&第三章 控制系统的时域分析(8课时）
上一章已经讲述了如何建立控制系统的数学模型。但事实上人们真正关心的是，如何利用这些数学模型来对系统进行分析或设计。本章主要讨论用时域分析法来分析控制系统的性能。
所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，来分析系统的稳定性、快速性和准确性。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
本章研究时域分析方法。包括，，及等。
3.1 线性系统的稳定性
设计控制系统时应满足多种性能指标，但首要的技术要求是系统全部时间内必须稳定。一般来说，稳定性成为区分系统是否有用的标志。从实际应用的角度来看，可以认为只有稳定系统才有用。
稳定性的基本概念
原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。所谓稳定性，就是指系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地回复到原来的平衡状态的性能。若系统能恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的；若干扰消失后系统不能恢复到原来的平衡状态，偏差越来越大，则系统是不稳定的。
系统的稳定性又分两种情况：一是大范围内稳定，即起始偏差可以很大，系统仍稳定。另一种是小范围内稳定，即起始偏差必须在一定限度内系统才稳定，超出了这个限定值则不稳定。对于线性系统，如果在小范围内是稳定的，则它一定也是在大范围内稳定的。而对非线性系统，在小范围内稳定，在大范围内就不一定是稳定的。本章所研究的稳定性问题，是线性系统的稳定性，因而是大范围内的稳定性问题。
一般来说，系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性，如果系统的零输入响应和零状态响应都是收敛的，则此系统就被认为是总体稳定的。不难证明，对于线性定常系统，零输入响应稳定性和零状态响应稳定性的条件是一致的。所以线性定常系统的稳定性是通过系统响应的稳定性来表达的。
线性系统的稳定性
线性系统的特性或状态是由线性微分方程来描述的，而微分方程的解通常就是系统输出量的时间表达式，它包含两部分：稳态分量（又称强制分量）和瞬态分量（又称自由分量）。稳态分量对应微分方程的特解，与外作用形式有关；瞬态分量对应微分方程的通解，是系统齐次方程的解，它与系统本身的参数、结构和初始条件有关，而与外作用形式无关。研究系统的稳定性，就是研究系统输出量中的瞬态分量的运动形式。这种运动形式完全取决于系统的特征方程式，即齐次微分方程式，因为它正是研究扰动消除后输出量运动形式的。
单输入单输出线性系统的传递函数一般表示为：
系统的特征方程式为
显然，它是由系统本身的参数和结构所决定的。
线性系统稳定的充分必要条件
从上节的例子可以看出，线性系统稳定与否完全取决于其微分方程的特征方程根。如果特征方程的全部根都是负实数或实部为负的复数，则系统是稳定的。如果特征方程的各根中即使只有一个根是正实数或只有一对根是实部为正的复数，则微分方程的解中就会出现发散项。
由此可得出如下结论：线性系统稳定的充分必要条件是它的特征方程式的所有根均为负数或具有负的实数部分；或者说，特征方程式的所有根均在复数平面的左半部分。由于系统特征方程式的根就是系统的极点，所以又可以说，系统稳定的充分必要条件是系统的极点均在S平面的左半部分。
如果特征方程在复平面的右半平面上没有根，但在虚轴上有根，则可以说该线性系统是临界稳定的。
劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定判据
判别系统稳定性最基本的方法是根据特征方程式的根的性质来判定。但求解高于三阶的特征方程式相当复杂和困难。所以在实际应用中提出了各种工程方法，它们无需求特征根，但都说明了特征根在复平面上的分布情况，从而判别系统的稳定性。本节主要介绍代数判据。
（一） 系统稳定性的初步判别
设已知控制系统的特征方程
式中所有系数均为实数，且a0&0
系统稳定的必要条件是上述特征方程式所有系数均为正数。可简单证明如下：
将特征方程写成用特征根表达的形式
假如所有特征根均在S平面的左半部，即-σi&0，-αk&0，则式（3-1）中的σi&0，αk&0
