如图，在直正三棱柱abc a1b1c1-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点． （1）求证：AC⊥BC1； （2）求

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2013-01-01 16:14 标签： 在直三棱柱abc
17．解：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.
由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．
同理可得，平面B1BC1的法向量为m＝(3,4,0)．
所以cos〈n，m〉＝.
由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，
所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.
(3)设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且＝λ，
所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．
解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由?＝0，即9－25λ＝0，解得.
因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.
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站长：朱建新急啊～如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=根号7,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE垂直A1E,(1)证明平面A1DE垂直平面ACC1A1
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(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值.急啊～要过程啊
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1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以AA'⊥面ABC，所以AA'⊥DE，又∵DE⊥A'E，且A'E交AA'于A'，所以DE⊥面AA'C'C，所以，面A'DE⊥面AA'C'C。 （2）∵DE⊥面AA'C'C，∴DE⊥AC，又点D是BC中点，∴点E是AC的4等分点,AC=4CE=4,AE=3作AF⊥A1E,交A1E于F，AF=3√7/4又∵面A'DE⊥面AA'C'C，面A'DE∩面AA'C'C=A1E，∴AF⊥面A'DE∴∠ADF为直线AD和平面A1DE所成角在Rt△AFD中，AF⊥FD,AF=3√7/4，AD=2√3，sin∠ADF=AF/AD=(3√7/4)/2√3=√21/8所以，直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为√21/8
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（1）因为正三棱柱，所以AA'垂直于面ABC，所以AA'垂直于DE，又因为DE垂直于A'E，且A'E交AA'于A'，所以DE垂直于面AA'C'C，即面A'DE垂直于面AA'C'C。
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