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数学问题解决的学习
数学问题解决的学习
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数学问题解决的学习一、数学问题和数学问题解决的涵义
（一）数学问题的涵义。
1．什么是数学问题。
数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。如除数是小数的除法，对初学的学生来说就是一个不能直接用除数是整数的除法法则进行计算的情景状态，它就是一个问题。就信息加工而言，数学问题对学生来讲是一组尚未达到目标状态的、有待加工处理的信息。如果把一个数学问题看作一个系统，那么这个系统中至少有一个要素是学生还不知道的。假如构成这个系统的全部要素都是学生已知的，那么这个系统对学生来说就不是问题系统了，而是一种稳定系统。数学问题有两个特别显著的特点：一是障碍性，即学生不能直接看出问题的解法和答案，必须经过深入的研究与思考才能得出其答案；二是可接受性，即它能激起学生的学习兴趣，学生愿意运用已掌握的知识和方法去解决。
2．数学问题的结构。
数学问题作为一种有待加工的信息系统，它主要由以下三种成分构成。
（l）条件信息。条件信息是指问题已知的和给定的东西，它可以是一些数据、一种关系或者某种状态。如计算题中给定的数据和运算符号、应用题中的已知数量及其相互之间的关系等都是数学问题给定的条件信息。
（2）目标信息。目标在这里是指一个数学问题求解后所要达到的结果状态，即通常所说的要求什么。如问题“课外活动时，体育委员到保管室领球，按5个人一个篮球、8个人一个排球、10个人一个足球计算，一共要领17个球。全班共有多少人参加课外活动？篮球、排球、足球各要领多少个？”中的“全班共有多少人参加课外活动”和“篮球、排球、足球各要领多少个”就是问题给定的目标信息。数学问题一旦由问题状态转化成目标状态以后，它就不再是一个问题系统了。如在上例中，未求出全班参加课外活动人数和三种球的个数以前它是一个问题系统，一旦求出答案达到目标状态以后，它就是一个稳定系统了。
（3）运算信息。运算在这里是指条件所允许采取的求解行动，即可以采取哪些操作方式把数学问题由问题状态转化成目标状态，它是问题求解的依据。如56.28÷0.67，可以利用除法商不变性质把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，然后按照除数是整数的除法法则进行计算，这就是问题给定的运算信息，没有这些信息就无法计算出结果。
（二）数学问题解决及其特征。
根据数学问题的涵义，数学问题解决是指学生在新的情景状态下，运用所掌握的数学知识对面临的问题采用新的策略和方法寻求问题答案的一种心理活动过程。
数学问题解决是以思考为内涵，以问题目标为走向的心理活动过程，其实质是运用已有的知识去探索新情景中的问题结果，使问题由初始状态达到目标状态的一种活动过程。与其它一般问题解决一样，小学数学学习中的问题解决也具有以下基本特征。
第一，数学问题解决指的是学生初次遇到的新问题，如果是解以前解过的题，对学习者来说就不是问题解决了，而是做练习。
第二，数学问题解决是一种积极探索和克服障碍的活动过程。它所采用的途经和方法是新的，至少其中某些部分是新的，这些方法和途径是已有数学知识和方法的重新组合。这种重新组合通常构成一些更高级的规则和解题方法，因此数学问题解决的过程又是一个发现和创新的过程。
第三，数学问题一旦得到解决，学生通过问题解决过程所获得的解决问题的方法就成为他们认知结构的一个组成部分，这些方法不仅可以直接用来完成同类学习任务，还可以作为进一步解决新问题的已有策略和方法。
