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&&2015高考数学（苏教版-文）一轮配套文档：第8篇 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质
2015高考数学（苏教版-文）一轮配套文档：第8篇 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质
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2015高考数学（苏教版-文）一轮配套文档：第8篇 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质
第4讲　直线、平面垂直的判定与性质
知 识 梳 理
1．直线与平面垂直
(1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．即：aα，bα，la，lb，a∩b＝Pl⊥α.
(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：aα，bα?a∥b.
2．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．即：aα，aβ?α⊥β.
(3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．即：αβ，aα，α∩β＝b，ab?a⊥β.
3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
(2)线面角θ的范围：θ.
辨 析 感 悟
1．对线面垂直的理解
(1)直线a，b，c；若ab，bc，则ac.(×)
(2)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则lα.(×)
(3)(2013·浙江卷，4C)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若mn，mα，则nα.(√)
(4)(2013·广东卷，8D)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若αβ，lα，则lβ.(×)
2．对面面垂直的理解
(5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)
(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则αβ.(×)
[感悟·提升]
三个防范　一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等，如(1)；
二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”， 如(2)；
三是注意对平面与平面垂直性质的理解，如(5)．
考点一　直线与平面垂直的判定和性质
【例1】 如图，
在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CDAE；
(2)PD平面ABE.
证明　(1)在四棱锥P－ABCD中，
PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，ABC＝60°，可得AC＝PA.
E是PC的中点，AE⊥PC.
由(1)，知AECD，且PC∩CD＝C，
AE⊥平面PCD.
而PD平面PCD，AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，PA⊥AB.
又AB⊥AD且PA∩AD＝A，
AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，
AB⊥PD.又AB∩AE＝A，
PD⊥平面ABE.
规律方法 证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.
【训练1】 (2013·江西卷改编)
如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.
证明：BE平面BB1C1C.
证明　过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.
在RtBEF中，BE＝.
在RtCFB中，BC＝.
在BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，
由BB1平面ABCD，得BEBB1，又BB1∩BC＝B，
所以BE平面BB1C1C.
考点二　平面与平面垂直的判定与性质
【例2】 (2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1平面ABC，
AB＝BC＝AA1，且AC＝BC，点D是AB的中点．
证明：平面ABC1平面B1CD.
证明　ABC－A1B1C1是棱柱，且AB＝BC＝AA1＝BB1，
四边形BCC1B1是菱形，
由AA1平面ABC，AA1BB1，得BB1平面ABC.
AB?平面ABC，BB1⊥AB，
又AB＝BC，且AC＝BC，AB⊥BC，
而BB1∩BC＝B，BB1，BC平面BCC1B1，
AB⊥平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，
而AB∩BC1＝B，AB，BC1平面ABC1.
B1C⊥平面ABC1，而B1C平面B1CD，
平面ABC1平面B1CD.
规律方法 证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．
【训练2】 如图，
在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．
证明：平面ABM平面A1B1M.
证明　由长方体的性质可知A1B1平面BCC1B1，
又BM平面BCC1B1，
所以A1B1BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
在RtB1C1M中，B1M＝＝，
同理BM＝＝，
又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BMB1M.
又A1B1∩B1M＝B1，所以BM平面A1B1M，
因为BM平面ABM，所以平面ABM平面A1B1M.
考点三　平行、垂直关系的综合问题
【例3】 (2013·山东卷)
如图，在四棱锥P-ABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．
(1)求证：CE平面PAD；
(2)求证：平面EFG平面EMN.
审题路线　(1)取PA的中点H证明四边形DCEH是平行四边形CE∥DH?根据线面平行的判定定理可证．
(2)证明ABEF?证明ABFG?证明AB平面EFG证明MN平面EFG得到结论．
证明　(1)如图，取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点，
所以EHAB，且EH＝AB.
又ABCD，且CD＝AB，
所以EH綉CD.
所以四边形DCEH是平行四边形．
又DH平面PAD，CE平面PAD，
所以CE平面PAD.
