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2012电磁场与电磁波复习题
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12度电磁场与电磁波48学时考试复习
一、基本概念；；1.指出下列变量的单位：；电场强度xxxx、磁场强度xxxxx、坡印廷向量；极化强度xxxx、电通量密度xxxx、磁化强度x；能量密度xxxx、介电常数xxxxx、传播常数x；衰减常数xxxx、集肤深度xxxxx、电偶极矩x；2.解释名词：；散度、旋度、电场强度、传导电流、运流电流、位移电；子、束缚电荷、束缚电流、极化强度、磁化强度、电容；等
一、基本概念；1.指出下列变量的单位：电场强度xxxx、磁场强度xxxxx、坡印廷向量xxx、电位xxx、极化强度xxxx、电通量密度xxxx、磁化强度xxxx、电感xxx、能量密度xxxx、介电常数xxxxx、传播常数xxxx、波阻抗xx、衰减常数xxxx、集肤深度xxxxx、电偶极矩xxxx 、导纳xxx、2.解释名词：散度、旋度、电场强度、传导电流、运流电流、位移电流、电位、梯度、电偶极子、磁偶极子、束缚电荷、束缚电流、极化强度、磁化强度、电容、电感、互感、能量密度、恒定电场、等位面、漏电流、铁磁物质、磁通、平面波、均匀平面波、坡印廷向量、TEM波、波长、集肤深度、色散、线极化、圆极化、行波、驻波、反射系数、透射系数、驻波系数 TE波、TM波、理想导体、理想介质3.主要内容：电场、磁场边界条件；电场与电位的关系；真空中的电场；介质中的电场；真空中的磁场；介质中的磁场；高斯定律；安培环路定律；同轴电缆中电场磁场计算；磁通量的计算；直导线对线框的作用力；同轴线电容、漏电流、电导计算；电磁波瞬时和复振幅表示及转换；复坡印廷向量，坡印廷向量平均值；波长、相速、波阻抗计算；电磁波在导电媒质中的衰减；任意方向电磁波的表示、平面波电磁场之间的关系；入射波、反射波的计算、电磁波入射到理想介质时发生全透射、全反射的条件二、填空题：①．电场的最基本特征就是电场对xxx或xxx的xxxx都有作用力。②．在静电场中，导体内电场等于xx，导体是xxxx体，导体表面是xxxx，电力线xxx于导体表面。而在恒定电场中，导体内部可能存在xxx。 ??③．在恒定电场中有E?ds=0,它说明在均匀内部虽然有恒定电流，但没有xxsx，恒定电荷只能分布在导体xxx。④．在导电媒质中，平均磁能密度比平均电能密度xx。这正是由于σ≠0
所引起的xxx所致，因为它激发了附加xxx。⑤．当均匀平面波垂直入射到两种理想介质分界面时，入射侧的合成波一般是xxx波，只有在xxx状态下，界面无反射，合成波是xxx波。⑥．全电流包括xxxxxx、xxxxxx和xxxxxx。?⑦．当磁力线从xxxxxx进入到xxxxxx时，xxxx一侧的Bxxx于分界面。⑧．高频电磁场只能存在于导体的xxxxxx，这个现象称xxxx。电磁波场强振幅衰减到xxx 处xxx 时的深度称为xxxxxxx。⑨．介质在外电场作用下，内部的xxxxx形成xxxxx，对外呈xxxxxx，从而改变了原来的xxxxxx。⑩．当电磁波斜入射到理想介质时，只有xxxx波在xxxx时可发生全折射，而xxx波在不同介质表面上任何时候都有xxx。?．当任意极化电磁波由xxxx入射到xxxx时当入射角满足xxxxx都会发生全反射。?．TEM波的特点是xxx、xxx方向与xxx 方向相互xxxx。一、判断与选择（判断题正确时在括号内打√，错题打w，选择题直接选）（分）(1)
电场强度相同的地方电位也一定相等。
电力线与磁力线在任何情况下都相互垂直
电感的大小由流过导体的电流确定。
电场磁场在通过不同媒质界面会发生突变。
任意时变电磁场在空间都形成电磁波。
电场强度相同的地方电位不一定相等。
电容的大小由导体的电位确定。
在通电线圈旁放一铜块，对线圈的自感几乎无影响。
静电场中放入导体将改变原电场分布
）(10) 集肤深度越大，导体的导电性能越好
)(11) 静电场中若放入介质，则原电场不会发生变化。
）(12) 电位为零的导体都不带电
）(13) 全反射发生在电磁波由光疏物质入射到光密物质时
）(14) 电磁波在导电媒质中传播时，在传播方向只上传播实功率。
）(15) 电磁波在理想介质中传播时，在传播方向上只传播实功率。
）(16) 静电场中电场强度与导体表面处处垂直。
）(17) 恒定电场导体内部没有电荷没有电场
）(18) 任何频率的平面波都能在等离子体中传播。
）(19) 驻波不传播实功率，只有虚功率即电磁场能量转换，平均功率为零
）(20) 静态场中，如果边界条件确定，则空间各处的场就唯一确定。
）(21) 静电场中导体和介质都要受电场力的作用。(22) 当电位不变时，带电体受电场力作用发生位移时，电场能量会增加
）(23) 当电荷不变时，带电体受电场力作用发生位移时，电场能量回减少
）(24) 当电流不变时，通电导体受磁场力作用发生位移时，磁场能量增加
）(25) 当磁链不变时，通电导体受磁场力作用发生位移时，磁场能量减少
）(26) 用镜像法分析稳态电磁场的依据是唯一性定理
）(27) 场强大的地方电位一定高
）(28) 恒定电场中，已知在两种不同媒质的分界面上，E2 平行于分界面，那么这两种媒质是：(a) σ1=0,σ2≠0
(c)σ1≠0,σ2≠0(29)
导电媒质中，电场与磁场能量密度的分布为：(a) ?e&?m
(c) ?e=?m?（30）垂直极化分量超前平行极化分量2时，电磁波为（a）左旋圆极化
( b) 右旋圆极化
(c) 线极化(31)
静电场是散度场，若电力线汇聚于某一点，说明此点满足：(a) ?E&0
(c)?E=0(32)
恒定磁场中，当磁场由铁磁物质进入非铁磁物质时，哪一侧磁力线几乎垂直于分界面．(a) 铁磁物质一侧
（b）非铁磁物质一侧
(c) 两边都是(33)
利用微波炉加热食品时，若食品的集肤深度为δ1，容器集肤深度为δ2，则δ1与δ2的关系为：(a)δ1&&δ2
(b)δ1&&δ2
(c) δ1≈δ2(34) 静电场是散度场，若电力线从某一点发散，说明此点满足：(a) ?E&0
(c)?E=0(35) 恒定电场中，当电场由良导体进入不良导体时，哪一侧电力线几乎垂直于分界面．(a) 良导体一侧
