关于矩阵的等价与向量组的等价58
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关于矩阵的等价与向量组的等价58
２００８年１２月韶关学院学报?自然科学Ｄｅｃ．２；关于矩阵的等价与向量组的等价；曹青春，冯秀芹；（肇庆学院数学系，广东肇庆５２６０６１）；摘要：证明了数域，上的两个ｍｘｎ矩阵Ａ与Ｂ行（列；关键词：矩阵；初等变换；等价；秩中图分类号：０１；文献标识码：Ａ；文章编号：１００７―５３４８（２００８）１２―０；无论是在线性方程组的讨论中，还是在向量空间的理论；间的密
２００８年１２月韶关学院学报?自然科学Ｄｅｃ．２００８关于矩阵的等价与向量组的等价曹青春，冯秀芹（肇庆学院数学系，广东肇庆５２６０６１）摘要：证明了数域，上的两个ｍｘｎ矩阵Ａ与Ｂ行（列）等价当且仅当它们的行（列）向量组等价．同时，还得到了一些有用的推论．关键词：矩阵；初等变换；等价；秩中图分类号：０１５１文献标识码：Ａ文章编号：１００７―５３４８（２００８）１２―００２５―０３无论是在线性方程组的讨论中，还是在向量空间的理论中，向量组之间的线性关系（包括等价性）都起着基本而重要的作用【１－３］．在本文里，引入了两个矩阵行等价和列等价的概念，揭示它们与向量组的等价之间的密切联系．同时，还将得到关于矩阵的一些推论．定义１［１】设Ａ，曰为数域Ｆ上的ｍｘｎ矩阵，如果Ａ可经过一系列的初等行（列）变换化为Ｂ，则称Ａ与Ｂ行（列）等价．定义２Ｅ１］设ａ，，啦，…，瓯与卢。，／３５，…，忍是ｒｔ，维行向量空间Ｆ５的两个向量组，如果它们能够互相线性表示，则称ｏｔｌ，（９／２，…，儡与ＪＢｌ，岛，…，危等价．为节省篇幅，在下面的讨论中本文将不加指明地引用文献［１］中的有关概念和结论．定理１证明设Ａ，Ｂ数域Ｆ上的ｍ×ｔｚｌ矩阵，则矩阵Ａ与召行等价当且仅当Ａ与曰的行向量组等价．设Ａ的行向量组为仪。，Ｏｒ５，…，ｄ。，而Ｂ的行向量组为卢。，／３：，…，风用分块矩阵来表示即为：ｄ』岱ｌ．曰＝Ａ＝嘞●●●岛ａ。』ｌ口。如果矩阵Ａ与召是行等价的，则存在一个ｍ阶叮逆矩阵ｇ＝（ｇ＃）ｍｘｍ使得Ｂ＝必．于是，利用分块矩阵的乘法规则，可得：Ｂ－－ｑｆｌｃｘｌ＋ｑａ‘ｘ２＋…＋ｑ―％．，ｉ＝１，２，…，ｍ．所以，向量组／３，，＆，…，凤可由向量组ａ，，“：，…，％线性表示．同理，由于Ａ＝Ｑ―Ｂ，这就意味着向量组０ｃ，，０ｃ：，…，仅。也可由向量组ＪＢ。，伤，…，卢。线性表示．因此，矩阵Ａ与Ｂ的行向量组等价．反之，假定Ａ与Ｂ的行向量组等价，则秩㈣，毗，…，嘲＝秩够，，＆，…，剐，令它们共同的秩为ｒ．如果ｒ＝０则Ａ＝Ｂ＝０，显然有矩阵Ａ与Ｂ是行等价的．下面假定ｒ＞Ｏ且Ｏｔ¨ａ¨…，％是ａ。，０ｃ：，…，‰的极大线性无关组屈．，成，…，孱，是ＪＢ，，压，…，／３．的极大线性无关组，则ａ和ａ‘，…，ａ‘与／３，。％／３，…，／３，等价．于是，存在一个ｒ阶矩Ｉ阵使得：收稿日期：２００８―０７＿２８基金项目：肇庆学院教学研究项目（０２１０７３）作者简介：曹青春（１９５７一），女，河南新乡人，肇庆学院数学系讲师，主要从事代数方面的研究届ｉ．屈：●●●０ｃｆ．＝ｃｒ。吣●●●Ｂｉ一％这时，ｃ０是生成子空间１隈￡（哦，％，…，吣）中由基吒，ｑ：，…，嘎到基危属：，…礁的过渡矩阵，因而是可逆的．当ｒ：ｍ时，注意到上面的ｉ，，如，…，０可分别取为ｌ，２，…，ｍ，因而（１）式和Ｃ。