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材料力学题解.pdf
简介：本文档为《材料力学题解pdf》，可适用于高等教育领域，主题内容包含世纪高等学校辅导教材力学系列丛书材料力学题解主编梁枢平邓训薛根生编者(以姓氏笔画为序)邓训吕运冰刘小明李国清梁枢平薛根生华中科技大学出版社图书在版编符等。
材料力学题解.pdf
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简介：本文档为《材料力学题解pdf》，可适用于高等教育领域，主题内容包含世纪高等学校辅导教材力学系列丛书材料力学题解主编梁枢平邓训薛根生编者(以姓氏笔画为序)邓训吕运冰刘小明李国清梁枢平薛根生华中科技大学出版社图书在版编符等。
材料力学课后习题题解
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轴力 为什么用FN表示工程力学或者材料力学中学习轴向拉压杆件时，关于内力的表示有特定的符号，比如轴力的表示符号工程上就是N,现在与国际符号接轨，表达改为FN(N为下标)。请问：F是Force的意思，N是什么？难道不是英文轴向的缩写？
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N是牛顿的意思
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解 端截面B的水平位移实际上就是AB杆长度的变化量ΔL，由于杆的横截面不是常数，杆件的轴力AC段NAC = 6kN（拉），CB段NCB
=4kN（压），故应分三段（AC段、CD段、DB段）来计算杆的变形，然后取其代数和。
设DB段的变形为ΔL1，则
=NDBL1/EA1= -4×103×0.5/2×1111×2×10-4
= -0.05×10-3 m （缩短）
设CD段的变形为ΔL2，则
=NCDL2/EA2= -4×103×0.5/2×1111×4×10-4
= -0.025×10-3 m （缩短）
设AC段的变形为ΔL3，则
=NACL3/EA3= 6×103×0.5/2×1111×4×10-4
= -0.0375×10-3 m （伸长）
因此，杆件总变形为：
ΔB=ΔL1+ΔL2+ΔL3 = -0.0375 mm （缩短）
&&& &&&&&&&
解& 1. 计算杆件内的最大正应力&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
在距离下端点x处截取m
- m横截面，取杆件x段为脱离体，则此截面上的轴力为：
根据方程绘制轴力图。轴力沿杆长按直线变化，最大值发生在上端截面，x=L，其大小为：&&
Nmax =γAL&
m - m横截面上的正应力为：σx=Nx/A =γAx /A &=γx&&&&&&&&&&&&&&
由此式可知，正应力沿杆长直线变化，最大正应力也发生在上端截面上，其值为σx =γAL
<span lang=EN-US style='font-family:宋体;color:#. 计算杆件的伸长
由于各截面上的轴力是不等的，故计算整个杆件的伸长时，应先计算dx微段的伸长。
在离下端为x处，用相距dx的m-m和n-n两截面从杆中切出微段，其受力情况如图所示。
dX微段的伸长为: dΔL= Nxdx/EA
所以，整个杆件的总伸长为
上式表明，中于杆端时所产生的变形的一半。
解& 节点B的位移是两杆轴向变形的结果，所以，应首先计算两杆的内力。
<span lang=EN-US style='font-family:宋体;color:#．计算各杆内力&
用N1，N2分别表示AB杆和BC杆的内力，画出节点B的受力图。由静力平衡条件
P=51.96kN（拉）
<span lang=EN-US style='font-family:宋体;color:#．计算各杆的变形
