已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-又f(x2)-f(x1)/x2-x1=0在（x1，x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=又f(b)-f(a)/b-ab-a/b＜ln又b/a＜又b-a/a（可不用证明函数的连续性和可导性）．-乐乐题库
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已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-f(x2)-f(x1)x2-x1=0在（x1，x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=f(b)-f(a)b-ab-ab＜lnba＜b-aa（可不用证明函数的连续性和可导性）．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x...”的分析与解答如下所示：
（1）先对函数f（x）进行求导，又根据f'（2）=0可得到关于m的代数式．再将m的代数式n代入函数f（x）中消去n，可得f'（x）=3mx2-6mx，当f'（x）＞0时x的取值区间为所求．（2）由于f(x2)-f(x1)x2-x1=m（x12+x22+x1x2-3x1-3x2）从而f′(x)-f(x2)-f(x1)x2-x1=0，可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0，令h（x）=3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2，计算则h（x1）h（x2）＜0，根据零点存在定理得h（x）=0在区间（x1，x2）内必有解，从而得到证明；（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），则g（x）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在x0∈（a，b），使g′(x0)=g(b)-g(a)b-a1x的性质即可证得结果．
解：（1）因为f'（x）=3mx2+2nx，------（1分）由已知有f'（2）=0，所以3m+n=0即n=-3m------（2分）即f'（x）=3mx2-6mx，由f'（x）＞0知mx（x-2）＞0．当m＞0时得x＜0或x＞2，f（x）的减区间为（0，2）；-----（3分）当m＜0时得：0＜x＜2，f（x）的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）；-----（4分）综上所述：当m＞0时，f（x）的减区间为（0，2）；当m＜0时，f（x）的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）；-----（5分）（2）∵f(x2)-f(x1)x2-x1=m（x12+x22+x1x2-3x1-3x2），------------（6分）∴f′(x)-f(x2)-f(x1)x2-x1=0，可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0，令h（x）=3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2-------（7分）则h（x1）=（x1-x2）（2x1+x2-3），h（x2）=（x2-x1）（x1+2x2-3），即h（x1）h（x2）=-（x1-x2）2（2x1+x2-3）（x1+2x2-3）又因为0＜x1＜x2＜1，所以（2x1+x2-3）＜0，（x1+2x2-3）＜0，即h（x1）h（x2）＜0，-----------（8分）故h（x）=0在区间（x1，x2）内必有解，即关于x的方程f′(x)-f(x2)-f(x1)x2-x1=0在（x1，x2）恒有实数解-----（9分）（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），-----------（10分）则g（x）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在x0∈（a，b），使g′(x0)=g(b)-g(a)b-a1x，由x∈（a，b），0＜a＜b可知g′（x）∈（1b，1a），b-a＞0-----（12分）即1b&＜g′(x0)=g(b)-g(a)b-a＜1a，∴b-ab＜lnba＜b-aa-----（14分）
本小题主要考查导数的运算、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法\拉格朗日中值定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
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已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程...
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经过分析，习题“已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x...”主要考察你对“利用导数研究曲线上某点切线方程”
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利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究曲线上某点切线方程．
与“已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x...”相似的题目：
已知函数f（x）=sinx，g（x）=x-x36（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点P（π4，f（π4））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当x＞0时，x＞f（x）＞g（x）．&&&&
已知函数f(x)=ax2+bx+c&x≥-1f(-x-2)&x＜-1&&&&．
曲线y=x3在原点处的切线&&&&不存在有1条，其方程为y=0有1条，其方程为x=0有2条，它们的方程分别为y=0，x=0
“已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n...”的最新评论
该知识点好题
1抛物线C1：y=12px2(p＞0)的焦点与双曲线C2：x23-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=&&&&
2已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为&&&&
3曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为&&&&
该知识点易错题
1曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为&&&&
2曲线y=xx+2在点（-1，-1）处的切线方程为&&&&
3曲线y=x3-2x+1在点（1，0）处的切线方程为&&&&
欢迎来到乐乐题库，查看习题“已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-又f(x2)-f(x1)/x2-x1=0在（x1，x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=又f(b)-f(a)/b-ab-a/b＜ln又b/a＜又b-a/a（可不用证明函数的连续性和可导性）．”的答案、考点梳理，并查找与习题“已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-又f(x2)-f(x1)/x2-x1=0在（x1，x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=又f(b)-f(a)/b-ab-a/b＜ln又b/a＜又b-a/a（可不用证明函数的连续性和可导性）．”相似的习题。设函数f（x）=x|x-a|，若对于任意x1，x2∈[3，+∞），x1≠x2，不等式1)-f(x2)&x1-x2＞0恒成立，则实数a的取值范围是．★☆☆☆☆推荐试卷
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＞＞＞函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，..
函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f（x1ox2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；（3）当f（4）=1，f（x）在（0，+∞）上是增函数时，若f（x-1）＜2，求x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）取x2=1，得f（x1×1）=f（x1）+f（1），即f（x1）=f（x1）+f（1），解之得f（1）=0；（2）令x1=x2=-1，得f[-1×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解之得f（-1）=0再令x1=-1，x2=x，得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），∴f（x）在D上为偶函数…（8分）（3）由f（4×4）=f（4）+f（4）且f（4）=1，得f（16）=2…（9分）∵f（x）在D上为偶函数，∴不等式f（x-1）＜2等价于f（|x-1|）＜2…（10分）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，由函数的定义域知|x-1|＞0∴0＜|x-1|＜16，解之得-15＜x＜17且x≠1，即原不等式的解集为（-15，1]∪[1，17）…（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性分段函数与抽象函数
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
发现相似题
与“函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，..”考查相似的试题有：
398115865069565808484168249251439494当前位置：
＞＞＞已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+..
已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值；（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：偏难来源：江苏同步题
解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3．根据题意，得&即&解得&所以f（x）=x3﹣3x．（2）令f'（x）=0，即3x2﹣3=0．得x=±1．当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；当x∈（﹣1，1）时，f′（x）&0，函数f（x）在此区间单调递减；因为f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，所以当x∈[﹣2，2]时，f（x）max=2，f（x）min=﹣2．则对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，所以c≥4．所以c的最小值为4．（3）因为点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，所以可设切点为（x0，y0）．则y0=x03﹣3x0．因为f'（x0）=3x02﹣3，所以切线的斜率为3x02﹣3．则3x02﹣3=&，即2x03﹣6x02+6+m=0．因为过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以方程2x03﹣6x02+6+m=0有三个不同的实数解．所以函数g（x）=2x3﹣6x2+6+m有三个不同的零点．则g'（x）=6x2﹣12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2．当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，函数g（x）在此区间单调递增；当x∈（0，2）时，g′（x）&0，函数g（x）在此区间单调递增；所以，函数g（x）在x=0处取极大值，在x=2处取极小值，有方程与函数的关系知要满足题意必须满足： &，即&，解得﹣6＜m＜2．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的零点与方程根的联系，导数的概念及其几何意义，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的零点与方程根的联系导数的概念及其几何意义函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点 平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+..”考查相似的试题有：
775283816726401202786911487897277824知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）设g（x）=x*x-2x+2，若对任意x1∈（0，正无穷）均存在x2∈【0,1】使得f（x）＜g（x),求a的取值范围
知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）设g（x）=x*x-2x+2，若对任意x1∈（0，正无穷）均存在x2∈【0,1】使得f（x）＜g（x),求a的取值范围
不区分大小写匿名
还是问老师比较好。。 。
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