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已知二次函数y=-x2+4x．（1）用配方法或公式法把该函数化为y=a（x+m）2+k（其中a、m、k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）当x满足什么条件时，函数值随着自变量的增大而减小？
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）y=-（x2-4x），=-（x2-4x+4）+4，=-（x-2）2+4，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，4）；（2）∵y=-（x-2）2+4，a＜0，对称轴为直线x=2，∴当x＞2时，函数值y随着自变量x的增大而减小．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数y=-x2+4x．（1）用配方法或公式法把该函数化为y=a（x+m）..”主要考查你对&&二次函数的定义，二次函数的图像&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的定义二次函数的图像
定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。 ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0） （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。二次函数的判定：二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向：a&0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。 二次函数图像性质：轴对称：二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点：二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。开口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图像向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素:常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数：a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与X轴无交点。当a&0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k当a&0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。
发现相似题
与“已知二次函数y=-x2+4x．（1）用配方法或公式法把该函数化为y=a（x+m）..”考查相似的试题有：
716012731605729037688178681756679348教师讲解错误
错误详细描述：
（2012泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）求该函数图象与x轴的两个交点坐标；（3）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．
【思路分析】
（1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标.将B、C坐标代入解析式，求得二次函数解析式；（2）令y=0，求得x值，从而得二次函数图象与x轴交点坐标；（3）根据y＞0，二次函数图象在x轴的上方写出的x取值范围即可．
【解析过程】
解：（1）∵边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，∴由题意可得：AB=2，BC=2，故：B（2，2），C（0，2）；将B、C坐标代入y=−x2+bx+c得：∴二次函数的解析式为（2）当y=0，则解得x1=-1，x2=3，则二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0）（3，0）；（3）不等式-x2+x+2&0的解集为：-1&x&3．
（1）（2）（-1，0）（3，0）；（3）-1&x&3．
本题考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口，本题在此类题目中比较简单．
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＞＞＞二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数值y的..
二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数值y的对应值如下表：
(1)此二次函数图象的开口方向为____，它的顶点坐标为____．(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个________．&&①-& x1&0，& x2 &2；&&②-l& x1&-，2& x2&；&&③-& x1&0，2& x2&；&&④-1& x1&-， & x2 &2．
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：(1)因为对应的点坐标都是关于直线x=1对称，并由点坐标的特征可知二次函数图象的开口向下，且顶点坐标(1，2)；&(2)由此-& x1&0．2& x2&．所以两个根x1，x2的取值范围是③。
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据魔方格专家权威分析，试题“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数值y的..”主要考查你对&&二次函数的图像&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向：a&0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。 二次函数图像性质：轴对称：二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点：二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。开口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图像向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素:常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数：a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与X轴无交点。当a&0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k当a&0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。
发现相似题
与“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数值y的..”考查相似的试题有：
83875344668914764129173916357138718