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2016届高考数学100个热点问题之千题百炼：（2）第36炼 向量的数量积——寻找合适的基底
2016届高考数学100个热点问题之千题百炼：（2）第36炼 向量的数量积——寻找合适的基底
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向量的数量积——寻找合适的基底
&&& 在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（模长，夹角）那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将两个向量表示出来，进而进行运算。这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法
一、基础知识：
（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：
1、平面向量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得。其中成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）
2、向量数量积运算，其中为向量的夹角
3、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角，
其中：同向&&&&&&&&&
：反向&& &&&&&&&&：&
4、数量积运算法则：
（1）交换律：&
（2）系数结合律：
（3）分配律：
因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：
例如：&&&&
由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将用基底表示出来，则可计算
（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：
1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，
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高三数学平面向量的知识梳理练习题及答案参考
&&&&&&&&&&★★★
高三数学平面向量的知识梳理练习题及答案参考
作者：佚名
文章来源：
更新时间： 14:35:11
文章录入：admin&&&&责任编辑：admin&
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意见详细错误描述：
教师讲解错误
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下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面内所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是(　　)A．①②B．②③C．①③D．①②③
主讲：吴野
【解析过程】
平面内的一对向量只要不共线均可作为这个平面内所有向量的基底，基底本身也可以用这组基底表示，故①错，②对；由于零向量与平面内的任一向量共线，故③正确．
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怎么证明两个向量是基底
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设两个向量是x,y,只要证明对任意的a,b（a,b在题设中给定的数域空间）ax+by不等于0也即是 ax+by=0和a=0,b=0是充要条件（等价的）
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基地概念是两不共线向量表示空间任意向量，这就是响亮的概念，怎么证明就不知道啦O(∩_∩)O哈哈~
扫描下载二维码向量与向量的初等运算讲义；【考纲】1、理解向量的有关概念，掌握向量的加法与；2、会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边；【重点】向量的概念和向量的加法和减法法则【内容与；一、基本概念：；1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．；?????a；2、单位向量：长度为一个单位长度的向量；????；3.平行向量：若非零向量a,b方向相同或相反，则；4、向量相等：
向量与向量的初等运算讲义
【考纲】1、理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件
2、会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识
【重点】向量的概念和向量的加法和减法法则 【内容与方法】
一、基本概念：
1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．
2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。 与非零向量a共线的单位向量a0??
3. 平行向量：若非零向量a,b方向相同或相反，则a//b；规定零向量与任一向量平行 ????
4、向量相等：a?b? 模相等，方向相同；相反向量：a??b?模相等，方向相反
5、两个非零向量a、的夹角：做=a；=b；?AOB叫做a与b的夹角。 ???
6、坐标表示：i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若a?xi?yj，
则?x,y?叫做的坐标。
????acos?：设a?aa7.向量在方向上的投影为、的夹角，则为在方向上的投影
二、基本运算：
三、基本定理、公式：
1、平面向量基本定理：若e1与e2不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数?1、?2；使得
a??1e1??2e2。
2、向量的模：a＝x?y；
??非零向量a与b的夹角：cos???
x1x2?y1y2x1?y1
3、向量平行：a∥b?a??b?x1y2?x2y1； ??
向量垂直：a⊥b?a?b?0?x1x2?y1y2?0 四、主要方法
1．充分理解向量的概念和向量的表示；
2．数形结合的方法的应用；
3．用基底向量表示任一向量唯一性；
4．向量的特例0和单位向量，要考虑周全．
【基础知识点】
知识点1、向量的基本概念
例1.已知下列命题：①若向量∥,∥,则∥；
,则＞；③若?=0，则=（?)???(?)其中正确或=；④在△ABC中，若??0，则△ABC是钝角三角形；⑤
命题的个数是（
练习：1．下列个命题中，真命题的个数为
??????????????
①若|a|?|b|，则a?b或a??b ②若AB?CD，则A,B,C,D是一个平行四边形的四个顶点 ③若
????????????
a?b,b?c，则a?c
④若a//b,b//c，则a//c (A)4
2．下列命题正确的是
(A)共线向量都相等
(B)单位向量都相等
(C)a?b的充要条件是|a|?|b|且a//b
(D)共线向量即为平行向量
知识点2、向量的运算
知识点3、共线向量与三点共线问题
??????????????????
