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数学：3-3-3、4 点到直线的距离和两条平行直线间的距离课件（人教A版必修2）
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* 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教A版 ? 必修2
课前自主预习
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名师辨误做答 课后强化作业 课堂基础巩固 课前自主预习 思路方法技巧 第三章直线与方程3．3　直线的交点坐标与距离公式第三章第三章3．3.3　点到直线的距离3．3.4　两条平行直线间的距离温故知新1．平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝，其推导方法是利用勾股定理．两点A(1,2)，B(－1,3)间的距离是.2．直线方程的一般形式：Ax＋By＋C＝0(A、B不全为0)．3．与直线Ax＋By＋C＝0(A、B不全为0)垂直的直线可设为，与之平行的直线可设为．4．点到直线的距离即点到直线的垂线段的长度．5．两条平行直线间的距离可转化为一条直线上到另一直线的距离．Bx－Ay＋λ＝0Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)任一点新课引入世界最大直径的隧道终于在上海()诞生，根据设计，整条隧道用于人员安全转移和工作联系的江中联络通道，在长达7.5km的隧道中，每隔800m左右设置一条连接通道，总共有8条，目前已经完成了3条，使相距15m的两条隧道紧紧地联系在一起．如果将两条隧道看成平行直线，那么如何在坐标系中计算它们的距离呢？自主预习阅读教材P106～109，回答下列问题．1．点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.[破疑点]点到几种特殊直线的距离：(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；(3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；(4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.点(1，－5)到直线2x－y－2＝0的距离d＝________.[答案]　[解析]　d＝＝.2．两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长叫做这两条平行直线间的距离．(2)求法：转化为求点到直线的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．(3)公式一般地，已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)．设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P(x0，y0)到直线l1：Ax＋By＋C1＝0的距离d＝＝.此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式．[破疑点](1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：把直线方程化为直线的一般式方程；两条直线方程中x，y系数必须分别相等．(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(　　)A.　　　　　B.C．5
D.[答案]　A[解析]　直线x＋y＋2＝0与x轴的交点是P(－2,0)，点P到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝，即这两条平行线间的距离为.命题方向
点到直线的距离公式[例1]　求点P(3，－2)到下列直线的距离．(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.[分析]　解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．[解析]　(1)把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.(2)方法一：把方程y＝6写成0?x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.方法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.规律总结：针对这个类型的题目一般先把直线的方程化为一般式，然后直接利用点到直线的距离公式求得．对于与坐标轴平行的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.求点P0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.[分析]　对于(1)(2)(3)，均可直接利用点到直线的距离公式求解；另外对于(2)，还可利用d＝|x－x0|求解；对于(3)，还可利用d＝|y－y0|求解．[解析]　(1)由点到直线的距离公式知d＝＝＝2.(2)解法一：直线方程化为一般式为x－2＝0.由点到直线的距离公式d＝＝3.解法二：直线x＝2与y轴平行，由右图知d＝|－1－2|＝3.(3)解法一：由点到直线的距离公式得d＝＝1.解法二：直线y－1＝0与x轴平行，由右图知d＝|2－1|＝1.规律总结：求点到直线的距离的步骤：(1)将直线方程化为一般式Ax＋By＋C＝0；(2)将点(x0，y0)代入公式d＝，计算可得.命题方向