二、教学问题解决的功能
数学问题解决的过程是一个复杂的心理活动过程，它对学生的学习和发展具有重要的作用，其功能可概括为以下几个方面。
（一）问题解决有利于提高学生数学知识的掌握水平。
数学问题解决，从根本上来讲是把前面已学到的数学知识运用到新的情景中去的过程，并且这种运用不是一种简单的模仿操作，而是一种对已经掌握的数学概念、规则、方法和技能重新组合的创造性运用。这个过程本身就是一种加深数学知识的理解并灵活运用所学知识的过程，因此数学问题解决的学习有利于学生提高数学知识和技能的掌握水平。如计算异分母分数加减法，要综合运用分数的基本性质、通分和同分母分数加减法法则等知识才能使问题得到解决，很明显，这个过程的本身就是一个提高分数基本性质、通分和同分母分数加减法法则掌握水平的过程。
数学问题解决和练习都有提高知识掌握水平的功能，但两者有着根本性的区别。前者主要是通过对已有知识和方法的重新组合而生成新的解题策略和方法，它通过创新活动去实现已有数学知识在更高层次上的掌握；而练习则更多地是一种对已有知识的重复学习，它主要是通过巩固去加深知识的理解和掌握。
（二）问题解决能培养学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。
在数学问题解决的过程中，根据实现问题目标的需要，学生要主动地将原来所学过的有关知识运用到新的情景中去，使问题得到解决。这个过程本身就是一个运用数学知识，使知识转化成能力的过程。
因此数学问题解决对于培养学生的数学能力，特别是运用所学数学知识解决简单实际问题的能力具有重要的意义。首先，它促使学生在原有认知结构中去提取有用的知识和经验运用于新的问题情景，培养学生根据目标需要检索和提取有用信息的能力。其次，数学问题解决促使学生将过去已掌握的静态的知识和方法转化成可操作的动态程序。这个过程本身就是一个将知识转化成能力的过程。另外，数学问题解决能使学生将已有的数学知识迁移到他们不熟悉的情景中去，并作为实现问题解决的方法和措施。这既是一种迁移能力的培养，同时又是一种主动运用原有的知识解决新问题能力的培养。
（三）问题解决能培养学生数学意识。
在数学问题解决的过程中，学生对面临的问题要运用哪些数学知识，怎样去运用这些知识才能使问题得到解决，他们都有明确的认识，因此数学问题解决能有效地培养学生的数学意识。首先，在数学问题解决中学生能更加明确地认识到过去所学数学知识的重要作用。如加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律、分配律，学生在学习这些定律时并没有完全意识到它们的作用，只有在用这些定律解决简便计算问题时，他们才真正体会到这些定律的重要性。其次，长期的数学问题解决学习，能培养学生用数学的眼光去观察身边的事物，用数学的思维方法去分析日常生活中的现象。再次，在数学问题解决过程中学生还能切身感受到运用数学知识解决问题后的成功体验，这不仅可以增强学生学好数学的信心，还可以使他们更加深刻地感受到自己所学的数学知识都是有用的。
（四）问题解决能培养学生的探索精神和创新能力。
数学问题解决中的问题对学生来说都是第一次遇到的新情景，怎样去实现问题的解决并没有现成的方法和措施可采用，需要学生根据具体的问题情景去探索和发现能使问题达到目标状态的方法与途径，这个过程的本身就是一个主动探索的过程。因此数学问题解决有利于学生探索精神的培养。另一方面，任何数学问题的解决都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现问题的解决。很明显，数学问题解决的过程又是一个创新的过程。这一过程促使学生寻求新的途径和方法去实现问题的解决。它不仅可以使学生获得初步的创新能力，同时还可以让学生从小养成创新的意识和创新的思维习惯，为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。
