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代数 1 主题介绍主讲人 南京树人国际学校的王丹娅（高级） ，侯义新（高级） ，朱锦良（高级） ，单桂兰（高级） ，谢东莉（中级） ，A：各位老师，大家好！今天我们研讨的内容是代数。提起代数，我 们最容易想到的学习内容可能就是运算了。确实，运算是代数课程中 一个最为基本的学习内容， 这一点大家都很容易达成一致。 但进一步， 运算的核心是什么、对学生运算能力的培养该怎么做，却是各有各的 想法；同时，代数课程内容也远不止于运算，这一点，新课程也提出 了明确的要求。我们今天的研讨主题是“代数运算与代数模型” 。 以下。我们将分几个部分展开讨论。 A 首先是有关运算。 问题 1――对运算含义的理解 一般的，人们将运算归结为数与式的运算。在全日制义务教育《数 学课程标准》中第三学段的教学目标直接涉及到“数与式的运算”的 内容就有： ●经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用 代数式、方 程、不等式、函数等进行描述。视频 出视频的用小五号字，且加以指明。综上所述，我们可以将九年义务教育阶段的运算目标分成三类：经历将一些实际问题 抽象为数量关系问题的过程，掌握运算的基础知识和基本技能，并能应用它们解决简单的 问题。事实上， 数学作为一种以定量研究为主的科学， 其课程内容领域， “数与代数” 、 “空间与图形” 、 “统计与概率” 以及 “实践与综合应用” 都离不开运算． 比如：代数里的表示、运算、解方程（组）或不等1式（组） 、研究函数性质等； 几何： 图形的关系、 性质； 运用数据描述信息、 作出推断的过程； 描述事件发生的可能性大小，等等； 除此以外，运算能力也是发展数学思维能力的前提。运算能力与 记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力相互渗透，与 逻辑思维能力互相支持。 因而， 提高运算能力的问题是一个综合问题， 也是贯穿数学教学始终的一个重要问题。 那么，在教学过程中究竟怎样落实关于运算的目标，怎样发展学 生的运算能力呢，我们请王老师来谈谈你们是怎么做的。 B 问题 2――运算能力培养的几个层次● D运算能力‖的要求D不仅指会根据法则， 公式等正确地进行计算， 而且理解运算的算理， 能够根据题目的条件寻求合理、简捷的运算途径‖， 【出屏 1】 ▲对于中学生运算能力的要求大致有以下几个层次： ① 初级阶段关注准确性――基本要求； ② 中级阶段关注合理、简捷、迅速――较高要求； ③ 高级阶段关注技巧性、灵活性――高标准要求． ▲ 学生运算能力不足的表现及主要原因 ① 运算不准确在很大程度上是由于对基本概念理解不深， 对基本公式、 法则掌握不够透 彻，以及对它们的运用不够熟练的缘故； ②教学过程中存在的不合理做法：数量与质量不到位，且只是一味地进行简单、机械地 训练，不去归纳 ③ 没有要求学生运算灵活、思维敏捷的意识。平时给出的训练题缺乏多侧面、多角度、 多方位的观察和思考问题。 例如：有理数的乘方（1） 首先学习乘方的概念 一般地，n 个相同的因数 a 相乘,记作 an . 这种求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方， 乘方的结果叫做幂， 叫做底数， 叫做指数， a n n a 读做 a 的 n 次幂（或 a 的 n 次方）n ???个a?? ? ? a ? a ? ?? a ? a ?2接着给出例题 【出屏 2】 例 1.计算： (1) 53 (2) (-3)4 (3) -34 (4) (? )1 23随后随堂练习： 1（1）在 74 中，底数是 （2）在（2计算：，指数是 ，指数是。 。1 5 ） 中，底数是 3（1） （-3）3???? 3 计算：（2） （-1.5）2（3） （-1 2 ） 71 ( ? ) 3 ? (?1.5) 2 3? ? 4 ? ( ?0.25) 231 1 (? ) 3 ? 2 2 ? (? ) 2 3 1 ? 2 2 ? 2 ? 32 2（概念的出现及认识较浅，接着就给出例题、进行训练，缺乏对概念内涵的再认识与及时 的归纳，致使训练中错误较多或者一些接受能力较弱的学生尚不能较好的过关） 不合适的做法简单说明即可。 （应――及时利用训练引导学生发现与归纳――乘方运算中的符号法则）不说？ 【出屏 3】 ▲提高学生运算能力的几个基本做法： 运算能力是思维能力与运算技能的结合，是解决问题的一种必备能力。学生运算能力的差 异，主要表现在以上几个层次上。因此，培养学生的运算能力，也必须从培养、训练、协调、 发展运算的各能力因素入手。 1）明晰算理、加强基础知识和基本技能的“双基”教学，提高计算的准确性 2）加强推理训练，提高运算的合理性、简捷性及熟练与迅速的程度 3）设计问题，加强多侧面、多角度、多方位的思考问题能力的培养。 【出屏 4】 例如《同底数幂的乘法》教学案例为例说一下运算能力培养的几个方面―― 【通过一至三个环节学习概念、明晰算理】 一、情境引入 2 太阳光照射到地球表面所需的时间约是 5×10 s，光的速度约是 3×108m/s，地球与 太阳之间的距离约是多少？请列式说明． 二、温故知新 1．练一练 ) ① 2× × ( 2 2=2 ② a? a? a = a( ) a? a? ③ a ? ? ? ? a （n 个）= a( ) a ???32. 说出 am 的乘法意义,并将下列各式写成乘法形式: ① 108 ② (-2)4 三、探究新知 1．计算：(1) 23 ×24 (2) 53×54 (3) a3?a4 问题：① 这几道题有什么共同的特点呢? 计算的结果有什么规律吗? ② 如果把(3)中指数 3、4 换成正整数 m、n，你能得出 am ? an 的结果吗？ 2．例题讲解 例 1：计算 ⑴ (- 8)12×(- 8)5； ⑵ x? 7； x ⑶ Ca3 ? 6 a 2 3 3m 2m-1 ⑷ (-x) ? x ⑸ a ? a （m 是正整数） 3 例 2：一颗卫星绕地球运行的速度是 7．9×10 m/s，求这颗卫星运行 1h 的路程． 3．议一议：m、n、p 是正整数，你会计算计算 am ? n? p 吗？ a a通过不同层次的练习达到运算的不同要求 【出屏 5】 四、练一练 ★（1）课本练一练 ★⑵ 判断下列计算是否正确，并简要说明理由： ① a?a2＝ a2 （ ） ② a3?a3＝ a9 （ 4 6 24 3 3 6 ③ x ?x =x ( ) ④ a ＋a ＝ a （ 2 2 4 2 3 3 2 ⑤ x ?x =2x ( ) ⑥a ?a - a ?a = 0 ( ★★（3）计算 ① 23× 4× 5 2 2 ② y ?2 ?3 y y ③ (-2)10×(-2)13 ④ x4? 6+ x5? 5 x x ⑤ a?a7- a4?a4 ⑥ y ? yn+2 ? yn+4 ⑦ 23 + 23 ⑧ 34 × 27 ⑨ b2? b3+b ? b4 【出屏 6】 ★★★思维拓展 1．