求两平行直线的距离[例2]　求两条平行线l1：6x＋8y＝20和l2：3x＋4y－15＝0的距离．[分析]　解答本题可先在直线l1上任取一点A(2,1)，然后再求点A到直线l2的距离即为两直线的距离；或者直接应用两条平行线间的距离公式d＝.[解析]　方法一：若在直线l1上任取一点A(2,1)，则点A到直线l2的距离即为所求的平行线间的距离，d＝＝1.如图所示．方法二：直接应用两条平行线间的距离公式．l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0，d＝＝1.规律总结：针对这个类型的题目一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)直接用公式d＝，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15的距离．[分析]　利用定义或公式求解．[解析]　解法一：若在直线l1上任取一点A(2,1)，则点A到直线l2的距离，即是所求的平行线间的距离，如图(1)．d＝＝1.解法二：设原点到直线l1，l2的距离分别为|OF|，|OE|，则，由图(2)可知，|OE|－|OF|即为所求．|OE|－|OF|＝－＝1.解法三：利用两条平行直线间的距离公式得d＝＝＝1.规律总结：求两条平行直线间的距离的基本思路是：(1)在一条直线上取一点，再求这一点到直线的距离即可，即将求平行线间距离转化为求点到直线的距离．也可以在两条直线外取一点，再求这一点分别到这两条直线的距离，若这一点夹在两条平行线之间，则所求的距离为它们的和；若这一点在两条平行线之外，所求距离为它们的差．(2)直接利用两条平行直线间的距离公式，但是在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意的是：两条直线方程均为一般式，且x，y的系数分别相同，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形．命题方向
距离公式的应用[例3]　两互相平行的直线分别过A(6,2)、B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行线间的距离为d，(1)求d的变化范围；(2)求当d取得最大值时的两条直线方程．[解析]　解法1：(1)设两条直线方程分别为y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，则即而d＝＝，两边平方整理得即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，由于kR，所以Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，整理得4d2(d2－90)≤0，0<d≤3.(2)因d＝3时，k＝＝－3，故两直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.解法2：(1)由图形可知，当两平行线均与线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝3最大，当两直线都过A、B点时距离d＝0最小，但平行线不能重合．0<d≤3.(2)两直线方程分别是：3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.规律总结：上面我们用两种思路作了解答，不难发现解法2比解法1简捷的多，这足以显示数形结合的威力，在学习解析几何过程中，一定要有意识的往形上联系，以促进数形结合能力的提高和思维能力的发展．若A(1,4)，B(－3,1)，过点B的直线l与点A的距离为d.(1)d的取值范围为________；(2)当d取最大值时，直线l的方程为________．(3)当d＝4时，直线l的方程为________．[答案]　(1)[0,5]　(2)4x＋3y＋9＝0　(3)24x＋7y＋65＝0[解析]　(1)用数形结合法容易得到，当直线lAB时，d取最大值，当l经过A、B时，d取最小值，0≤d≤5.(2)当d＝5时，kl＝－，kAB＝＝，l方程y－1＝－(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0.(4k－3)2＝16k2＋1624k＋9＝16k＝2(3)设l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0，由A(1,4)到l距离为4知＝4　k＝－故所求直线方程为：7x＋24y＋45＝0＝－4m－16＝－9易错点　利用平行线间的距离公式求距离时，不可忽略方程的系数[例4]　求两平行线l1：3x＋4y＋2＝0，l2：6x＋8y－4＝0之间的距离．[错解]　d＝＝.[错因分析]　使用两平行线间的距离公式求其距离，应把直线方程化为一般式，同时把两直线方程x，y的系数化为相同的数．[正解]　l2：6x＋8y－4＝0可化为：3x＋4y－2＝0，根据两平行线间的距离公式可得d＝＝.1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)A．1　　　　B.　　　　C．2　　　　D.[答案]　D[解析]　d＝＝.2．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于(　　)A．1　　　　B．0　　　　C.　　　　D．3[答案]　A[解析]　d＝＝1.3．点P(m，n)到直线3x－4y＝5的距离d＝2，则实数m，n满足的条件是(　　)A．|3m－4n－5|＝10　　　B．|3m－4n＋5|＝10C．3m－4n－5＝10
D．3m－4n＋5＝10[答案]　A[解析]　直线方程化为一般式为3x－4y－5＝0，则d＝＝2，|3m－4n－5|＝10.4．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m等于(　　)A.