（i=1，…，q；k=1，…，l；q+2l=n），若把式（3-1）的乘积展开，s多项式的各项系数必然均大于零。
根据这一原则，在判别系统稳定性时，可事先检查一下系统特征方程式的系数是否均为正数。如果有任何一项系数为负数或等于零（即缺项），则系统是不稳定或临界稳定的。假如只是判别系统是否稳定，到此就不必作进一步的判别了。如果系数均为正数，对二阶系统来说肯定是稳定的（必要且充分），但对二阶以上的系统，还要作进一步的判别。
（二） 劳斯判据（Routh）
将系统的特征方程写成如下标准形式
并将各系数组成如下排列的劳斯表：
表中的有关系数为
………………………
系数bi的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。
………………………
这一计算过程一直进行到n行为止。为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。
列出了劳斯表以后，可能出现以下几种情况。
1．第一列所有系数均不为零的情况，这时，劳斯判据指出，系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。
2．某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不等于零的情况。在计算劳斯表中各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不等于零，那么可以用一有限小的数值ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算阵列中其余各项。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下面的系数符号相反，表明这里有一个符号变化。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下面的系数符号相同，则有一对共轭虚根存在，系统也属不稳定。
3．某行所有各项系数均为零的情况，如果劳斯表中某一行的各项均为零，或只有等于零的一项，这表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实极点和（或）一些共轭虚数极点。为了写出下面各行，将不为零的最后一行的各项组成一个方程，这个方程叫作辅助方程，式中s均为偶次。由该方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零的各项，然后继续按照劳斯表的列写方法，写出以下的各行。至于这些根，可以通过解辅助方程得到。但是当一行中的第一列的系数为零，而且没有其它项时，可以像情况2所述那样，用ε代替为零的一项，然后按通常方法计算阵列中其余各项。
（三） 赫尔维茨判据（Hurwitz）
分析6阶以下系统的稳定性时，还可以应用赫尔维茨判据。
将系统的特征方程写成如下标准形式
现以它的各项系数写出如下之行列式：
行列式中，对角线上各元为特征方程中自第二项开始的各项系数。每行以对角线上各元为准，写对角线左方各元时，系数a的脚标递增；写对角线右方各元时，系数a的脚标递减。当写到在特征方程中不存在系数时，则以零来代替。
赫尔维茨判据描述如下：系统稳定的充分必要条件在a0&0的情况下是，上述各行列式的各阶主子或均大于零，即对稳定系统来说要求
赫尔维茨稳定判据虽然在形式上与劳斯判据不同，但实际结论是相同的。
控制系统的稳态误差&
从前面叙述可知，如果一个线性控制系统是稳定的，那么从任何初始条件开始，经过一&
段时间就可以认为它的过渡过程已经结束，进入与初始条件无关而仅由外作用决定的状态，即稳态。控制系统在稳态下的精度如何，这是它的一个重要的技术指标，通常用稳&
态下输出量的要求值与实际值之间的差来衡量。如果这个差是常数，则称为稳态误差。
不稳定的系统不能实现稳态，因此也就谈不上稳态误差。因此，这里讨论的稳态误差都&
指的是稳定的系统。
典型输入信号
控制系统的稳态误差是因输入信号不同而不同的。因此就需要规定一些典型输入信号。通过评价系统在这些典型输入信号作用下的稳态误差来衡量和比较系统的稳态性能。在控制工程中通常采用的典型输入信号有以下几种：
1．单位阶跃函数：
其拉普拉斯变换为R(s)=1/s
2．单位斜坡函数：
其拉普拉斯变换为R(s)=1/s2
3．单位加速度函数：
其拉普拉斯变换为R(s)=1/s3
4．单位脉冲函数：
