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历史上的今天
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blogTitle:'解析法在平面解析几何中的应用',
blogAbstract:'&\r\n解析几何的产生 \r\n&&& 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。\r\n&\r\n解析几何的基本内容\r\n&&& 在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。',
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{list wl as x}{/list}向量代数与空间解析几何 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)_百度文库
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向量代数与空间解析几何 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)|
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官方公共微信十年上海&高考题解析几何部分选做
2011～2012年上海 高考题选做
2012年(理)：
3．函数的值域是 .
4．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为  arctan2  
（结果用反三角
函数值表示）.
12．在平行四边形ABCD中，&A=, 边AB、AD的长分别为2、1.
若M、N分别
是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是  [2, 5]   .
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
在平面直角坐标系中，已知双曲线：．
（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；
（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值．
[解]（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：.
        
过点A与渐近线平行的直线方程为，即.
        
解方程组，得.                     
        
       
所以所求三角形的面积1为.             
   
（2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，
        
故，即.                                     
       
 由，得.
        
y1)、Q(x2, y2)，则.
        
        
故OP&OQ.                                            
   
（3）当直线ON垂直于x轴时，
        
|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为.
        
当直线ON不垂直于x轴时，
        
设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为.
        
由，得，所以.
同理.                                      
        
设O到直线MN的距离为d，因为，
        
所以，即d=.
        
综上，O到直线MN的距离是定值.       
                
2012（文）
3．函数的最小正周期是        
4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为         
（结果用反三角
函数值表示）.
22．在平面直角坐标系中，已知双曲线.
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）
（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的
面积；（5分）
   
（3）设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，
求证：OP&OQ；（6分）
  3.抛物线的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿＿.
14.若矩阵满足：且，则这样的互不相等的矩阵共有＿＿＿＿＿＿个.
15.已知椭圆则  
[答］（ ）D
(A)与顶点相同. （B）与长轴长相同.
(C)与短轴长相同. （D）与焦距相等.
18.设为所在平面上一点.若实数满足
，则&&是&点在的边所在直线上&的[答］（ ）C
(A)充分不必要条件. 
(B)必要不充分条件.
(C)充分必要条件.  
(D)既不充分又不必要条件.
21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知双曲线
（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；
（2）直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时，求实数的值。
解（1）双曲线的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，则，所以双曲线的标准方程为。
（2）双曲线的渐近线方程为，设[来源:www.shulihua.net]
又因为，而
2011年上海市高考数学试题（理科）
3、设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则           
10、行列式（）的所有可能值中，最大的是              
11、在正三角形中，是上的点，，则        
17、设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为〖答〗（  
   
A  
0            
B  
1               
C   
5               
D   
10  
23、（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。
⑴ 求点到线段的距离；
⑵ 设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；
⑶ 写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，
是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① 。
② 。
③  。
2011年上海市高考数学试题（文科）
5、若直线过点，且是它的一个法向量，则的方程为           
18、设是平面上给定的4个不同的点，则使成立的点的个数为〖答〗（  
  
A  
0       
B  
1               
C   
2               
D   
4  
22、（16分）已知椭圆（常数），点是上的动点，是右顶点，定点的坐标为。
⑴ 若与重合，求的焦点坐标；
⑵ 若，求的最大值与最小值；
⑶ 若的最小值为，求的取值范围。
  
   
2011年春季招生考试数学卷
4．若行列式，则
        
【解】．，则，．
7．两条直线与夹角的大小是
【解】．直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，夹角为．
9．若椭圆焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦 
点，则椭圆的方程是
  
【解】．双曲线的顶点和焦点坐标分别是和．
设椭圆的方程为，则由题设，，，于是，
所以椭圆的方程为．
10．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为
  
【解】设，由得①因为点为椭圆上的任意一点，则，于是①式化为
．因为，而图象的对称轴，所以当时，有最小值为．
15．若向量，，则下列结论正确的是                      
  Ｃ．
  
【解】，Ａ不正确；，，则，Ｂ不正确；，，所以，Ｃ正确；不存在实数，使，Ｄ不正确．故选Ｃ．
17．直线与圆的位置关系为                     
（   
）  
Ａ．相交或相切 Ｂ．相交或相离
  
Ｃ．相切   Ｄ．相交
【解】解法1．因为直线过点，而点在圆的内部，所以直线与圆相交．故选Ｄ．解法2．圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交．故选Ｄ．
18．若均为单位向量，则是的   
Ａ．充分不必要条件   Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件
   
【解】若，当时，得，
若，当，则，
所以是的必要不充分条件．故选Ｂ．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．
已知抛物线.
(1) 的三个顶点在抛物线上，记的三边所在直线的斜率分别为，若点在坐标原点，求的值；
(2) 请你给出一个以为顶点，且其余各顶点均为抛物线上的动点的多边形，写出多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由．
说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．
21、【解】(1) 设,．则
(2) ① 研究．
② 研究四边形
③ 研究五边形．
④ 研究边形,其中．                
⑤研究边形,其．
⑥研究边形,其中．
4．（文）已知定点A（0，1），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐
标是           
 理12．给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由
  
||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
  
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.  
                                                                        
补：201421628.
   
