的n个数，分别是1,3,5，…，2n－1；(2)从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；(3)数阵共有n行．问：当n＝2 012时，第32行的第17个数是________．
解析：　每行第1个数分别是1,4,12,32，…，它的通项公式为an＝n×2n－1.则第32行第1个数为a32＝32×232－1＝236，而在第32行的各个数成等差数列，且公差为232，所以第17个数是236＋(17－1)×232＝236＋24×232＝2×236＝237.
答案：　237.
10．(2012·长春市调研)已知等差数列{an}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析：　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，得解得
所以{an}的通项an＝2n－1.
(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.
当q＞0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋；
当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1)．
所以数列{bn}的前n项和
11．(2012·广州市调研)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．
(1)设bn＝an＋1＋λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解析：　(1)假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列，
设＝q(n≥2)，
即an＋1＋λan＝q(an＋λan－1)，得an＋1＝(q－λ)an＋qλan－1.
与已知an＋1＝an＋2an－1比较，令，
解得λ＝1或λ＝－2.
所以存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．
当λ＝1时，q＝2，b1＝4，则数列{bn}是首项为4、公比为2的等比数列；
当λ＝－2时，q＝－1，b1＝1，则数列{bn}是首项为1、公比为－1的等比数列．
(2)由(1)知an＋1－2an＝(－1)n＋1(n≥1)，
所以－＝＝n＋1(n≥1)，
当n≥2时，＝＋＋＋…＋
＝＋2＋3＋…＋n
因为＝也适合上式．
所以＝＋(n≥1)．
所以an＝[2n＋1＋(－1)n]．
1．(2012·豫西五校联考)设实数a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足1＜a1＜3，a3＝4.若定义bn＝2an，给出下列命题：
(1)b1，b2，b3，b4是一个等比数列；(2)b1＜b2；(3)b2＞4；(4)b4＞32；(5)b2·b4＝256.其中真命题的个数为(　　)
解析：　若{an}是公差为d的等差数列，则{2an}是公比为2d的等比数列，故(1)正确；a3＞a1公差d＞0公比2d＞1，(2)正确；a1＋a3＝2a2，由1＜a1＜3，a3＝4，得a1＋a3＞5a2＞2b2＝2a2＞4，(3)正确；1＜a1＜3，a3＝4，又a3＝a1＋2dd＝?a4∈，故b4＝2a4不一定大于32，(4)不正确；因为b2·b4＝b＝(2a3)2＝256，所以(5)正确．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．
解析：　由a4－a2＝8，得2d＝8，d＝4.
又a3＋a5＝26，得a4＝13，a1＝1.
于是Sn＝n＋·4＝(2n－1)n，
Tn＝＝2－<2.
要使M≥Tn恒成立，只需M≥2，M的最小值是2.
3．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝a＋Sn·an，若数列{bn}为等比数列，求a的值；
(3)在满足条件(2)的情形下，设cn＝－，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞2n－.
解析：　(1)当n＝1时，S1＝a(S1－a1＋1)，得a1＝a.
当n≥2时，Sn＝a(Sn－an＋1)，
Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，
两式相减得an＝a·an－1，得＝a.
即{an}是等比数列．所以an＝a·an－1＝an.
(2)由(1)知bn＝(an)2＋an，bn＝，
若{bn}为等比数列，则有b＝b1b3，
而b1＝2a2，b2＝a3(2a＋1)，b3＝a4(2a2＋a＋1)，
故[a3(2a＋1)]2＝2a2·a4(2a2＋a＋1)，解得a＝，
再将a＝代入bn，得bn＝n，结论成立，所以a＝.
(3)证明：由(2)知an＝n，
所以cn＝－＝＋＝2－＋.
所以cn＞2－＋.
Tn＝c1＋c2＋…＋cn＞＋＋…＋
＝2n－＋＞2n－.结论成立
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█重量█池刞1
（1）a5＝a1＋4d＝5S15＝15a1＋105d＝225；解得a1＝－35＆＃47；6d＝10＆＃47；3．an＝10n＆＃47；3－－55＆＃47；6
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已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6=-5，S4=-62．（1）求{an}通项公式；（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．
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等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
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1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）； (2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q＝0，此时公差d＜0。&&数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
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已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．&#xa0;
（1）(－1)n－1（2）
【解析】(1)解 设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为
an＝×n－1＝(－1)n－1.
(2)由(1)得Sn＝1－n＝，当n为奇数时，S...
考点分析：
考点1：等差数列
考点2：等比数列
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已知函数f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列{an}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为Sn，点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上；数列{bn}满足b1＝2，bn≠1，且(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)(n∈N＋)．(1)求an并证明数列{bn－1}是等比数列；(2)若数列{cn}满足cn＝，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn&3.&#xa0;
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题型：解答题
难度：困难
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已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列{1anan+1}的前100项和为______．
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