在教学中挖掘数学问题解决中隐藏的培养学生探索精神和创新能力的巨大潜力，引导学生加强数学问题解决的学习，充分发挥其培养学生探索精神和创新能力的功能，在当前也是素质赋予小学数学学科教学的重要任务。
三、教学问题解决的一般过程
数学问题解决是一个连续的心理活动过程。这个过程通常反映为以下四个基本步骤。
（一）感知、理解问题。
感知和理解问题是数学问题解决的第一步。这一步主要是学习者明确问题所提供的条件信息和目标信息，并在头脑里建立起问题的表象。具体来讲，在这一步先感知问题通过文字描述、画面或其它形式所提供的信息，了解问题给定了哪些已知条件和有用的东西，在此基础上明确问题中有哪些可供利用的有用信息；然后进一步了解问题所提供的目标信息，即知道要解决什么问题，由此在头脑里形成问题事件的表象，明确问题的初始状态和所要达到的目标状态。
感知和理解问题时要注意对问题的已知条件和问题的初始状态有全面而完整地认识，尤其是对那些综合性强、关系复杂的数学问题，要注意发现问题中的隐蔽条件，充分搜集有用的信息，这对实现问题的解决有重要的意义。例如，在问题“大数和小数的差是80.l，小数的小数点向右移动一位就刚好与大数相等，大数和小数各是多少”中，大数和小数之间的倍数关系这一重要条件信息，题中就没有直接告诉，而是隐蔽在“小数的小数点向右移动一位刚好与大数相等”之中，需要学习者自己去发现。
另外，感知和理解问题时不要忽视问题目标的导向作用，要根据目标信息去搜集条件信息，这样不仅可以更容易获得使问题达到目标状态的所有有用信息，同时还可以有效地排除无用信息的干扰。
（二）确定求解方案。
这是一个根据前面获得的条件信息、目标信息、问题的初始状态及学习者头脑里形成的问题目标状态选择解题方法，制定求解的过程，这是实现问题解决的最关键的一步。这一步是一个复杂的心理活动过程，要连续完成以下几方面的任务。
1．问题类化。
问题类化在这里是指把问题中的主要内容同学习者原有认知结构中有关的数学知识和方法联系起来，并把这些已有的知识和方法作为重新组合成解决问题的新方法的依据和基础。如在上例中，这一步就是将问题中的内容同原来已掌握的“小数点位置移动引起小数大小变化规律”。“解答差倍问题的方法”等内容联系起来，让这些内容在学习者头脑里处于激活状态，为后面确定求大数和小数的解题方法做好准备。
如果问题内容太复杂、太抽象，一时难以类化，就应采取适当的措施降低难度，使问题同学生原有认知结构中的有关内容建立起联系。其方法一是可以利用实物、模像或图示等直观手段，使问题中的隐蔽条件明朗化；二是可以利用适当改变问题内容的叙述方式，将逆向表述的问题变成顺向表述的问题，使问题内容同学生原有认知结构建立起直接的联系。
2．寻找解决问题的突破口。
寻找解题的突破口，在这里包含两方面的任务：一是抓住问题解决的关键，找到解题的主攻方向；二是明确从什么地方入手去解决问题，确定解题思维的起点。这一步对整个解题过程至关重要，它是问题能否实现顺利解决的关键。由于解决问题时所采用的思维方法和思维起点的不同，所以这一步在具体实施过程中具有相对的灵活性，有些问题可以从目标入手去找问题解决的条件，有些问题应当从条件入手通过条件的组合去实现问题的解决，有些问题需要将两者结合起来思考找出问题解决的办法。到底从什么地方入手去解决问题，要根据不同数学问题的具体情况和学习者的思维习惯及发展水平去定，不能一概而论。
3．确定解题步骤。