其拉普拉斯变换为R(s)=1
5．正弦函数：
r(t)=sinωt
其中最常用的典型信号为单位阶跃、单位斜坡、单位加速度三种输入信号。
3.2.2稳态误差和误差传递函数
系统的稳态误差是指系统在稳定状态下其实际输出值（在实际工作中常用系统输出的测量值代替）与给定值之差。对稳定的单输入单输出系统，稳态误差是时域中衡量系统稳态响应的性能指标，它反映了系统的稳态精度，因此稳态误差分析是控制系统分析的一项基本内容。
设有如图3-1所示的系统。它的闭环传函为
误差信号e(t)和输入信号r(t)之间的传递函数是
其中误差e(t)是输入信号和反馈信号之差。
图3-1控制系统
终值定理为求稳定系统的稳态误差提供了一个简便的方法。因为E(s)是
则稳态误差是
静态误差系数
当系统的输入信号为单位阶跃、单位斜坡和单位加速度三种典型信号之一时，上式分别化为：
单位阶跃函数：
单位斜坡函数：
单位加速度函数：
现定义误差系数如下：
静态位置误差系数Kp：
静态速度误差系数Kv：
静态加速度误差系数Ka：
将（3-5），（3-6）及（3-7）分别代入（3-2），（3-3）及（3-4）得
单位阶跃函数：
单位斜坡函数：
单位加速度函数：
下面进一步考察误差系数与系统的结构和参数的关系。
系统开环传递函数一般写成
的形式，式中K是系统的开环比例系数。分母中的因子Sυ
表明开环传递函数中含有υ个积分单元。将系统按照υ=0，1，2分别将其分为0型，1型，2型。在表3-1中列出了按照式（3-2），（3-3）及（3-4）求得的系统稳态误差系数。
表3-1 0型、1型及2型系统以增益K表示的稳态误差
（阶跃输入）r(t)=1(t)& (Kp)
（斜坡输入）r(t)=t& (Kv)
（加速度输入）r(t)=t2/2 (Ka)
误差系数Kp、Kv和Ka描述了系统减少或消除稳态误差的能力，系数值愈大，则给定稳态误差终值愈小。一般来说，在保持瞬态响应在一个允许的范围内时，希望增加误差系数，如果在静态速度误差系数和加速度误差系数之间有任何矛盾时，主要考虑前者。
务请注意，使用拉普拉斯变换终值定理计算稳态误差终值的条件是：sEr(s)在s平面右半部及虚轴上除了坐标原点是孤立奇点外必需解析，亦即sEr(s)的全部极点除坐标原点外应全部分布在s平面的左半部。例如给定输入为正弦函数时
在s平面的全部虚轴上不解析，就不能使用终值定理去求取系统的稳态误差终值。
静态误差系数的一个明显特点，是对于一个给定系统只有一个系数呈现有限值，其它的系数不是零就是无穷大。因而，通过静态误差系数求得的静态误差或是零，或是有限的非零值，或是无穷大。所以，误差随时间的变化规律不能运用这种系数求出。但有些时候人们关心的往往是误差随时间变化的情况，这种误差表现了误差随时间变化的规律，称之为动态误差。本节介绍的动态误差将提供一些关于误差怎样随时间变化的信息，即，系统在给定的输入作用下稳态误差是否会与t，t2等成比例地增加。
动态误差不同但稳态误差系数相同的系统
首先论证两个具有不同动态误差的系统却能够有相同的静态误差系数。设以下的两个系统：
其静态误差系数由下列各式给出：
Kp1=∞， Kp2=∞
Kv1=10， Kv2=10
Ka1=0， Ka2=0
于是，对于同样的阶跃输入，两个系统有相同的稳态误差。当然，对于斜坡和抛物线输入的稳态误差，该结论也同样适用。这个分析表明，不能根据静态误差系数去估算系统的动态误差。
动态误差系数
现在引进动态误差系数来描述动态误差。通过用E(s)/R(s)的分母多项式除它的分子多项式的方法，把E(s)/R(s)展开成下列s的升幂级数：
幂级数的系数K1、K2、K3、…被定义为动态误差系数。对N型系统的动态误差系数由下式给出：
K1=动态位置误差系数；
K2=动态速度误差系数；
K3=动态加速度误差系数。
需要说明的是，在一个给定系统中，动态误差系数是与静态误差系数有关的。例如：设下列具有单位反馈的0型系统：
其静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数分别是
由于E(s)/R(s)可展开成
所以，依据静态误差系数给出的动态误差系数如下：
k1=1+K=1+Kp
动态速度误差系数由下式给出：
当E(s)写成下面的形式时：
E(s)= R(s)+ sR(s)+ s2R(s)+…
动态误差系数的优点就更为清楚。这个级数的收敛域是s=0的邻域，这相当于在时域内的t=∞。假定所有的初始条件为零，并且忽略掉在t=0的邻域，这相当于在时域内的t=∞。假定所有的初始条件为零，并且忽略掉在t=0时的脉冲，则对应的时间解（即稳态误差）由下式求出：