=N1L1/E1A1= 5×1011×4×10-4
=1.299×10-3 m （伸长）
=N2L2/E2A2= 6/ 10×109×100×10-4
=1.39×10-4 m （缩短）
2/cos300=2.31m
<span lang=EN-US style='font-family:宋体;color:#．画节点位移图
为了计算节点B的位移，必须首先画节点B的位移图。由于我们研究的是小变形范围，实际变形、位移均很微小，但为分析研究问题方便，故图中将变形与位移均作放大。
如图所示，设BD代表AB杆的伸长ΔL1，BH代表BC杆的缩短ΔL2，但两杆并不是分别沿两杆轴线方向自由地伸长和缩短，而是在变形后仍交于一点B2。故应以AB杆的A为圆心，以AD为半径画弧，再以BC杆的C点为圆心，以
CH为半径画弧，两段弧线相交于B2点，则B2点就是B点的最后位置。由于实际上变形与杆的原长相比是一个很小的量，为方便计算，所以圆弧DB2和圆弧HB2可分别视为AB与BC两杆的垂线DBl和HB1（B1与B2点应相当接近）。图C是放大了的节点B的位移图。
解 取坐标系如图所示，则弯矩方程为：M（x）=-P（L-x）
挠曲线的近似微分方程为：EIy’’=-[-P(L-x)]=PL-Px
将上式积分一次：EIy’=PLx-Px2/2 + C&&&&&&&&&&& （a）
再积分一次&& EIy=PLx2/2-Px2/6+
Cx + D&&&&&&&& （b）
由梁的边界条件确定积分常数C和D。
梁的边界条件是固定端截面的转角和挠度等于零。即 x=0，θ= y’=0；x=0，Y=O
将上述边界条件代入式（a）和（b），可得C=0，D=0
故梁的转角方程和挠度方程分别为：EIθ= EIy’= PLx-Px2/2 （c）
EIy=PLx2/2-Px3/6&&&& （d）
将x=L，代入式（c）和（d），便可求出自由端的转角θB和挠度yB。
θB=（PL2-PL2/2）/EI= PL2/2EI
yB=（PL3/2-PL3/6）/EI=PL3/3EI
转角θB为正，表示B截面顺时针转动。挠度也为正，表示挠度向下。
解 梁的支反力 VA=VB=ql/2
弯矩方程M（x）=qlx/2-qx2/2
挠曲线的近似微分方程：EIy’’=-（qlx/2-qlx2/2）=qx2/2-qlx/2
积分两次 EIθ=
EIy’=qx3/6-qlx2/4+C&&& （a）
EIy=qx4/24-qlx3/12+Cx+D&&& （b）
剪支梁的边界条件为x=0，yA=0；x=L，yB=0
将x=0，yA=0，代入式（b），得D=0
将x=L，yB=0，代入式（b），得C=ql3/24
再将C和D代入式（a）和（b），得转角和挠度方程式
EIθ= EIy’=q（4x3-6lx2+l3）/24&& （c）
EIy=q（x4-2lx3+l3x）/24&&&&&&&&
由于梁及梁上荷载是对称的，所以最大挠度发生在跨中，将x=L/2代入式（d），
可求出最大挠度：f=5ql4/384EI，
将x=L代入式x=L，求出B截面的转角：θB=-ql3/24EI，
θB为负值，表示B截面逆时针旋转。
此题需要分两段列出各自的弯矩方程式，因而在计算变形时，也要分段列出挠曲线近似微分方程，并分段积分。
解& 支反力VA=pb/L，VB=pa/L
弯矩方程& AC段 M（x1）=pbx1/L&& （0≤x1≤a）
CB段 M（x2）=pbx2/L&&& （a≤x1≤L）
AC与BC段的挠曲线近似微分方程及其积分
AC段&& EIy’ ’<span lang=EN-US
style='font-family:宋体;color:#= -M（x1）=Pbx1/L
EIy’<span
lang=EN-US style='font-family:宋体;color:#= -Pbx12+C1
-Pbx13/6L+C1x1+D1