的可逆性表明，矩阵Ａ与Ｂ是行等价的．当ｒ＜ｒｒｚ－时，对Ａ作适当的初等行变换（通过行的交换），可使得：仪１ｄｉ．％●●●吒●＇＇Ａ＝Ｊｑ吣仪“●●●甜１．～ｌｏ★ｌａ。∞．又因为每个吒，可由ｄ“，“妒…，吣线性表示：理＆＝也１０［ｉ；＋ｄｋ２ｃｘ‘＋…＋如ｐ，＜五ｓｍ所以将Ａ，的前，行的适当倍数分别加到后面的１７１，一ｒ行，可使得它们全部变为零．对于矩阵曰，亦作同样的处理．因此，可以证明存在ｍ阶可逆矩阵ｕ和秽使得：ｊＱｉ，ａ‘慨慨（２）ＵＡ＝Ｉ“ｔ，ＶＢ２ｉ＆０｜０｜Ｏ０同时，由（１）式可得到：卢ｆ．８ｉ｜●●●气吣～反０●●●：［々￡，ｌ（３）啦０｜；ＯＯ其中，ｋ为ｍ―ｒ阶的单位矩阵．进一步，由（２）、（３）两式可得：Ｉ屈。ａｆｌ慨ａＬ：●●●曰＝Ｖ。１Ｉ展０妒?［？ｏ艮理ｉ妒恬ＥＯ…］ＵＡ．０●●●０Ｏ取：ｆｃｒ。０１剐。【０Ｅ―Ｐ则Ｔ为一个ｍ阶可逆矩阵，且Ｂ＝硒，从而Ａ与Ｂ行等价．定理１证毕．利用转置矩阵的知识，由定理１可得下面的定理２．定理２设Ａ，Ｂ为数域Ｆ上的ｍＸｌｔ矩阵，则矩阵Ａ与Ｂ列等价当且仅当Ａ与Ｂ的列向量组等价．由定理１和定理２，还可得到如下一系列推论．推论１证明若ｎ阶方阵Ａ，Ｅ以ｙ满足Ａ＝明且曰＝Ｍ，则必存在一个ｎ阶可逆矩阵丁，使得Ｂ＝烈．由条件Ａ＝ＵＢ和日＝蹦知，Ａ与Ｂ的行向量组是等价的．所以推论１由定理１得证．推论２设Ａ，Ｂ分别为数域Ｆ上的ｍＸｍ和１ＴＬＸｎ矩阵，若秩（ＡＢ）＝秩（日），则对于任意ｒｔＸ￥矩阵Ｃ，有秩（ＡＢＣ）＝秩（ＢＣ）．证明。设Ｂ的行向量组为卢。，卢：，…，卢。，而ＡＢ的行向量组为ｙ。，ｙ：，…，‰．由分块矩阵的乘法规则可知．乘积ＡＢ的每个行向量都是Ｂ的行向量组的线性组合：ｙＦ忌ｉ１ｆｌｌ＋ｋ‘卢２＋…十尼￡。卢。，ｉ＝ｌ，２，…，ｍ．所以，￡（＂，ｙ：，…，‰）∈￡够。，岛，…，风）．这样，再由秩似曰）＝秩（曰）可知，￡（ｙｔ，饮，…，‰）＝￡∞?，岛，…，风）．从而可得，ＡＢ的行向量组与Ｂ的行向量组等价．再由定理ｌ得，矩阵ＡＢ与Ｂ行等价，于是，存在一个ｍ阶可逆矩阵Ｐ使得ＰＡＢ＝丑因此，对于任意ｍＸｓ矩阵Ｃ，有ＰＡＢＣ＝ＢＣ，进而有秩（ＡＢＣ）＝秩（ＰＡＢＣ）＝秩（ＢＣ）。推论３设Ａ，Ｂ分别为数域Ｆ上的ｒｒｔｘｎ和ｒｉ，Ｘｌｚ矩阵，若秩（ＡＢ）＝秩似）则存在一个ｎ阶可逆矩阵Ｃ，使得ＡＣ＝ＡＢ．证明由分块矩阵的乘法规则可知，乘积ＡＢ的每个列向量都是Ａ的列向量组的线性组合，类似于推论２的证明（应用定理２）易知，Ａ的列向量组与的ＡＢ列向量组等价．所以，存在一个ｎ阶可逆矩阵Ｃ，使得ＡＣ＝ＡＢ．由定理ｌ和定理２，可将所含向量个数相同的两个凡维行（列）向量组的等价问题转化为“同型”的两个矩阵的行（列）等价问题．其实，当两个ｎ维行（列）向量组中所含向量的个数不等时，这种转化仍然是有效的．例如，设０１．１，０１２，…，Ｏｔ。与．；Ｂ。，卢２，…，展是丽组坨维行向量，且ｔ＜ｍ．令卢ｌ＋１印。＋２＝…嘏ｌ－Ｏ，则ｄｌ，ＯＬ２，…，ｄ。与局，侥，…，／３，等价当且仅当ａ。，“：，…，‰与卢。，＆，…，屈，卢州，…，熊等价．这样，可将两向量组中所含向量个数不等的情形转化为相等的情形．因此，本文中的定理１和定理２具有普遍的意义．