这样，由输入函数和它的导数所引起的稳态误差能根据动态误差系数求出，这便是动态误差系数的一个优点。
如果E(s)/R(s)围绕原点展开成一个幂级数，级数的逐项系数就表示系统在缓慢变化的输入作用下的动态误差。动态误差系数是计算任意输入作用下的误差信号和稳态误差的简便方法。用这个方法就不需要实际去解系统的微分方程。
3.3 控制系统的暂态响应
控制系统的稳定性说明了系统在扰动作用后能否建立新的平衡状态，这是系统能否工作的前提条件。而稳态误差则说明了系统在建立了新的平衡状态以后，其稳态精度如何。显然这里还存在一个系统由接受外作用开始到新平衡状态出现的中间过渡过程（或称暂态响应过程）需要研究。暂态响应过程的性能，如时间响应过程的快速性，动态准确度，系统的相对稳定性等，通常用相应的指标来衡量，这些指标称为暂态响应性能指标或称过渡过程品质指标。下面对这些指标进行介绍。
自动控制系统暂态响应性能指标
暂态响应性能指标是以系统在单位阶跃输入作用下的衰减振荡过程（或称欠阻尼振荡过程）为标准来定义的。系统在其它典型输入作用下定义的暂态响应性能指标，均可以直接或间接求出与这一指标的关系。用来表述单位阶跃输入时暂态响应的典型性能指标通常有：最大超调量、上升时间、峰值时间和调整时间。图3-2说明一个线性控制系统的典型单位阶跃响应。上述指标就是用系统阶跃响应来定义的。
控制系统的典型单位阶跃响应
1． 延迟时间td
响应曲线第一次达到稳态值的一半所需要的时间叫做延迟时间。
2． 最大超调量Mp
最大超调量规定为在暂态期间输出超过对应于输入的终值的最大偏离量。最大超调量的数值也用来度量系统的相对稳定性。最大超调量常表示为阶跃响应终值的百分数，即
3． 峰值时间tp
对应于最大超调量发生的时间（从t=0开始计时），称为峰值时间。
4． 上升时间tr
在暂态过程中，输出第一次达到对应于输入的终值的时间（从t=0开始&
计时），称为上升时间。
5． 调整时间ts
输出与其对应于输入的终值之间的偏差达到容许范围（一般取5%或2%）&
所经历的暂态过程时间（从t=0开始计时），称为调整时间。
以上规定的四个量中，比较重要的是最大超调量Mp和调整时间ts。
这些指标参量是相互关联的，当其中的一个指标为最优时，有可能会使另一个指标的性能降低，为了达到整个系统综合性能指标的最优化，需要采取一些能体现综合性能的指标。下面介绍几个常用的这一类指标。
式中e(t)代表误差，它是系统单位阶跃响应与单位阶跃函数之差。可以将e(t)表示为系统中可变参数的函数，然后求出使上式成为极小值的条件，并且由此确定可变参量的最优量。
从图3-2可见，t=0时系统的误差值远大于以后的数值。由于ISE性能指标是将各时刻的e(t)同等对待，所以使ISE为极小而求得的参量，往往使系统单位阶跃响应力图在最短时间内接近单位阶跃函数，从而造成系统具有过大的超调量。为了减少大初始误差的加权，并着重权衡响应后期出现的小误差，提出了时间乘误差平方积分(ITSE)性能指标，即
根据使ITSE为极小的条件求得的系统参量，将使系统的阶跃响应的超调量不大，而暂态响应也衰减得较快。另外，为方便仪器观察，也可以使用误差绝对值积分(IAE)性能指标即
同样，为减少系统阶跃响应的超调量，可使用时间乘误差绝对值的积分性能指标(ITAE)，即
3.4 一阶系统的暂态响应
研究图3-3所示一阶系统。其系统传函为
一阶系统方框图
3.4.1一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
r(t)=1(t)，R(s)=1/s
由拉普拉斯反变换可以得到单位阶跃响应c(t)为
c(t)=1-e-t/T (t≥0)
上式表示，一阶系统的单位阶跃响应的图形是一条指数曲线，如图3-4所示。
一阶系统的单位阶跃响应
由图可知，c(t)的初始值为0，最终将变为1。当t=T时，c(t)的数值等于0.632，或者说响应c(t)达到了总变化的63.2%。当经过的时间t=3T、4T时，响应将分别达到稳态值的95%或98%。从数学观点来分析，只有当时间t趋向于无穷大时，系统的响应才能达到稳态。但实际上都以响应曲线达到稳态值的2%允许误差范围所需的时间，来作为评价响应时间长短的合理标准。时间常数T反映了系统的响应速度，时间常数T愈小，则响应速度愈快。
3.4.2一阶系统的单位脉冲响应