(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，
又ABPA，且EF，PA共面，
同理可证ABFG.
又EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，
因此AB平面EFG.
又M，N分别为PD，PC的中点，
所以MNAB，
因此MN平面EFG.
又MN平面EMN，
所以平面EFG平面EMN.
规律方法 线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．
【训练3】 (2013·辽宁卷)
如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
(1)求证：BC平面PAC；
(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.
证明　(1)由AB是圆O的直径，得ACBC，
由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.
又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，
所以BC平面PAC.
(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点．
由Q为PA中点，得QMPC，
又O为AB中点，得OMBC.
因为QM∩MO＝M，QM平面QMO，
MO平面QMO，BC∩PC＝C，
BC平面PBC，PC平面PBC.
所以平面QMO平面PBC.
因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.
1．转化思想：垂直关系的转化
2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
创新突破6——求解立体几何中的探索性问题
【典例】 (2012·北京卷)
如图1，在RtABC中，C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2.
(1)求证：DE平面A1CB；
(2)求证：A1FBE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由．
证明　(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，
又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，
所以DE平面A1CB.
(2)由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.
所以DEA1D，DECD，又A1D∩DE＝D，
所以DE平面A1DC.
而A1F平面A1DC，所以DEA1F.
又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE.
又BE平面BCDE
所以A1FBE.
线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.
又因为DEBC，所以DEPQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1CDP，又DE∩DP＝D，
所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.
[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．
(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．
【自主体验】
(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC＝90°，CDAB，AD＝CD＝AB＝2，点E为AC中点，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.
(1)求证：DABC；
(2)在CD上找一点F，使AD平面EFB.
(1)证明　在图1中，可得AC＝BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，AC⊥BC，平面ADC平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，BC⊥平面ADC，又AD平面ADC，BC⊥DA.
(2)解　取CD的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E，F分别为AC，DC的中点，EF为ACD的中位线，AD∥EF，
又EF平面EFB，AD平面EFB，AD∥平面EFB.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且bm，则“αβ”是“ab”的________条件．
解析　若αβ，因为α∩β＝m，bβ，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得bα，又aα，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证bα，所以不能推出αβ.
答案　充分不必要
2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．
若αβ，α∩β＝n，mn，则mα；若mα，nβ，mn，则nα；若nα，nβ，mβ，则mα；若mα，nβ，mn，则αβ.
解析　与α，β两垂直平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故错；对，存在nα情况，故错；对，存在αβ情况，故错；由nα，nβ，可知αβ，又mβ，所以mα，故正确．
如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．
解析　由题可知PA平面ABC，又因为BCAC，PABC，所以BC平面PAC，故有2对线面垂直．
4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．
解析　当A，B在平面α同一侧，点M到α距离为(4＋6)＝5(cm)；当A，B在平面α两侧，点M到α距离为(6－4)＝1(cm)．
答案　5 cm或1 cm
5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且lm，αγ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：
β⊥γ；l⊥α；m⊥β；α⊥β.
其中正确的是________．
解析　如图，由题意，β∩γ＝l，l?γ，由αγ，α∩γ＝m，且lm，l⊥α，即正确；由β∩γ＝l，l?β，由lα，得αβ，即正确；而条件不充分，不能判断．
如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析　PC在底面ABCD上的射影为AC，且ACBD，BD⊥PC.∴当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.
答案　DMPC(或BMPC)
7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“m⊥n；α⊥β；n⊥β；m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．
解析　逐一判断．若成立，则m与α的位置关系不确定，故错误；同理也错误；与均正确．
答案　(或)
如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：
AF⊥PB；EF⊥PB；AF⊥BC；AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
解析　由题意知PA平面ABC，PA⊥BC.
又ACBC，且PA∩AC＝A，
BC⊥平面PAC，BC⊥AF.
∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，AF⊥平面PBC，AF⊥PB，AFBC.又AEPB，AE∩AF＝A，
PB⊥平面AEF，PB⊥EF.故正确．
二、解答题
9．(2013·北京卷)
如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD＝2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)PA底面ABCD；
(2)BE平面PAD；
(3)平面BEF平面PCD.
证明　(1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.
又平面PAD平面ABCD，且PAAD.
所以PA底面ABCD.
(2)因为ABCD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以ABDE，且AB＝DE.
所以ABED为平行四边形．所以BEAD.
又因为BE平面PAD，AD平面PAD，
所以BE平面PAD.
(3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形．
所以BECD，ADCD.
由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.
所以CD平面PAD，从而CDPD.
又E，F分别是CD和CP的中点，
所以EFPD，故CDEF.
由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，
CD⊥平面BEF.又CD平面PCD
所以平面BEF平面PCD.
10．(2013·泉州模拟)
如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DBAC，点M是棱BB1上一点．
(1)求证：B1D1平面A1BD；
(2)求证：MDAC；
(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D.
(1)证明　由直四棱柱，得BB1DD1，
又BB1＝DD1，BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD.
而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，
B1D1∥平面A1BD.
(2)证明　BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
又BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，AC⊥平面BB1D.
而MD平面BB1D，MD⊥AC.
(3)解　当点M为棱BB1的中点时，
平面DMC1平面CC1D1D.证明如下，
取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．
N是DC的中点，BD＝BC，
BN⊥DC.又DC＝平面ABCD∩平面DCC1D1，
而平面ABCD平面DCC1D1，
BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，
BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．
BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.
OM?平面DMC1，平面DMC1平面CC1D1D.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC＝90°，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．
解析　由BC1AC，又BAAC，则AC平面ABC1，因此平面ABC平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．
如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．
AC⊥BD；AC∥截面PQMN；AC＝BD；异面直线PM与BD所成的角为45°.
解析　MN∥PQ，MN∥面ABC，
MN∥AC.同理BDQM.
∵MN⊥QM，AC⊥BD，是对的；
AC∥MN，AC∥面PQMN，故对；
BD∥QM，PM与BD所成角即为PMQ，
PM与BD成45°角，故对．
3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：PB⊥AE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．
解析　由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PA∩AB＝A，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AE⊥PB，正确；又平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，BC∥平面PAD，直线BC平面PAE也不成立，错；在RtPAD中，PA＝AD＝2AB，PDA＝45°，正确．
二、解答题
4．(2014·北京西城一模)
在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，ABCD，AC＝，AB＝2BC＝2，ACFB.
(1)求证：AC平面FBC；
(2)求四面体F－BCD的体积；
(3)线段AC上是否存在点M，使EA平面FDM？证明你的结论．
(1)证明　在ABC中，因为AC＝，AB＝2，BC＝1，则AB2＝AC2＋BC2，所以ACBC，又因为ACFB，且FB∩BC＝B，所以AC平面FBC.
(2)解　因为AC平面FBC，所以ACFC.
因为CDFC，且CD∩AC＝C，所以FC平面ABCD.
则FC为四面体F－BCD的高，
在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1，
所以BCD的面积为S＝.
所以四面体F－BCD的体积为VF－BCD＝S·FC＝.
(3)解　线段AC上存在点M，且M为AC中点时，
有EA平面FDM，证明如下：
连接CE，与DF交于点N，连接MN，
因为四边形CDEF为正方形，
所以N为CE中点，所以EAMN.
因为MN平面FDM，EA平面FDM，
所以EA平面FDM，
所以线段AC上存在点M，使得EA平面FDM. (建议用时：90分钟)
一、填空题
1．若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2π cm，则圆锥的体积为________cm3.
解析　设圆锥底面半径为r，则由2πr＝2π，得r＝1，所以圆锥高为h＝＝，从而体积为V＝·π·＝π.
(2013·豫西五校联考)如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC的值为________．
解析　还原正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得ABC是正三角形，则ABC＝60°.
