已知函数f（x）、g（x）均为（a、b）上的可导函数，在［a、b］上连续且f′（x）＞g′（x），f（a）=g（a）,则当x∈（a、b）时有（　　）A.f（x）＞g（x）B.f（x）＜g（x）?C.f（x）=g（x）D.大小关系不能确定?
“我们称使f(x)=0的x为函数y=f(x)的零点.若函数y=f(x)在区间［a,b］上是连续的、单调的函数，且满足f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间［a,b］上有唯一的零点”.对于函数f(x)=-x3+x2+x+m.（1）当m=0时,讨论函数f(x)=-x3+x2+x+m在定义域内的单调性并求出极值；（2）若函数f(x)=-x3+x2+x+m有三个零点，求实数m的取值范围.考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：压轴题,导数的综合应用
分析：（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则x3+52x2+(a-1)x+b=03x2+5x+a=0存在唯一的实数根x0，即b=2x3+52x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．
解：（1）当a=-2时，函数f（x）=x3+52x2-2x+b则f′（x）=3x2+5x-2=（3x-1）（x+2）令f′（x）＜0，解得-2＜x＜13，所以f（x）的单调递减区间为（-2，13）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则x3+52x2+(a-1)x+b=03x2+5x+a=0即x3+52x2+（-3x2-5x-1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+52x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+52x2+x，则y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=-12或x=-13，则函数y=2x3+52x2+x在（-∞，-12），（-13，+∞）上是增函数，在（-12，-13）上是减函数，由于x=-12时，y=-18；x=-13时，y=-754；故实数b的取值范围为：（-∞，-754）∪（-18，+∞）；（3）设点A（x0，f（x0）），则在点A处的切线l1的切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），与曲线C联立得到f（x）-f（x0）=f′（x0）（x-x0），即（x3+52x2+ax+b）-（x03+52x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x-x0），整理得到（x-x0）2[x+（2x0+52）]=0，故点B的横坐标为xB=-（2x0+52）由题意知，切线l1的斜率为k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f′（-（2x0+52））=12x02+20x0+254+a，若存在常数λ，使得k2=λk1，则12x02+20x0+254+a=λ（3x02+5x0+a），即存在常数λ，使得（4-λ）（3x02+5x0）=（λ-1）a-254，故4-λ=0(λ-1)a-254=0，解得λ=4，a=2512，故a=2512时，存在常数λ=4，使得k2=4k1；a≠2512时，不存在常数，使得k2=4k1．
点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．
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空间中一正方形的边长为3．一平面使得A、B、C、D四点到的距离都为1，则这样的平面有（　　）
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A、B、C、D、已知函数f（x）=x3-3ax+b，（a，b∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）曲线y=f（x）在x=0处的切线方_百度知道
已知函数f（x）=x3-3ax+b，（a，b∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）曲线y=f（x）在x=0处的切线方
已知函数f（x）=x3-3ax+b，（a，b∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为3ax+y-2a=0，且y=f（x）与x轴有且只有一个公共点，求a的取值范围．
提问者采纳
（Ⅰ）函数f（x）的导数f'（x）=3x2-3a，（1）当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，此时f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得，令f'（x）＞0，得或，令f'（x）＜0，得，∴f（x）在和上是增函数，在上是减函数；（Ⅱ）∵f'（0）=-3a，f（0）=b，∴曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y-b=-3ax，即3ax+y-b=0，∴b=2a，∴f（x）=x3-3ax+2a，由（Ⅰ）知，（1）当a≤0时，f（x）在区间（-∞，+∞）单调递增，所以题设成立，（2）当a＞0时，f（x）在处达到极大值，在处达到极小值，此时题设成立等价条件是或，即：3?3a(?a)+2a＜0或3?3a(a)+2a＞0即：或，解得：0＜a＜1，由（1）（2）可知a的取值范围是（-∞，1）．
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出门在外也不愁②④分析：①可通过举指数函数的例子来说明此命题是错误的；②可研究函数的极值结合单调性判断出函数的图象与X轴的交点个数从而得出零点个数，即可判断命题的真假；③构造函数f（x）=-|log2x|，通过零点存在定理研究函数有几个零点，即可得出两函数有几个交点；④函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），可得出函数的图象关于x=3对称，由对称性即可判断出命题的真假．解答：①若函数y=f（x）有反函数，则f（x）有且仅有一个零点是错误的，譬如y=2x，是单调函数，有反函数，但其函数值恒大于0，无零点；②函数f（x）=2x3-3x+1有3个零点正确；由于f′（x）=6x2-3，可解得函数f（x）=2x3-3x+1在区间（-∞，-）与（，+∞）上是增函数，在（-，）是减函数，故函数存在极大值f（-）＞0，极小值f（）＜0，故函数有三个零点；③函数y=和y=|log2x|的图象的交点有且只有一个是错误的，可利用存在零点的条件f（a）f（b）＜0来解决这个问题，两函数图象的交点的横坐标就是函数f（x）=-|log2x|的零点，其中f（1）=＞0，f（2）=-＜0，f（4）=＞0，所以在直线x=1右侧，函数有两个零点．一个在（1，2）内，一个在（2，4）内，故函数f（x）=-|log2x|共有3个零点，即函数y=和y=|log2x|的图象有3个交点．④设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），且函数f（x）恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18是正确的，由函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），可得函数的图象关于x=3对称，又函数f（x）恰有6个不同的零点，此6个零点构成三组关于x=3对称的点，由中点坐标公式可得出这6个零点的和为18．故答案为②④点评：本题考查命题的真假判断及利用导数研究函数的零点，利用零点存在定理判断零点的个数，函数图象的对称性，涉及到的知识点较多，综合性强，属于基础知识与技巧训练题，解答时要严谨认真，全面掌握相关基础知识是迅速解题的保证
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A、8B、4C、2D、1