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泰勒公式及其在在计算方法中的应用
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3秒自动关闭窗口高等数学中的泰勒公式怎么理解 - 已解决 - 搜狗问问
高等数学中的泰勒公式怎么理解
泰勒公式中有拉格朗日型余项、Peano型、麦克劳林公式等等。怎么理解？
泰勒公式是高数中较难理解的公式，我们要注意其是用高次多项式来近似表达函数。
在泰勒中值定理中有一个项是为其近似而存在的，f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!o(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!o(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!o(x-x.)^n+Rn即为Rn
而拉格朗日型余项将Rn写成（x-x0）的一个高阶无穷小即可。
麦克劳林展开式：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!ox^2,+f'''(0)/3!ox^3+……+f(n)(0)/n!ox^n+Rn；其中Rn为f(n+1)(θx)/(n+1)!ox^(n+1),
当你知道一个函数要运用它那也可以套公式。不能理解的话就做作业会从中得到说不出的理解！
祝你好运！
其他回答(5)
泰勒公式是一个函数展开式，所以不存在极限问题，那么你用x→x0就不太合适了。泰勒公式的前提条件是函数在x0某个邻域有f(x)的n+1阶导数，其中邻域也不应该用(a,b)表示，比如说如果邻域半径是a，那么x0邻域表示为（x0-a,x0+a） 泰勒公式中的余项是用前n+1项泰勒公式表示一个函数所产生的误差，根据不同的解题要求，表示的形式不同，分别叫做拉格朗日型余项和佩亚诺型余项。如果随着n向着无穷大取值，余项都是趋于0的，那么我们就可以通过增加泰勒公式中的项数来降低误差，所以就有了函数的幂级数展开式 马克劳林公式只是泰勒公式的特例，让泰勒公式中的x0=0得到的。别的理解都一样了。
泰勒公式　　泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：　　f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!o(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!o(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!o(x-x.)^n+Rn　　其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!o(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。　　（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）　　证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：　　P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n　　来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!o(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!o(x-x.)^n.　　接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!o(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。　　麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：　　f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!ox^2,+f'''(0)/3!ox^3+……+f(n)(0)/n!ox^n+Rn　　其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!ox^(n+1),这里0&θ&1。　　证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式：　　f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!ox^2,+f'''(0)/3!ox^3+……+f(n)(0)/n!ox^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!ox^(n+1)　　由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0&θ&1。　　麦克劳林展开式的应用：　　1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。　　解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……　　于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……　　最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）　　类似地，可以展开y=cosx。　　2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。　　解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：　　e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!　　当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!　　取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。　　3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）　　证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。
一个函数N阶可导,则这个函数就可以用泰勒公式N阶展开即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)?/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0Xf＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的N阶导数.0X表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小用拉格朗日型余项表示则0X=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数,也可由已知的函数的导数值推出原函数.
别光看式子，太抽象了，关键在大学阶段它对我们来说有2个应用1 求0比0型未定式的极限2.求F(X=A）的N阶导的值找这2方面的题目做一做就明白了式子的确太抽象 所以要从题目中理解
Taylor公式的意思就是在局部范围内用多项式逼近某个函数，至于哪些余项只是形式上不同而已。泰勒公式解题的思路1_百度文库
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泰勒公式解题的思路1|
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泰勒公式是怎么回事？？？收藏
看到好多人解极限用泰勒，但是我完全不懂泰勒。。。主要之前没有学过？同济六版从140页到142页有九个公式，完全没有看懂是怎么回事。谁能用简单点的话概括了说得清楚一点？
1楼 20:37&|来自
收起回复2楼 21:18&|来自
泰勒的用处很大
极限等地方能简便计算
lz必须掌握啊
不然后面幂级数就难学了
在极限处作用主要是确保精度
说白了就是计算极限时无视加减号
直接公式带入
收起回复3楼 21:23&|来自
泰勒最简单，多老几遍就记住了，能用等价无穷小就用，不行再洛必达，再就是泰勒了
收起回复4楼 21:32&|来自
泰勒是神器
收起回复5楼 21:33&|
一般求极限用那个的比较少，一般洛必达和无穷小解不出来想用泰勒，泰勒在证明里比较多
收起回复6楼 21:48&|来自
你先研究拉格朗日，包括证明，再看taylor，你会发现taylor像拉格朗日的进化版。泰勒也是中值定理的一种，所谓中值定理，你联想罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，柯西中值定理，可以发现中值定理其中有个共同作用，就是用来估算、近似，或者把一个函数用一个导数的东西表示出来。泰勒讲的是一个函数如何用多项式来近似。为什么要有泰勒？因为，你想啊，sinx.ln(1+x)等等这些东西多不好算它的数值啊，有了泰勒，可以把这些用多项式来近似就好算了。你从泰勒公式的结构也会发现f(x)与等式右边这些东西的关系。比方说x-x0越大，那近似的误差就越大。泰勒公式越长，那么余项越小，近似就越精确。等等。还要知道什么时候用泰勒。你从它的条件，需要n+1阶可导，发现他是用在高阶可导的地方，低阶的拉格朗日就解决了。还有另外一个应用你学到级数的时候也就知道了。
收起回复7楼 22:14&|来自
我自己是看完无穷级数之后再返回去看泰勒公式，觉得理解的更好一些。。。
8楼 22:33&|
你就这么理解：泰勒级数相当于把一个函数用多项式的无穷级数来代替，其精度就是展开的个数，越多越精确。有了泰勒公式，哪怕sin和ln这种看上去风牛马不相及的函数加减你用泰勒公式就可以把它们化为同一类函数（多项式加减）至于展开多少位，你做点题自己就能看明白怎么回事，包括泰勒公式的内涵也就懂了。
9楼 23:45&|
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