答案　60°
3．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则αβ的一个充分而不必要条件是________．
解析　由于l1与l2是相交直线，而且由l1m可得l1α，同理可得l2α故可得αβ，充分性成立，而由αβ不一定能得到l1m，它们也可以异面，故必要性不成立，故填ml1，且nl2.
答案　ml1且nl2
4．若直线m平面α，则条件甲：直线lα是条件乙：lm的________条件．
解析　若lα，mα，不一定有lm；若lm，mα则α，lα或lα.因而甲/ 乙，乙/ 甲.
答案　既不充分也不必要
5．已知α、β是两个不同的平面，直线aα，直线bβ，命题p：a与b没有公共点，命题q：αβ，则p是q的________条件．
解析　当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当αβ时，a与b一定无公共点，所以qp，但p/
答案　必要不充分
6．已知平面α，β和直线m，给出条件：m∥α；m⊥α；m?α；α⊥β；α∥β.当满足条件________时，有mβ(填序号)．
解析　利用一条直线垂直两平行平面中的一个平面必垂直另一个平面．
7．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则对于下列条件：a⊥c，bc；α⊥β，aα，bβ；a⊥α，bα；a⊥α，bα，其中是ab的一个充分不必要条件的是________．　
解析　若aα，bα，则ab，反之显然不成立，故应填.
如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，DAB＝60°，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE外接球的体积为________．
解析　由题意，折叠后的三棱锥P -DCE为正四面体，且棱长为1，以此正四面体构作正方体，则此正方体棱长为，正四面体外接球恰为该正方体外接球，直径2R＝×＝，故V球＝R3＝×3＝.
(2014·合肥一模)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论不成立的是________．
EF与BB1垂直；EF与BD垂直；EF与CD异面；EF与A1C1异面．
解析　连接B1C，AC，则B1C交BC1于F，且F为B1C的中点，又E为AB1的中点，所以EF綉AC，
而B1B平面ABCD，所以B1BAC，
所以B1BEF，正确；
又ACBD，所以EFBD，正确；
显然EF与CD异面，正确；由EF綉AC，ACA1C1，
得EFA1C1.故不成立的为.
10．(2014·江苏城贤中学月考)正三棱锥S-ABC中，BC＝2，SB＝，D、E分别是棱SA、SB上的点，Q为边AB的中点，SQ平面CDE，则三角形CDE的面积为________．
解析　如图，设SQ与DE交于点F，连接CF，CQ，∵SQ⊥面CDE，
∵Q为AB中点，SA＝SB，AC＝BC
∴AB⊥SQ，AB⊥CQ
∴AB⊥面SQC，∴AB⊥CF
∴CF⊥面SAB，∴CF⊥DE
∴CF为△CDE的高，DE∥AB
∵BC＝2，SB＝，正三棱锥S-ABC
∴CQ＝，SQ＝，SC＝QC；
∴F为SQ中点，
∴DE＝AB＝1
∴S△CDE＝×1×＝.
11．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
若mn，mα，nα，则nα；
若αβ，α∩β＝m，nα，nm，则nβ；
若mn，mα，nβ，则αβ；
若nα，mβ，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中，所有真命题的序号是________．
解析　α，β可以平行，所以错误；n与m可以垂直，所以错误．
12．(2013·新课标全国卷)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB＝12，AB平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
解析　如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AHHB＝12，所以OH＝R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由题意得πr2＝π，则r＝1，故R2＝1＋2，即R2＝.由球的表面积公式，得S＝4πR2＝.
正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，设三棱锥D－GAC的体积为V1，三棱锥P－GAC体积为V2，则V1V2＝________.
解析　设棱锥的高为h，
V1＝VD－GAC＝VG－ADC＝SADC·h，
V2＝VP－GAC＝VP－ABC＝VG－ABC＝SABC·.
又SADC∶S△ABC＝21，故V1V2＝21.