当单位脉冲输入
r(t)=δ(t)，R(s)=1
相应的系统单位脉冲响应为
c(t)= e-t/T
其响应曲线如图3-5所示。
图3-5 一阶系统的单位脉冲响应
3.4.3线性定常系统的重要特性
比较系统对这二种输入信号的响应，可以清楚地看出，系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应微分来求出。同时也可以看出，系统对原信号积分的响应，等于系统对原信号响应的积分，而积分常数则由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个特性，线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性。
&输入信号t导数d(t)/dt=1&，单位阶跃响应c(t)为
c(t)=1-e-t/T (t≥0)
输入信号t的响应[t-T(1-e-t/T)]导数为1-e-t/T
3.5 二阶系统的暂态响应
在分析或设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准。虽然在实际中几乎没有二阶系统，而是三阶或更高阶系统，但是它们有可能用二阶系统去近似，或者其响应可以表示为一、二阶系统响应的合成。因此，将对二阶系统的响应进行重点讨论。
典型的二阶系统的方框图如图3-6所示，它由一个非周期环节和一个积分环节串联组成，系统的传递函数为
图3-6 二阶系统的方框图
从上式不难求得闭环系统的极点为
式中 ：阻尼比
：无阻尼自然振荡角频率
振荡角频率的单位本为rad/s，但因弧度本身无量纲，只表示比值的概念。在研究控制系统时习惯上写为s-1，同时也常简称为频率。
由式（3-12）可知，系统极点的实部为σ，它控制着时间响应的暂态分量是发散还是衰减，以及暂态分量随时间的变化率。当σ&0时，暂态响应随时间增长而发散，当σ&0时，暂态响应随时间增长而衰减。由于σ＝-，且不可能为负值，所以，又可以看出，当
&0时，系统暂态响应将随时间增长而发散，而当
&0时，系统暂态响应才能随时间增长而衰减。
当阻尼比=1时，系统具有两重实极点，于是系统暂态响应中没有周期分量，暂态响应将随时间按指数函数规律而单调衰减。此时称系统处于临界阻尼情况。
当阻尼比&1时，系统具有不相等的两个实极点，系统的暂态响应还是随时间按指数函数规律而单调衰减，只是衰减的快慢主要由靠近虚轴的那个实极点决定。此时称系统处于过阻尼情况。
当=0时，系统将具有一对纯虚数极点，其值为此时称系统处于无阻尼状态，系统的暂态响应将是恒定振幅的周期函数，并且将
称为无阻尼自然振荡角频率，或简称为无阻尼自然振荡频率。
当0&&1时，系统具有一对实部为负的复数极点，系统的暂态响应将是振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，此时称系统处于欠阻尼状态。
3.5.1二阶系统的单位阶跃响应
下面分析、和三种情况下，二阶系统的单位阶跃响应。
(1) 欠阻尼情况(0&ζ&1)
,频率叫阻尼自然频率。对于单位阶跃输入，C(s)可以写成
为求出上式的拉普拉斯反变换，将上式写成下列形式
其拉普拉斯反变换为
由上式可以看出，暂态振荡频率为阻尼自然频率，它是随阻尼比ζ而变化的。这一系统的误差信号，是输入量与输出量之差，即
显然，这个误差信号为一阻尼正弦振荡。稳态时或t=∞时，输入量与输出量之间不存在误差。
如果阻尼比等于零，那么系统的响应变为无阻尼等幅振荡。将=0值代入（3-13），便可得到零阻尼情况下的响应c(t)，即
c(t)=1-cost
从上式可以看出，代表系统的无阻尼自然频率。即如果阻尼系数减少到零时，系统将以频率
振动。如果线性系统具有一定阻尼，就不可能通过实验得到无阻尼自然频率，而只能得到阻尼自然频率
。阻尼自然频率总是低于无阻尼自然频率。ζ值增大时，阻尼自然频率
将减小。如果
增加到大于1，系统的响应将变成过阻尼，因而不再产生振荡。
(2) 临界阻尼情况（ ζ=1）
如果C(s)/R(s)的两个极点接近相等，则系统可近似看作临界阻尼系统。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因而C(s)可表示为
上式的拉普拉氏反变换为：
(3) 过阻尼情况（ζ&1）
这种情况下，C(s)/R(s)的两个极点是两个不等的负实数。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以写成
