高中数学典型例题解析：第二章 函数概念与基本初等函数_百度文库
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高中数学典型例题解析：第二章 函数概念与基本初等函数|高​中​数​学​典​型​例​题​解​析
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数学物理方法学习指导典型题解（复变函数、积分变换、数理方程与特殊函数）（新版）
作者：李惜雯
出版：西安交通大学出版社
数学物理方法学习指导典型题解（复变函数、积分变换、数理方程与特殊函数）（新版）《数学物理方法学习指导典型题解：复变函数、积分变换、数理方程与特殊函数(新版)》是根据理工科数学物理方法的数学大纲要求进行编写的，包含复变函数、积分变换、数学物理方程与特殊函数三部分内容。全书共分9章，收集了200道（大）题。　　每章、节均有基本要求、内容提要及例题解析三部分；每道例题后带有注释，对所有知识及解题思路进行分析和讨论；并在每章最后给出一定量练习题及答案。　　《数学物理方法学习指导典型题解：复变函数、积分变换、数理方程与特殊函数(新版)》可作为全日制理工科各专业，电大、函授等各类大学相关专业学生，学习数学物理方法课程，及机类、化工、材料、结构工程等专业硕士研究生学习应用数学基础课程的参考书，也可供从事本类课程教学的中青年教师参考。第1章 复数与复变函数1.1 复数的表示与代数运算1.1.1 基本要求1.1.2 内容提要1.1.3 例题解析1.2 复平面的点集与点列、复数项级数1.2.1 基本要求1.2.2 内容提要1.2.3 例题解析1.3 复变函数1.3.1 基本要求1.3.2 内容提要1.3.3 例题解析1.4 初等函数1.4.1 基本要求1.4.2 内容提要1.4.3 例题解析1.5 保角映射1.5.1 基本要求1.5.2 内容提要1.5.3 例题解析1.6 第1章练习题第2章 复变函数的积分2.1 复变函数积分概念与Cauchy积分定理2.1.1 基本要求2.1.2 内容提要2.1.3 例题解析2.2 Cauchy积分公式及解析函数的任意阶可导性2.2.1 基本要求2.2.2 内容提要2.2.3 例题解析2.3 第2章练习题第3章 Taylor解析函数的幂级数表示3.1 级数3.1.1 基本要求3.1.2 内容提要3.1.3 例题解析3.2 Laurent级数3.2.1 基本要求3.2.2 内容提要3.2.3 例题解析3.3 第3章练习题第4章 留数定理及其应用4.1 单值函数孤立奇点及其分类4.1.1 基本要求4.1.2 内容提要4.1.3 例题解析4.2 留数及留数学定理4.2.1 基本要求4.2.2 内容提要4.2.3 例题解析4.3 第4章练习题第5章 Fourier变换Laplace与变换5.1 Fourier积分Laplace与变换5.1.1 基本要求5.1.2 内容提要5.1.3 例题解析5.2 Laplace变换5.2.1 基本要求5.2.2 内容提要5.2.3 例题解析5.3 第5章练习题第6章 数学物理方程定解问题6.1 泛定方程定解问题6.1.1 基本要求6.1.2 内容提要6.1.3 例题解析6.2 第6章练习题第7章 分离变量法(Fourier级数法)7.1 齐次边界与齐次方程7.1.1 基本要求7.1.2 内容提要7.1.3 例题解析7.2 齐次边界与非齐次方程7.2.1 基本要求7.2.2 内容提要7.2.3 例题解析7.3 非齐次边界条件的处理7.3.1 基本要求7.3.2 内容提要7.3.3 例题解析7.4 第7章练习题第8章 贝赛尔函数与勒让德多项式8.1 贝赛尔函数8.1.1 基本要求8.1.2 内容提要8.1.3 例题解析8.2 勒让德多项式8.2.1 基本要求8.2.2 内容提要8.2.3 例题解析8.3 第8章练习题第9章 定解问题的其它解法9.1 行波法与积分变换法9.1.1 基本要求9.1.2 内容提要9.1.3 例题解析9.2 Laplace方程的Green函数法9.2.1 基本要求9.2.2 内容提要9.2.3 例题解析.9.3 第9章练习题.