（下转第７８页）ＥｘｐｌｏｒｅｂｙａｏｎＥＳＷＬｔｒｅａｔｍｅｎｔｏｆｕｒｅｔｈｒａｌｃａｌｃｕｌｉｗａｔｅｒｂａｌｌｏｏｎ－ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇｅｑｕｉｐｍｅｎｔＬＩＴａｉ―ｃｈｕｎ，ＬＡＮＨａｎ－ｒｏｎｇ，ＬＥＩＺｈｉ－ｆｅｎｇ（ＣｒｕｓｈｅｄＳｔｏｎｅｓｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＳｈａｏｇｕａｎＲａｉｌｗａｙＨｏｓｐｉｔａｌ，Ｓｈａｏｇｕａｎ５１２０２３，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅａｕｔｈｏｒｈａｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄｏｎａｗａｔｅｒｂａｌｌｏｏｎ－ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇｅｑｕｉｐｍｅｎｔ．Ｉｔｈａｓｂｅｅｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｅｄｂｒｅａｋｔｈｅｕｓｅ７５ｍａｒｒｉｅｄａｎｄｃａｓｅｓｃｈｉｌｄ―ｂｏｒｎｍｅｎ，ａｎｄｉｔｃａｎｓｔｏｎｅｗｉｔｈｔｈｅｅｘｔｒａｃｏｒｐｏｒｅａｌｓｈｏｃｋｗａｖｅ．Ａｓａｒｅｓｕｌｔ，ａｎ７５ｗｅｒｅｓａｔｉｓｆｉｅｄｗｉｔｈｔｈｉｓｔｒｅａｔｍｅｎｔ．ＴｈｅｏｆｔｈｅｂａＵｏｏｎ―ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇｅｑｕｉｐｍｅｎｔｔｏｔｒｅａｔｃａｎｍａｌｅｕｒｅｔｈｒａｌｓｔｏｎｅｗｉｔｈｔｈｅｅｘｔｒａｃｏｒｐｏｒｅａｌｓｈｏｃｋｗａｖｅｉｓｒｅａｌｌｙｇｒｅａｔ．Ｔｈｅｐａｔｉｅｎｔｓｐａｉｎｓ，ａｎｄｗｈｏｌｅｐｒｏｃｅｓｓｉｓｑｕｉｔｅａｂｅｔｒｅａｔｅｄｗｉｔｈｏｕｔａｎｙｓｉｍｐｌｅ．Ｗｈａｔ’ｓｍｏｒｅ，ｔｈｅｒｅｗｉｌｌｎｏｔｂｅａｎｙｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｆｔｅｒｓｕｒｇｅｒｙ．Ｔｈｉｓｉｓ．ｇｏｏｄｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｔｒｅａｔｍｅｎｔｏｆｍａｌｅｕｒｅｔｈｒａｃａｌｃｕｌｉ．ｗａｖｅＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｘｔｒａｃｏｒｐｏｒｅａｌｓｈｏｃｋｔｈｒａｌｃａｌｃｕｌｉｌｉｔｈｏｔｒｉｐｓｙｃｙｓｔｉｃ；ａｗａｔｅｒｂａｌｌｏｏｎ―。ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇｅｑｕｉｐｍｅｎｔ；ｕｒｅ‘（ＥＤ．：Ｘ，Ｊ）坐★＊女坐啦妇％＿女螺女女业女女蛳女女＊ｔ女蛳％业啦坐女＊誓＊★ｔ女＊妊坐女★啦＊蛳业女啦妇ｔ＊坐女＊坐业蛳蛳幽（上接第２７页）参考文献：【１］北京大学数学力学系．高等代数（第二版）【Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９７８．［２］谢永东．判定向量维等价性的一个充分条件［Ｊ］．工科数学，１９９７，１３（２）：１５０－１５１．［３］宋福民，万福令。关于两列岛量组等侩的一些注ｉｇ［ｊＪ．