其拉普拉斯反变换为
，显然，这时系统的响应c(t)包含着两个衰减的指数项。
当ζ远大于1时，在两个衰减的指数项中，一个比另一个衰减的要快得多，因此衰减得比较快的指数项（相应于较小时间常数的指数项），就可以忽略不计。也就是说，如果-s2与j
轴的距离比-s1要近得多（即
），那么在近似解中，可以忽略-s1，因为方程中包含s1的项比包含s2的项衰减得快的多，所以-s1对系统响应的影响，比-s2对系统的影响要小得多，因此忽略-s1是合理的。因此可以将C(s)/R(s)近似地表示为
这一近似函数形式是根据下述条件直接得到的，即原来的函数C(s)/R(s)与近似函数的初始值和最终值，两者是完全相同的。
对于近似传递函数C(s)/R(s)，其单位阶跃响应可表示为
其时间响应c(t)为
在过阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是随时间推移而单调增长，最后在t→∞时趋于稳态值，所以最大超调量是零，调整时间可以用近似的单位阶跃响应估算，如借用一阶系统单位阶跃响应的性质，可以认为响应达到稳态值的95%所需的调整时间
工程上，如果ζ》1.5时，使用上述近似式已有足够的准确度了。
在图3-7中表示出当 为不同值时，相应系统极点的分布与阶跃响应的图形。
&1（左半平面有相异实根）时系统响应
(b) =1（左半平面有相同实根）时系统响应
&1（左半平面有带负实根的共轭虚根）时系统响应
=0（虚轴上带共轭虚根）时系统响应
&-1（右半平面有带正实根的共轭虚根）时系统响应
(f) &-1（右半平面有相异正实根）时系统响应
图3-7 极点分布不同时系统阶跃响应图形
图3-8说明系统极点的位置与
、 、及之间的关系。对于标出的一对共轭复数极点是从极点到s平面原点的径向距离，是极点的实部，是极点的虚部，而阻尼比等于极点到s平面原点间径向线与负实轴之间夹角的余弦，即
阻尼比是二阶系统的重要特征参量。
图3-8 系统极点与参量间的关系
二阶系统的暂态响应指标
当系统为欠阻尼情况下，即0&ζ&1时，二阶系统阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp的计算公式按式（3-13）可表示如下。
上升时间tr
令c(t)=1，代入式（3-13）中，即可求得tr。这时有
由上式可见，如欲减小tr，当ζ一定时，需增大
，反之，若一定时，则需减小ζ。
峰值时间tp 出现第一个峰时，单位阶跃响应随时间的变化率为零。为求tp，可将式（3-13）对时间t求导，并令其为零。于是得
由此可知：
n=0、1、2、……
到达第一个峰值时应有
最大超调量Mp 最大超调量发生在t=tp，因此，令式（3-13）中的t=tp，并将tp值代入，即得以百分比表示的超调量
调整时间ts
对于欠阻尼二阶系统，暂态响应可由式（3-13）求得为
，是系统对单位阶跃输入信号的暂态响应曲线的包络线，响应曲线c(t)总是包含在一对包络线之内，如图3-9所示。包络线的时间常数为1/(ζ
)。这样，当采用5%允许误差时，有
当0&ζ&0.8时，则有
当采用5%允许误差时，则可推导得出 =3T
当采用2%允许误差时，则可推导得出 ts=4/(ζ
图3-9 二阶系统单位阶跃时间响应的包络线
3.5.3二阶系统的脉冲响应
当输入信号r(t)为单位脉冲函数时，相应的拉普拉斯变换为1，即R(s)=1。则二阶系统的单位脉冲响应C(s)为
这个方程的拉普拉斯反变换，就是时域响应解c(t)，这时当0≤ζ&1时，
不同ζ时单位脉冲响应曲线见图3-10。对ζ≥1的情况，单位脉冲响应总是正值或在t=∞时为零。这时系统的单位阶跃响应必是单调增长的。
由于单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，所以单位脉冲响应曲线与时间轴第一次相交的点对应的时间必是峰值时间tp，而从t=0至t=tp这一段曲线与时间轴所包围的面积将等于1+Mp（参见图3-11），而且单位脉冲响应曲线与时间轴包围的面积代数和为1。
图3-10 单位脉冲响应曲线
图3-11 从脉冲响应求Mp
当系统高于二阶时，将其称为高阶系统。其传递函数一般可以写成如下形式
将上式进行因式分解，可写成
式中 si：传递函数极点，i=1、2、…、n；
zj：传递函数极点，j=1、2、…、m。
