证明：(1+a)In(1+a)+(1+b)In(1+b)<(1+a+b)In(1+a+b)（0小于a小于b） 用泰勒中值定理理（微积分题）

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-11-01 17:13 标签： 中值定理
Bad Request (Invalid URL)设三角形的内角A B C所对的边分别为a b c。且acosc+1/2c=b.（1）求角A的大小。（2）若a=1,求三角形周长范_百度知道
设三角形的内角A B C所对的边分别为a b c。且acosc+1/2c=b.（1）求角A的大小。（2）若a=1,求三角形周长范
（1）acosc+1/2c=b则2RsinAcosC+(1/2)×2RsinC=2RsinB=2Rsin（A+C）=2RsinAcosC+2RcosAsinC左右相等则cosA=1/2A=60° （2）周L=a+ b +c=1+b +c=1+(3/2)c+cosC<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0afRsinA=1且A=60°则 R=1/√3则L=a+ b +c=1+b +c=1+(3/2)c+cosC=1+3RsinC+cosC=1+2sin（C+30°）由L=1+2sin（C+30°）C∈（0°<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad0°）2sin（C+30°）∈（1<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad]故L）∈（2<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad]即所求
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证明：当x&0时，有不等式e^x-1&(1+x)In(1+x).
数学归纳法，先证明x=1时不等式成立，再证明如果x=n时成立则x=n+1时亦成立，故得证。
回复：2楼谢谢解答，不过我想能不能用拉格朗日中值定理证明....
回复：2楼可是，数学归纳法只适合n=正整数，而x是连续变量啊
对不起，没看清。
用拉格朗日中值定理的证明；在此证0&#65308;x&#65308;1时不等式的正确性，而x=n+a(n为正整数，0&#65308;a&#65308;1)的正确性可用数学归纳法证明。首先，x=0时，e^(x-1)=1/e,(1+x)In(1+x)=0，故正确。用有限增量公式（即拉格朗日中值定理），令x=a(0&#65308;a&#65308;1),设f(x)=e^(x-1)-(1+x)In(1+x),得：a*f'(b)=e^(a-1)-(1+a)In(1+a)现在只需证：e^(a-1)-(1+a)In(1+a)-1/e&#65310;-(2/e)即可。（因为x=0时，e^(x-1)-(1+x)In(1+x)=1/e,故增量只需不小于-（1/e）即可）又：e^(a-1)-(1+a)In(1+a)=a*f'(b)=a*(e^(b-1)-1-In(1+b))&#65310;e^(b-1)-1-In(1+b)&#65310;e^(-1)-1-In(2)≈-1.&#65310;-（2/e）故得证。
想了一个多钟头，好痛苦啊~~~~~~因为想这个而不做作业还被妈妈骂……
对不起，最后两步错了，我要做作业了，只能把烂摊子留给你了。
我用计算机算e^(x-1)=(1+x)In(1+x)，有大于0的实根，所以说明我看错题目了，题目应该是(e^x)-1&#65310;(1+x)In(1+x)对不起啦~~~~~做法为：证0&#65308;x&#65308;1时不等式的正确性（x=1时的正确性你自己证啦~~~~大于1就用数学归纳法）设f(x)=(e^x)-1-(1+x)In(1+x),x=a时（0&#65308;a&#65308;1），增量（对于x=0时而言，Ps:x=0时f(x)=0）为:(e^a)-1-(1+a)In(1+a)=a*f'(b)=a*( (e^b)-1-ln(1+b) )今证：(e^b)-1-ln(1+b)&#&#65308;b&#65308;a）,b=0时，原式=0再用有限增量公式：(e^b)-1-ln(1+b)=b*( (e^c)-1/(1+c) )∵e^c&#65310;1，且1/(1+c)&#65308;1，故e^c&#+c)，故(e^c)-1/(1+c)&#65310;0，∴0&#65308;c&#65308;1时，(e^b)-1-ln(1+b)&#65310;0，∴(e^a)-1-(1+a)In(1+a)=a*( (e^b)-1-ln(1+b) )&#65310;0∵x=0时，f(x)=0，x&#65310;0时，增量&#65310;0，∴x&#65310;0时，f(x)&#65310;0，∴(e^x)-1&#65310;(1+x)In(1+x)
有另一个十分简便的做法：作法二：设存在(e^x)-1-(1+x)In(1+x)&#65308;0∵(e^x)-1=(1+x)In(1+x)的根不在定义域x&#65310;0里，∴无法在定义域内取得(e^x)-1-(1+x)In(1+x)=0，但函数(e^x)-1-(1+x)In(1+x)是连续的，所以函数值在由负变正的过程中不可能取不到(e^x)-1-(1+x)In(1+x)=0，故假设不成立，故不存在(e^x)-1-(1+x)In(1+x)&#65308;0得证。
回复：3楼回复：4楼请无视6~8楼，做法在9、10两楼。谢谢！
回复：11楼谢谢，看来你是喜欢思考的人，微积分你是自学的吗，看样子是初中的吧，那可真不简单哦。
谢谢夸奖，才入了点门，学得不深，不敢跟微积分帝比……
其实我应该谢谢你，我以前只是知道有限增量公式而不会去用，若不是这个帖子，我都快忘了有限增量公式怎么写了。我一直以为有限增量公式没多大用处，知道现在才发现它的用处之多、之大，才发现它是多么有用！其实很多有用的公式也被我忘得差不多了，是你给我敲响了警钟，谢谢！
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或已知函数f（x）=x^2+ax+b_百度知道
已知函数f（x）=x^2+ax+b
1已知函数f（x）≥2x+a求b取值范围2x∈〔-1<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad〕f（x）值M求证：M≥b+13若a∈（0<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad&#47;2）求证：于任意x∈〔-1<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad〕‖f（x）‖≤1充要条件（a^2&#47;4）-1≤b≤-a
2.f(x)=x^2+ax+b=(x+a/2)^2+b-a^2/4-a/2≥1-a≥2 ; f(x)x=-1处值M=1-a+b &1+b-a/2≤-1a≥2 ; f(x)x=1处值M=1+a+b &1+b-1≤-a/2≤0<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad≤a≤2 ; f(x)x=1处值M=1+a+b ≥1+b<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0af≤-a/2≤1-2≤a≤0 ; f(x)x=-1处值M=1-a+b ≥1+b综所诉x∈〔-1<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad〕f（x）值MM≥b+1证
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B=负无穷大到正无穷大
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