工科数学，１９９８，１４（３）：１４４―１４６ＴＯｎｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｏｆｍａｔｒｉｃｅｓａｎｄｖｅｃｔｏｒｓｅｔｓＣＡＯＱｉｎｇ－ｃｈｕｎ，ＦＥＮＧｍａｔｒｉｃｅｓａｎｄＸｉｕ－ｑｉｎ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＺｈａｏｑｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｏｑｉｎｇａｒｅ５２６０６１，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ）ｃｏｌｕｍｎｓ（ｒＯＷＳ）ｉｆａｒｅＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｗｏｏｎｌｙｉｆｔｈｅｉｒｃｏｌｕｍｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｒｅｌａｔｉｖｅｔｏａｎｄｒｏｗｓ）ｖｅｃｔｏｒｓｅｔｓａｒｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｓｏｍｅｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｔｒｉｘ；ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ；ｒａｎｋ（ＥＤ．：Ｘ，Ｊ）关于矩阵的等价与向量组的等价作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：曹青春， 冯秀芹， CAO Qing-chun， FENG Xiu-qin肇庆学院数学系,广东肇庆,526061韶关学院学报JOURNAL OF SHAOGUAN UNIVERSITY)1次 参考文献(3条) 1.宋福民;万福令 关于两列向量组等价的一些注记 .谢永东 判定向量组等价性的一个充分条件 .北京大学数学力学系 高等代数 1978 相似文献(10条)1.期刊论文 谢芳 矩阵初等变换的若干应用 -昭通师范高等专科学校学报)应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中若干问题和求两个多项式的最大公因式.这些内容丰富和扩展了相关知识.2.期刊论文 孙卓明.SUN Zhuo-ming 广义初等变换及矩阵乘法的简化 -上饶师范学院学报)为了简化矩阵乘法的运算,本文对初等变换的概念进行了推广,提出了广义初等变换的概念,给出了用广义初等变换完成矩阵乘法运算的方法.彻底解决了矩阵乘法计算的简化问题.3.期刊论文 叶海江.安希忠.王增辉.YE Hai-jiang.AN Xi-zhong.WANG Zeng-hui 矩阵乘积的初等变换术及其应用 -大学数学)通过矩阵乘法运算的拆行拆列表示,巧妙地绕过初等矩阵,建立了矩阵乘积的初等变换术,进而导出了原来运用初等矩阵才能导出的有关初等变换、逆矩阵、矩阵方程、矩阵等价的若干重要结果.4.期刊论文 和斌涛.HE Bin-tao 初等变换与矩阵的QR分解的关系 -科学技术与工程)主要研究矩阵初等变换与矩阵的QR分解的关系.讨论了第一类,第二类矩阵的初等变换对矩阵的QR分解的影响,即初等变换后新矩阵的Q矩阵和R矩阵与母矩阵的Q矩阵和R矩阵之间的定量关系.并利用第三类初等变换给出了矩阵QR分解的新方法.5.