已知全集U={(X,Y)}|X∈R,Y∈R},M={(X,Y)Y-4_百度知道4发现相似题 上传我的文档
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湖南省永州市2016年高考数学三模试卷（理科）
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& 学年高中数学 第一章1.1.3《集合的基本运算》讲解与例题 新人教A版必修1
学年高中数学 第一章1.1.3《集合的基本运算》讲解与例题 新人教A版必修1
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资料概述与简介
1.1.3　集合的基本运算
定义 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)
符号语言 AB＝{x|xA，或xB}
性质 (1)AA＝A，即一个集合与其本身的并集是其本身；
(2)A＝A，即一个集合与空集的并集是其本身；
(3)AB＝BA，即集合的并集运算满足交换律；
(4)AAB，BAB，即一个集合是其与任一集合并集的子集；
(5)AB＝BAB，即一个集合与其子集的并集是其自身．
对并集的理解　(1)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，这与生活用语中的“或”是有区别的．生活用语中的“或”一般指或此或彼，必居其一，二者不可兼有，而并集中的“或”是可兼有的．
(2)“xA，或xB”包含三种情况：“xA，但xB”；“xB，但xA”；“xA，且xB”．Venn图如图所示：
(3)若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在AB中仅出现一次．如A＝{0,1}，B＝{－1,0}，则AB＝{－1,0,1}，不能写成{－1,0,0,1}．
【例1－1】设集合M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，那么MN等于(　　)
A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}
C．{3,5,7,8}
D．{4, 5,6,8}
解析：由并集的定义知，MN＝{3,4,5,6,7,8}．
求并集应注意的问题　注意应用集合元素的互异性，重复的元素只能出现一次，防止出现AB＝{3,4,5,5,6,7,8,8}这样的错误．
【例1－2】若集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|－2＜x＜2}，则AB等于(　　)
A．{x|x＞－2} B．{x|x＞－1}
C．{x|－2＜x＜－1}
D．{x|－1＜x＜2}
解析：画出数轴如图所示，故AB＝{x|x＞－2}．
数轴的应用　用数轴来表示不等式的解集较为直观，有助于准确、迅速地解题．
定义 文字语言 一般地，由属于A且属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB．(读作“A交B”)
符号语言 AB＝{x|xA，且xB}
性质 (1)AA＝A，A＝；(2)AB＝BA；
(3)ABA，ABB；(4)AB＝AAB；
(5)(AB)C＝A(BC)；
(6)(AB)(AB)
对交集的理解　(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．如A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则AB＝{2,3,4}，而不是AB＝{2,3}，{2,4}或{3,4}．
(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是AB＝．
(4)定义中“xA，且xB”与“x(AB)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为AB．而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于AB．
【例2－1】已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则AB等于(　　)
A．{2} B．{4}
C．{0,2,4,6,8,16}
解析：观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以AB＝{2,4}．
【例2－2】设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则AB等于(　　)
A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
D．{x|1≤x≤4}
解析：在数轴上表示出集合A与B，如下图．
则由交集的定义可得AB＝{x|0≤x≤2}．
3．补集与全集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U．
对全集的理解　“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集．
定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA．
符号语言 UA＝{x|xU，且xA}
性质 (1)UAU；
(2)UU＝，U＝U；
(3)U(UA)＝A；
(4)A(UA)＝U；A(UA)＝
对补集的理解　(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(2)UA包含三层意思：①AU；②UA是一个集合，且UAU；③UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．
(3)若xU，则xA或xUA，二者必居其一．