（b）不良导体一侧
(c) 两边都是(36) 电介质对静电场的影响是(a) 加强
（c）不影响(37)
导电媒质中电场与磁场的相位关系为：(a)电场超前磁场
磁场超前电场
两者同相(38)
电力线指向(a) 电位增加方向
（b）电位减小方向
(c) 电位相等方向二．问答题：（每题
分）①．试从麦氏方程组说明空间电磁波是如何形成的？②．同轴电缆在高压被击穿时，先从何处被击穿？为什么？③．等位面上的电位处处一样，因此面上各处的电场强度也处处相同，这种说法对吗？为什么？④．当恒定电流通过电导率不同的两相邻的导电媒质时，其分界面上有无电荷分布？为什么？⑤．试问为什么电磁波在导电媒质中传播时会产生色散？⑥．任意极化的均匀平面波斜入射到两种媒质分界面时，若媒质2为理想导体，试问在媒质1中合成场有什么特点？⑦．导电媒质中磁场能量密度和电场能量密度哪个大？为什么？⑧．简答均匀平面波在理想介质中传播时有什么特点？⑨．试述均匀平面波在导电媒质中传播时，其功率、相速、及振幅有什么特点？ ⑩．恒定电场中，在下列不同情况的边界条件：（1） 电导率相差极大的两导电媒质（2） 导电媒质与理想介质的分界面（3） 两种非理想媒质的分界面试问在什么情况下，在分界面的 那一侧，电场强度线近似垂直于分界面？在什么情况下平行与分界面，为什么？11． 在时变电磁场中，判断一种媒质是否属于良导体的条件是什么？12．束缚电荷与自由电荷有何不同？13．静电场中的导体有什么特点？14．用微波炉加热食品时，能用金属作容器吗？为什么？15．在理想介质与理想导体的分界面上电场和磁场的场矢量有什么特点？16．恒定电场中，不同电导率的物质分界面上有无电荷？为什么？17．进行卫星通信时，对电磁波频率的要求是什么？为什么？18．为什么用良导体可进行电磁波的屏蔽？19．为什么用微波炉加热食品时，食品被加热了但容器却不会被烧坏？20．当电力线从良导体一侧进入到不良导体一侧时，不良导体一侧的电场如何分布？为什么?21. 当磁力线从非铁磁物质一侧进入到铁磁物质一侧时，非铁磁物质一侧的磁场如何分布，为什么？22为什么说恒定磁场是“非守恒场”？其场源具有什么性质？23在时变电磁场中，判断一种媒质是否属于良导体的条件是什么？《电磁场与电磁波》主要知识点练习指南基础练习：1、 标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律则通过场的散度和旋度来描述。2、 电磁场是分布在三维空间的矢量场，矢量分析是研究电磁场在空间分布和变化规律的基本数学工具之一。3、 为了考查物理量在空间的分布和变化规律，必须引入坐标系，在电磁理论中最常用的坐标系为直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种。4、 电磁理论中要研究电位、电场强度、磁场强度在空间分布和变化规律，引入了场的概念。5、 不同坐标系分别适用于不同形状的场量分析，其位置矢量方程的拉梅系数不同。6、 场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理状态作为空间和时间的函数来描述。7、 方向导数的定义与坐标系无关；但方向导数的具体计算公式与坐标系有关。8、 标量场的梯度是一个矢量；它的方向是沿场量变化率最大的方向，大小等于最大变化率。9、矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量，为了研究矢量场在一个点附近的通量特性引入了矢量场的散度。10、标量场的等值面只描述了场量的空间分布状况，方向导数和梯度则描述了场中任一点的邻域内沿各个方向的变化规律。概念练习：1、如果矢量场中有产生矢量场的源，且该源既不发出矢量线也不汇集矢量线，则称该源为漩涡源2、只有在F连续的区域内，讨论散度?F和旋度×F有意义，因为都包含着对空间坐标的导数3、矢量场F在点M处的旋度，就是在该点漩涡源的密度4、散度div F 描述了点M处通量源的密度，若该点有发出矢量线的正通量源则div F＞ 05、矢量场F在点M处的旋度是一个矢量，记作rot F 它的方向取环流面密度最大值的面元法线方向。6、一个矢量场F的散度处处为零，则称该矢量场为无散场，由漩涡源产生，例如恒磁场7、一个矢量场F的旋度处处为零，则称该矢量场为无旋场，由散度源产生，例如静电场8、矢量场F沿场中的一条闭合路径C的曲线积分∮C F?dl是矢量场F沿闭合路径C的闭合线积分9、由散度定理（或高斯定理）可知：∫V ?F dV =∮S F?dS描述的是矢量F散度的体积分等于该矢量的闭合曲面积分10、由斯托克斯定理可知：∫S ×F?dS =∮C F?dl表明矢量场F的旋度×F在曲面S上的面积分等于该矢量在限定曲面的闭合曲线C上的线积分；
判断练习：1、电荷是守恒的，既不能被创造，也不能被消灭，只能伴随物体存在与消亡。（
）2、任何电荷都在自己周围空间产生电场，电场对于处在其中的任何其它电荷都有作用力。（
）3、任何带电体的电荷量，都只能是一个基本电荷量的整数倍，所以电流是以离散方式传输的。（
）4、在研究宏观电磁现象时，带电体上存在大量微观带电粒子的总体效应，可用电荷密度来描述。（
）5、为描述宏观电磁现象提出的两个假说是：有旋电场假说和位移电流假说。（
）6、库仑定律是关于两个点电荷之间作用力的定性描述，所以不能作为点电荷的分析基础基础。（
）7、磁通连续性原理表明，磁感应线是无头无尾的闭合曲线，自然界可以有孤立磁荷存在。（
）8、亥姆霍兹定理指出：任一矢量场都可由它的散度、旋度、边界条件唯一的确定。（
）9、高斯定理是静电场的基本定理，表明空间任一点电场强度的散度与该处的电荷密度无关。（
）10、电磁学三大实验定律的提出，标志着人类对宏观电磁现象的认识从定性阶段飞跃到定量阶段。（
）计算练习（第一章）1、已知三角形三个顶点为P1(0,1,-2)、P2(4,1,-3)、P3(6,2,5)，（1）判定三角形P1P2P3是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。2、 给定两矢量A=ex2+ey3-ez4, B=-ex6-ey4+ez ,求A×B在C=ex-ey+ez 上的分量。3、在直角坐标系中，矢量A=exAx+eyAy+ezAz , B= exBx+eyBy+ezBz ，写出两矢量运算表达式。 计算（1）两个矢量的和A+B；（2）两个矢量的点积A?B；（2）两个矢量的叉积A×B。4、在圆柱坐标中，一点的位置P（ρ,Φ,z）=（4, 2π/3.,3）定出，求该点在直角坐标系中的坐标。已知转换表达式为：x =ρcosΦ ,