计算 ⑴ m?m ? n? ? n?m ? n? ；3 3） ） )⑵ ?? a?2 n?1? ?? a?n? 2；⑶． ?x ? y ? z ?3n ? ?z ? x ? y?2n ? ?x ? z ? y?5n （n 为自然数）2．已知 am=2， an=3， 求下列各式的值． ⑴ am+n ⑵ am+2n【出屏 7】 例如在《8．2 幂的乘方与积的乘方(1)》的教学中可安排一组拓展题从不同角度巩固法则、 训练思维――41．已知 10a ? 5,10b ? 6, 求 102 a ? 3b． （同底数幂的乘法与幂的乘方的逆运用）2 x ?3 y2．已知 ax=3,ay=2.求下列各式的值 an n 22，a 3 x ? 2 y ． 同上） （3．如果 2 ? 8 ? 16 ? 2 ，求 n 的值． （体现转化思想，将问题借助于同底数的幂的运算 转化为指数问题） 4．如果 9 n? ?2（同上） ? 316 ，求 n 的值．x ?15．解方程 9 ? 3x（同上）3-5 题训练的是同一类知识，但呈现的形式不同，旨在从不同角度、不同侧面来训练学生的 运算能力 ▲ 运算对培养学生的科学的思维方式，形成良好的思维习惯和心理素质有相当大的作用。 在运算中有条理进行思考，做出完整、规范的运算解题过程；关注多向、多层次的运 算以及逆向运算；学生重视运算的方向和技巧，可以达到养成瞻前顾后、统观全局的 思维方法。同时在运算中还可以养成了耐心、仔细的好习惯，将运算的过程作为是对 自己意志和毅力的磨练。长此以往，就能提高学生的数学思维能力及增强学习的信心 和毅力。 ▲因此，在教学时教师要有意识、有计划地配备一些习题，有目的地、有计划地训练学生对 概念、公式、法则能准确应用。同时还要结合学生与教学内容的实际情况调整教学手段，在 保护学生学习积极性的前提下，保证有效地训练、保证数学运算能力的提高。 例如：注意目的性教学――使数学概念不再是枯燥、抽象的（有理数的引入）； 直观教学、引导归纳――使数学法则的合理性与学生的能力得以提高（幂的除法法 则）； 注意比较、发现规律、加深记忆――引导学生善于观察、发现特点、找不同、找本 质、找联系、找方法（完全平方公式）； 训练适量、弹性作业――保证质量与数量，及时订正、加强错题反思；保底过关、 为后续学习奠定基础（基本功训练） （自己学校的做法：定位、定位的依据，如何达到这样一个定位的） 因为运算的训练具有长期性、阶段性与适度性，所以训练既是必要的又是有技巧的．我 校在运算训练的原则是――对运算的处理尽量避免让学生机械地练习和记忆，而应增加实际 背景、探索过程及几何解释等，以帮助学生理解．在式的运算、解方程（组）等教学过程中 对学生要有一定量的训练， 具体做法是―― ⒈按课标基本要求、段段清．即在每一种运算的学习中，以课标的要求为最低标准，要求 学生做到规范、准确．例如，我们在《有理数运算》的训练中，不仅重视日常教学中的训练， 而且在适当时机举行“有理数运算基本功大赛” ，我们围绕大赛开展系列训练①先划定赛前训5练题（40～50 道题，基本以课本题为主） ；②赛前预测（设置 3～4 次，10～20 道题/次，在 各班现行进行模拟赛，在模拟赛的过程中对不合格者进行加训） ；③全年级举行“有理数运算 基本功大赛” （要求：准确、适时） ；④对大赛中的不合格者进行补习，组织他们参加“拾遗 赛” ．形式多样的训练，激励学生积极的去努力??经过这样的训练过程，有理数运算的正确 率大大提高，明晰算理与掌握、运用算理得到了有机的结合． ⒉根据学生的不同层次，给予不同的要求．基本要求，不等于唯一要求．对于我校层次较 好的班级、或数学提优班的学生，在训练的内容与要求上适当的给于增加与提高． 例如：解不等式（组）的训练，可增加含字母系数的关于 x 的不等式； 解关于 x 的不等式 2x－a＜bx＋3． 又如，分式运算的训练中，可增加一些技巧题． 若分式x ?1 的值为零，则 x 的值为＿＿＿ x ?1a ?1 a2 ? 4 1 ? 2 ? 2 ，其中 a 满足 a,2－a＝0. a ? 2 a ? 2a ? 1 a ? 1（长沙市）先化简再求值：1 1 2 4 ? ? ? 2 1? x 1? x 1? x 1? x4 a b c ? ? ?? 若 abc ? 1 ，则 ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ca ? c ? 1计算： 2． 这样，让这部分学生在较高层次的训练中不仅提高能力而且从来自不易的成功中增强自 信心，保持他们对数学学习的爱好与兴趣． 训练有了这两条，基本上做到了保底不封顶，代数运算的训练要求就可以完成了．A 刚才王老师介绍了一些好的做法。但我们都知道，一个学校、乃至一个 班级都会有水平差异较大的学生，面对这种情况，在具体教学过程中有什么 办法呢；而且不同时期的学生，面对同样内容，能力要求也应当有所区别（初 一与初三对运算的要求也不同） ，请。。 。 C 问题 3――设计不同水平系列问题以同底数幂的除法第一课时教学的安排为例 (达到运算能力第一层次的设计) 例 1 计算： ⑴ x6÷x2； ⑵ (-a)8÷(-a)； ⑶ (ab)5÷(ab)2； ⑷ t2m+3÷tm-2(m 是正整数) .注意――最后结果应是最简形式： 1、幂的指数、底数都应是最简的； 2、底数中系数不能为负； 3、幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n=an bn. 练一练:61．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1） x 6 ? x 3 ? x 2 （2） a 3 ? a ? a 3 （3） (?c)4 ? (?c)2 ? ?c 2 （4） x10 ? ( x 4 ? x 2 ) ? x 8 2 计算： ⑴ x7÷x5 ⑵ a10÷a3 ⑶ y9÷y8 ⑷ (xy)5 ÷(xy)31 1 (5) ( ? ) 5 ? ( ? ) 3 2 2(6) (?2 xy) 4 ? (?2 xy)2（达到运算能力第二层次的设计） 例 2 计算：(1) (? xy)8 ? ( xy)5(3)(-a-b)5÷(a+b)(2)(a-2)14÷(2-a)5 (4)(m-n)9÷(n-m)8?(m-n)2归纳：注意以下两点―― 1）运算顺序；2）当底数不同不能直接运用同底数幂的性质时， 必须适当变形，转化成同底数幂，然后再计算。 练一练： 计算：(1) (?a3 )3 ? a6 ? a5 ? (a 2 )4(2) ( x3 )2 ? x2 ? x3 (?x)2(4) (2b ? a)3 ? (a ? 2b) 4(3) (a m?1 )3 ? a 2 ? a m?3??3（达到运算能力第三层次的设计） 运算的综合性强、符号问题多、底数出现多项式、指数出现字母，法则的逆运用 拓展练习 1．计算：(1) (? x 2 ) 3 ? x 2 ? x 2 (? x) 2 (3) (a ? b) 9 ? (b ? a) 4 ? (a ? b) 3(2) (?a m?1 ) 2 ? (?a 2 ) ? a m?3 (4) (a ? b) 5 ? [(a ? b) 2 ]2(5) (a ? 2b) 6 ? (2b ? a) 3 ? (2b ? a) 22.