二、解答题
14．(2014·济南一模)
在如图的多面体中，AE底面BEFC，ADEF∥BC，BE＝AD＝EF＝BC，G是BC的中点．
(1)求证：AB平面DEG；
(2)求证：EG平面BDF.
证明　(1)AD∥EF，EFBC，AD∥BC.
又BC＝2AD，G是BC的中点，AD綉BG，
四边形ADGB是平行四边形，AB∥DG.
∵AB?平面DEG，DG平面DEG，AB∥平面DEG.
(2)连接GF，四边形ADFE是矩形，
DF∥AE，AE底面BEFC，
DF⊥平面BCFE，EG平面BCFE，DF⊥EG.
∵EF綉BG，EF＝BE，
四边形BGFE为菱形，
又BF∩DF＝F，BF平面BFD，DF平面BFD，
EG⊥平面BDF.
(2014·成都一模)如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，ABF是等边三角形，棱EFBC，且EF＝BC.
(1)求证：EO面ABF；
(2)若EF＝EO，证明：平面EFO平面ABE.
证明　(1)取AB的中点M，连接FM，OM.
O为矩形ABCD的对角线的交点，
OM∥BC，且OM＝BC，
又EFBC，且EF＝BC，
OM＝EF，且OMEF，
四边形EFMO为平行四边形，EO∥FM，
又FM?平面ABF，EO平面ABF，
EO∥平面ABF.
(2)由(1)知四边形EFMO为平行四边形，
又EF＝EO，四边形EFMO为菱形，连接EM，则有FOEM，
又ABF是等边三角形，且M为AB中点，
FM⊥AB，易知MOAB，且MO∩MF＝M，
AB⊥面EFMO，又FO面EFMO，
AB⊥FO.∵AB∩EM＝M，FO⊥平面ABE.
又FO?平面EFO，平面EFO平面ABE.
16．(2013·安徽卷)
如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.
(1)证明：PCBD；
(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．
(1)证明　连接AC，交BD于O点，连接PO.
因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，BO＝DO.
由PB＝PD知，POBD.再由PO∩AC＝O知，BD面APC.因此BDPC.
(2)解　因为E是PA的中点，
所以VP－BCE＝VC－PEB＝VC－PAB＝VB－APC.
由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，ABD≌△PBD.
因为BAD＝60°，
所以PO＝AO＝，AC＝2，BO＝1.又PA＝，
所以PO2＋AO2＝PA2，即POAC.
故SAPC＝PO·AC＝3.
由(1)知，BO面APC，因此VP－BCE＝VB－APC＝×·BO·SAPC＝.
17．(2013·广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥ABCF，其中BC＝.
(1)证明：DE平面BCF；
(2)证明：CF平面ABF；
(3)当AD＝时，求三棱锥FDEG的体积VF-DEG.
(1)证明　在等边ABC中，AD＝AE，
在折叠后的图形中，仍有AD＝AE，AB＝AC，
因此＝，从而DEBC.
因为DE平面BCF，BC平面BCF，
所以DE平面BCF.
(2)证明　在折叠前的图形中，因为ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AFBC，则在折叠后的图形中，AFBF，AFCF，又BF＝CF＝，BC＝.，
所以BC2＝BF2＋CF2，所以 BFCF.
又BF∩AF＝F，BF平面ABF，AF平面ABF，
所以CF平面ABF.
(3)解　由(1)知，平面DEG平面BCF，
由(2)知AFBF，AFCF，
又BF∩CF＝F，所以AF平面BCF，
所以AF平面DEG，即GF平面DEG.
在折叠前的图形中，
AB＝1，BF＝CF＝，AF＝.
由AD＝知＝，
又DGBF，所以＝＝＝，
所以DG＝EG＝×＝，AG＝×＝，
所以FG＝AF－AG＝.故V三棱锥F-DEG＝V三棱锥E-DFG
＝×DG·FG·GE＝·2·＝.
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2013高考数学（理）二轮复习课件（解析版）：专题4 立体几何与空间向量（新课标）（153张）.ppt153页
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