确定解题步骤是指学生在头脑里拟出问题求解的具体操作程序，即确定先求什么，再求什么，最后求什么，并不是要求学生写出书面的解题。从解决问题的思考过程来讲，这一步主要是一个确定解题思维发展方向的问题，即在前面已确定的思考起点的基础上进一步确定出整个解题过程应沿着什么方向思考下去，以保证解题时思维目标信息确定的方向顺利进行。解题时思维过程的发展方向是直接受思考起点制约的，同一问题如果思考起点不同，思维过程展开的方向也不同。例如“小玲读一本故事书，第一天读了全书的25％，第二天读了余下的，还剩下45页没有读。这本故事书一共有多少页？”制定求解方案时，如果以求二天所看页数占全书总页数的分率为突破口，其思维过程就可以沿着“第二天看了全书的几分之几→剩下的45页占全书的总页数的几分之几→全书共有多少页”的方向展开；如果以求第一天看后还剩下的页数为突破口，就先把第一天看后还剩下的页数看做单位“l”，然后再把全书总页数着做单位“l”，其思维过程是：先求出第二天读后剩下的45页对应的分率，再求第一天读后剩下的页数，紧接着求第一天读25％后还剩下百分之几没有读，最后求出全书的总页数。确定解题步骤时，不管以什么为思考起点和沿着什么方向展开思维，都要注意两点：一是要注意问题目标的导向，思考的方向始终要朝着问题的目标状态展开；二是思维活动不能脱离数学问题所给定的条件，只能在问题的运算信息所允许的范围内进行。
（三）实施问题解答。
实施问题解答就是将前面所制定的解题付诸实施，使问题达到目标状态。它要求学习者按照既定的解题思路有序地进行推导、运算、操作，直到得出正确的答案。这一步既是一个执行解题的过程，同时也是一个检验和修正解题的过程。解题时如果发现前面所制定的求解和解题思路不当或者不简便，应及时修正，以减少解题过程中的失误，使问题比较顺利地达到目标状态。
（四）评价。
问题解决以后，学习者还应主动对自己的求解过程和结果进行检验与评价，看解题过程是否合理、简便，结果是否正确。如果发现错误，应认真分析错误的原因，并及时纠正错误，使问题获得正确答案。评价时应注意分析问题还有无其它解答方法、还有哪些新的方法，这样有利于学生养成从不同角度去分析和解决问题的能力及思维习惯。
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他19岁破解200年数学难题,21岁竟为妓女决斗身亡
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你有没有这样的经历
身边总有一些人
因为一个傻逼问题跟你争辩半天..
而且你发现还不容易说服他..
放心，你不是一个人
今天要讲的这位大神
埃瓦里斯特·伽罗瓦
用自己的一生证明
不要和傻逼战斗！
因为他们会把你的智商拉低
然后再用丰富的经验战胜你
数学史家埃里克·贝尔
在《数学大师》一书如此评论他伽罗瓦：
阿贝尔死于贫穷
伽罗瓦则死于愚蠢
你作为一个史学家这样讲话
将来是要打脸的！
伽罗瓦绝逼不是愚蠢
他是作为一个碾压凡人的天才
在无数次被命运的捉弄下
才度过了英年早逝的一生
伽罗瓦12岁
就考入了法国著名的
路易·勒·格兰皇家中学
他在那里每年拿奖学金
完全靠公费生活
不仅年年都是优等生
而且在各种作文比赛屡屡获奖
然而，老师们已经觉察出他的不同
中学老师给他的评语是：
具有“杰出的才干”，“举止不凡”，
但又“为人乖僻、古怪”
就是这样一个早慧的神童
一条光辉人生正渐渐展现在眼前
然而突然间
伽罗瓦被留级了！
老师的解释是
尽管他年年拿奖学金
但是他过于乖僻的性格
常常与老师争论，不服管教
校长认为他的判断力还有待“成熟”
于是让他重修
这也是伽罗瓦第一次体会到
空有一身才华却没法施展
跟你们这些凡人在一起
留级没有让伽罗瓦消沉