【例3－1】已知全集U＝{1,3,5,7}，A＝{5,7}，则UA等于(　　)
A．{6} B．{5,7}
C．{1,3,5,7}
解析：全集U中除去集合A中元素剩下的元素是1,3，则UA＝{1,3}．
【例3－2】已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1＜9，求UA．
错解：由题意，得A＝{x|0≤x＜4，
因此UA＝{x|x＜0，x＞4．
错因分析：(1)求集合A的补集时，端点的取舍出现错误；(2)x＜0与x＞4之间应该用“或”连接，因为没有“或”连接就表示“x＜0且x＞4”的意思．
正解：由题意，得A＝{x|0≤x＜4，
因此UA＝{x|x＜0，或x≥4．
求不等式表示的集合的补集易疏忽两点　一是要注意不等式在端点处是否带等号，二是要注意两个不等式之间到底用“或”还是用“且”连接．
4．集合的运算
(1)集合的基本运算
①对于用列举法表示的集合，可以根据交集、并集、补集的定义，利用观察法或借助Venn图直接写出集合的运算结果．这里要注意集合元素的特征，做到不重不漏．
②当集合A，B都有无穷多个元素时，A，B的元素无法一一列举，此时求并集、交集就需借助于数轴，将问题直观化、形象化，便于理解．但是应当注意端点值的取舍，我们可以把端点值代入题目中进行验证．
③用描述法给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其共同特征，然后在确定了集合中元素的前提下，再着手进行集合的运算．否则，就会无从下手或出现错误．例如，集合A＝{x|2x＋2＞4}，集合B＝{y|y2－3y＝0}，往往错认为集合A中的元素是x，而集合B中的元素是y，则集合A和B没有公共元素，所以AB＝．出错的原因是没有准确把握集合A，B中元素的一般符号的意义：仅仅代表该集合中的元素，也可以换成其他符号．就像人的名字一样，仅仅表示这个人，也可以换成其他名字来代替．其实，集合A是不等式2x＋2＞4的解集，则集合A＝{x|x＞1}，集合B是方程y2－3y＝0的解集，则有B＝{0,3}，所以有AB＝{x|x＞1}{0,3}＝{3}．
(2)集合的混合运算
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(UA)B时，先求出UA，再求交集；求U(AB)时，先求出AB，再求补集．
注意以下规律：
(1)①U(AB)＝(UA)(UB)，如图a；②U(AB)＝(UA)(UB)，如图b．
(2)①A(BC)＝(AB)C．
②A(BC)＝(AB)C．
③A(BC)＝(AB)(AC)．
④A(BC)＝(AB)(AC)．【例4－1】已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求：AB，AB，(UA)(UB)，A(UB)，(UA)B．
解法一：AB＝{4}，AB＝{3,4,5,7,8}．
∵UA＝{1,2,6,7,8}，UB＝{1,2,3,5,6}，
∴(UA)(UB)＝{1,2,6}，A(UB)＝{3,5}，(UA)B＝{1,2,4,6,7,8}．
解法二：AB，AB，A(UB)求法同解法一．
(UA)(UB)＝U(AB)＝{1,2,6}，
(UA)B＝U(A(UB))＝{1,2,4,6,7,8}．
解法三：画出Venn图，如图所示，可得AB＝{4}，AB＝{3,4,5,7,8}，
(UA)(UB)＝{1,2,6}，
A(UB)＝{3,5}，(UA)B＝{1,2,4,6,7,8}．
【例4－2】已知全集U＝R，集合，B＝{m|3＞2m－1}，
求：(1)AB，AB；
(2)U(AB)．
分析：(1)集合A是不等式组的解集，集合B是不等式3＞2m－1的解集，先确定集合A和B的元素，再根据交集和并集的定义，借助于数轴写出；(2)利用(1)的结论，根据补集的定义写出．
解：(1)∵＝{x|－2＜x＜3}，
B＝{m|3＞2m－1}＝{m|m＜2}．
用数轴表示集合A，B，如图．
∴AB＝{x|－2＜x＜2}，AB＝{x|x＜3}．
(2)由(1)知AB＝{x|－2＜x＜2}，如图所示．
因此U(AB)＝{x|x≥2，或x≤－2}．
【例4－3】已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求AB．
解：A＝{x|x＞5}，B＝{x|x＜a－3}．
(1)当a－3≤5，即a≤8时，如图①所示，
AB＝{x|x＜a－3，或x＞5}．
(2)当a－3＞5，即a＞8时，如图②所示，AB＝{x|xR}．
求不等式解集的并集的方法　(1)用数轴表示不等式的解集．
(2)若不等式解集端点含有参数，需根据端点大小进行讨论．
(3)取解集的所有部分形成并集．5．利用集合运算的结果求参数的值
(1)对于已知两个有限集(元素个数有限)的运算结果求参数值的问题，一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列出方程(组)求解．在处理有关含参数的集合问题时，要注意对求得的结果进行检验，以避免违背集合中元素的有关特性，尤其是互异性．
(2)对于已知不等式表示的集合的运算结果求参数值的问题，要结合数轴，通过观察尝试找出不等式集合的端点所处的位置，然后列出不等式(组)，进而求得参数的值或范围．
(3)要准确理解和应用集合运算的结果．这些运算结果实质上是给出了集合间的关系或元素与集合间的关系．一般地，有：
①若AB＝A，则BA；
②若AB＝B，则BA；
③若UA＝B，则A＝UB；
④若AB＝C，则AC，BC，也就是说：若xC，则xA或xB；
⑤若AB＝D，则DA，且DB，也就是说：若xD，则xA，且xB．
例如：集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}．
(1)若AB＝，求a的取值范围；
(2)若AB＝{x|x＜1}，求a的取值范围．
解：(1)如图所示，A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，∵AB＝，