B．－C．－
D.[答案]　C[解析]　由题意得＝1，解得m＝－.5．点P(3，－1)到直线x＝－3的距离d＝________.[答案]　6[解析]　直线x＝－3即x＋3＝0，则d＝＝6.6．点P(m,1)到直线l：2x＋y－1＝0的距离d＝1，则实数m的值等于________．[答案]　±[解析]　由题意得＝1，解得m＝±.7．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．[分析]　设直线方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，利用平行线间的距离公式列出方程，解得m的值．[解析]　设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，两直线的距离为2，＝2.m＝32或m＝－20，故所求直数学：3-3-3、4 点到直线的距离和两条平行直线间的距离课件（人教A版必修2）--博才网
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&#8226; 版权所有 Copyright 2011 All rights reserved.（2014o青岛）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
（1））由四边形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出=．求出DF．由AP=DF．求出t．
（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=ABoCG=ACoBD，求出CG．据S梯形APFD=（AP+DF）oCG．S△EFD=EFoQD．得出y与t之间的函数关系式；
（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=ABoCG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．
在Rt△AOB中，AB=2+82
∵EF⊥BD，
∴∠FQD=∠COD=90°．
又∵∠FDQ=∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∵四边形APFD是平行四边形，
即10-t=t，
解这个方程，得t=．
∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．
（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD=ABoCG=ACoBD，
即10oCG=×12×16，
∴S梯形APFD=（AP+DF）oCG
=（10-t+t）o=t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
同理，EQ=t．
∴EF=QF+EQ=t．
∴S△EFD=EFoQD=×t×t=t2．
∴y=（t+48）-t2=-t2+t+48．
（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，
则-t2+t+48=×96，
即5t2-8t-48=0，
解这个方程，得t1=4，t2=-（舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
∵△PBN∽△ABO，
∴==，即==．
∴PN=，BN=．
∴EM=EQ-MQ==．
PM=BD-BN-DQ==．
在Rt△PME中，教师讲解错误
错误详细描述：
(2014湖北武汉)如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线交于A、B两点．(1)直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；(2)当时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；(3)若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离
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＞＞＞点P（﹣2，1）到直线2x+y=5的距离为[]A．B．C．D．-高二数学-魔方格
点P（﹣2，1）到直线2x+y=5的距离为
A． B． C． D．
题型：单选题难度：偏易来源：安徽省期中题
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据魔方格专家权威分析，试题“点P（﹣2，1）到直线2x+y=5的距离为[]A．B．C．D．-高二数学-魔方格”主要考查你对&&点到直线、平面的距离&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
点到直线、平面的距离
点到直线的距离：
由点向直线引垂线，这一点到垂足之间的距离。
点到平面的距离：
由点向平面引垂线，这点到垂足之间的距离，就叫做点到平面的距离。 求点面距离常用的方法：
(1)直接利用定义①找到（或作出）表示距离的线段；②抓住线段（所求距离）所在三角形解之．(2)利用两平面互相垂直的性质如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离．(3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由求出．这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离，难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算．(4)转化法：将点到平面的距离转化为直线与平面的距离来求．(5)向量法：
发现相似题
与“点P（﹣2，1）到直线2x+y=5的距离为[]A．B．C．D．-高二数学-魔方格”考查相似的试题有：
802000849731795483816221841216815740当前位置：
＞＞＞在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x2+4y2=4上的一个动点，..
在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x2+4y2=4上的一个动点，求点P到直线x+2y-32=0距离的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
由题意可设P（2cosθ，sinθ），则点P到直线x+2y-32=0的距离为d=|2cosθ+2sinθ-32|5=|22sin(θ+45°)-32|5，∴当θ+45°=90°，即P(2，&22)时，d取得最小值为105．
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据魔方格专家权威分析，试题“在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x2+4y2=4上的一个动点，..”主要考查你对&&点到直线的距离，椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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点到直线的距离椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
点到直线的距离公式：
1、若点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）上，则Ax0+By0+C=0。 2、若点P（x0，y0）不在直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）上，则Ax0+By0+C≠0，此时点P（x0，y0）直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离d=。 点到直线的距离公式的理解：
①点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离（这是从运动观点来看的）．②若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．③点到直线的距离公式适用于任何情况，其中点P在直线l上时，它到直线的距离为0．④点到几种特殊直线的距离：&&
&&椭圆的离心率：
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。 2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。 3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。 4、焦距：。 5、离心率：；&离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆； 6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。。利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围．
发现相似题
与“在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x2+4y2=4上的一个动点，..”考查相似的试题有：
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