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自动控制原理重点知识整理
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线性系统的状态空间分析与综合
四、线性定常系统的反馈结构及状态观测器
&&&& 1、线性定常系统常用反馈结构及其对系统特性的影响
&&&& （1）两种常用反馈结构
&&&& 在系统的综合设计中，两种常用的反馈形式是线性直接状态反馈和线性非动态输出反馈，简称为状态反馈和输出反馈。
&&&& 1）状态反馈。设有n维线性定常系统
&&&& 2）输出反馈。系统的状态常常不能全部测量到，因而状态反馈法的应用受到了限制。在此情况下，人们常常采用输出反馈法。输出反馈的目的首先是使系统闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系统性能。
输出反馈有两种形式：一种是将输出量反馈至状态微分，另一种是将输出量反馈至参考输入。
第一种形式的输出反馈系统的动态方程为
其传递函数矩阵为
输出量反馈至状态微分的系统结构图如图 所示。
将输出量反馈至参考输入的系统结构图如图 所示。
对于输出量反馈至参考输入的系统，当将系统的控制量u取为输出Y的线性函数时，称之为线性非动态输出反馈，常简称为输出反馈，其中
v为 p维参考输入向量，F为p*q 维实反馈增益矩阵。
这是一种最常用的输出反馈。
将上式代入系统动态方程可得输出反馈系统动态方程
其传递函数矩阵为
&&&& 不难看出，不管是状态反馈还是输出反馈，都可以改变状态的系数矩阵，但这并不表明二者具有等同的功能。利用状态反馈时，其信息量大而完整，可以在不增加系统维数的情况下，自由地支配响应特性。而输出反馈仅利用了状态变量的线性组合进行反馈，其信息量较小，所引入的补偿装置将使系统维数增加，且难以得到任意的所期望的响应特性。
&&&& 一个输出反馈系统的性能，一定有对应的状态反馈系统与之等同；但是，对于一个状态反馈系统，却不一定有对应的输出反馈系统与之等同。
&&&& （2）反馈结构对系统性能的影响
&&&& 1）对系统可控怀和可观测性的影响
&&&& 定理9-1
对于n维线性定常系统，状态反馈的引入不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。
&&&& 定理9-2
对于n维线性定常系统，输出至状态微分反馈的引入不改变系统的可观测性，但可能改变系统的可控性。
&&&& 定理9-3
对于n维线性定常系统，输出至参考输入反馈的引入能同时不改变系统的可控性和可观测性，即输出反馈系统Sf为可控（可观测）的充分必要条件是被控系统S0为可控（可观测）。
&&&& 2）对系统稳定性的影响。状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性。加入反馈，使得通过反馈构成的闭环系统成为稳定系统，称之为镇定。由于状态反馈具有许多优越性，且输出反馈系统总可以找到与之性能等同的状态反馈系统，故在此只讨论状态反馈的镇定问题。对于线性定常受控系统
如果可以找到状态反馈控制律
其中v为参考输入，使得通过反馈构成的闭环系统
是渐近稳定的，即
的特征值均具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。
当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。
2、系统的极点配置
&&&& 状态反馈和输出反馈都能改变闭环系统的极点位置。
所谓极点配置就是利用状态反馈或输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的极点位置。由于系统的性能和它的极点位置密切相关，因而极点配置问题在系统设计中是很重要的。
&&&& 这里需要解决两个问题：一是建立极点可配置的条件，二是确定极点配置所需要的反馈增益矩阵。
&&&& （1）极点可配置条件
这里给出的极点可配置条件既适合于单输入－单输出系统，也适合于多输入－多输出系统。
&&&& 1）利用状态反馈的极点可配置条件
&&&& 定理9-5
利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。
&&&& 2）利用输出反馈的极点可配置条件
&&&& 定理9-6
用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可观测。
系统可控，满足可配置条件。系统的特征多项式为
希望特征多项式为
于是可求得
变换矩阵为
&&&& （3）状态反馈对传递函数零点的影响
状态反馈在改变系统极点的同时，是否对系统的零点产生影响？下面来分析回答这一问题。
已知完全可控的单输入－单输出线性定常系统经适当地非奇异线性可化为可控标准型
受控系统的传递函数为
引入状态反馈后的闭环系统传递函数为
上述推导表明，由于
的第n列相同，故G(s)与Gk(s)
的分子多项式相同，即闭环系统零点与被控系统零点相同，状态反馈对G(s)的零点没有影响，惟使G(s)的极点改变为闭环系统极点。然而可能有这种情况：引入状态反馈后恰巧使某些极点移到G(s)的零点处而构成极、零点对消，这时既失去了一个系统零点，又失了一个系统极点，并且造成了被对消掉的那些极点不可观测。这也是对状态反馈可能使系统失去可观测性的一个直观解释。
&&&& 3、全维状态观测器及其设计
&&&& 本节研究利用被控对象的输入量和输出量建立状态观测器（又称为状态估计器、状态重构器）来重构状态的问题。当重构状态向量的维数等于被控对象状态向量的维数时，称为全维状态观测器。