y =ρsinΦ ,
z = z名词解释练习：1、电偶极子。2、轨道磁矩。3、传导电流。4、理想介质。5、色散现象。6、电荷中心。7、分子磁矩。8、位移电流。9、边界条件。10、部分电容。简答练习：1、 什么是波动方程？它说明了什么？波动方程的解是什么？2、导行电磁波有哪几种？各有什么特点？3、均匀平面波在导电媒质中的传播有什么特点是怎样的？4、矩形波导中有哪些传输特点？5、什么是趋肤效应？电磁波能在海水中传播吗？6、坡印廷定理主要说明什么问题？应用了哪些知识？7、电磁场的“唯一性定理”说明了什么？有唯一解的条件是什么？8、理想介质中均匀平面波的E和H的传播有什么特点？9、什么是电磁波的极化？有哪些极化类型？10、良导体中的均匀平面波传播特性 包含各类专业文献、中学教育、高等教育、文学作品欣赏、生活休闲娱乐、专业论文、应用写作文书、行业资料、外语学习资料、各类资格考试、12度电磁场与电磁波48学时考试复习等内容。　
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NJUTLogoNJUTLogo静电场的典型应用静电放电NJUT静电感应第3章 第 章 静电场分析3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 真空中静电场的基本方程 电位函数 泊松方程与拉普拉斯方程 唯一性定理 电介质中的高斯定律 边界条件 3.8南京工业大学通信工程系静电屏蔽 电场力的应用 静电场的危害3.6 电容 3.7 电场的能量 恒定电场的基本方程 边值问题 1 小 结南京工业大学通信工程系2NJUTLogoNJUTLogo静电放电高压输电线附近的电晕高电压测量——球隙南京工业大学通信工程系3南京工业大学通信工程系4NJUTLogoNJUTLogo静电感应电容式传感器静电屏蔽实验室的屏蔽墙通信电缆及光缆的铠 装南京工业大学通信工程系 5 南京工业大学通信工程系 61NJUTLogoNJUTLogo电场力的应用显像管3.1 真空中静电场的基本方程一、基本变量1、电荷分布—— 2、电场强度ρ r）σ r）ρ（r） （ ;（ ; l电场符合矢量叠加原理E =1 4πε 0回旋加速器∫dq e R2 Rρ( r ′ )d V ′ σ(r′) ′ ds ρl(r′) ′ dl静电复印机南京工业大学通信工程系3、电位移矢量（ Displacement） 电介质在外电场作用下，体系中电荷的微小位移所引起。 D线从正的自由电荷发出 终止于负的自由电荷。 在各向同性介质中 D = ε 0 E + P = ε 0 E + χe ε 0 E = ε r ε 0 E = ε E7 南京工业大学通信工程系 88NJUTLogoNJUTLogo二、真空中的高斯定律1. 静电场的散度———高斯定律的微分形式 体电荷产生的电场E (r ) = 1 4 πε 0三、静电场环路定律1. 静电场旋度R ρ ( r ') d τ ' R3∫τ'?×E = 02. 静电场的环路定律静电场是一个无旋场。对上式等号两端取散度 利用奇异函数的特性 2. 高斯定律的积分形式? ? E (r ) = ρ (r )ε0∫E ?dll=0∫τ ? ? E d τ=1ε0∫τ ρ d τ静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。散度定理∫τ? ? Edτ = ∫ E ? dS = ε ∑ qS 0 i =11n电场力作功与路径无关,静电场是保守场i无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。∫ D ? dSS=∑ni =1qi电荷是场的散度源（通量源）9 南京工业大学通信工程系 10南京工业大学通信工程系NJUTLogo?? × E = 0 ? ? ?? ? D = ρ ? D0 = ε 0 ENJUTLogo四、静电场的基本方程3.2 电位函数 一 . 电位函数1、∴ E =静电场的物理特性: 1）场源：电荷（散度源），旋度为零（保守场），可定义势能。 2）电力线：非环，始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，终 于负电荷或带负电荷的导体或无穷远。 为什么说它们是静电场的基本方程？ 方程的两种形式之间存在什么联系、有何差异？ 它们在应用方面有何不同？电位的引出? ??1）矢量运算变标量运算。 2）静电场电位是单位正电荷的势能。 3）电位比电场易测量。? (r ) =q +C 4πε 0 R∵ ? × E = 0,2、已知电荷分布，求电位： 2 已知电荷分布 求电位： 以点电荷为例推导电位： 1 N qi 点电荷群 ? (r ) = ∑ +C 4πε 0 i=1 R 连续分布电荷 ? (r ) =? (r ) = ? (r ) = ? (r ) =1 ρ dτ ′ 4πε 0 τ∫′ R 1 σ dS ′ ∫ 4πε 0 S ′ R 1 4πε 0dq +C 4πε 0 ∫v ' R1ρ dV ′ , σ dS ′ ,τ dl ′南京工业大学通信工程系 1111∫l′ρl dl ′R南京工业大学通信工程系122NJUT3、E与 4、? 的微分关系 E与 ? 的积分关系LogoE = ?? ?沿着电位减少最快的方向NJUTLogoE× dl = 0等位线(面)方程二、电力线与等位线（面）?( x, y,z ) = CE ? d l = ?? ? ? d l?? ?? ?? dx + dy + dz ] = ?d? ?x ?y ?z P0 P0 ? ( P ) ? ? ( P0 ) = ? ∫ d ? = ∫ E ? d l = ?[P P电力线微分方程 ? E线不能相交;? E线起始于正电荷，终止于负电荷; ? E线愈密处 场强愈大 线愈密处，场强愈大; ? E线与等位线（面）正交；设P0为参考点 5、 电位参考点的选择原则?