虽然这时他才16岁
他利用这一段时间
经常到图书馆阅读数学专著
他在中学时就已经自己读完了
勒让德的《几何原理》、
拉格朗日的《代数方程的解法》
《解析函数论》《微积分学教程》
这些我此生都看不懂的大师巨作
图：著名数学家拉格朗日
所以，当他继续学业时
他发现老师用的教科书
从内容到教学方法全部都有瑕疵！
潦草马虎到让人愤怒！
当然，对于他的这种说辞
老师们又产生了自己理解
伽罗瓦被数学的鬼魅迷住了心窍
在这样的地方上学
当然很不开心
1829年，中学学年结束后
伽罗瓦刚满18岁
他毅然决定报考巴黎综合技术学校
然而类似的事件再次上演
他拒绝回答关于对数这样
过于简单的问题
而执着于陈述自己的理论
主考的教授由于水平差距
完全不理解伽罗瓦的阐述
居然不断地打断、嘲笑他。。
在隔壁房间都能听到他轻蔑的狂笑声。。
所谓士可杀不可辱
真性情的伽罗瓦
彻底被嘲笑激怒
当时就举起黑板擦
一下甩到了主考官的头上！
你也许也有过类似的心情。。
于是。。再一次
伽罗瓦由于自己超凡的智慧而落选了。。
再一次尝过失败后的伽罗瓦静下心来
他想起了和自己水平类似的先辈大师们
都会详细的写一篇跨时代的论文
然后就能被世人接受
分分钟声名鹊起
于是在他学习数学2年后
他写出了史上首个关于群概念的论文
用来解决困扰数学界200多年的问题：
解高次方程
这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。
伽罗瓦用群论彻底解决了
根式求解代数方程的问题，
而且由此发展了一整套关于群和域的理论，
为了纪念他，人们称之为
伽罗瓦理论
正是这套理论创立了抽象代数学
把代数学的研究推向了一个新的里程
它对数学分析、几何学有很大影响
并标志着数学发展现代阶段的开始
但是在当年
他自信满满的把这个理论的手稿
递交给法兰斯科学院
负责审核的是当时最著名的大数学家
奥古斯丁·路易斯·柯西
万万没想到
这位当时法国最杰出的数学家
竟然非常不凑巧地
“忘记”把伽罗瓦的论文
交给法国科学院
至于原因，是因为柯西
无法理解中学生伽罗瓦的理论
正面拒绝的话，倘若对方最终是正确的
那么自己将授人以柄；
而若直言无法理解，召集会议讨论的话
将有损自己数学权威的面子
于是，发生了上面的巧妙“事故”
此时的伽罗瓦面临双重困境
一方面，他的论文迟迟没有回应
另一方面，他的父亲突然自杀
使得他要背负起家庭的责任
他不得不选择可以免除学费的师范大学
可是伽罗瓦还是没有放弃理想
1828年，他的研究取得了进一步的成果
伽罗瓦写了3篇大文章
并提出自己的著作要参选科学院的数学特奖
他把关乎性命的论文
交给了科学院秘书傅里叶
结果，傅立叶收到手稿后不久
就去世了。。。
因而文章也遗失了。。。
和我的计划有些出入啊。。
伽罗瓦不信这个邪
1831年1月，他再一次
呕心沥血写出来一篇论文
是寻求确定方程的可解性的新结论
这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作
这次他交给了第三个科学院院士泊松
这一次，泊阿松没有耍心机也没有暴毙
他认认真真地研读了这篇文章
前后足足看了四个月
最后他给出的结论是
“完全不能理解”
他建议科学院毙掉这篇论文。。
老实人 西莫恩·德尼·泊松
一次又一次被凡人的智商
阻碍了自己的人生的伽罗瓦
深刻体会到
和一群傻逼战斗真是太辛苦了
1830年法国七月革命发生
伽罗瓦在校报上批判校长的保皇主义
于是原本就不被待见的他
先是被勒令退学
接着因为参加游行反对政府
入狱，出狱
再参加游行，再入狱。。
他就这样在监狱里
度过了生命最后一年的大部分时光。。
就在第二次出狱后
伽罗瓦爱上了一个舞女。。
这一年他21岁
年轻的他还不知道