  
       
  
       
       
     
20[]1P114.5  .
b=h=6P.33.3.
（文理）21163142537.
   
OA43OAB.|AB|=2|OA|B.
  
  
  
  
  
v3&0,v=8,={68}.
2={105}B105OB
(x3)2+y(y+1)2=10,
(x1)2+(y3)2=10
3P (x1,y1), Q
(x2,y2) OB
2．（文理）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为,则它的焦点坐标为   
  
  
8．（文科）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0, －4),B(0, －2),则圆C的方程为 
                    
8．（理科）圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A(0, －4),B(0, －2),则圆C的方程为                      
. (x2)2+(y+3)2=5
20．(文科) 
 如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点,
线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
   (1)
求点Q的坐标；
   (2)
当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)
的动点时, 求&DOPQ面积的最大值.
 A(4,2),B(8,4), ABM(2,1).
  
kAB==,ABy1=(x2).
  
∴Q(5,5)
(2) OQx+y=0, P(x, x24).
  
∵POQd==,
  
,∴S&DOPQ==.
∵PAB, POQ,
∴4&x&4444&x&8.
∵y=x2+8x32[4,8] ,
∴x=8, &DOPQ30.
补：理22(18) 16, 24, 38
,&, () C, ,
1C,.  ,
2C(a&b&0).
3CCP1,n,,.
  
 ∴.
   
∵, ∴,,
   
∴. ∵,&0
   
∴[,0),
   
      
                                          
  
  
  
∵OC,,
  
∴2&2,d&0.
  
  
  
   
   
∵OC0,2,
  
=0, ∴d&0..
5. (理）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程
是                    
         
7.（文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程
是                      
9.（文）直线关于直线对称的直线方程是__________. x+2y-2=0
15. （理）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B ）
A．有且仅有一条    
B．有且仅有两条     
C．有无穷多条     
19．（理）如图，点、分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．
   
（1）求点P的坐标；
   
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．
[解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
  
设点P(x,y),则={x+6,y},={x－4,y},
由已知可得
   
则2x2+9x－18=0,解得x=或x=－6.
  
由于y&0,只能x=,于是y=.
  
∴点P的坐标是(,)
  
(2) 直线AP的方程是x－y+6=0.
   设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.
  
于是=,又－6&m&6,解得m=2.
  
椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有
  
d2=(x－2)2+y2=x－4x2+4+20－x2=(x－)2+15,
由于－6&m&6,
∴当x=时,d取得最小值
21、（文科）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M.
（1）求抛物线方程；
（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.
[](1) y2=2pxx=-,4+=5, ∴p=2.
  
∴y2=4x.
  
(2)∵A(4,4), B(0,4),M(0,2),
  
∵F(1,0), ∴kFA=;MN&FA, ∴kMN=-,
  
FAy=(x-1),MNy-2=-x,x=,y=,
  
∴N(,).
3, ,M.(0,2), 2,
m=4, AKx=4,,AKM.
m&4, AKy=(x-m),4x-(4-m)y-4m=0,
M(0,2)AKd=,d&2,m&1
∴m&1, AKM;
  m=1, AKM;
  m&1, AKM.
22．（理科）在直角坐标平面中，已知点，，，&，，其中是正整数．对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，&&，为关于点的对称点．
求向量的坐标；
当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，，求以曲线为图象的函数在的解析式；
[解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2－x,4－y),
  
A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),
  
∴={2,4}.
   (2)
∵={2,4},
∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.
因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x&(－2,1]时,g(x)=lg(x+2)－4.于是,当x&(1,4]时,g(x)=lg(x－1)－4.
另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2－x=2,y2－y=4,
若3& x2&6,则0& x2－3&3,于是f(x2)=f(x2－3)=lg(x2－3).
当1& x&4时, 则3& x2&6,y+4=lg(x－1).
∴当x&(1,4]时,g(x)=lg(x－1)－4.
解： =,
 =2()
=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n－1})=2{,}={n,}
2．（理科）已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是        
2、（文科）已知两条直线若，则____.2
7．（理科）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是                            
7、（文科）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为
，则双曲线的标准方程是____________________.
12、（文科）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的&距离坐标&，根据上述定义，&距离坐标&是（1，2）的点的个数是________.4
20．（理科）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．
（1）求证：&如果直线过点T（3，0），那么＝3&是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[]1T(3,0)y2=2xA(x1,y1)B(x2,y2).
        