求值 (1)已知 a ? 3 ， a ? 9 ，求 ax y 2 x? y(6) (a ? b) 7 ? (b ? a) 6 ? ?? a ? b? ? (a ? b) 23． 的值．(2)若 3 ? 6 ， 27 ? 2 ，求 3m n2 m ?3 n【作业布置，以因式分解综合练习为例，体现实际不同水平系列的习题，并说明主要区别】 以下只要给出视频即可 ★ 1．将下列各式因式分解??? 6a ? 6c(2) a 2 ? 9b 2 (5) 2x 2 ? 4x ? 2）(3) x 5 ? x 3(4) x 2 ? 6x ? 9★2．下列因式分解有误的是（7A、1-16a2=(1-4a)(1-4a) C、a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)B、x3-x=x(x2-1) D、x2-4xy+4y2=(x-2y)2 ．★3．若 x 2 ? ax ? 15 ? ?x ? 1??x ? 15? ，则 a 的值是★4．若 9 x 2 ? kxy ? 4 y 2 是一个完全平方式，那么 K 的值为_____． ★★5．填空：★★6．分解因式：★★7．用简便方法计算：5652 ? 0.24 ? 4352 ? 0.24;8002 ? ? 7982.★★8.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么 ? 称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02， ? 12=42-22， ? 20=62-42， ? 因此 4，12，20 都是“神秘数” ? （1）28 和 2 012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？ ? （2）设两个连续偶数为 2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数） ，由这两个连续偶数构 造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？ ? （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ ★★★ 9．分解因式 1）4x2 -a2 -6a-9 2）a2+b2-c2-2ab ★★★10．分解因式3）(ab+1) 2 -(a+b) 2(1) x 2 ? 8x ? 15(2) t 2 ? 7t ? 68(3) x 2 ? 2x ? 15(4) a 2 ? 4a ? 21★★★11．已知 (a2＋b2)( a2＋b2＋2 )－15=0，求 a2 +b2 的值． ★★★12．已知△ＡＢＣ的三边长分别为 a、b、c， 试利用分解因式说明式子 b2－a2＋2ac－c2 的符号．A 问题四学生运算技能发展的主要困难与对策不同类别的运算是由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高 级逐步形成和发展起来的。 因此对运算认识和掌握也必须是逐步有序 的、有层次的，不掌握有理数的计算，就不可能掌握实数的计算；不 掌握整式的计算，就不可能掌握分式的计算。不掌握有限计算，就不 可能掌握无限计算。没有具体运算的基础，抽象运算就难以实现。 以初中数学中与数与式有关的内容为例： 一 整式 整式是代数式中最基本的式子，引进整式是实际需要，也是学习 后续内容的需要。其中合并同类项，添括号，整式的四则运算、乘法 公式以及因式分解等知识是学习分式、根式 方程和函数的基础， 特别是整式乘法和因式分解直接关系到分式的学 习， 如果因式分解没掌握， 就无法进行异分母的分式的加减法的学习， 可以这么说，分式的四则运算是建立在整式四则运算的基础之上。同 时，高中数学中的大部分内容，如函数，不等式， ，解三角形，数列 等学习过程中，也需要大量的整式运算做支撑。 二 分式 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概9念； 分式的运算法则是解决数学问题常用的基本方法. 其中分式的运 算、分式的变形为分式方程和函数的学习奠定基础。分式的四则运算 是有理式恒等变形的重要内容之一，分式的运算与整式运算相比，运 算的步骤多，符号变化复杂，方法较为灵活，需要的运算能力要求也 较高。这也是后续的数学学习所必备的。 三 根式 根式属于 “数与式” 领域中较基础的内容， 它与已学内容 “实数” 、 “整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是后续学习的需要，尤其是 、 二次根式的加、减、乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次 方程和二次函数的重要基础，例如在“解直角三角形”一章中，会遇 到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成 最简二次根式以及二次根式的加减运算，在“一元二次方程”中，利 用公式法解方程时， 会用到二次根式的性质， “二次函数” 在 一章中， 判断二次函数的图象与 x 轴是否有交点时， 会遇到根的判别式中被开 方数小于 0 的情形，这里需要深刻理解二次根式的意义。再有，本章 内容也为高中数学的不等式、解三角形、函数以及解析几何等大部分 知识做储备。那么， 学生在这些运算技能的发展过程中比较容易克服的困难是什么、经常 出现的问题又有哪些呢? 我们请 老师 D 学生解题情况分析一 因式分解 在这一阶段的学习中，学生容易达到的目标：运用单一因式分解的方法且只进行一次 分解，如 2a b ? 4ab ? 6ab ? 2ab(a ? 2b ? 3) ，这里只运用了提公因式法；又如2 2x 2 ? 16 ? ( x ? 4)(x ? 4) ，这里只运用了平方差公式。10普遍存在的问题： （1）不知道先提取公因式。如分解 x ? x ，学生往往直接用平方差公式分解。4 2（2）提取公因式时只提字母因式，不提数字系数。如分解 5(a+2b)-15a(a+2b)，学生在提 取公因式时只提(a+2b)而不知道提 5。 （3）分解不彻底。如分解 x ? 1 时，许多学生只分解到 ( x 2 ? 1)(x 2 ? 1) 这一步，而不知4将 x ? 1 继续分解。2（4）不能灵活选用适当的方法因式分解，学生拿到一个多项式，不知从何下手。 （5）因式分解与整式乘法混淆，再将多项式分解之后再进行整式乘法的运算。 产生这些问题的原因及解决对策： （1）没有正确理解公因式的概念，因此在新授课时，一点要讲清公因式的概念和找公因 式的正确步骤，首先从系数开始，然后找相同的字母，最后取相同字母的最低次幂。 （2）因式分解的概念模糊不清，认为只要分解成整式的积即可，至于各整式是否可以再 分，犹豫不定。建议老师要讲透因式分解的概念，抓住因式分解的三个本质特点：分解的结 果一定是整式；每个因式必须是整式；各因式要分解到不能再分解为止。 （3）学生综合运用知识解决问题的能力不够，能力的培养非一日之功，是一个长期的过 程。 