CB段&& EIy’ ’<span lang=EN-US
style='font-family:宋体;color:#= -M（x2）= -Pbx2/L+P（x2-a）
EIy’<span
lang=EN-US style='font-family:宋体;color:#= -Pbx22/2L+P（x2-a）2/2+C2
-Pbx23/6L+ P（x2-a）3/6+C2x+D2
(4) 确定积分常数
积分常数有C1，C2，D1，D2四个，因此，除了两个边界条件
（1）x1=0，yA=0；（2） x2=0，yB=0以外，尚须考虑连续条件：在C点处既属于AC段，又属于CB段，而梁弯曲后的变形是连续的，因而从AC段的方程计算出C点挠度与转角，应该与由CB段方程算出的相等，即3）x1=x2=a，y1’=y2’，<span lang=EN-US
style='font-family:仿宋_GB2312;mso-hansi-font-family:宋体;color:#）x1=x2=a，y1=y2，条件3）与4）称变形的连续条件，通过以上四个条件，可求出四个积分常数。
根据条件3）可得：-Pba2/2L+C1=-Pba2/2L+C2&& 得：C1= C2 ，
根据条件4）-Pba3/6L+
C1a +D1=-Pba3/6L+ C2 +D2&& 得：D1= D2，
将条件1）代入式（b），得D1=0。将条件2）代入式（d）得：P（L-a）3/6-PbL3/6L+C2L=0
故C2=Pb（L2-b2）/6L
转角方程和挠度方程式
将积分常数代入式（a），（b），（d）即可得到AC段和CB段的转角方程和挠度方程式：
y’=Pb（L2-b2-3x12）/6LEI&&& （0≤x1≤a）&& （e）
y1=Pbx1（L2-b2-3x12）/6LEI&&&&&&& （0≤x1≤a）&& （f）
y2’=[Pb（L2-b2-3x22）/6L+P（x2-a）2/2]/EI&&& （a≤x2≤L）&& （g）
y2=Pbx1（L2-b2-3x12）/6LEI&&&&&&&&&&&&&&&&
（a≤x2≤L）& （h）
求yc 和θA
将x1=a代入式（f），或将x2=a代入式（h），便可得到C截面的挠度
Pab（L2-b2-a2）/6LEI
将x1=0代入式（e），得A截面的转角θA=
Pb（L2-b2）/6LEI
通过转角方程，可定出最大挠度所在截面位置，即转角等于零处挠度有极值，从而求出最大挠度数值。但是在工程上，当挠曲线无拐点时，可由中点挠度近似地代替最大挠度，二者数值很接近，这样可节省计算工程量。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
单跨吊车梁可简化为简支梁，当吊车行驶到梁中点起吊重物时，梁的挠度最大，最大挠度发生在梁的中点。可以使用表格分别查出p和q作用下的挠度。
解& 在均布荷载q作用下的跨中挠度&& fq=5qL4/384EI
在集中荷载作用P作用下，梁的中点挠度& fp=pL3/48EI
应用叠加法，求q和P共同作用下的中点最大挠度
5qL4/384EI+ pL3/48EI
解 查表得 yc=qa4/8EI，θC=
θB=θC= qa3/6EI
yb2=yc+θC×b= qa4/8EI+ qa3/6EI×b=qa3（3a+4b）/24EI
解 桁条可简化为均布荷载作用下的简支梁，查表得最大挠度的计算式为
f=5qL4/384EI，式中，I=， =895cm4
校核该桁条的刚度
f/L=5qL4/384EIL=5qL3/384EI
==1/141.6&[ f/L]=1/200
说明桁条虽然满足了强度条件,但刚度条件不满足,需增大截面尺寸。
解（1）建立虚设状态，如图所示，即在所求的C点沿所求方向上加单位力Pi=1，求出各支座反力的大小和方向。
（2）代入式△ic=-ΣiC（，并注意式中反力与位移的对应关系，得