( ) = (P)∫P0PE ?dl? 场中任意两点的电位差与参考点无关。 ? 同一个物理问题，只能选取一个参考点。 ? 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且有意义 ? 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点； ? 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。南京工业大学通信工程系 13电势与电场、等位面与电力线南京工业大学通信工程系14NJUTLogo 在球坐标系中： ? p1 1 ( ? ) = 4 πε 0 R r1NJUTLogoqR = (r 2 + d 2 ? 2rd cos θ ) 2例3.2 求电荷面密度为σ，半径为R， 均匀带电圆盘轴线上的电场强度。 解：采用柱坐标。在园盘上取半径为r宽为dr的园环， 其元电荷dq(=σ2πrdr)在轴线上P电所产生的电位d? = = dq 4πε 0 r 2 + z 2r && d等位线方程（球坐标系）p cos θ = C ， r = C ' cos θ 4πε 0 r 21 1 d cos θ = + R r r2电力线微分方程 E = E r θ 解得Ｅ线方程为r = D sin 2 θdrrd θp ? er qd cos θ = 4π ε 0 r 2 4π ε 0 r 2 ?q ? l cos θ ? ?? E p = ?? ? E = ? 4πε 0 ? r 2 ? q (2 cos θ e r + sin θ eθ ) = 4πε 0 r 3σ rdr2ε 0 r 2 + z 2?p=?=∫σrdr σ = [ R 2 + z 2 ? z] 2ε r ε 0 r 2 + z 2 2ε r ε 0 0 ?? σ z σ [1 ? ]ez R → ∞ E = ??? = ? ez = ez ?z 2ε rε 0 2ε rε 0 R2 + z 2R南京工业大学通信工程系15南京工业大学通信工程系16NJUTLogoρ ε0 如果场中无电荷分布? 2? = ? ??? = ?3.3 泊松方程与拉普拉斯方程Logo 练习：求带电Q的导体球（半径为a）产生的电势 1、参考点的选择；2、对称性NJUT? 2? = 0?? ?? A = =? 2 ?n ?r r(r & a )?=? ? = 0 拉普拉斯方程 例3.4.1 半径为a的带电导体球，球体电位U（无限远＝0）， 求空间的电位函数及电场。 求空间的电位 数 电场2r → ∞, ? → 0A +B r( r & 0)B≡0?? Q = ? ∫ ε0 ?rA ?= r总结r = r0dS = ε 0 ∫ε A4π r 2 A dS = 0 2 0 r0 2 r0对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数）， 对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解 利用边界条件求得积分常数，得到电位的解 由 E = ??? 得到E17∴A=Q 4πε 0?= ?表面Q (r & a) 4πε 0 r Q = ?内 = (r ≤ a ) 4πε 0 a18南京工业大学通信工程系南京工业大学通信工程系3NJUTLogoNJUTLogo3.4 唯一性定理在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的重要意义可判断静电场问题的解的正确性：例：图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？已知 边 界 上的 电位 函 数 ，求 场中 的 电 位分 布 （第一类边值问题）? S = f1 ( S ) 中电位分布（第二类） 已知边界上的电位法向导数，求导体电位和场 ?? 已知某一部分边界电位和另一部分边界电位法 向导数，求场的分布（混合）。(α? + β ?? ) = f3 ( S )?nS?n= f2 (S )SU0 2 x d U B、? 2 = 0 x + U 0 d U C、 ? 3 = ? 0 x + U 0 d 正确答案：C A、? 1 =南京工业大学通信工程系 2020南京工业大学通信工程系19NJUTLogoNJUTLogo 图 导电微晶静电场描绘仪? 唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特 性，又是物理实在，则这种电荷分布就是唯一可能的分布。移动同步探针在导电微晶 上找出若干电位相同的点， 由此便可描绘出等位线。 图中是根据导体内场强处处为零判断存在两 种实在的电荷分布的迭加就是唯一的分布电像法——解静电问题的一种特殊方法南京工业大学通信工程系 2121(1) 稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几 何形状相同。 (2) 稳恒电流场中的导电介质是不良导体且电导率分布均匀。 (3) 模拟所用电极系统与被模拟电极系统的边界条件相同。南京工业大学通信工程系 2222NJUTLogoNJUTLogo3.5 电介质中的高斯定律 边界条件1. ? ? ? 静电场中导体的性质 导体内电场强度E为零，静电平衡； 导体是等位体，导体表面为等位面； 电场强度垂直于导体表面；ε0? 电荷分布在导体表面，且 E = σ静电平衡的过程静电屏蔽? 接地导体都不带电。（ ） ? 一导体的电位为零，则该导体不带电。 （ ） ? 任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。（南京工业大学通信工程系 23）南京工业大学通信工程系 24244NJUTLogoNJUTLogo2. 静电场中的电介质应用： 微波加热 常见现象： 高压线附近电晕微波炉加热原理无极性分子? ? ?有极性分子电介质在E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。