二 幂的运算 容易达到的目标：单一的幂的运算 普遍存在的问题： （1）在进行幂的乘方运算时，指数相乘。如 ( x 2 ) 3 ? x 8 。 （2）在进行积的乘方运算时，只把字母因式乘方，系数没 乘方。如(2a 2 b 3c) 3 ? 2a 6 b 9 c 3 。（3）同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方几种运算混淆不清，结果中有同类项不知道 合并。如 ( x ) ? (2 x ) ? x ? 4 x ，没有将结果化到 5x 的形式。2 3 3 2 6 66（4）幂的运算性质逆运用时，当出现指数相加减时，认为幂也是相加减，如出现x a ? b ? x a ? x b 和 x a ?b ? x a ? x b 。（6）符号问题。 产生这些问题的原因： （1）各种幂的运算本质没抓住。解题时没有从宏观上把握题目的结构特征。 （2）逆向思维能力较弱。 （3）综合解题能力不强。 解决对策： （1） 明确算理， 掌握方法和基本技能。 根据幂的运算的特点， 坚持D三过关‖的教学目标： 第一 单步运算过关 ；第二 运算顺序过关； 第三 运算法则的选择过关（在进行幂的混 合运算时，能根据具体情况灵活选用合理的方法 进行计算）。另外，在幂的运算学习初期， 可要求学生在每一部运算后标注运算的依据（即算理）。11（2）强化基本题的训练。对典型的基本题的训练能促进学生观察、分析与判断能力的提 高，从而强化对某一知 识的理解，巩固和提高解题技能。如讲解例题时，先让学生审题， 弄清运算顺序，然后再动笔计算。 【出屏】 三 整式的乘法 在这一阶段的学习中，学生容易达到的目标：用单一的整式乘法的法则进行运算，能直接 运用平方差公式和完全平方公式进行简单的计算。 普遍存在的问题： （1）符号的确定。 (2)在进行单项式乘多项式和多项式乘多项式运算时发生漏乘现象。 （3）在运用平方差公式和完全平方公式进行计算时，当项的系数不为 1 时，系数不平方， 只把字母平方。如 (a ? 2b) 2 ? a 2 ? 4ab ? 2b 2 , (a ? 2b)(a ? 2b) ? a 2 ? 2b 2 （4）运用完全平方公式时，只有平方项，漏掉中间积的 2 倍这一项。如(a ? 2b) 2 ? a 2 ? 4b 2 。【出屏】 （5）运用公式时，若出现符号干扰，就不知运用公式，而是用多项式乘多项式的法则展 开 。 如 (?a ? 3)(?a ? 3) 不 知 把 -a 和 3 分 别 看 做 公 式 中 的 a 和 b 用 平 方 差 公 式 ，(?a ? 3)(a ? 3) 不知提取一个负号后用完全平方公式。（6）平方差公式和完全平方公式混淆，如 (a ? 4b) ? a ? 16b 。2 2 2（7）不能正确选用公式。 （8）不会综合运用公式。如(a+2b-c)(a-2b+c). 【出屏】 产生这些问题的原因及解决对策： (1)符号问题是初中数和式运算的难点和易错点，教师在进行各种运算法则的教学过程中 要至始至终贯穿先定符号的思想。 （2） 完全平方公式容易漏掉漏掉中间积的 2 倍这一项， 也是学生的最容易犯的错误之一， 建议新授课在公式的获取过程中， 让学生自己探索， 通过用不同的方法计算下列图形的面积 来推出公式，既可使学生获得公式的直观解释，又可加深对公式的理解，知道公式中积的 2 倍这一项表示两个长方形的面积，这样就不容易漏掉此项。12（3）平方差公式和完全平方公式相比相对简单，学生容易掌握，因此在学习完全平方公 式时，容易产生思维定势，从而发生知识的错误迁移和类比，认为既然平方差公式的结果可 写成平方差的形式， 那么完全平方的结果就可写成平方和形式。 建议教师引导学生分析公式 的特征，抓住本质，运用平方差公式必须能找出相等的项和符号相反的项，运用完全平方公 式要弄清是哪两项的和或差。另外，可增加一些辨析题，其中一些可用公式另一些不可用公 式， 再者在学习某个新公式或乘法法则时， 可故意增设几个不可用新公式或法则而只能用已 学过的公式或法则计算的题目，弱化思维定势形成的条件。 （4）在新授课分别学习平方差公式和完全平方公式时，课堂效果较好，学生基本能够掌 握， 但到了需要综合运用两个公式进行计算时， 学生往往将两个公式混淆， 或不知运用公式。 主要原因有两个方面，一是基础不牢，二是学生的综合能力不够。在公式学习的后期，教师 可故意增加一些不可运用公式的题目， 让学生自己辨别， 如不可运用公式， 需怎样修改方可？ 如计算 (2 x ? 3)(2 ? 3x) 时，不可运用平方差公式，此时可把 (2 x ? 3) 改成 (2 ? 3x) 或把(2 ? 3x) 改成 (2 x ? 3) ;又如计算 (2 x ? 3)(?2 x ? 3) 时，不可直接运用完全平方公式，需把 (?2 x ? 3) 提取一个负号后才可运用公式。另外教师讲解公式的综合运用时，首先要让学生从宏观上把握题目的结构特征，然后再根据结构特征分析选用什么公式 ，如计算 (a+2b-c)(a-2b+c).时，首先分析这两个多项式的项只有符号不同，因此第一步可选用平方差 公式，其中 a 对应着公式中的 a,2b-c 对应着公式中的 b，第二步在运用完全平方公式计算a 2 ? (2b ? c) 2 。（5）在学习整式乘法运算时，老师要强调算理，初期学习时，可要求学生在每一步运算 后面注上运算的依据，使学生知道每一步运算都要有理论依据，既能减少计算错误，又可培 养学生严谨解题习惯和思维能力。B算。四 分式 在这一阶段的学习中，学生容易达到的目标：分式的乘除法运算，同分母的分式加减运普遍存在的问题及原因： （1） 混合运算时运算顺序容易出错。如 x ?1 ? x ? x ? 1 ? x 。错因：上述解法是先算乘 x法后算除法，属于运算顺序错误。事实上对于不含挂号的乘除混合运算，应从左往 右依次计算，或将除法转化为乘法后，再依次计算。13（2） 化为同分母分式后，分子的符号容易出错。如2m 1 2m m?3 2m ? m ? 3 1 ? ? ? ? ? 2 m ? 9 m ? 3 (m ? 3)(m ? 3) (m ? 3)(m ? 3) (m ? 3)(m ? 3) m ? 3错因：上述解法错误的原因是忽略了“分数线具有括号的作用” 。分式相减时，若分子是多 项式，其括号不能省略。 （3） 同分母分式相加减容易漏掉分母，与解方程的去分母相混淆。如1 2 x ?1 2 错因： 上述解法 ? 2 ? ? ? x ?1 ? 2 ? x ? 1。 x ? 1 x ? 1 ( x ? 1)(x ? 1) ( x ? 1)(x ? 1)将分式的通分与解方程的去分母相混淆。同分母分式相加减，分母不变，而不是消 去分母。 （4） 除式的分子和分母不颠倒位置，直接和被除式相约分。 （5） 该变的符号没变或者忽略了符号。y y2 （6） 运用分式的基本性质二进行时，忽略了 m≠0 这个条件。如 不可变形为 ，因为 x xy这里的 y 可能为 0，但y y2 y2 可变形为 ，因为 中隐含了 y≠0 这个条件。 x xy xy（7） 分式乘除法运算时，约分不彻底，没有将结果化成最简形式。 