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2导数的概念经典例题|导​数​的​概​念​的​典​型​习​题
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（应用赫尔维茨判据） 1+Ga (s)=0,(a)
KK＞20／3。
解法二（应用劳斯判据） 由特征方程可构造劳斯阵列如下：
要使系统稳定，其第一列的元素必须全为正。同样也可以求得K的稳定域为K＞20／3。
（应用赫尔维茨判据） 1+Ga (s)=0,(b)
解法二（应用劳斯判据） 由特征方程可构造劳斯表如下：
可见其第一列的元素不变号，故系统没有极点在右半开平面上。而由辅助方程&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
可解得系统有一对纯虚根p12=±j1.87。于是应用长除法由系统的特征方程
则可求得另一个系统极点为p3=-3.5。因此可判断该系统为临界稳定的。
&&& 讨论& 由例题结果可见：（1）系统的开环稳定性和闭环稳定性是两回事，它们之间没有必然的联系。开环稳定的（如系统（b））其闭环未必稳定；开环不稳定的（如系统（a））其闭环不见得不稳定。所谓系统稳定性，指的是闭环的稳定性。从工程上着眼，为使系统易于控制和调试，通常希望系统的开环应是稳定的。（2）从判断系统的稳定性以及确定稳定裕度和参数的稳定域而言，赫尔维茨判据和劳斯判据是等效的。然而劳斯判据还可用来确定极点在左右两半平面上的分布情况，而且运算较为简便，故在实际中得到了较为广泛的应用。
& 1+G(s)=0
T＞0,&&&&&&&&&&&&&
K＞0,T+2-K(T-2)＞0
故系统稳定时参数K和T的取值范围为&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
相应的K和T的稳定域，如图3.2所示。&&&&&&&&&&&&
3.3 A3.2w=2rad/sK&
p12=±j2。这意味着劳斯表的& 行全为零元素，即。由辅助方程解得一队。
&&&& 联立求解下列方程组
则可求得系统产生w=2rad/s的持续振荡时，参数K和的取值为
3.4 某液位控制系统的结构图，如图3.4(a)所示。图中hrhq1q2
K= KpKmK1K2
斯判据可求得系统稳定的充要条件为
K3TmKpK1K2
3.5 oCG(s)=1/(Ts+1)198%1 T10%90%210oC/min
t=60sy(t)=0.98
3.5.210%90%tr=2.2T=33.75s
3.44G(s)=1/(Ts+1)a0 =b0=1Kv=K=1/Tr(t)=10t/60=t/6(oC
/s)，于是可求得温度计的稳态指示误差为
3.6 设系统的结构图如图3.6所示，其中受控对象的传递函数为
现拟采用负反馈的办法将调节时间减少到原来的1/10，而增益保持不变。试确定系统参数K1和K2的值。
根据题意，系统的期望闭环传递函数为
而由结构图可得，系统的实际闭环传递函数为
令(t) =ex(s),比较方程两边s的同幂次项系数，于是有
联立求解，则可求得系统参数的值为K1=10& K2=0.9。
3.7 设控制系统的结构图如图3.7所示，其输入信号为单位斜坡函数（即r(t)=t）。要求：（1）当& 和K1=1时，计算系统的暂态性能（超调量p和调节时间ts）以及稳态误差；（2）若要求系统的单位阶跃响应的超调量p=16.3%，峰值时间tp=1s，求参数K1和 的值，以及这时系统的跟踪稳态误差；（3）若要求超调量p=16.3%和当输入信号以1.5度/秒匀速变化时跟踪稳态误差esr=0.1K1
系统，系统的开环增益为
(A3.9)&&&&
2p =16.3%tp =1s&
K1=1.316&&&&&&&&&&&
3p =16.3%esr=0.1p =16.3% r(t)=1.5t(A3.9)
&的取值；（2）系统的暂态性能和稳态性能。
（1）系统参数和特征参数的取值
&&& 由结构图3.27可得，位置随动系统的开、闭环传递函数为
可见该系统为Ⅰ型的，则Kp=∞， Kv=K,& Ka=0。由式(A3.10)可得：系统的跟踪稳态误差，于是可以推断其输入信号为阶跃函数；闭环极点为p1=-1.07,
p2=-3.73。则可求得系统的特征多项式为
于是有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
故系统的参数为
(2)系统的暂态性能和稳态性能
系统工作在过阻尼状态，其暂态响应为非周期的。于是可求得系统的暂态
&&& 系统的稳态性能：跟踪阶跃输入信号无稳态误差；跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差为
esr= 1/Kv = 1/K = 1/0.83 = 1.2（度）
说明& 3.5节已经指出：一阶和二阶系统的暂态性能与其特征参数&&&&&&&&
相对应，而特征参数又与系统传递函数的规范形式相联系。例3.5-3.8正是利用低阶系统传递函数的规范形式和特征参数与暂态性能之间的内在联系来求解的。这也是低阶系统和具有主导极点的高阶系统解题的基本思路。
3.9 A3.8G1(s)8(1-
e-5t)/51r(t)=20×1(t) d(t)=0 2r(t)=20×1(t) d(t)=1(t)
G2(s)=2/(s+4)
r(t)=20×1(t)
2r(t)=20×1(t) d(t)=1(t)
ess=esr+esd=4+0.5=4.5
(3.141)(2.73)3.6.2(3.141)ed(s)
ed(s)ed(s)03.6.23.47
k＜v1esd=0k=v1esdv=0esd= -K2K3D1
/1+ K1K2K3）≈-D1 / K1 v1≥1时 esd = -D1 / K1 k＞v1 t→∞时其扰动终值误差将趋于无穷大。由此可见，按折算至输入端定义时所得的结论，与3.6.2小节（按折算至输出端定义时）所得的结论基本上是一致的。它们的主要差别在于：（1）对扰动信号而言，其系统类型只取决于扰动作用点之前的前向通道所包含的积分环节的阶数v1
K3 K2K3K2H(s)导数综合应用复习题经典_百度文库
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