期刊论文 闫国松 浅议初等变换在矩阵理论中的作用 -科技信息（学术版）2008(14)矩阵理论是线性代数的主要内容和重要基础,矩阵的初等变换在矩阵理论中起着特别重要的作用,主要包括初等变换在求逆矩阵时的核心作用;初等变换在求矩阵秩时的核心作用;初等变换在解线性方程组时的核心作用.因此矩阵的初等变换是矩阵理论的核心.6.期刊论文 王荣.罗铁山 利用矩阵的初等变换求一类矩阵的乘积 -唐山学院学报)利用矩阵的初等变换,讨论了形如A-1B或BA-1的计算问题,并给出了较为简便的计算方法.7.期刊论文 陈现平.CHEN Xian-ping 初等变换求矩阵逆思想的应用 -枣庄学院学报)利用初等变换求矩阵逆的思想,对构造的分块矩阵进行初等行、列变,可以同时求出数字矩阵、λ-矩阵的等价标准形的过渡矩阵偶及相似与合同的过渡矩阵.为此类问题的解决提供简单、实用、统一的方法,对高等代数的学习有很好的借鉴作用.8.期刊论文 邓勇.DENG Yong 求λ-矩阵广义逆矩阵的初等变换法 -四川文理学院学报)给出了λ-矩阵的广义逆矩阵的定义,并利用λ-矩阵的初等变换得到求其逆矩阵及其广义逆矩阵的统一方法.9.期刊论文 韩小森.吴忠林 矩阵初等变换的应用 -天中学刊)文章通过实例对初等变换在数字矩阵、分块矩阵和λ-矩阵中的应用进行了探讨,以便为矩阵理论的教学改革提供参考.10.期刊论文 李先崇 矩阵的满秩分解和强满秩矩阵的三角分解的初等变换法 -贵州师范大学学报（自然科学版）)把矩阵分解为特性矩阵的乘积无论是在矩阵理论的研究还是矩阵的应用中都是相当重要的.通过矩阵的初等变换可实现矩阵的满秩分解和强满秩矩阵的三角分解. 引证文献(1条)1.徐周亚.林胜荣.赵帮玉 矩阵相抵的条件讨论[期刊论文]-内江科技 2011(2) 本文链接：.cn/Periodical_sgxyxb.aspx授权使用：华南师范大学(hnsfdx)，授权号：-3f27-45ec-af4b-9ef700b1dc9a下载时间：日包含各类专业文献、高等教育、生活休闲娱乐、应用写作文书、专业论文、文学作品欣赏、关于矩阵的等价与向量组的等价58等内容。
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等价矩阵的秩为什么相等
等价矩阵的秩为什么相等
09-03-15 &匿名提问 发布
相似矩阵的秩也是相等的，相似矩阵的定义就是：存在一个n阶可逆矩阵p使p-1ap====b就说a,b相似相互合同的矩阵的秩也相同。矩阵间合同的定义就是：存在一个n阶可逆矩阵c使：cTac==b就主a,b合同相似和合同都可以得到等价
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关于矩阵等价和秩关系的问题
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本帖最后由 李云斌 于
00:14 编辑
& & 假设，ab都为m*n矩阵，等价可以推到秩相等，这个不容置疑，但是秩相等推到等价，到底需要什么条件啊？
& &有些书直接就说，秩相等然后推出等价，今天做个题，说秩等推不出等价，比如：a=（0,1）T,与b=（1,0）T.秩相等，但并不能相互表示，故不等价。
& & 这里我有个迷惑，ab等价到底是ab中的向量能相互表示，还是a经初等变换能得到b？根据后面的原理，因为，：a左乘以(0，1)T,(1,0)T可以等到b，这又表示ab是等价的.