五 二次根式 这一阶段的学习中，学生容易达到的目标：简单的二次根式的乘除和加减运算 普遍存在的问题及原因：知道这些 式子有或无意义时，求被开方数中的字母的取值范围，容易出现考虑问题不周的错误，特别 是分式与根式在同一式子中，更容易出错． 2．将根式进行化简或变形时，极易忽视隐含条件．例如，把根号外(或内)的因式移到 根号内(或外)面，不先确定这个被移因式的符号，而盲目地去移这个因式，从而出现a ?1 1 ? a 2 (? ) 和 ab (a ? 2b) 2 =（a-2b） ab (0＜a＜2b）之类的错误。 a a3． 运用积的算术平方根和商的算术平方根性质化简二次根式时， 往往忽视 a≥0， b＞0， 盲目地应用性质，从而出现错误． 4．在分母有理化的过程中，容易忽视有理化因式不能为零这个条件；有时把分母乘以 一个因式，而对分子不乘以这个因式；不会确定分母有理化因式是导致出错的主要原因．14概念理解不 深， 往往在判断两个或两个以上的二次根式是否为同类二次根式时， 不是先化成最简二次根 式，而是仅从被开方数是否相同来判断，6．二次根式运算常发生的错误有：往往违背运算顺序，或乱套运算律，或忽视分数线 的括号作用，或不会合并同类二次根式，等等．对二次根式的加减运算，应先把各根式化为 最简二次根式，然后再合并同类二次根式；对二次根式乘除运算，应注意将最后的结果化为 最简二次根式．2 7．应用 a ? a 脱去根号时，极易忽视 a＜0 的情形，出现 (1 ? 2 ) = 1? 2 之类 2的错误， 这时， 应养成先判定 a 的符号， 再脱去 a 2 中的根号这一习惯。 注意把 a 2 与 ( a ) 2 区别开来，也是防止解题错误的一个重要方面。A 下面，我们谈谈有关代数模型教学的问题。 事实上，代数除了运算，更是一种表示、交流与解决问题的工 具， 特别地， 当我们从数量的角度去刻画一个 （组） 对象的数学特征； 或者， 当我们借助数学运算去获得一个 （组） 对象的某些数学特性时， 代数可以给我们以很大的帮助；这时，代数就是一种模型――表达某 个 （组） 特定的数量关系。 在初中数学里， 这样的代数模型主要包括： 方程（组） 、不等式（组） ，函数。 首先，我们讨论方程（组） 、不等式（组） 。 下面我们请 老师谈谈有关方程和方程组的问题B【问题 1――方程及方程组】▲ 一般地，n 元一次方程就是含有 n 个未知数，且含未知数项次数是 1 的方程，【方程及方程组的概念】 一次项系数规定不等于 0；15▲n 元一次方程组就是几个 n 元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；▲ 一元 a 次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是 a 的方程； 方程（组）中，未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组），此 类方程（组）一般有无数个解。 【方程的意义】【问题 2――方程的建模】方程是刻画现实世界的有效数学模型，方程建模的核心：获取问题情境中的等量关 系。并运用数学语言符号准确的表达。 方程建模的基本思路 ▲ 认真审题 分析已知和未知的量 找等量关系 设未知数 列方程【方程建模的基本题型】 ● 直接列方程组解应用题 ● 例一：夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某 宾馆先把甲、 乙两种空调的设定温度都调高 1℃， 结果甲种空调比乙种空调每天多节 电 27 度； 再对乙种空调清洗设备， 使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高 1℃ 后的节电量的 1.1 倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电 405 度。 求只将温度调高 1℃后两种空调每天各节电多少度？ ▲ 分析： 1. 本题有四个未知量：调高温度后甲空调节电量、调高温度后乙空调节电量、 清洗设备后甲空调节电量、清洗设备后乙空调节电量。 2. 相等关系有调高温度后甲空调节电量－调高温度后乙空调节电量＝27、清洗 设备后乙空调节电量＝1.1×调高温度后乙空调节电量、 调高温度后甲空调节 电量＝清洗设备后甲空调节电量、清洗设备后甲空调节电量＋清洗设备后乙 空调节电量＝405。 3. 甲种空调每天节电 x 度，乙种空调每天节电 y 度，根据前第二个和第三个相 等关系可以表示出另外两个未知量，然后根据第一个和第四个相等关系列出 两个二元一次方程组成方程组即可。 4. 解：设只将温度调高 1℃后，甲种空调每天节电 x 度，乙种空调每天节电 y 度，依题意，得： ● 利用二元一次方程组求线段长 例二：用 8 块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如 图所示，求每块地砖的长与宽。 ▲ 分析：161. 本题的未知量有两个，就是每块地砖的长和宽 2. 根据矩形长为 60 可得一个方程 3. 由于矩形的上下两个对边相等，所以又能得到一个方程，从而组成一个方程组。 解：设每块地砖的长与宽分别为 x 和 y，根据题意得： ● 利用二元一次方程组解信息题● 利用二元一次方程解不等关系● 利用二元一次方程解决一次函数问题 去掉【问题 3――方程求解】【方程及方程的解的概念】 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 【课标要求】 ● 根据《全日制义务教育数学课程标准》中的要求“理解等式的性质，会用等式的 性质解简单的方程；经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程；会解 一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程 中的分式不超过两个） ；理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单 的数字系数的一元二次方程” 【解方程的基本思想方法】 ▲ 一元一次方程：等式性质 ▲ 二元一次方程组：消元 ▲ 分式方程（可化为一元一次方程的分式方程）：去分母，使分式方程转化为整式方 程． ▲ 一元二次方程：借助求根公式直接得到解，或运用衡等变形（如因式分解）的方法 转化为一次方程．即降次．b 2 b 2 ? 4c ) ? 如：对于 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) ，通过配方得： ( x ? 2a 4a 22当 b ? 4ac ? 0 时，通过直接开平方法转化为一元一次方程，从面得根为：2x1, 2 ??? b ? b 2 ? 4ac 2a常见错误：17▲ 去分母时：x ?1 x ? ? 1 ，去分母成了： 2( x ? 1) ? x ? 1 ．对去分母的原理即等式 3 6?2 x ? 2 y ? 1?　 ① ?2 x ? 3 y ? 4 ?性质没有掌握好． ▲ 加减法消元时： ?②当用①―②时，得： y ? -3 ，但有部分学生不注意 ? 3 y 前面符号的变化，导致解题 错误． ▲ 一元二次方程：直接开平方法时常见的错误，如：1 1 ( x ? ) 2 ? 