如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【考点】；；；；．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线．（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin∠BCP=sin∠DBC===，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4．（3）先求出AC的长度，然后利用BD∥PC的比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°∴2∠BCP+2∠BCA=180°，∴∠BCP+∠BCA=90°，又C点在直径上，∴直线CP是⊙O的切线．（2）如右图，作BD⊥AC于点D，∵PC⊥AC∴BD∥PC∴∠PCB=∠DBC∵BC=2，sin∠BCP=，∴sin∠BCP=sin∠DBC===，解得：DC=2，∴由勾股定理得：BD=4，∴点B到AC的距离为4．（3）如右图，连接AN，∵AC为直径，∴∠ANC=90°，∴Rt△ACN中，AC==5，又CD=2，∴AD=AC-CD=5-2=3．∵BD∥CP，∴，∴CP=．在Rt△ACP中，AP=2+CP2=，AC+CP+AP=5++=20，∴△ACP的周长为20．【点评】本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：sjzx老师　难度：0.54真题：7组卷：172
解析质量好中差已知：如图所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：BE=CD；（2）求证：△AMN是等腰三角形．-乐乐题库
& 等腰三角形的判定知识点 & “已知：如图所示，在△ABC和△ADE中，...”习题详情
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已知：如图所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：BE=CD；（2）求证：△AMN是等腰三角形．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知：如图所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：BE=CD；（2...”的分析与解答如下所示：
（1）由∠BAC=∠DAE，等式左右两边都加上∠CAE，得到一对角相等，再由AB=AC，AF为公共边，利用SAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等可得出BE=CD；（2）由M与N分别为BE，CD的中点，且BE=CD，可得出ME=ND，由三角形ABE与三角形ACD全等，得到对应边AE=AD，对应角∠AEB=∠ADC，利用SAS可得出三角形AME与三角形AND全等，利用全等三角形的对应边相等可得出AM=AN，即三角形AMN为等腰三角形．
证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，{AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE=CD；（2）∵M、N分别为BE、CD的中点，且BE=CD，∴ME=ND，∵△ABE≌△ACD，∴∠AEM=∠ADC，AE=AD，在△AEM和△ADN中，{ME=ND∠AEM=∠ADNAE=AD，∴△AEM≌△ADN（SAS），∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
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已知：如图所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：BE=...
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经过分析，习题“已知：如图所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：BE=CD；（2...”主要考察你对“等腰三角形的判定”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等边对等角】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．
与“已知：如图所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：BE=CD；（2...”相似的题目：
如图，∠1=∠2，AB=AD，∠B=∠D=90&，请判断△AEC的形状，并说明理由．&&&&
两个全等的含30&，60&角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．&&&&
如图1，已知线段AB和直线m，点A在直线m上，以AB为一边画等腰△ABC，且使点C在直线m上，这样的等腰三角形最多有（　　）4个3个2个1个
“已知：如图所示，在△ABC和△ADE中，...”的最新评论
该知识点好题
1（2010o南平）如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（　　）
2（2011o扬州）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
3如图：若AD平分∠BAC，AD∥EC，则（　　）是等腰三角形．
该知识点易错题
1（2010o济南）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=4√3，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）
2（2009o抚顺）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，且MC=8．动点P从C点出发沿C=>D=>A=>B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有&&&&个．
3已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　）
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已知 AB=AC,BD、CE 分别是∠B、∠C 的平分线,AM⊥BD 于点 M,AN⊥CE 于点 N,求证：ΔAMN 是等腰三角形
已知 AB=AC,BD、CE 分别是∠B、∠C 的平分线,AM⊥BD 于点 M,AN⊥CE 于点 N,求证：ΔAMN 是等腰三角形
证明:∵AB=AC.∴∠ABC=∠ACB;又BD和CE均为角平分线.∴∠ABD=∠ACE;又AB=AC,∠BAD=∠CAE.∴⊿BAD≌⊿CAE(ASA),AE=AD;∠AEC=∠ADB.又∠ANE=∠AMD=90度.∴⊿ANE≌⊿AMD(AAS),AN=AM.
分别延长AN,AM交BC于G,H∵AM⊥BD,BD为角B的平分线∴点M为AH的中点（三线合一）同理N为AG的中点∴NM//BC∴∠DBC=∠NMB,∠ECB=∠DNC∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠NMB=∠DNC∴∠AMN=∠ANM∴三角形AMN是等腰三角形
因为BD、CE 分别是∠B、∠C 的平分线，所以∠ABM=∠ABC/2，∠ACE=∠ACB/2因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB所以∠ABM=∠ACE,因为AM⊥BD 于点 M，AN⊥CE 于点 N，所以∠AMB=∠ANC=90，因为AB=AC所以△ABM≌△ACN（AAS）所以AM=AN所以Δ...
∵△ABC是等腰△，∴∠ABC=∠ACB，而BD、CE是角平分线，∴易证：∠ABD=∠ACE，∠A=∠A，AB=AC，∴△ABD≌△ACE﹙ASA﹚，∴AD=AE，∠ADM=∠AEN，∠AMD=∠ANE=90°，∴△ADM≌△AEN﹙AAS﹚，∴AM=AN，∴△AMN是等腰△。
你是蛟川的吧已知△ABC是等边三角形D为△ABC外一点,点M、N分别在△ABC的两边AB、AC所在直线上,且∠MDN=60°_百度知道
已知△ABC是等边三角形D为△ABC外一点,点M、N分别在△ABC的两边AB、AC所在直线上,且∠MDN=60°
(1)求图一中BM MN CN的关系(2)图二中（1）的结论是否成立，并加以证明（3）图三中（1）的结论是否成立，并加以证明
hiphotos://b.hiphotos.baidu://b.baidu.baidu.hiphotos.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http.jpg" esrc="/zhidao/pic//zhidao/wh%3D600%2C800/sign=5d2b685f5edf8db1bc7bc/d439be81b69ddc65c://b<a href="/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=481f55d4dd5ec3d86eeb0b4/d439be81b69ddc65c
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解：（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又△ABC是等边三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD与△ECD中：
BM=CE∠MBD=∠ECDBD=DC
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN与△EDN中：
DM=DE∠MDN=∠EDNDN=DN
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+BM．
△AMN的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+（NC+BM）
=（AM+BM）+（AN+NC）
而等边△ABC的周长L=3AB．
（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，
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出门在外也不愁如图，在圆O中，A、B、C是圆O圆周上任意三点，E、F是劣弧AB和AC的中点，EF分别与AB、AC交于M、N，_百度知道
如图，在圆O中，A、B、C是圆O圆周上任意三点，E、F是劣弧AB和AC的中点，EF分别与AB、AC交于M、N，
在圆O中，A，E、B、C是圆O圆周上任意三点、F是劣弧AB和AC的中点！，EF分别与AB、AC交于M、N，则△AMN是急急急！知道的请回答谢谢了如图
提问者采纳
AF，CE∵E劣弧AB的中点∴劣弧AE＝BE∴∠AFE＝∠EAB∵F劣弧AC的中点∴劣弧AF＝CF∴∠AEF＝∠FAC∵∠AMN＝∠AEF+∠EAB， BF△ AMN是等腰△证明连接AE
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非常感谢。
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&lt连接BF,CE&ACE因为F是弧AC的中点;AMN=&ABF+&CEF+&BFE&ANM=&ACE因为E是弧AB的中点;CEF因此 &lt，所以;BFE=&lt。所以。&ABF=&AMN=&lt
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