P =lim∑pC/m2ΔV → 0ΔV电偶极矩体密度25 南京工业大学通信工程系 2626南京工业大学通信工程系NJUTLogo式中NJUTLogo1 p ? eR qd cos θ ? = 一个电偶极子产生的电位： = 4πε 0 R 2 4πε 0 R 2p = qdezP(r′) ? R dV ' R3讨论与引申? 电荷守恒根据叠加原理，体积V内电偶极子 产生的电位为： ? =∵1 1 eR = ? '( ) = ? ? ( ) R2 R R1 4πε 0∫V'∫V'? ? ? P dV '+ ∫ P ? e n dS ' ≡ 0S'∴?1矢量恒等式： ? ′ ? ( u A )?=1 ?= P(r ') ?? '( )dV ' 4πε 0 ∫V ' R1? 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 ? 有电介质存在的场域中，任一点有? (r ) =1 ? (ρ f + ρ p ) dV ' + ? 4πε 0 ? ∫V ' R1 ? (ρ f + ρ p )R dV ' + ? 4πε 0 ? ∫V ' R3 ?ρp = 0= u ? ′ ? A + A ? ? ′u ? ′ ? P ( r ') 1 P ( r ') ?? dV '+ dV ' R R 4πε 0 ∫V ' 4πε 0 ∫V '散度定理= ?1 4πε 0∫∫(σ f + σ p )S'R? dS ' ? ?∫V'1 ? ? P (r ′) dV '+ 4πε 0 R∫S'P (r ′) ? en dS ' R∴ ? (r ) =1 4 πε 0∫ρ p (r ' )RV'dV '+1 4 πε 0∫σ p (r ' )RS'dS '极化电荷体密度 极化电荷面密度27E (r ) =(σ f + σ p ) RS'R3? dS '? ? ?28南京工业大学通信工程系南京工业大学通信工程系NJUTLogo电荷为 dQ = qnl ? ds = p ? dsNJUTLogo通过ds 面跑出去的正电荷数目为 nds ? l 于是通过任一封闭曲面跑出去的总电荷为 Q = ∫∫ P ? ds 由电荷守恒，V内净余的负电荷 Q p = ?Q = ? ∫∫ P ? dsSS通过薄层进入介质2的正电荷为 P ? ds， 2 由介质1通过薄层下侧面进入薄层的正电荷为 P ? ds 1 因此薄层出现的净余电荷为dQ p = ?( P2 ? P ) ? ds 1Q p = ∫ ρ p dτ = ? ∫∫ P ? d = ? ∫ ? ? Pdτ dsVVσ 以pds+qθ为极化电荷面密度，则有S? σ p ds = ?( P2 ? P1 ) ? ds = ?( P2 ? P1 ) ? n ds+qρ p = ?? ? P极化电荷体密度设介质分子密度为n l -q +q -q -q? 得到 σ p = ?n ? ( P2 ? P ) 1若介质2为真空 介质2 介质1ds? nP2极化时正负电荷拉开的位移为 l29? ? σ p = ?n ? (0 ? P ) = n ? P 1 1南京工业大学通信工程系P 130Δh南京工业大学通信工程系5NJUTLogoρ p = ?? ? PNJUTLogo3. 电介质中的高斯定律a）高斯定律的微分形式 ρ 真空中 ? ? E = fε0E'电介质中? ?E =ρf+ ρpε0?? E =1ε0( ρ f ? ?? P)D = ε 0E + P? ? (ε 0 E + P ) = ρ f定义电位移矢量 则有?? D = ρD线? ? ?E线P线电介质中高斯定律的微分形式D 线由正自由电荷发出，终止于负自由电荷； E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上； P 线由负极化电荷发出，终止于正极化电荷。南京工业大学通信工程系? ?D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷在各向同性介质中 相对介电常数 介电常数31D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ eε 0 E = ε 0 (1 + χ e )E = ε r ε 0 E = εE南京工业大学通信工程系32NJUTLogoNJUTLogo2） 高斯定律的积分形式电场强度在电介质内部是增加了， 还是减少了？ U0??D = ρ∫V? ? DdV =∫Vρ dV散度定理Q+++++++UC0-------ε r + -+ -+ -+ -+ -+ -+ C ?QQ∫SD ? dS = ∑ q?QD 通量只取决于高斯面内的自由电荷南京工业大学通信工程系3333南京工业大学通信工程系34NJUTLogoNJUT4. 高斯定律的应用高斯定律适用于任何情况， 但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。 计算技巧： a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。S⊥ b）选择适当的闭合面作为高斯面，使其容易积分。 S //例：求电荷线密度为?τ 的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点：Logo? D 线皆垂直于导线，呈辐射状态； ? 等 r 处D 值相等；取长为L，半径为 r 的封闭圆柱面为高斯面 半径为 的封闭圆柱面为高斯面。c) 写出 S ⊥ 上的电通量。设 SΦ e = EΔS⊥的面积为 ΔS ，场强为E，则 平面对称Φ e = ESE=球对称柱对称Φ e = 4πr 2 EΦ e = 2πrlE∫ D? dS =∫ D ? dS + ∫S S1 1 1S2D2 ? dS2 + ∫ D3 ? dS3 = τLS3d) 计算S内的总电量南京工业大学通信工程系∑q∑qSn内D 1 ? 2 π rL = τ LD1 =3535S n内εΔS南京工业大学通信工程系τ er 2π rE1 =D1ε0=τ2π ε 0 rer366NJUTLogoNJUTLogo例 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。球外充满 均匀各向同性的介电体，相对电容率为 ε r 解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 作同心且半径为r的高斯面. 