∴数轴上点a在－1的左侧(含点－1)．
∴a≤－1．
(2)如图所示，A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，
∵AB＝{x|x＜1}，
∴数轴上点a在－1和1之间(含点1，但不含点－1)．
∴－1＜a≤1．
【例5－1】设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，集合A＝{|2a－1|,2}，UA＝{5}，求实数a的值．
分析：本题是考查补集的有关问题，解题的关键是利用UA＝{5}这一条件．UA＝{5}包含了三层含义：即5U,5A，且AU．
解：∵UA＝{5}，∴5U,5A，且AU．
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4．
①当a＝2时，|2a－1|＝3≠5；
②当a＝－4时，|2a－1|＝9≠5，但是9U．故a的值为2．
求解含参数的集合问题应注意检验　在求出参数的值后一定要注意检验，例如本题，当a＝－4时，A＝{9,2},9不是全集U中的元素，而实际上集合A中的所有元素都应该属于全集U，故a＝－4不适合题意，应舍去．
【例5－2】设集合A＝{x|x2＝4x}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋a2－1＝0}．
(1)若AB＝B，求a的取值范围；
(2)若AB＝B，求a的值．
分析：可以利用条件“AB＝BBA”及“AB＝BAB”求解．
解：(1)∵A＝{x|x2＝4x}＝{0,4}，又∵AB＝B，∴BA．
①若B＝，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－1)＜0，解得a＞1．
因此当a＞1时，B＝A．
②若0B，则0为方程x2＋2(a－1)x＋a2－1＝0的一个根．
即a2－1＝0，解得a＝±1．当a＝1时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A；当a＝－1时，B＝{x|x2－4x＝0}＝A．
③若4B，则4为方程x2＋2(a－1)x＋a2－1＝0的一个根，即a2＋8a＋7＝0，解得a＝－1或a＝－7．由②知当a＝－1时A＝B符合题意，当a＝－7时，B＝{x|x2－16x＋48＝0}＝{4,12}A．
综上可知：a≥1，或a＝－1．
(2)∵AB＝B，∴AB．又∵A＝{0,4}，而B中最多有2个元素，
∴A＝B，即0,4为方程x2＋2(a－1)x＋a2－1＝0的两个根．
∴解得a＝－1．
【例5－3】已知集合P＝{x|－2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，求当PQ＝时，实数k的取值范围．
错解：∵PQ＝，∴k＋1＞5或2k－1＜－2，即k＞4或k＜．
故实数k的取值范围是k＞4或k＜．
错因分析：错误有二处：(1)PQ＝，集合Q可能是；(2)如果Q不是，则需满足k＋1≤2k－1这一隐含条件．
正解：(1)当Q是时，有k＋1＞2k－1，即k＜2，符合题意；
(2)当Q不是时，则有或解之得k＞4．
综上，实数k的取值范围是k＜2或k＞4．
求解有关集合的空集问题应注意两点　(1)若两集合的交集为空集，应注意这两个集合是否存在空集的情况；
(2)若集合是不等式表示的，并且不等式的端点含有参数，应注意参数的隐含条件．6．存在性问题
求解存在性问题是今后我们会经常遇到的一种题型，它的一般求解方法是：先假设存在，然后根据题设条件进行求解，若求解中出现矛盾式子或无解，则不存在；若有解，并检验，若满足所有条件(包括隐含条件)，则称其为存在．要注意检验，这是极易忽视的地方．
【例6】已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：(1)A≠B；(2)AB＝B；(3)(AB)．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在a使得A，B满足条件，由题已知得B＝{2,3}．
∵AB＝B，∴AB，即A＝B或AB．
由条件(1)A≠B，可知AB．
又∵(AB)，∴A≠，即A＝{2}或{3}．
当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，即a＝－3或a＝5．
经检验：a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；
a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去．
当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0．即a＝5或a＝－2．
经检验：a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；
a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去．
综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．
7．Venn图的应用
(1)借助于Venn图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决．利用Venn图将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性．
在使用Venn图时，可将全集分成四部分，如图所示．
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ这四部分的含义如下：
Ⅰ：A(UB)；
Ⅲ：(UA)B；
Ⅳ：(UA)(UB)(或U(AB))．
(2)比较集合运算的三种语言形式可以看出，Venn图可以把一些不明确的数量关系直观地表示出来，从而达到化繁为简、化抽象为直观的目的．
