若f(x)=ln(1+x)-x,b小n=f(n),a小n=ln(1+n)-b小n,n设x y属于rN

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-07-25 07:14 标签： 设x y属于r
已知函数f(x)=x/(1+x)，x∈[0,+∞），求证f(x)在[0,+∞）为增函数；利用函数单调性证明|a+b|/(1+|a+b|)..._百度知道
已知函数f(x)=x/(1+x)，x∈[0,+∞），求证f(x)在[0,+∞）为增函数；利用函数单调性证明|a+b|/(1+|a+b|)...
已知函数f(x)=x/(1+x)，x∈[0,+∞），求证f(x)在[0,+∞）为增函数；利用函数单调性证明|a+b|/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
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1) f(x)'=1/(x+1)^2&0 所以f(x)在[0,+∞）为增函数2)因为 |a+b|≤|a|+|b|令x1=|a+b| x2=|a|+|b|则0&x1≤x2由1)知f(x1)≤f(x2)so|a+b|/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
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解析：设0≤x1＜x2,则f（x1)-f(x2)=x1/(x1+1)-x2/(x2+1)=(x1-x2)/(x1+1)(x2+1),∵x1-x2＜,（x1+1)(x2+1)＞0，∴f（x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),∴f(x)在[0,+∞）为增函数；又|a+b|≤|a|+|b|，∴结论成立。限字了
证明：1.令x=n,n∈[0,+∞），f(n+1)-f(n)=(n+1)/(1+n+1)-n/(1+n)=1/[(n+1)*(n+2)]&0所以f(n+1)&f(n),又n+1&n,所以f(x)是一个增函数。2.因为|a+b|≤|a|+|b|，所以，领x1=|a+b|,x2=|a|+|b|,则f(x1)≤f(x2),得证。
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＞＞＞（14分）设函数f(x)＝xn（n≥2，n∈N*）（1）若Fn(x)＝f(x－a)＋f(b－x)（0＜a＜x..
（14分）设函数f(x)＝xn（n≥2，n∈N*）（1）若Fn(x)＝f(x－a)＋f(b－x)（0＜a＜x＜b），求Fn(x)的取值范围；（2）若Fn(x)＝f(x－b)－f(x－a)，对任意n≥a (2≥a＞b＞0)，证明：F(n)≥n(a－b)(n－b)n-2。
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）［，（b－a）n）（2）略1）∵Fn(x)＝f (x－a)＋f(b－x)＝(x－a)n＋(b－x)nF(x)＝n(x－a)n-1＋n(b－x)n-1·(－1)＝n［(x－a)n-1－(b－x)n-1］令F(x)＝0得(x－a)n-1＝(b－x)n-1∵0＜a＜x＜b　　∴f (x)＝xn(n≥2，n∈N+)为单调增函数∴x＝x(a，)(，b)F(x)－0＋F(x)单调减极小值单调增∴Fn(x)min＝Fn()＝()n＋()n＝又Fn(x)在x＝a，x＝b处连续且Fn(a)＝Fn(b)＝（b－a）n故≤Fn(x)＜（b－a）n即Fn(x)的取值范围为［，（b－a）n）………………………………7分（2）证明：∵Fn(x)＝f(x－b)－f(x－a)＝(x－b)n－(x－a)n∴F(x)＝n［(x－b)n-1－(x－a)n-1］则F(n)＝n［(n－b)n-1－(n－a)n-1］∵当x≥a＞0时F(x)＞0∴当x≥a＞0时Fn(x)是关于x的增函数∴当n≥a时，（n＋1－b）n－（n＋1－a）n＞(n－b)n－(n－a)n＞0∴F（n＋1）＝（n＋1）［（n＋1－b）n－（n＋1－a）n］＞（n＋1）［(n－b)n－(n－a)n］＞（n＋1）［(n－b) (n－b)n-1－(n－b) (n－a)n-1］＝（n＋1）(n－b)［(n－b)n-1－(n－a)n-1］＝(n－b)·F(n)而F(n)＞0于是＞·（n－b）而F(2)＝2［(2－b)2-1－(2－a)2－1］＝2(a－b)当n≥3时F(n)＝·…·F(2)＞·…·2(a－b) ·(n－b)n-2＝n(a－b)(n－b)n-2即F(n) ≥n(a－b)(n－b)n-2…………………………………………………14分
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据魔方格专家权威分析，试题“（14分）设函数f(x)＝xn（n≥2，n∈N*）（1）若Fn(x)＝f(x－a)＋f(b－x)（0＜a＜x..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“（14分）设函数f(x)＝xn（n≥2，n∈N*）（1）若Fn(x)＝f(x－a)＋f(b－x)（0＜a＜x..”考查相似的试题有：
828231775204260083253559861342555894

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