4 ，得： x ? ? 2 ．错误的原因没有注意到 (?2) 2 ? 4 ． 2 2 1 1 1 正确的做法： x ? ? ?2 ，得 x1 ? ?2 ， x 2 ? 1 ． 2 2 2【问题 4――方程解的说明】● 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否正确．如实际问题中求出的人数不能 为小数，日期不能为负数． 案例 1：因为换季，人民商场的某种服装降价两次，原价是 300 元一件，现价是 每件 243 元，求平均每次降价的百分率． 解：设平均每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 300(1 ? x) ? 243．2●解这个方程，得 x1 ? 0.1, x2 ? 1.9 （舍去） 答：平均每次降价的百分率为 10%．●案例 2： 如图， Rt△ACB 中 ,∠C=90°,点 P,Q 同时由 A,B 两点出发分别沿 AC,BC 在 方向运动向点 C 匀速移动(到点 C 为止),它们的速度都是 1m/s.经过几秒△PCQ 的 面积为 Rt△ACB 面积的一半? (北师大版九上 P.74)A解:设 xs 后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半. 根据题意,得1 1 1 (8 ? x)( 6 ? x) ? ? ? 8 ? 6 2 2 2P解得: x1 ? 2 , x2 ? 12 当 x ? 12 时, 12 ? 1 &6 所以 x ? 12 不符合题意,舍去. 答: 2s 后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.CQB18A 另一个常见的模型是不等式与不等式组，下面请侯老师谈谈有关 它的教学。D 二、 不等式与不等式组 1．对不等式的理解 与方程类似，不等式表达的是两个对象之间的一种数量关系。通常，方程 表达的是满足一些特定条件的“瞬间（平衡）状态”，而不等式则更多地表达了 满足一些条件的“一般状态”。（1）不等式与不等式组模型要求 视频：①经历将一些实际问题抽象为不等关系的过程，体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间大小关系的有效数学模型。进一步发展符号感。②能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义。③经历通过类比、猜想、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的基本性质。④理解不等式（组）解与解集的含义，会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等 式的解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会在数轴上确定解集。初步体会数形结合思想。⑤根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）。解决简单的实际问题。并能根据具体问 题的实际意义，检验结果是否合理。⑥初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别。2．知识结构 内容呈现：问题――数学――研究数学――解决问题。 视频：19实际问题建立模型一元一次不等式（组）一元一次不等式（组）解法一元一次不等式与一次方程、一次函数 解决问题 不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效数学模型，一元一次不 等式是表示不等关系的最基本的工具，是学生学习其他相关数学知识的基础． 不等式的学习是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数 的基础上展开的，课本从内容安排上共分为以下几个部分：视频：(1)从身边的实际问题建立不等式． 从这些具体问题中的数量大小关系了解不等式的意义，了解不等式的相关概 念，并探索不等式的基本性质． (2) 一元一次不等式和一元一次不等式组． ①从问题到一元一次不等式(组)：精选典型的问题情境，紧密联系生活实 际， 通过丰富的实例， 引出一元一次不等式(组)， 使学生体会一元一次不等式(组) 与现实世界的密切联系，强化建模思想． ②解一元一次不等式(组)： 解决数学内部问题――解一元一 次不等式(组)， 让学生探索一元一次不等式(组)的解法，使学生在尝试、探索、比较等活动中， 掌握一元一次不等式(组)的解法，充分体会化归的思想方法． ③用一元一次不等式(组)解决问题：设置了较多有一定挑战性和思考性的 实际问题情境，用一元一次不等式 (组)解决这些实际问题，通过学生的自主探 索研究，培养他们分析问题、解决问题的能力，提高解一元一次不等式 (组)的 技能．20(3)一元一次不等式与一元一次方程、一次函数． 以具体问题为载体，研究一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内 在联系，揭示等与不等这对立的双方在一定条件下可以相互转化． 3．应用数学模型解决问题视频：（1） 审题 建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的 背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种 信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。 （2） 简化 根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语 言作出假设。 （3） 抽象 将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建 立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等 形式表达出来，从而建立数学模型。A：有哪些具体的方法呢？具体的建模分析方法 ①关系分析法：通过寻找关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型方 法。 ②列表分析法：通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。 ③图象分析法：通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法。 （4）求解数学模型 通过对模型的求解（解不等式、方程等），得出模型的解。21（5）检验按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数 据等检验模型的合理性。 综上所述，应用数学模型解决问题的步骤如下： 问题 数学模型问题解答数学模型解答例：某煤矿现有 100 吨煤炭要运往甲、乙两厂。