&&&& （1）全维状态观测器构成方案
&&&& 设被控对象动态方程为
&&&& 可构造一个动态方程与上式相同但用计算机实现的模拟被控系统
&&&& 上式中
分别为模拟系统的状态向量和输出向量，是被控对象状态向量和输出向量的估值。当模拟系统与被控对象的初始状态向量相同时，在同一输入作用下，有
作为状态反馈所需用的信息。
&&&& 但是，被控对象的初始状态可能很不相同，模拟系统中积分器初始条件的设置又只能预估，因而两个系统的初始状态总有差异，即使两个系统的
A,B,C阵完全一样（完全一样通常是不可能的）也存在估计状态与被控对象实际状态的误差
，难以实现所需要的状态反馈。然而，
的存在必定导致
的存在，而被控系统的输出量总是可以用传感器测量的，于是可根据一般反馈控制原理，使尽快逼近于零，便可以利用
来形成状态反馈。
&&&& 按以上原理构成的状态观测器及其实现状态反馈的结构图如图 。
&&&& （2）全维状态观测器分析设计
由前图可列出全维状态观测器动态方程
&&&& 定理9-7
若被控系统(A,B,C)可观测，则其状态可用形如
的全维状态观测器给出估值，其中
矩阵按任意配置极点的需要来选择，以决定状态误差衰减的速率。
阵参数时，应注意防止数值过大带来的实现困难，如饱和效应、噪声加剧等，通常希望观测器响应速度比状态反馈系统的响应速度要快些。
令两特征方程同次项系数相等可得
&&&& 4、分离特性
&&&& 用全维状态观测器提供的状态估值代替真实状态x来实现状态反馈，为保持系统的期望特征值，其状态反馈阵k是否需要重新设计？当观测器被引入系统以后，状态反馈系统部分是否会改变已经设计好的观测器极点配置，其观测器输出反馈阵H是否需要重新设计？为此需要对引入观测器的状态反馈系统作进一步分析。整个系统的结构图如前面图所示，是一个2n维的复合系统，其中
状态反馈子系统动态方程为
全维状态观测器动态方程为
故复合系统动态方程为
不用状态估值，而用状态误差
，将会使分析研究更加直观方便。
该式与u,v无关，即是不可控的，不管施加什么样的控制信号，状态误差总会衰到零，这正是所希望的，是状态观测器所具有的重要性质。对复合系统动态方程式引入非奇异线性变换
由于线性变换后系统传递函数矩阵具有不变性，由上式可导出系统传递函数矩阵
利用分块矩阵求逆公式
上式正是引入真实状态x作为反馈的状态反馈系统
的传递函数矩阵。这说明复合系统与状态反馈子系统具有相同的传递特性，与观测器部分无关，可用估值状态代替真实状态x作为反馈。 2n维复合系统导出了(n*n)传递矩阵，这是由于的不可控造成的。
线性变换不改变系统特征值，由前易导出
&&&& 上式表明复合系统特征值是由状态反馈子系统和全维状态观测器的特征值组合而成，且两部分特征值相互独立，彼此不受影响，故状态反馈矩阵K和输出反馈矩阵H可根据各自的要求来独立进行设计，故有下述分离定理。
&&&& 定理9-8（分离定理）
若被控系统(A,B,C)可控可观测，用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，即K和H阵的设计可分别独立进行。
&&&& 5、降维状态观测器及其设计
&&&& 当状态观测器估计状态向量的维数小于被控对象状态向量的维数时，称为降维状态观测器。
对于q维输出系统，有q个输出变量可直接由传感器测得。不过，通常的输出变量是由状态变量的线性组合构成，若能设法经过线性变换，使输出变量仅含单个独立的状态变量，则该q个状态变量便无需观测器作出估计，只需估计(n-q)个状态变量，称为(n-q)维状态观测器。它是一个(n-q)
维子系统，结构比较简单，其动态方程可由被控系统的线性变换导出。
&&&& （2）维状态观测器的构成及分析设计
&&&& 用降维状态观测器实现状态反馈的原理结构图如图 所示。
&&&& 设计降维状态观测器的步骤可归结如下：
&&&& 1）检查被控系统的可观测性，确定降维观测器维数(n-q)；
&&&& 2）运用非奇异线性变换
将传感器可以测得的个状态变量与待观测器估计的(n-q)个状态变量分离开，
并导出如前所示的变换后被控系统的动态方程；
&&&& 3）按前面255张片子中方程构造实用的(n-q)维观测器，全部状态变量由前面状态式给出；
&&&& 4）h阵的参数选择由观测器特征方程及期望特征方程联立确定。
按以上设计方法构成的维观测器，称为龙伯格观测器。结构图如书中494页图9－36所示。
已知被控系统动态方程为
&&&& 试设计降维状态观测器，希望特征值为 -3。
1）检查被控系统可观测性
&&&& 5）降维观测器动态方程为
&&&& 6）由观测器特征方程
&&&& 及期望特征方程λ+3=0联立确定观测器参数h1=4。h0与特征值配置无关，令h0=0；故降维观测器动态方程最后为
降维观测器的状态向量估值为
&&&& 6、状态反馈与状态观测器的工程应用
版权所有：扬州大学信息工程学院
自动化教研室
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自动控制原理-闭环零点对二阶系统的暂态影响分析
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&&论​文​主​要​介​绍​了​什​么​二​阶​系​统​ ​,​什​么​是​带​有​闭​环​零​点​的​二​阶​系​统​ ​ ​以​及​闭​环​极​点​对​二​阶​系​统​动​态​指​标​的​影​响​ ​ ​,​讨​论​了​随​着​零​点​位​置​的​变​化​对​,​二​阶​系​统​暂​态​的​影​响​变​化​过​程​(​通​过​m​a​t​l​a​b​作​图​给​出​)
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