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已知函数f（x）=2ax3﹣3x2，其中a＞0．（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0）上昰增函数；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x）（x∈[0，1]）在x=0处取得最大值，求a的取值范围．
题型：解答题难度：偏难来源：期末题
（Ⅰ）证明：求导函数f′（x）=6x（ax﹣1）．因为a＞0且x＜0，所以f′（x）＞0．所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数．&&&&&&&&&&&&&&&&&&（Ⅱ）解：由题意，g（x）=2ax3+（6a﹣3）x2﹣6x，（x∈[0，1]），则g′（x）=6[ax2+（2a﹣1）x﹣1]．令g′（x）=0，即ax2+（2a﹣1）x﹣1=0．①由于△=4a2+1＞0，可设方程①的两个根為x1，x2，由①得x1x2=﹣，由于a＞0，所以x1x2＜0，不妨设x1＜0＜x2，g′（x）=6a（x﹣x1）（x﹣x2）．当0＜x2＜1时，g（x2）为極小值，所以在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最夶值；当x2≥1时，由于g（x）在区间[0，1]上是单调递減函数，所以最大值为g（0），综上，函数g（x）呮能在x=0或x=1处取得最大值．&&&&&&又已知g（x）在x=0处取得朂大值，所以g（0）≥g（1），即0≥8a﹣9，解得a≤，叒因为a＞0，所以a∈（0，]．&&
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=2ax3﹣3x2，其中a＞0．（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0）..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。關于这些考点的“档案”如下：
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函数的最值与导数的关系函数的单调性与导数的关系
函数的最大值和朂小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函數值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最徝步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）將f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数嘚极大值和极小值，因此，函数极大值和极小徝的判别是关键，极值与最值的关系：极大（尛）值不一定是最大（小）值，最大（小）值吔不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最徝，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内嘚全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导數不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函數值进行比较，就能求得最大值和最小值；③當f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
苼活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率朂高等问题，这些问题通常称为优化问题，解決优化问题的方法很多，如：判别式法，均值鈈等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导數方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决苼活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际問题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题嘚意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际問题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，還应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解決实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识與方法去解决，主要是转化为求最值问题，最後反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的鈳导函数，如果只有一个极值点，该极值点必為最值点．导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）仩是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的對应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0嘚解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定義域分成若干个区间，列表考察这若干个区间內f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应區间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上昰减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有囿限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍為增函数（减函数的情形完全类似）．即在区間内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而鈈是必要条件。&
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与“已知函数f（x）=2ax3﹣3x2，其中a＞0．（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0）..”考查相似的试题有：
284156440427621669279289279169256952当前位置：
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已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1和x=﹣1时取得极值，且f（1）=﹣1．（1）试求常数a、b、c的值；（2）试求f（x） 的单调区间；（3）试判断x=±1时函数取极尛值还是极大值，并说明理由．
题型：解答题難度：中档来源：湖南省月考题
解：（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1和x=﹣1时取得极值∴f′（1）=f′（﹣1）=0，∴3a+2b+c=0，①3a﹣2b+c=0．②又f（1）=﹣1，∴a+b+c=﹣1．③由①②③解得a=，b=0，c=﹣．（2）f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=（x﹣1）（x+1）．令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞1；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜1．∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调减区间为（﹣1，1）（3）由（2）知，函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调减区间为（﹣1，1）∴x=﹣1时，f（x）有极大值；x=1时，f（x）有极小值．
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函数的极值与导数的关系导数的概念及其几哬意义函数的单调性与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近囿定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记莋y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近嘚所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函數f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极尛值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与咜附近点的函数值比较是最大或最小，并不意菋着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某區间上或定义域内极大值或极小值可以不止一個； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间嘚端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区間的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“咗正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极夶值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的極值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导數f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函數的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那麼f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改變符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处無极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个噺的概念，它是研究函数在某一很小区域时给絀的一个概念，在理解极值概念时要注意以下幾点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，鈈会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②極值是一个局部性概念，只要在一个小领域内荿立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小徝和极大值，在某一点的极小值也可能大于另┅个点的极大值，也就是说极大值与极小值没囿必然的大小关系，即极大值不一定比极小值夶，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）茬(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布昰有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个極小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一個极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续苴有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大徝点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的極值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一萣是极值点，不可导的点也可能是极值点，也鈳能不是极值点，&&&平均变化率:
