经过点P（1,4）的直线L分别与两坐标轴的正半轴交与AB两点直线方程，求当|OA|+|OB|最小时，直线L的方程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-08-19 15:11 标签： 两点直线方程
一道数学解答题已知直线l经过点P（4,3）,且分别与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当|OA|+|OB|最小时,求直线l的解析式．（用初中方法来解）答案：y=-(√3／2)x+3+2√3
设OA=a,OB=b直线方程为x/a+y/b=1P点在直线上,所以4/a+3/b=1|OA|＋|OB|=a+b=1*（a+b）=（4/a+3/b）*（a+b）=4+4b/a+3a/b+3≥7+2√7当且仅当4b/a=3a/b,即3a²=4b²,b=（√3/2）a时取得,此时tan∠BAO=b/a=√3/2,直线斜率为-√3/2所以直线方程的点斜式为y-3=-√3/2（x-4）
用初中方法
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扫描下载二维码考点：一次函数综合题
分析：（1）由直线L解析式，求出A与B坐标，根据OA=OB，求出m的值，即可确定出直线L解析式；（2）由OA=OB，对顶角相等，且一对直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度，然后过点M作MH⊥OA，易得△OMH∽△OAM，然后由相似三角形的对应边成比例，求得M点的坐标；（3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求得PB的长，继而求得△ABP的面积；（4）由（3）可得OA=BK=5，EK=OB=5k，则可得OK=OB+BK=5k+5，即可得点E（-5k，5k+5），继而可知动点E在直线y=-x+5上运动．
解答：解：（1）∵直线L：y=kx+5k与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，∴A（-5，0），B（0，5k），由OA=OB，得5k=5，k=1，∴直线解析式为：y=x+5；（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∵∠AOM+∠BON=90°，∴∠OAM=∠BON，在△AMO与△ONB中，∠OAM=∠BON∠AMO=∠BNOOA=OB，∴△AMO≌△ONB（AAS），∴AM=ON=4，∴BN=OM=3，过点M作MH⊥OA，则△OMH∽△OAM，∴OHOM=OMOA=MHAM，∴OH3=35=MH4，解得：OH=95，MH=125，∴点M的坐标为：（-95，-125）；（3）△ABP的面积不改变．理由：如图，作EK⊥y轴于K点，∵△ABE为等腰直角三角形，∴AB=BE，∠ABE=90°，∴∠EBK+∠ABO=90°，∵∠EBK+∠BEK=90°，∴∠ABO=∠BEK，在△AOB和△BKE中，∠BKE=∠AOB=90°∠ABO=∠BEKAB=BE，∴△AOB≌△BKE（AAS），∴OA=BK，EK=OB，∵△OBF为等腰直角三角形，∴OB=BF，∴EK=BF，在△EKP和△FBP中，∠EKP=∠PBF=90°∠KPE=∠BPFEK=FB，∴△PBF≌△PKE（AAS），∴PK=PB，∴PB=12BK=12OA=52，∴S△ABP=12BP•OA=12×52×5=254；（4）如图3，∵A（-5，0），B（0，5k），∴OA=BK=5，EK=OB=5k，∴OK=OB+BK=5k+5，∴点E（-5k，5k+5），∵动点E在直线y=-x+5上运动．故答案为：y=-x+5．
点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
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