在高斯面上取面元 dS 在该面元处，D于dS 有相同的方向由高斯定理，通过此高斯面的电通量为例 均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密度为ρ,球 内外的电容率均为 ε 。 解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 作同心且半径为r 的高斯面 q 2 ∫∫ D ? dS = D ? 4π r = ∑q D = ∑ 2S∫S4π r 2 r&R时，高斯面无电荷， ∑ q = 0 D D = 0， E ＝ = 0 ε 0ε r r&R时，高斯面包围电荷q， q D q ， E＝ = D = 4π r 2 ε 0ε r 4ε 0ε rπ r 2南京工业大学通信工程系q D =∑D ? dS = D ∫ dS = D4π r ＝∑ q2 S+ + + + +R+ +dSD4π r+ + + + +3 a.r&R时，高斯面内电荷 ∑q = ∫ ρd V = ρ ? π rD =ρr3E=Drε=ρ3ε4 3rRrb.r&R时，高斯面内电荷D =qρR3r23+ρ R3 1 E= = ε 3ε r 2D∑q = ρ ? 3π R43ρ3ε03+ ++r err&R均匀带电球体的电场分布南京工业大学通信工程系E=均匀带电球壳的场强分布 37ρR 1 er r & R 3ε 0 r 238NJUTLogoNJUTLogo以点P 作为观察点，作一小矩形 回路 Δ L → 0二、静电场的边值问题1、 电位移矢量D的衔接条件 以分界面上点P作为观察点，作一 小扁圆柱高斯面 Δ L → 0 则有2、电场强度E的衔接条件∫ E ?dl = 0l? D1 n Δ S + D 2 n Δ S = σ Δ SD2 n ? D1n = σ分界面两侧的 D 的法向分量不连续。 当 σ = 0 时，D 的法向分量连续。南京工业大学通信工程系 3939E 2 t Δ l1 ? E 1 t Δ l1 = 0分界面两侧 E 的切向分量连续。南京工业大学通信工程系E2 t = E1t4040NJUTLogoNJUTLogo在交界面上不存在 折射定律。3、用电位函数? 表示分界面上的衔接条件 其间距为d，d →02σ 时，E、D满足? 1 ? ? 2 = lim1→ 2∫1E ?dl = 0?1 = ?2D1n = D2 n → ε 1 E1 cos α1 = ε 2 E2 cos α 2表明:在介质分界面上，电位是连续的。??1 ∵ D1 n = ε 1 E 1n = ? ε 1 ?n ?? 2 D 2n = ε 2 E 2n = ?ε 2 ?n南京工业大学通信工程系E1t = E2t → E1 sin α1 = E2 sin α 2tan α 1 ε 1 = tan α 2 ε 2南京工业大学通信工程系∴ε1??1 ?? 2 ? ε2 =σ ?n ?n41折射定律42表明: 一般情况下,电位的导数不连续7NJUTLogoNJUTLogo讨论与引申?D2 n ? D1n = σ ? ? E1t = E2t导体与电介质分界面 表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直， 电场仅有法向分量； （2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 σ 。4、边值问题求解的一般过程：?D2 n = σ E2t = 01）选取坐标系： 尽量要坐标面与等位面重合或平行。 2）写出方程的通解，如果有几种媒质，要分区写出通解。3）根据边界条件确定通解中的积分常数，给出特解。4）如果求解区域至无穷远，无穷远也是边界之一。南京工业大学通信工程系43南京工业大学通信工程系4444NJUT例：如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 d 1 , d 2 , S1 , S 2 ,ε 1 和 ε 2 ,图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板上总 电荷 q0 ,试分别求其中的电场强度。Q0 -Q0LogoNJUTLogo例已知同轴线的内导体半径为a，电压为U，外导体接地，其 解U a O内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。 选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标 r 有? 2? = 1 d ? d? ? ?=0 ?r r dr ? dr ?关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程变为b解：忽略边缘效应ε1 ε2 d1 d2S1 S2ε1 ε2∵ε 1 E1 = ε 2 E2E1d1 + E2d2 = U0求得 利用边界条件： ? = U r =a 求得 C1 ln a + C2 = U? = C1 l r + C 2 lnC1 = U ?a? ln ? ? ?b? C2 = ? U ln b ?a? ln ? ? ?b?U0(a)(b)ε 2U 0 E1 = e ε 1d 2 + ε 2 d1 xE2 =∵E1 = E 2 =σ 1 S 1 + σ 2 S 2 = q0? = 0 r=bC1 ln b + C2 = 0? = ?U ln? ?? ln? ? ? b ?? ?b? ?? ? r ?? ?a?ε 1U 0 e ε 1 d 2 + ε 2 d1 x∴1 σε1σ1 σ2 = ε1 ε2最后求得ex =南京工业大学通信工程系ε 1 S1 + ε 2 S 245q0ex南京工业大学通信工程系e U ? ?? ? E = ??? = er ? ? ? = ? r r ?a? ? ?r ? ln ? ? ?b?46NJUTLogoNJUTLogoQ3.6电容Q C= UE? d lF( 法拉）， f , pf μ☆平板电容器的电容σ σ σ E = E1 + E 2 = 0 + 0 = 0 2ε 2ε ε= Qσ0+ +A++ +电容的计算思路：? Q ? ?C = 微分方程 U → 设 U ???? ? → E → σ → Q ? ? ∫ → 设 Q → E ??? UE-Q ε Sd解：设内导体的电荷为q,则D= q er , 4π r 2U =∫E ? dl =∫E dl =E d∫SD ? dS = q ,E= q 4πε 0 rb a2=erQd εSC=球形电容器导体间的电压 电容器的电容 当b→ ∞U = ∫ Edr =时C = 4 πε 0 aq 1 1 q b?a ( ? )= ? 