例3、（1）设两个非零向量e1、e2不共线，如果AB?2e1?3e2,BC?6e1?23e2 ?????????
CD?4e1?8e2,求证：A,B,D三点共线.
（2）设e1、e2是两个不共线的向量，已知AB?2e1?ke2, ??????????????????
CB?e1?3e2,CD?2e1?e2,若A,B,D三点共线，求k的值. ??????????????????
（1）证明：因为BC?6e1?23e2,CD?4e1?8e2
??????????????????????????
所以BD?10e1?15e2,又因为AB?2e1?3e2,得BD?5AB ????????
即BD//AB,又因为公共点B,所以A,B,D三点共线； ???????????????????????????
（2）解：DB?CB?CD?e1?3e2?2e1?e2?4e2?e1
?????????????????
AB?2e1?ke2,因为A,B,D共线,所以AB//DB ???2????????1?
设DB??AB,所以?1
知识点4、向量的应用
例4、利用向量知识证明下列各式x2＋y2≥2xy
分析：题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故
证明：设a＝（x，y），b＝（y，x）则a?b＝xy＋yx＝2xy
222222｜a｜?｜b｜＝x?y?x?y?x?y
又a?b＝｜a｜?｜b｜cosθ(其中θ为a，b夹角) ≤｜a｜?｜b｜
∴x＋y≥2xy
评述： 上述结论表明，重要不等式a＋b≥2ab 例5、利用向量知识证明
(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）?（b1＋b2）
分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根
证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）
则a?b＝a1b1＋a2b2，｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2
∵a?b＝｜a｜?｜b｜cosθ≤｜a｜?｜b其中θ为a，b夹角)
∴（a?b）≤｜a｜?｜b｜∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）?（b1＋b2）
评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，
例6、已知ｆ（x）＝?x求证：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）
分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式
证法一：∵ｆ（a）＝?a，ｆ（b）＝?b，
∴要证明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜ 只需证明｜?a－?b｜＜｜a－b｜
1＋a＋1＋b－2(1?a)(1?b)＜a＋b－2ab
(1?a)(1?b)＞1＋ab只需证明（(1?a)(1?b)）＞（1＋ab）
即1＋a＋b＋ab＞1＋2ab＋ab即a＋b＞2ab
∵a＋b≥2ab
∴a＋b＞2ab
∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜ 证法二：设a＝（1，a），b＝（1，b） 则｜a｜＝?a，｜b｜＝?b
a－b＝（O，a－b）｜a－b｜＝｜a－b｜ 由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，
（其中当｜a｜＝｜b｜即a＝b时，取“＝”，而a≠b）
∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b｜即｜?a－?b｜＜｜a－b｜
∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b
上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活课后巩固练习：
????????????
1．在?ABC中，已知BC?3BD，则AD?
????????1???????1???1???????1???????
(A)(AC?2AB) (B)(AB?2AC) (C)(AC?3AB) (D)(AC?2AB)
????????????
2．化简AB?AC?BC?
??????????????????
3．边长为1的正方形ABCD中，设AB?a,AD?b,AC?c，则|a?b?c|＝
4．下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量。
其中正确的说法是：（
） A．①，②；B．②，③；C．①，③；D．①，②，③。
5．向量|a|?8,|b|?12，则|a?b|的最大值和最小值分别是___________.
???????????????
6．设e1,e2是不共线的向量，e1?4e2与ke1?e2共线，则实数k的值是_______. ????????
7．已知梯形ABCD中，|AB|?2|DC|，M，N分
???????????
别是DC、AB的中点，若AB?e1，AD?e2，用e1，
??????????????
e2表示DC、BC、MN．
????1????e
解：（1）DC?AB?1
三亿文库包含各类专业文献、高等教育、文学作品欣赏、生活休闲娱乐、各类资格考试、中学教育、外语学习资料、向量与向量的初等运算讲义及答案_图文13等内容。　
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