什么是黑木耳 ，什么是绿茶婊
他以为这就是爱情。。
浪漫故事的结果是，
那个女人竟然有未婚夫。。
还是个全国著名的神枪手。。
于是，一下不服输的伽罗瓦
选择了当时流行的解决矛盾的方式
和这个神枪手进行一对一决斗。。
用他的话说
这是为了“爱情与荣誉”
智商极高的他
自然知道对方是神枪手
自己恐怕难逃一死
但是已经做出的承诺
怎能因为贪生怕死而收回？
只可惜，大业未成
白瞎了自己逆天的IQ
于是，在决斗的前一天
他连夜给朋友写信
仓促地把自己生平的数学研究心得写出
并附以论文手稿
他在天亮之前那最后几个小时写出的东西
由于时间仓促，极其潦草
是长成这样的
这tm谁能看懂？！
然而，正是这潦草的
几个小时匆忙记录下的一堆公式
为一个折磨了数学家们几个世纪的问题
找到了真正的答案
并且开创了数学的一片新的天地
此时，距离他开始学习数学
只有5年时间
埃瓦里斯特·伽罗瓦在决斗中死去
14年后，也就是1846年，
他的论文手稿才被法国数学家刘维尔发现
刘维尔花了几个月的时间
试图彻底地搞懂它的意义。
刘维尔最后将这些论文编辑发表在
极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上，
并向数学界推荐。
图：法国数学家刘维尔
1870年，法国数学家约当
根据伽罗瓦的思想，
写了《论置换与代数方程》一书
至此，伽罗瓦的理论才完全被学界接受
伽罗瓦非常彻底地
把全部代数方程可解性问题，
转化或归结为置换群
及其子群结构分析的问题
他开创了置换群论的研究，
确立了代数方程的可解性理论，
如今被称为“伽罗瓦理论”，
从而彻底解决了一般方程的根式解难题。
在当时，他的“群”完全超越了
数学界能理解的观念
他发现的伽罗瓦理论被称为
近代数学和现代数学的分割线
甚至是奠定了现代计算机的发展基础
直到今天还有无数大学生
生活在被伽罗瓦理论支配的恐惧里
后世的一些著名数学家们说
由于伽罗瓦的英年早逝
使数学的发展被推迟了几十年&
如今，这位只学习了五年数学
就成为现代数学奠基人的伽罗瓦
被法国政府印在邮票上
他被媒体评为
世界上智商最高的10人之一
与曾经高山仰止的高斯相提并论
事实证明，不是他愚蠢
而是他高出同代人太多
看到这里，我突然放心了
那些不欣赏我的人
也许只是我的智慧高出他们太多罢了
版权声明：本文系“酷玩实验室”（公众号：coollabs）授权哒哒发表，如需转载请联系“酷玩实验室”获取授权，严禁私自进行二次转载，违者必究。
本文来源：酷玩实验室 。哒哒-自媒体
责任编辑：王梦璇_NX6021
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数学问题解决教育启发
&&&&来源:毕业论文网
　　一、加强对数学知识的发生过程的教学，既要注意学生的认知过程的特点，又要注意数学知识的逻样性、连续性、系统性
　　根据创造力来自基本的认知过程的观点，数学教学必须强调认知活动的全面性，使学生的认识真正有机会经历&基本认知过程&，这样才能使创造力的培养真正落在实处。一个比较可行的做法是为学生提供尽可能丰富的知识背景(其中包括与知识有关的课堂以外的生产、生活实际)，让学生通过对知识背景的分析、归纳、抽象和概括而获得相应的理论知识。这样做至少有两个好处:一是丰富的知识背景使学生在面临问题时，能对问题及解决问题所需知识都作出适宜的解释，从而获得知识与问题之间的丰富联结，并选择出创造性的联结方式，获得新颖独特的问题解决方式;二是使所学的知识条件化，使学生懂得在什么样的场合下可以运用相应的知识。教师经常会遇到这样的情况:学生在学习某一概念、定理的当时，能用它来解决相应的问题，但过后，一旦情况发生变化，学生就不知道该如何用它。