4πε 0 a b 4πε 0 ab q 4 πε 0 ab C = = U b?a∫ E ? dS = σΔS = EΔ S ?高 斯 定 理? ?? → ε∫E en ? dS?E =σ ?? e n＝ － ε ?n（孤立导体球的电容）47导体表面场强方向与表面垂直，大小与该处电荷的面密度成正比南京工业大学通信工程系南京工业大学通信工程系---例:试求球形电容器的电容。ε SB?σ0enEΔS488NJUTLogoNJUTLogo作业 两根平行的无限长直导线构成一个电容器，求单位长度的 电容。假设导线的半径a远小于两导线的轴线之间的距离d，且当 两导线分别带上等量异号电荷时均匀地分布在表面上。E左 = E右 =2πε 0 x 2πε（ d- x ) 0ρlρl轴线上E = E左 + E右 =ρl 1 1 ( + ) 2πε 0 x d-xπε 0a两导线间的电势差为 U = ∫ d ? a Edx = ρl ln d ? a ≈ ρl ln d aπε 0a单位长度的电容为南京工业大学通信工程系πε Q ρ C= = l = 0 U U ln d a49南京工业大学通信工程系5050NJUTLogoNJUTLogo3.7 电场的能量★ 电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。 ★ 设系统完全建立时，最终的电荷分布为 ρ ，电位为 ? 。 ★ 设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子 α 增 加，则各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布 为 αρ 时，其电位分布为 α? 。α 的变化为 0 ? 1 。 , ★ 对某 体积元 dτ ，α 变为 α + dα 时（此时电位为 α? 电荷 对某一体积元 增加 dq = d (αρ ) dτ ）外界提供的能量 dWe = (α? ) d (αρ ) dτ ★ 整个充电过程外界对整个系统提供的总能量1 ρ? dτ 2∫ τ 0τ 1 1 ★ 用场变量表示该能量为 We = 2 ∫ E ? Ddτ = ∫ 2 ε E2dτ ★ 单位体积的能量，称为能量密度 we = 1 E ? D = 1 ε E2 2 2 南京工业大学通信工程系 We = ∫∫ αρ?dαdτ =13.8 恒定电场的基本方程边值问题◇ 恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。 ◇ 恒定电场中的二个基本变量为电流密度 J ( r ) 和电场强度 E ( r ) 。 ◇ 描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即∫ J ? dS = 0 或 ?? J = 0 s ◇ 电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具 有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为 ∫ E ? dl = 0 或 ?× E = 0l◇ 实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即J = γE◇ γ 称为导电媒质的电导率。5151南京工业大学通信工程系5252NJUTLogoE = ??? ? ? 2 J = γE ? ? ? = 0 ? ? ?? J = 0NJUT恒定电场的电位 由例3.10.1同轴线内外导体半径分别为a和b，填充介质 γ ≠ 0Logo外加电压U，求漏电介质内的 ?、E、J 和单位长度上的漏电电导 解：假定内外导体是理想导体 1 d d? (r ) = 0 a≤r ≤b ?2? (r) =r dr dr恒定电场的边界条件n ? J1 ? J2 = 0 或 J1n = J 2n ? tanθ γ 1 = 1 ? ? tanθ2 γ 2 n× E ? E = 0 或 E = E1 2 1t 2t( () )通解 ?(r) = Aln r + B 场域边界条件 ? |nr =aa ≤ r ≤br=b= U, ? |=0d? U = er dr r ln b若用电位表示?? ? ??1 = γ2 2 ?γ 1 ?n ? ?n ??1 = ?2 ?θ1J1γ1 γ2? (r ) =U ln b aln brE ( r ) = ?? ? = ? eraJ = γ E (r ) = γU r ln b aerJ2南京工业大学通信工程系θ2I 2π rJ 2πγ G0 = 0 = = U U ln b a5453南京工业大学通信工程系9NJUTLogof = qENJUTLogo设(n+1)个导体组成的系统,只有P号导体 发生位移 dg ，此时系统中带电体的电压或电 荷将发生变化，其功能关系为 dW = dWe + fdg = ∑ ? k dq k外源提供能量 = 静电能量增量 + 电场力所作功静电力 1. 由电场强度E的定义求静电力，即df = Edqf = ∫ Edq2.虚位移法 ( Virtual Displacement Method ) 虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。?广义坐标：距离、面积、体积、角度。 ?广义力：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。 