通过了解获得甲、乙两厂的 有关信息如下表： （表中运费D元/t?km‖表示每吨煤炭运送一千米所需人民币） 厂别 甲厂 乙厂 运费（元/t? km） 1 1．2 路程（km） 150 100 所需的吨数（t） 不超过 60 不超过 80要把 100 吨煤全部运出，试写出总运费 y（元）与运往甲厂 x（吨）煤炭之 间的函数关系式；如果你是该矿的矿主，请设计出合理的运送方案，使所需的总 运费最低，并求出最低的总运费。 （1） 审题 本例中的已知量有：100 吨煤炭，运往甲、乙两厂的路程及运费，甲、乙两厂所需的吨数分别不超过 60 吨和 80 吨。 问题是：总运费 y（元）与运往甲厂 x（吨）煤炭之间的函数关系式；最低 总运费。 可以看出： 这是求函数最值问题， 利用函数增减性结合不等式解决问题。 （2） 简化 建立数学模型时需要简化语言： ①运往甲厂的煤+运往乙厂的煤=100， ②总运费=运往甲厂的煤的费用+运往乙厂的煤的费用， ③ 暗含的条件：运往甲厂的煤≤60；运往乙厂的煤≤80， （3） 抽象22导入数学符号建立不等式模型 运往甲厂的煤为 x（吨），则运往乙厂的煤为（100―x）吨， 由（2），y=150x+100（100-x）× 1.2， 由（3）x≤60，100―x≤80。 （4）求解数学模型 对模型求解: 化简，得 y=30x+12000， 解不等式组，得 20≤x≤60， （5）检验 因 y=30x+12000 中的 y 随 x 的增大而增大， 故当 x=20 时 y 有最小值， 结合 题意可知，运费最低最低 y=30× 20+ 元。 B 事实上，不等式作为一种代数模型，与方程、函数既有相似之处、也有不同 的地方，因此，不等式的学习与方程、函数的学习也有密切的联系。 4．不等式模型 数量关系是数学研究的核心内容之一，数量关系既包括等量关系，也包括不等 量关系，与刻画等量关系的等式、方程、函数等模型不同，不等式则是刻画普通存在 的不等关系的典型模型。 理解进而掌握不等式模型，不仅可以深化对等式、方程等模型的理解，而且可以 丰富自己的数学认知结构，为后续学习奠定重要基础。 理解不等式的基本性质： (1) 类比等式性质理解和掌握不等式性质 等式有很多基本的性质，不等式也是如此。在理解不等式的基本性质时，我23们可以借助类比的思想，对照等式相应的性质，感受不等式的基本性质。 视频： 等式基本性质 基 本 性 质 1 1.等式的两边都 加上（或减去） 1.不等式的两边 1.如果 a＝b，那 都加上（或都减 a+c＜b+c（或 a-c ＜b-c；如果 a＞b， 不等式基本性质 1.如果 a＜b.那么同一个数或同一 么 a+c＝b+c（或 个等整式，所得 结果仍是等式． a-c＝b-c）.去）同一个数，不 那么 a+c＞b+c 或 （ 等号的方向不变. a-c＞b-c）.基 本 性 质 22.等式的两边都 乘以（或除以） 同一个数（除数 不能为零），所 得结果仍是等 式． 2.如果 a＝b, 那 么 ac＝bc.2.不等式的两边 都乘以（或都除2. 如果 a&b,且 c&0, 那么 ac&bc；以）同一个正数， 如果 a&b,且 c&0, 不等号的方向不 变. 那么 ac&bc.3．不等式的两边 都乘以（或都除 以）同一个负数， 不等号的方向改 变. 3.如果 a&b,且 c&0, 那么 ac&bc；如果 a&b,且 c&0,那么 ac&bc.对于不等式性质 3D不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变‖，这是等式里所没有的，解不等式时尤其要注意这一点. (2)能够利用不等式的性质解决有关问题 解不等式的过程， 实际上就是利用不等式的基本性质以及相关的法则将不等 式变形的过程.我们可以类比解一元一次方程 （组） 的过程解一元一次不等式 （组） . 当然，二者最大的不同在于不等号的变化，解方程（组）时不会涉及这一点.24理解与不等式有关的建模思想： 在运动变化过程中，如果用函数模型刻画运动变化的两个变量 x、y 之间的 关系，那么，方程模型刻画的是 x、y 变化过程中某一瞬间的情况，而不等式模 型刻画的是变化过程中 x、y 之间的大小关系，是更普遍存在的状态.建立不等式 模型，需要我们将现实问题D数学化‖，即根据问题情境中的数量关系，列出不等 式，进而解不等式，最后还要将结果D翻译‖到现实问题中，检验其是否符合实际 意义. 5．不等关系是建立不等式模型的关键（1）实物型 （2）不等词语表示的不等关系 在有关不等式实际问题的叙述中， 有一些自然语言方面的表述会影响对问题 的理解，如：不足、不满、至少，超过，不大于，不小于，等等.应当提请学生 关注.例： 如图，用两根长度均为 Lcm 的绳子，分别围成一个正方形和圆.如果要使正方形的面积不大于 25cm2,那么绳长 L 应满足怎样的关系式？ 如果要使圆的面积不小于 100cm2,那么绳长 L 应满足怎样的关系式？ 当 L=8 时，正方形和圆的面积哪个大？ 你能得到什么猜想？ 通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树 干离地面 1.5m 的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为 5cm,以后树围每年增 加 3cm，这棵树要生长多少年其树围才能等于 2.4m？（只列关系式）这棵树至 少生长多少年其树围才能超过 2.4m？（只列关系式） 甲以 5km/h 的速度进行有氧体育煅炼，2h 后，乙骑自行车从同地出发沿同 L=12 呢？25一条路追赶甲.根据他们两人的约定，乙最快不早于 1h 追上甲，最慢不晚于 1h15min 追上甲.乙骑车的速度应当控制在什么范围？ 有一个两位数,其个位数字比十位数字大 2,如果这个数大于 20 小于 40,求这 个两位数。 一群女生住若干间宿舍，每间住 4 人，剩 19 人无房住；每间住 6 人，有一 间宿舍住不满.设有 x 间宿舍，请写出 x 应满足的不等式组；可能有多少间宿舍， 多少名学生？ 一个工程队原计划在６天内完成 500 土方的工程，第一天完成了任务的 20%，现在决定比原计划至少提前两天完工，问以后每天平均至少要完成多少土 方？（只列关系式） （3）数轴上的不等关系 a , b 两个实数在数轴上的对应点如图所示： 用D＞‖或D＜‖号填空： (1) a ___ b (3) a+b ___ 0 (5) a+b ___ a-b （4）三角形三边关系 在什么条件下，长度为 3cm，7cm，xcm 的三条线段可以围成一个三角形？ （5）隐含的不等关系 某市的出租车起价是 10 元，即开始行驶路程在 5 公里以内都需付车费 10 元，超过 5 公里，每增加 1 公里加价 1.2 元，不足 1 公里部分按 1 公里计，现在 某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费 17.2 元，问从甲地到乙地的路程在 什么范围内？ （6）与函数有关的不等关系 某学校计划购买若干台电脑， 现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均 为 6000 元，并且多买都有一定的优惠. 甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠 25%，那么甲商 场的收费 y1（元）与所买电脑台数 x 之间的关系式是____________________. 乙商场的优惠条件是：每台优惠 20%，那么乙商场的收费 y2(元）与所买电 (2) |a|___ |b| (4) a-b___ 0b0a(6) ab ___ a26脑台数 x 之间的关系式是_____________________________. （1）什么情况下到甲商场购买更优惠？ （2）什么情况下到乙商场购买更优惠？ （3）什么情况下两家商场的收费相同？A 在具体的教学过程中，有什么值得提醒的地方？ C 6．关于求解不等式模型要注意的问题 解一元一次不等式的步骤： 比较一元一次不等式的解法与―元―次方程的解法的异同点，一元一次不等式 的步骤与解―元―次方程类似，但是，在不等式两边都乘(或除以)同一个不等于 0 的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质 2，特别要 注意在不等式两边都乘 (或除以)同一个负数时，要改变不等号的方向．解方程的步骤4? x ? 4 2x ? 1 ? 2 3解不等式的步骤4? x ? 4 2x ? 1 ? 2 31.去分母 2.去括号 3.移项 4.合并同类项 5.系数化为 124－3（x+4）=2(2x-1) 24-3x-12=4x-2 -3x-4x=-2-24+12 -7x=-14 x=21.去分母 2.去括号 3.移项 4.合并同类 项 5.系数化为 124－3（x+4）&2(2x-1) 24-3x-12&4x-2 -3x-4x&-2-24+12 -7x&-14 x&2解表中的不等式 4― 一步x ? 4 2x ?1 ＞ ，去分母时，不能漏乘。另外，最后 2 3―7x＞―14 系数化为 1 时的主要错误有：x＞2，x＞－2，x&－2.不等式的解与方程的解有什么不同? 一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集， 不等式的 解集与方程的解不同，不等式的解集一般是由无数个解集合起来的，不等式 的解集常常可以借助数轴直观地表示出来．27不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集． 7．一元一次不等式在将来学习中的作用 一元一次函数与一元一次不等式的关系（初中）. 一元二次不等式 绝对值不等式 线性规划中的二元一次不等式8．教学建议 （1）淡化形式，注重本质．对不等式、不等式的解集、一元一次不等式、一 元一次不等式组等概念，教学时要淡化严格的形式化定义，通过已有的知识、熟 悉的问题让学生认识概念，并在运用中加深理解． （2）鼓励学生自主探索和合作交流．学生已具备有关一元一次方程、二元一 次方程组和一次函数的知识， 有能力通过自主探索和合作交流列出一元一次不等 式(组)，解决简单的实际问题．教学过程中应积极创设学生自主探索和合作交流 的氛围，激发他们学习的主动性． （3）设置丰富的问题情境，体会不等式知识的发生、发展过程．内容的选择 和呈现要关注现实意义和学生的经验及兴趣， 使学生多一些经历不等式知识的形 成和应用过程， 多一些经历模型化的过程，进一步培养学生分析问题和解决问题 的能力．同时，要把握好实际问题的难度，在解决简单的实际问题中，要突出不 等式模型的建立、求解以及对解的解释和检验． 例：一群女生住若干间宿舍,每间住 4 人,剩 19 人无房住;每间住 6 人,有一间宿 舍住不满. (1)设有 x 间宿舍,请写出 x 应满足的不等式组 (2)可能有多少间宿舍和多少名学生? 思路分析：28这里有 X 间宿舍,每间住 4 人,剩下 19 人,因此学生人数为 4X+19 人,若每间住 6 人,则有一间住不满, 这是什么不等关系呢?4X+19 最后一间宿舍 6 6 6 (X-1)间宿舍 6 0人到6人之间可以看出:0&最后一间宿舍住的人数&6 0&4x+19-6(x-1)&6列不等式组为: 解:设有 x 间宿舍,根据题意得不等式组:0&4x+19-6(x-1)&6。 解得: 18.5&x&12.5。 因为 x 是整数,所以 x=10,11,12. 因此可能有 10 间宿舍,59 名学生或 11 间宿舍,63 名学生或 12 间宿舍,67 名学生. （4）充分利用知识和方法上的对比进行教学．本章可利用的类比因素较多， 例如，在从问题到不等式(组)、解一元一次不等式(组)、用一元一次不等式(组) 解决问题的教学中，均可以与一元一次方程、二元一次方程组、一次函数的相关 内容进行类比．例如：不等式和方程的意义、不等式和等式的性质、不等式(组) 的解集与一元一次方程(组)的解、解一元一次不等式(组)与解一元――次方程、 二元一次方程组，等等．需要注意的是，在进行类比时，既要说明它的相同点， 更要使学生明确它们的不同点， 揭示各自的特殊性，从这些类比中进一步领会不 等式的相关知识的特点和本质． （5）注重相关知识的整合．学习不等式的知识可以与方程和函数的知识整合 起来，研究一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系，揭示等与不29等这对矛盾在一定条件下可以相互转化， 使学生更深刻地理解等与不等的辩证关 系，更好地认识和掌握事物运动和变化的规律． 9．评价建议 （1）恰当考查学生的知识、技能，关注他们对知识与技能的理解和应用．在 解一元一次不等式(组)时，要有针对性地加强基础性练习；在用一元一次不等式 (组)解决问题的教学中，所选例题和习题的难度要适当，应多选择简单的实际问 题． （2）评价应关注学生的活动过程．突出关注他们能否找到不等关系，能否 根据实际问题正确地建立一元一次不等式(组)模型，能否正确地解一元一次不等 式(组)，还要关注他们参与活动的程度，如在学习过程中的主动性、独立思考与 认真程度； 在活动中表现出来的思维水平，如学生在活动中的投入程度以及学生 在活动中思考问题的准确性、广阔性、灵活性． （3）关注学生对不等式内容的本质的认识，对有关概念、性质、解法的评 价，不提倡单纯记忆和模仿． 由两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组，它的解集可分为四种情况， 它们的解集和数轴表示如下表：类型（a＜b）解集 x＞b数轴表示x＜a30a＜x＜b空集（即无解）从上表可以看出，a＜x＜b 与不等式组是一样的，所以 a＜x＜b 也是一个一元一次不等式组。类似地 a≤x＜b，a＜x≤b 及 a≤x≤b 也是一元一次不 等式组，但这里第一个不等式组包含 a，第二个不等式组包含 a 又包含 b。 （4）关注学生数学应用意识的提高．教学中，可以安排学生进行一些有关一 元一次不等式与一元一次方程、 一次函数的调查活动，自编一些有关一元一次不 等式(组)的应用问题，并从这些应用问题中考查学生的应用意识水平．31
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