特别是在解决综合问题、实际问题时，虽然学生具备解决问题的所有知识，但学生却不知道该怎样运用这些知识。究其原因，主要是在单一情景中获得的知识之间的联结也只能是简单而贫乏的，一旦背景发生变化，知识的表征就会发生困难，联结也就难以形成。而使学生在丰富的知识背景中，通过自己主动的思维活动来获取知识，可以使学生在记忆该知识时，将运用该知识的&触发&条件结合起来，从而形成条件化的知识。这样，当学生面临问题时便能迅速、准确的从大脑中检索、提取与任务相关的知识，形成知识与问题之间的丰富联系，并最终选择出解决问题的最佳方案。值得指出的是，&知识的发生发展过程&是对知识原发现过程进行教学法加工后获得的，与&问题解决教学&倡导者所强调的&非常规性&问题解决过程是有区别的。我们认为，系统的知识学习必然表现出与客观实在之间的相对脱离，不可能是对客观现实的真实复制，而学校教育的经济性也要求学生在学习知识时走一条&再创造&的捷径，但&非常规性&间题解决过程则比较强调问题的客观性，要求将实际中的许多不确定性、各种环境条件等都考虑进去，这样，由于问题复杂，影响因素过多，学生的认识水平不高，使学生难以辩明问题的结构，造成思维混乱，问题不能得到解决，系统的知识学习也难以保证。
　　二、充分认识数学基础知识教学的重要性，使学生通过主动学习而建立起结构功能良好的数学认知结构
　　前已述及，任何问题的解决，任何发明创造的实现，都需要相应知识领域的大量专门知识。我们认为，要使学生获得的知识能真正地用来解决问题，关键是要引导学生主动地学习，使他们通过学习.，既掌握知识，又懂得在什么情况下使用知识;既掌握知识的具体事实和细节，又掌握知识的纵横联系、层次结构，把注意力放在知识的概括化和结构化上，形成一种从复杂的联系中思考问题的良好习惯;从而使重要知识、原理与它们的产生条件及相关方面建立起紧密的联系，并达到自动化的程度，从而将重要的知识、原理表征为一个知识组块，以使学生在面临问题时，能把问题的各个方面与重要知识、一般原理联系起来，促成对当前问题的顿悟和解决。当代认知心理学强调知识在学生身心发展中的重要性，强调认知因素(认知加工过程、认知结构)在学习与发展中的直接作用，认为知识在学生信息加工(信息输人的选择、编码、储存和提取等)能力的提高中起到至关重要的作用，认知结构的发展既是学生身心发展的重要标志之一，也是学生身心发展的主要动力之一。特定的知识、技能的缺陷是导致学习能力低下的主要原因。所有这些观点，对我们在数学教学中处理好知识学习与能力(特别是创造力)培养之间的关系都具有重要的指导意义。问题解决教学的倡导者提出，数学课堂教学要以&问题&为中心，认为数学知识的学习可以在问题解决的过程中进行。我们暂且不论包含系统知识的&问题&是否存在，单从知识学习与创造力培养之间的关系来看，这样的做法也是不合适的，事实上是颠倒了两者的关系。我们认为，从意识到问题的存在，到发现问题的所在、寻找解题策略、确定解题策略、对解题过程进行反思，整个问题解决过程中处处都体现着知识的作用，而创造性地解决问题所需要的相应知识的重新表征、知识与知识之间的新颖独特的联结也是要在具备相关知识的基础上才能获得的，因此，企图通过脱离数学基础知识的系统教学而培养学生的问题解决能力的做法就好象造房子而不管打地基一样。心理学的研究也表明，只有将一般认识能力训练与科学知识学习相结合，才能更有助于解决问题能力的培养。否则，数学知识的学习会变得零零碎碎，学生无法学到系统的数学基础知识，而解决问题能力的培养也会失去必要的数学基础知识的保障。
　　三、重视策略化知识的教学，数学教学中尤其要注重数学思想、数学方法的教学