假定系统所有零点、极点互不相同，并假定极点中有实数极点和复数极点，而零点中只有实数零点。当输入为单位阶跃函数时，其阶跃响应的象函数为
式中 m：传递函数零点总数；
n：传递函数极点总数，n=q+2r；
q：实极点数；
r：共轭复数极点的对数。
对上式求取原函数，即得高阶系统的单位阶跃响应：
由此可见，高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统暂态响应分量的合成。可以得到如下结论：
1.高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数si及
决定。假设系统的一对复数极点与虚轴间距离为
，另一对复数极点与虚轴间距离是其5倍，即5
，如按式（3-15）估算，后者对应的暂态分量衰减时间大约为前者的1/5，由此可知，系统的极点在s平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减得愈快。
2. 高阶系统暂态响应各分量的系数Ai和Dk不仅与s平面中极点的位置有关，并且与零点的位置也有关。当某极点si愈靠近某一零点zj而远离其他极点，同时与s平面的原点相距也很远，则相应分量的系数Ai越小，该暂态分量的影响就小。若一对零、极点互相接近，则该极点对暂态响应几乎没有影响。极端情况，若一对零、极点重合（偶极子），则该极点对暂态响应无任何影响。若某极点si远离零点，但距S平面原点较近，则相应的该分量的系数Ai就比较大，于是，该分量对暂态响应的影响就较大。因此，对于系数很小的分量以及远离虚轴的极点对应的衰减很快的暂态分量常可忽略，于是高阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似。
3. 如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部比其他极点的实部的1/5还要小，并且该极点附近没有零点，则可以认为系统的响应主要由该极点决定。这些对系统响应起主导作用的极点，称为系统主导极点。高阶系统的主导极点常是共轭复数极点。如能找到一对共轭复数主导极点，则高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，相应地其暂态响应性能指标都可以按二阶系统来近似估计。
在设计一个高阶系统的时候，常利用主导极点这一概念选择系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，这样就可以近似地用二阶系统的性能指标来设计系统。详见后面有关系统设计章节的内容。
3.7 用MATLAB进行暂态响应分析&
3.7.1线性系统的MATLAB表示
系统的传递函数用两个数组来表示。考虑下列系统：
该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s的降幂&&
排 列如下：
num=[0 0 25]
den=[1 4 25]
注意，必要时需补加数字零。
如果已知num和den（即闭环传递函数的分子和分母），则命令
step(num，den)，step(num，den，t)
将会产生出单位阶跃响应图（在阶跃命令中，t为用户指定时间）。
当阶跃命令的左端含有变量时，如：[y,x,t]=step(num,den,t)显示屏上不会显示出&&
响 应曲线。因此，必须利用plot命令去查看响应曲线。矩阵y和x分别包含系统在计算时&
间点t求出的输出响应和状态响应（y的列数与输出量数相同，每一行对应一个相&
应的 时间t单元。x的列数与状态数相同，每一行对应一个相应的时间t单元）。
3.7.2传递函数系统单位阶跃响应的求法
下面讨论由方程（3-17）描述的系统的单位阶跃响应。MATLAB
Program3-1将给出该&&
系统的单位阶跃响应曲线。该单位阶跃响应曲线如图3-13所示。
其源程序为：
MATLAB Program 3-1
num=[0 0 25];
den=[1 4 25];
step(num,den)
title('Unit-Step Response of G(s)=25/(s^2+4s+25)')
图3-13 单位阶跃响应曲线
3.7.3在图形屏幕上书写文本
为了在图形屏幕上书写文本，例如，可以输入下列语句：
text(3.4, -0.06, 'Y1')
text(3.4, 1.4, 'Y2')