& &到底怎么回事啊，，，，战友们
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再问个问题，不知道看的清楚不？手机不好，书上字又小。
题干是：A相似于对角阵（1，1，0），且Aa1=a1，Aa2=a3，Aa3=0，求p？
选项是：A,(a1，a2，a1+a3）B,（a2，a3，a1）C.（a1+a2，-a2,2a3）D.（a1+a2，a2+a3，a3）
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矩阵等价充要条件是秩相等且同型
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向量组等价和矩阵等价是不一样的哟&&
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矩阵的等价,合同,相似的联系与区别38
目录；摘要......................；摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在；足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩；关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价；引言：；在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别；1矩阵间的三种关系；1.1矩阵的等价关系；定义1两个s?n矩阵A,B等价的充要条件为：存在；n阶
录摘 要 ............................................................................................................... I 引言 ................................................................................................................ 1 1矩阵间的三种关系 ....................................................................................... 1
1.1 矩阵的等价关系 ........................................................................................ 1
矩阵的合同关系 ...................................................................................... 1
1.3. 矩阵的相似关系 ....................................................................................... 2 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 ........................................................ 3 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 ......................................................... 5 结束语 ............................................................................................................ 6 参考文献......................................................................................................... 6摘 要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件 引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系1.1 矩阵的等价关系定义1
两个s?n矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使B?PAQ由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,
使得B?PAQ.性质1（1）反身性：即A?A.（2）对称性：若A?B，则B?A（3）传递性：即若A?B，B?C，则A?C定理1
若A为m?n矩阵，且r(A)?r，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和?IrQ（n 阶），使得PAQ???00??B.其中Ir为r阶单位矩阵. ?0?m?n推论1
设A、B是两m?n矩阵，则A?B当且仅当r(A)?r(B). 1.2
矩阵的合同关系定义2
设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵p，使得PTAP?B,则称矩阵为合同矩阵（若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：
(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p上的n阶矩阵p,PTAP?B性质2（1）反身性：任意矩阵A都与自身合同.（2）对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.（3）传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2
数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3
复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22f?y12?y2??yr1.3. 矩阵的相似关系定义3
设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得P?1AP?B,则称矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域p上n阶可逆矩阵P，使得P?1AP?B性质3(1)反身性
A?ETAE ;(2)对称性
由B?CTAC即得A??C?1?BC?1;（3）传递性 A1?C1TAC1和A2?C2TA1C2即得 A2?C1C2?A?C1C2?总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) P(k1A1?k2A2)P?k1PA1P?k2PA2P（其中k1,k2是任意常数）； (5）P(A1A2)P?(PA1P)(PA2P)；(6）若A与B相似，则Am与Bm相似（m为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果B?PAP为满秩矩阵，那么B?1?1TT?1?1?1?1?1?1?(PAP)?1?1?PAP.?1?1即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果B?P?1AP，则有：B?P?1AP?P?1AP?A(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设B?P?1AP，若B可逆，则B?1?(P?1AP)?1?PA?1P?1从而A可逆.且B?1与A?1相似.若B不可逆，则(P?1AP)不可逆，即A也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4
相似矩阵的特征值相同.推论3
相似矩阵有相同的迹.2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1） 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5
相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵． 证明： 设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵P1，使得P?11AP1?B，此时若记P?P?11,Q?P1 ,则有PAQ?B,因此由定义1得到n阶方阵A,B等价反过来，对于矩阵A??100??121???010?,B??等价，但是A与B并不相似，??010??即等价矩阵未必相似．定理 6
对于n阶方阵A,B，若存在n阶可逆矩阵P,Q 使PAQ?B,(即A与B等价)，且PQ?E (E为n阶单位矩阵)，则A与B相似．证明： 设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵P,Q,使PAQ?B,即A与B等价．又知PQ?E,若记P?P?11 ,那么Q?P1,也即P?11AP1?B,则矩阵A,B也相似．定理7
合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明： 设n阶方阵A,B合同，由定义2有，存在n阶可逆矩阵P1，使得PT1AP1?B，记P?PT1,Q?P1,则有PAQ?B因此由定义1得到n阶方阵A,B等价若包含各类专业文献、行业资料、中学教育、专业论文、各类资格考试、外语学习资料、文学作品欣赏、矩阵的等价,合同,相似的联系与区别38等内容。　
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