　　数学思想、数学方法既要理解为数学中的深层次基础知识，又要理解为解决问题时的思维策略。心理学家指出，人们在学习和思考时，注意力要在高层次的策略性知识与低层次的描述性知识及程序之间不断转换，不仅要意识到自己的加工材料，而且要意识到自己的加工过程和加工方法，不断反省自己的策略是否恰当，优化自己的加工过程。因此，要使元认知在创造性的问题解决过程中发挥作用，就必须在头脑中储存有关如何学习和如何思考的策略性知识。在数学学科里，这种策略性知识与事实性知识的结合是非常紧密的，是相互渗透、相互融合的，只要教师在数学课堂教学中有意识地渗透、传授，学生就可以通过教学获得大量的关于解决数学问题懂得一般的和特殊的策略性知识。例如，数学中的配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法等基本方法，既是解决问题的基本手段，又是数学思想的直接体现;观察、分析、猜想、综合、归纳、类比、抽象、概括等数学思维方法是思考数学问题的一般方法;数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想等是高层次的数学思想方法，具有观念性的作用。所有这些策略性知识的传授都可以与数学具体知识的学习与运用结合起来，成为数学教学整体中的一个有机的组成部分。新修订的高中数学教学大纲中把数学思想和方法列人基础知识的范畴，使数学思想和方法的地位和作用得到了更充分的体现，这有利于促使广大数学教师更加重初扭寸数学思想和方法的教学，从而更有利于培养学生的能力。
　　四、重视非认知因素的作用
　　前面我们对动机、态度及认知方式等与创造力之间的关系作了一些论述，从中我们可以看到，发展学生的内在动机，培养学生良好的态度，塑造学生健全的人格，对于发展学生的创造力是至关重要的。就激发学习动机而言，认知心理学关于有意义学习的理论值得我们重视。认知心理学认为，要使学生的学习成为有意义学习，首先学习材料本身必须是有意义的，这种意义包括心理意义和社会意义两个方面，既要使学生感到所学习的数学知识无论对自身发展还是对社会发展都是有用的;第二，学生的认知结构中具有适当的、可以与新知识进行相互联系和作用的知识，从另一个角度上说，就是新知识对学生来说是难度适当的，新知识对学生既有智力的挑战性，又使学生经过努力可以赢得挑战，用维果斯基的话来说，就是新知识是学生的&最近发展区&。知识处于&最近发展区&时，最能激发学生的学习动机。认知心理学还提出了通过引发认知冲突或惊奇感来激发内在动机的做法。学习应当成为学生自己的积极主动的活动，而这需要有学生对任务的持续兴趣作为保障，否则，外部奖赏再诱人也不能维持长时间的艰苦学习。心理学家认为，只有设法使学生&卷入&任务之中，才能达到激励内在动机的目的。促使学生&卷入&学习任务的最佳法方法是使学生经常具有&成功体验&。要做到这一点，除上面所说的学习任务难度适当，学生能&跳一跳摘到果子&外，教师还应向学生传授思维的方法和技巧。另外，&教师应较少详细叙述事实，较多提出问题，较少给予现成答案;要指出所教课程的戏剧性、美妙之处，引发美感;必须引发智力活动过程，必须产生对知识本身的感受。&由以上论述我们可以看到，认知因素与非认知因素事实上是学生认知活动过程中相辅相成、互为条件的两个方面。当然，由于学生认知水平发展的限制，特别是非认知因素的不稳定性，教师的启发诱导就显得极其重要，教师应在组织课堂教学是精心安排教学过程，设法使学生从自己的切身体会出发去学习新知识，使学生的学习变得富有情趣。数学教学中培养学生的创造力，即使时代发展的要求，也是数学教学内部规律性的体现，并且也是数学学科的优势之一，因此应成为广大数学教师的自觉行动。
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