,x=3,,A(3,)B(3,).            
∴=3
        
        
  
     
   
   
&T(3,0)=3&
(2)y2=2xAB,=3,T(3,0)..
  
A(2,2)B(,1)=3,
ABT(3,0)AB
(x2,y2) =3y1y2=6
y1y2=2y1y2=6AB(3,0)y1y2=2
AB(1,0),(3,0).
21、（文科）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。
(1)a=2,c=,b=1.
    
x, ∴
(2)PAM(x,y) ,P(x0,y0),
∴PAM.
(3)BCx,BC=2,△ABCS△ABC=1.
BCx,y=kx,,
B(,),C(－,－),
∴△ABCS△ABC=
S△ABC=
&－1,得S△ABC&,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC.    
2、（理科）已知与，若两直线平行，则的值为
3．（文科）直线的倾斜角     
           
5．（文科）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是                  
8、（理科）已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为
11、（理科）已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）。直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为 
       
11．（文科）如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的取值范围是   
  
     ．
13．（文科）圆关于直线对称的圆的方程是（  C  ）
   
Ａ．         
   
Ｃ．         
（理）21、21183142638
  
   
   
   
                   
        
  
   
                                                
   
   
  
   
  
   
   
      
                                               
   
21183142539
  
   
    
          
    
    
                   
   
32             
   
    
        
   
                                       
   
                               
   
6．（文）若直线经过抛物线的焦点，则实数             
．     
12．（文）设椭圆上的点．若、是椭圆的两个焦点，则等于（D ）
A ．4           
B．5          
C．8    
    
15．如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点的定圆所围成的区域（含边界），是被圆的四等分点。若点、点)满足且，则称优于。如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 [答]（ 
    
（C）               
20. （文）已知双曲线：．
（1）求双曲线的渐近线方程；
   
（2）已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．记．求的取值范围；
（3）已知点、、的坐标分别为、、，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数．
1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&& 16
20．（理）设是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点的直线，记是直线与抛物线（&0）的异于原点的交点.
（1）已知.，求点的坐标；
（2）已知点在椭圆求证：点Q落在双曲线=1上；
（3）已知动点满足，，若点始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点的轨迹落在哪种二次双曲线上，并说明理由.
【解析】1    
     
2   
  
                                    
   
                       
3               
  
补：（春）18.(6&+9&)已知双曲线，
.         
  
.               
                                         
              
                  
  
                                              
.                               
9．（文）过点A（1，0）作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，则
=              
yx1x24x1041
9.已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.
4c2364a2a2c29b3
15．（文）已知直线平行，则K得值是（       
（A） 
1或3    
（B）1或5     
（C）3或5    
k3k&3k3k5C
17．（文）点P（4，－2）与圆上任一点连续的中点轨迹方程是 （   
（A） （B）
（C） （D）
QstPQAxy2x422y224
18. （理）过圆的圆心，作直线分别
交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图）
，若这四部分图形面积满足则直线AB有（  
（A） 0条   
（B） 1条   
（C）  2条   
IIIVABCABB
22. （文）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。
求双曲线C的方程；
若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；
证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.
  
 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
        
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          
21．（理）已知双曲线设过点的直线l的方向向量  
  （1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）证明：当&时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。
l&&&&&&..6w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          
lm&&&.8 
 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
        
C  
  
0&&&&&&&&&&&&..13
  
2      
*w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          
CQl &&&&&.16
理3 / 文8．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程
为                
．y28x    
理5 / 文7．圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=_______________．
13．（文）在平面直角坐标系中，双曲线&G的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线&G上的点P，若(a、b&IR)，则a、b满足的一个等式是_______________．
14.      
    
B BO&AC，
（文）23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆&G的方程为，A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)为&G的三个顶点．
(1) 若点M满足，求点M的坐标；
(2) 设直线l1:y=k1x+p交椭圆&G于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若，
证明：E为CD的中点；
(3) （文）设点P在椭圆&G内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆&G的两个交点P1、P2满足？令a=10，b=5，点P的坐标是(-8,-1)．若椭圆&G上的点P1、P2满足，求点P1、P2的坐标．
直线交椭圆于、两点， 所以&0即， 设C(x1,y1)D(x2,y2)CD(x0,y0)
(3) P&GxF&GOFk2FP1P2(2)ll
yx22x480P1(6,4)P2(8,3)
(理)已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）对于椭圆上的点Q（a
sin&）（0＜&＜&），如果椭圆上存在不同的两个交点,&的取值范围.
直线交椭圆于、两点， 所以&0即， 设C(x1,y1)D(x2,y2)CD(x0,y0)
(3) P1P21PQ
   
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