第一个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4，y=-0.06上写出&Y1&。类似地，第二个语&&&
句 告诉计算机，在坐标点x=3.4，y=1.4上写出&Y1&。
3.7.4脉冲响应
利用下列MATLAB命令中的一种命令，可以得到控制系统的单位脉冲响应：
impulse(num,den)
[y,x,t]=impulse(num,den)
[y,x,t]=impulse(num,den,t)
3.7.5求脉冲响应的另一种方法
当初始条件为零时，G(s)的单位脉冲响应与sG(s)的单位阶跃响应相同。
考虑上例中讨论过的系统的单位脉冲响应。因为对于单位脉冲输入量，R(s)=1，所以
因此，可以将G(s)的单位脉冲响应变换成sG(s)的单位阶跃响应。
如果向MATLAB输入下列num和den：
num=[0 1 0]
den=[1 0.2 1]
利用在MATLAB Program3-2中给出的阶跃响应命令，可以得到系统的单位脉冲响应曲线，如图3-15所示。在图3-15中，x轴和y轴都是自动地进行标注的。如果希望对x轴和y轴&
做不同的标注，则需要改变阶跃命令。例如，如果需要在x轴上标注&t
Sec&，在y轴上 标注&Input and Output&，则应利用带有左端变量的阶跃响应命令，其源程序如下：
MATLAB Program 3-3
num=[0 1 1];
den=[1 0.2 1];
impulse(num,den);
title('G(s)=s/(s^2+0.2s+1)的单位脉冲响应')
的单位阶跃响应求得的单位脉冲响应曲线
c=step(num,den,t)
[y,x,t]=step(num,den,t)
参见MATLAB Program3-4。
3.7.6斜坡响应
在MATLAB中没有斜坡响应命令，因此，需要利用阶跃响应命令求斜坡响应。特别是当&
求传递函数系统G(s)的斜坡响应时，可以先用s除G(s)，再利用阶跃响应命令。例如，&&
考虑下列闭环系统：
对于单位斜坡输入量，R(s)=1/(s2)，因此
为了得到系统的单位斜坡响应，往MATLAB程序中输入下列分子和分母：
num=[0 0 0 1];
den=[1 1 1 0];
并应用阶跃响应命令。参见MATLAB Program3-4，利用此程序获得的响应曲线如图3-16
所示。其源程序如下：
MATLAB Program 3-4
num=[0 0 0 1];
den=[1 1 1 0];
t=0:0.1:7;
c=step(num,den,t);
plot(t,c,'o',t,t,'-')
title('Unit-Ramp Response Curve for System G(s)=1/(s^2+s+1)')
xlabel('t Sec')
ylabel('Input and Output')
图3-16 单位斜坡响应曲线
本章通过对控制系统时间响应的分析，来说明控制系统的三个基本性能要求：
1、稳定性的要求：确定系统能否稳定；
2、准确性的要求：使系统稳态误差尽可能小；
3、快速性的要求，也是系统的动态性能要求：使系统的超调量要小，调节时间要短。
最后，还介绍用MATLAB方法求解暂态响应问题的方法，
其主要内容及要求有：
（1） 稳定性定义：系统受扰动偏离了平衡状态，当扰动消除后系统能够恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定，反之称系统不稳定。
（2） 系统稳定的充要条件：系统特征根全部具有负实部。
为判断系统的稳定性并不需直接求出传递函数的极点。从传递函数分母多项式&
各项系数就能确定极点的位置，这就是判别系统稳定性的一种间接方法：劳斯-赫尔维
系统稳态误差：要求正确理解有关稳态误差的概念；了解终值定理应用的限制&
条件；牢固掌握计算稳态误差的一般方法；牢固掌握静态误差系数法及其应用的限制&
系统动态性能要求：牢固掌握一阶系统、二阶系统的数学模型和典型响应特点；能熟练确定一阶系统、二阶系统特征参数，牢固掌握一阶系统、二阶欠阻尼系统动态&
性能计算方法及应用限制条件；掌握典型欠阻尼二阶系统特征参数、极点位置与动态&
性能间的相互关系；了解附加闭环零极点对动态性能的影响；正确理解主导极点的概念，会估算高阶系统动态性能。
（6） MATLAB方法在暂态响应求解过程中的应用，并介绍了用MATLAB求解暂态响应&&&
问题的例子。
作业：8-10题