利用Venn图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解．【例7－1】已知全集U＝{x|x是不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且满足A(UB)＝{5,13,23}，B(UA)＝{11,19,29}，(UA)(UB)＝{3,7}，求集合A，B．解：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}，
又A(UB)＝{5,13,23}，B(UA)＝{11,19,29}，(UA)(UB)＝{3,7}，
用Venn图表示如图所示，
由图易知元素2,17应在集合AB中．
故A＝{2,5,13,17,23}，B＝{2,11,17,19,29}．
【例7－2】某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数．
解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A，B，C，由题意可知集合A，B，C中的元素个数分别为27,25,27，集合AB，BC，AC，ABC中的元素个数分别为10,7,11,4．画出Venn图如图所示，
由图可知全班人数为10＋13＋12＋6＋4＋7＋3＝55(人)．
有限集中元素的个数的求法　我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用card来表示有限集的元素个数，即card(A)表示有限集A的元素个数，则有：card(AB)＝card(A)＋card(B)－card(AB)；
card(ABC)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(AB)－card(AC)－card(BC)＋card(ABC)．8．补集思想的应用
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能起到化难为易、化隐为显的作用，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现．
这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求UA，再由U(UA)＝A求A．
补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在正向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．【例8】已知集合A＝{x|2m－1＜x＜3m＋2}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}，是否存在实数m，使AB≠？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：若AB＝，分A＝和A≠讨论：
(1)若A＝，则2m－1≥3m＋2，解得m≤－3，此时AB＝．
(2)若A≠，要使AB＝，则应有
即所以≤m≤1．
综上，当AB＝时，m≤－3或≤m≤1；
当m＞1或－3＜m＜时，AB≠．
补集的思想　运用补集思想求参数范围的方法如下：把已知的条件否定，考虑反面问题→求解反面问题对应的参数范围→将反面问题对应参数的范围求补集→结果．9．集合运算中的信息迁移题
信息迁移题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，以旧代新，利用已有的知识来解决问题．
例如，设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|xM，且xP}，则M－(M－P)＝(　　)
解析：根据定义“xM且xP”等价于“xM(UP)”．为此引入全集U，则有M－P＝M(UP)．于是有M－(M－P)＝M－[M(UP)]＝M{U[M(UP)]}＝M{(UM)[U(UP)]}＝M[(UM)P]＝[M(UM)](MP)＝(MP)＝MP．
【例9】对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|aA，bB}记作A×B．例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有
A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，
B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，
B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．
据此，试回答下列问题．
(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；
(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；
(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．
解：(1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．
(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，∴A＝{1,2}，B＝{2}．
(3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数，与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．因此若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．
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