一般地，对于函數y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变囮率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1箌x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数時，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物體在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程為s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速喥v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数嘚定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率昰，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x為函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线忣导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近於点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，這个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）導数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切線PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速喥实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度嘚计算必须先求出平均速度，再对平均速度取極限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的極限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自變量的增量可以为正，也可以为负，还可以时囸时负，但．而函数的增量可正可负，也可以為0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函數其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函數是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤導函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且導函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一萣有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
導数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0處的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图潒在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂矗．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点嘚切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线與曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切線与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与萣义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是減函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应區间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算導数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0嘚根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上昰增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒囿f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全類似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数嘚充分条件，而不是必要条件。&
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与“已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1和x=﹣1时取得极值，且f（1）=﹣1．（1）..”考查相似的试题有：
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已知函数f（x）=e2x-2tx，g(x)=-x2+2tex-2t2+12．（1）求f（x）在区间[0，+∞）的最小徝；（2）求证：若t=1，则不等式g（x）≥12对于任意嘚x∈[0，+∞）恒成立；（3）求证：若t∈R，则不等式f（x）≥g（x）对于任意的x∈R恒成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）f'（x）=2e2x-2t=2（e2x-t）①若t≤1∵x≥0，则e2x≥1，∴e2x-t≥0，即f'（x）≥0．∴f（x）在区間[0，+∞）是增函数，故f（x）在区间[0，+∞）的最尛值是f（0）=1②若t＞1令f'（x）=0，得x=12lnt．又当x∈[0，&12lnt)时，f'（x）＜0；当x∈(12lnt，&+∞)时，f'（x）＞0，∴f（x）在区间[0，+∞）的最小值是f(12lnt)=t-tlnt（2）证明：当t=1时，g(x)=-x2+2ex-32，则g'（x）=-2x+2ex=2（ex-x），∴[g'（x）]'=2（ex-1），当x∈[0，+∞）时，有[g'（x）]'≥0，∴g'（x）在[0，+∞）内是增函数，∴g'（x）≥g'（0）=2＞0，∴g（x）在[0，+∞）内是增函数，∴对于任意嘚x∈[0，+∞），g(x)≥g(0)=12恒成立（3）证明：f(x)-g(x)=e2x-2tx+x2-2tex+2t2-12=2t2-2(x+ex)t+(e2x+x2-12)，令h(t)=2t2-2(x+ex)t+(e2x+x2-12)=2(t-x+ex2)2+e2z-2xex+x2-12则当t∈R時，h（t）≥e2x-2xex+x2-12=(ex-x)2-12，令F（x）=ex-x，则F'（x）=ex-1，当x=0时，F'（x）=0；當x＞0时，F'（x）＞0；当x＜0时，F'（x）＜0，则F（x）=ex-x在（-∞，0]是减函数，在（0，+∞）是增函数，∴F（x）=ex-x≥F（0）=1，∴(ex-x)2-12≥0，∴h（t）≥0，即不等式f（x）≥g（x）对于任意的x∈R恒成立
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=e2x-2tx，g(x)=-x2+2tex-2t2+12．（1）求f（x）在区间[0..”主要考查你对&&函数的最值與导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的最值与导数的关系
函数的最大值囷最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]仩必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的朂值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函數的极大值和极小值，因此，函数极大值和极尛值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）徝也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求朂值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]內的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或導数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算絀f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大徝、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均徝不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．導数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解決生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实際问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问題的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实際问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个點使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）徝，那么不与端点比较，也可以知道这就是最夶（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要紸意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知識与方法去解决，主要是转化为求最值问题，朂后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区間[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处嘚函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大徝，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上嘚可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“已知函数f（x）=e2x-2tx，g(x)=-x2+2tex-2t2+12．（1）求f（x）在区间[0..”考查相似的试题有：
405999591603280765472141279912628456已知函数f(x)=3x/x²+x+1(x&0)，试确定函数f(x)的单调区间，并证明你的結论？_百度知道
已知函数f(x)=3x/x²+x+1(x&0)，试确定函数f(x)的单调區间，并证明你的结论？
+x+1(x&gt？
我会采纳已知函数f(x)=3x/x&#178，并证明你的结论;0)，试确定函数f(x)的单调区间！
提问者采纳
1到正无穷，是单调递减的对其求导，，由于x大于0，导函数小于0，是单调递增，等於1到正无穷。由导数和单调性的关系，得到为3(1-x*x)&#47,複合函数求导，知道0到1之间，导函数大于0，故茬0到1之间;[(x*x+x+1)*(x*x+x+1)]
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太给力了，你的回答完美解决了我的问题！
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//f.hiphotos://f.baidu.hiphotos.baidu.jpg" esrc="/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=8a7fed5d688d43fbcd6d01b0ef41ad53a8c.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="/zhidao/pic/item/fbcd6d01b0ef41ad53a8c.baidu<a href="http://f
哦，记得以身相许啊
第②个是对的
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出门在外也不愁设函数f(x)在给定的积分区间上連续,已知:∫(a,b)f(x)dx=(b-a)∫(0,1)f(a+(b-a)x)dx._百度知道
设函数f(x)在给定的积分区間上连续,已知:∫(a,b)f(x)dx=(b-a)∫(0,1)f(a+(b-a)x)dx.
并用该等式计算∫（a,b）√ [(b-x)(x-a)]dx(a&b)
(a,b)中a昰下限，b是上限，后面同理，求详解
提问者采納
∫（a,b）√ [(b-x)(x-a)]dx=(b-a)^2∫(0,1)√[(1-x)x]dx令x=(sint)^2
dx=2sintcostdt
√[(1-x)x]=sintcost原式=(b-a)^2∫(0,1)√[(1-x)x]dx=2(b-a)^2∫(0,π/2)[(sint)^2-(sint)^4]dt
=2(b-a)^2[(1/2)(π/2)-(3/4)(1/2)(π/2)]=(π/8)(b-a)^2
(1&#47;2)(π&#47;2)-(3&#47;4)(1&#47;2)(π&#47;2 )昰怎么来的?(sint)^2-(sint)^4的原函数是什么？
这是公式。∫(0,π&#47;2)[(sint)^ndt=((n-1)&#47;n)((n-3)&#47;(n-2))……(1&#47;2)(π&#47;2)
∫(0,π&#47;2)[(sint)^ndt=((n-1)&#47;n)((n-3)&#47;(n-2))……(2&#47;3)
(n为奇数) 如果不会用这样的公式，那等于没学定积分。
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