△HC = –ΣiC = –（-1×5 - ×6）=9 cm （→）
结果为正值，说明单位力Pi=1方向与实际的位移方向相同，即C点水平位移向右9 cm。
&&&&&&&&&&
解（1）建立虚设状态，在垂直于BC杆的方向加两个力，组成一单位力偶，并求出各支座反力，如图b所示。
（2）代入式△ic=-ΣiC，得 фBC = -（-×b）= （P）即BC杆顺时针转一角度为。
解（1）求B截面的角位移
在B截面处加一单位力偶Mi=1，建立虚设状态如图b。
代入式 △ip=Σ,并积分得:
△ip=фB = &= &
фB 的结果为负值,表示其方向与所加的单位力偶方向相反,即B截面逆时针转动。
(2)求跨中C点的竖向线位移
在C点加一单位力Pi=1,建立虚设状态如图c所示,
分别列出荷载作用和单位力作用下的弯矩方程。
以A点为坐标原点,当0≤X≤时,有：
因为对称关系,由式△ip=Σ得
Δip = ΔV C = = &= ($)
ΔV C 的结果为正值,表示C点竖向线位移方向与单位力方向相同，即C点位移向下。
&&& &&&&&&
解(1)建立虚设状态,如图b所示。
(2)取脱离体如图c所示，分别列出位移状态和虚设状态任一截面的弯矩方程式为
& =-rsinθ
&(3)代入式△ip=Σ得
ΔV B = ∑ = &=
因为= = ()=
所以ΔV B = (↓)
&&&&&&&&&&&&
解(1)建立虚设状态如图b所示。即在结点C加一单位力Pi=1。
(2)计算位移和虚设状态各杆的轴力，
由于桁架及其荷载均为对称,故只需计算一半桁架的内力。
计算结果写在图中各杆上。
(3)将各杆的Np和Ni代入式
ΔV C = Σ
解 (1)建立虚设状态,即在所求的C点加单位力Pi=1,如图所示。
(2)分别作荷载弯矩图Mp和单位力的弯矩图,如图c,d
(3)进行图相乘,则得
ΔV C = =5ql4/384EI
解（1）分别建立在=1及Pi=1作用下的虚设状态，如图c，d所示。
&(2)分别作荷载作用和单位力作用下的弯矩图,如图b,c,d。
(3)图形相乘.将b图与c图相乘,则得
ФA = = - &(Q)
结果为负值,表示ФA的方向与假设=1的方向相反.
计算ΔV C时,将b图和d图相乘,这里必须注意的是：Mp图中BC段的弯矩图是非标准抛物线,所以,图乘时不能直接代入公式,应将此部分的面积分解为两部分,然后叠加,则得
ΔV C = = &(↓)
解(1)在C,D两点处加一对方向相反的水平单位力Pi=1,建立虚设状态如图c：
(2)分别作Mp图及图,如图b, c所示：
Mp图中AC,BD两杆的弯矩图是三次抛物线。
(3)将图b与图c相乘,则得
== - &&(→←)
结果为负值,说明实际两点相对位移的方向与所加单位力Pi=1的方向相反.
解(1)建立虚设状态,即在C点竖向加单位力Pi=1,如图b,c所示，
(2)在单位力作用下,分别作图和图,如图b,c所示，
图中虚线所示的弧形表示杆件在温度变化及单位力作用下杆件的弯曲方向，从图中可知,两端弯曲变形方向相反,所以公式中乘积取负值；同样AB杆的轴向变形方向也是相反,也取负值。
(3)计算各杆轴线处的温度和各杆两侧温度差,得
t = (t1+t2)= 10&/2 = 5&
t&sup1;= |0°- 10°|= 10°
温差、单位力引起的等均取绝对值，因正负号将由两种状态下各杆相对应的变形方向来决定。
& Δit =ΔV C = Σαt+ Σ= - = - (↑)
C点的实际位移方向与Pi=1方向相反，即C点位移向上。
解（1）建立虚设状态如图b。
（2）在Pi=1作用下计算各杆的，以及各杆长度列入表内。
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（3）代入公式△it= Σαtds =Σαt L，得
Δit =ΔV C = αtΣL= 0
所得结果为零，表示C点不产生竖向位移。