二者关系： 广义坐标 广义力 （单位） 广义力×广义坐标=功 距 离 面 积 体 积 角 度机械力 （N）表面张力 （N/m）压强 （N/m2）转矩 N?m55南京工业大学通信工程系外源提供能量的增量 dW = ∑ ? k dq k 1 d gWe = ∑ ? k dqk 静电能量的增量 ? fdg = dWe 2 1 ∑ ? k dqk = 2 ∑ ? k dqk + fdg ?W f = ? e qk =cunst . ?g 外源提供的能量有一半用于静电能量的 它表示取消外源后，电场力做功必 增量，另一半用于电场力做功。 ?W f = + e ? k =cunst . 须靠减少电场中静电能量来实现。 ?g0 = dWe + fdg南京工业大学通信工程系 56图 多导体系统 常电荷系统（ 常电荷系统 K打开）：常电位系统（K合上）：NJUTLogoNJUTLogo1 q2 ? 2 C? 两个公式所求得的广义力是代数量 。还需根据“±”号判断其方向。 ? 上述两个公式所得结果是相等的f =? ?We ?gq k = const例 图示一球形薄膜带电表面，半径为a，其上带电荷为q，试求薄 膜单位面积所受的电场力。 解：=+例3.9.3 试求图示平行板电容器的电场力。 解法一：常电位系统We = 1 CU 2 2?We ?gWe =C = 4πε 0 a? k = constC=ε 0sd图3.9.6 球形薄膜?We ?We f =? =? 4 ?V ? ( πa 3 ) 3 2 ? q 1 =? ( ? ) 2 4πa ?a 2 4πε 0 a?We f =+ ?g? k = const图3.9.5 平行板电容器 1 q2 解法二：常电荷系统 We = ?2 CC=2ε 0sd2U 2 ?C U 2ε S = ? = ? 20 & 0 2 ?d d=q2 32π 2ε 0 a 4&0a 表示广义力 f 的方向是广义坐标 增大的方向，即为膨胀力。单位面积上的力：?We f =? ?gq k = const=?? ?q ? U ε0 S q ?C =? ? &0 ? ? ? = ?g ? 2C ? 2C 2 ?d 2 d22f' =(57可见，两种方法计算结果相同，电场力有使d减小的趋势，即电容增大的趋势。南京工业大学通信工程系q 2 1 1 1 = σ E = D?E ) ? 4π a 2 2ε 0 2 2（N/m2）58南京工业大学通信工程系NJUTLogoNJUTLogo 表 两种场所满足的基本方程 和重要关系式例 试求图示 (a)、(b)平行板电容器中，两种介质分界面上每单位面积 所受到的力。静电场( ρ = 0)导电媒质中恒定电场（电源外）图3.9.9 平行板电容器f a = f1 ? f 2 =D 1 1 ( ? ) 2 ε1 ε 22fb = f 4 ? f3 =E (ε 2 ? ε1 ) 22? × E = 0 → E = ?? ? ?? ? D=0 D = εE? × E = 0 → E = ?? ? ?? ? J=0?2? = 0E1t = E2t结论 ： ε ε 媒质分界面受力的方向总是由 值较大的媒质指向 值较小的媒质。 气泡向哪个方向移动？ 答：气泡向E小的方向移动。南京工业大学通信工程系 59J =γE ? 2? = 0I =E1t = E2tq = ?D = ∫ D ? dSSD1n = D2n∫SJ ?dSJ1n = J 2n南京工业大学通信工程系606010NJUTLogoNJUTLogo知识脉络静电场恒定电场静电场中的电介质 介质的极化 极化强度 极化电荷静电场的基本方程 电位静电场中的导体 电容 静电场的能量恒定电场的基本方程 恒定电场的边界条件 电位电阻 静电比拟静电场的边界条件电位的边界条件电位差电位的微分方程电位的边界条件电位差电位的微分方程惟一性定理南京工业大学通信工程系61南京工业大学通信工程系62NJUTLogoNJUTLogo小 结一、均匀介质中的电场及电位3）点电荷? (r ) =q +C 4πε 0 R1) 点电荷产生的电场强度E p (r ) = q q 1 eR = ? ?( ) R 4πε 0 R 2 4πε 0dq = ρ ( r ' ) dV '4）连续分布电荷? (r ) =1 dq d +C 4πε 0 ∫v ' R2)连续分布电荷产生的电场强度 体电荷分布1 1 ρ (r ′) R ?1? E=? ∫ ρ (r ′)?? R ?dτ ′ = 4πε 0 ∫ R3 dτ ′ 4πε 0 τ ? ? τ面电荷分布 线电荷分布 南京工业大学通信工程系E (r ) =1 4π ε 0σ (r ' )d s ' ∫s ' R 2 e RE (r ) =1 4π ε0∫τ ( r ') d l 'l'R2edq : ρ dV , σ dS , τ dl63? (r ) = ? (r ) = ? (r ) =1 4πε r ε 0∫ τ ∫lρdτRσdS 1 4πε r ε 0 ∫ R S1 4πε r ε 0ρ l dlR646463R南京工业大学通信工程系NJUTLogo? ?? × E = 0 ? ?? ? D = ρ ? D0 = ε 0 ENJUTLogo二、真空中静电场的基本方程五、边值问题D2 n ? D1n = σE2 t = E1tε1三、泊松方程、拉普拉斯方程? 2? = ???1 ?? 2 ?ε2 =σ ?n ?n四、极化强度σ p = P ? enD = ε 0E + Pρ ε0? 2? = 0?1 = ?2? Q ? ?C = U → 设 U ???? ? → E → σ → Q ? ? ∫ → Q → E ??? UE? d l 微分方程ρ p = ?? ? P ???D = ρ六、电容 设 电容的计算思路： 七、电场的能量? 有电介质存在的场域中，任一点有 1 ? (ρ f + ρ p ) dV ' + ? (r ) = ? 4πε 0 ? ∫V ' r ? r '1 ? ( ρ f + ρ p )( r ? r ') E (r ) = dV ' + ? 3 4πε 0 ? ∫V ' r ?r' ?∫∫S'(σ f + σ p )S'r?r'r ?r'3? dS ' ? ?1 1 we = E ? D = ε E2 2 2(σ f + σ p )( r ? r ')? dS '? ? ?6565南京工业大学通信工程系南京工业大学通信工程系6611NJUTLogo八、恒定电场? 1、在导电媒质外部电介质里的电场： ? × E = 02、在导电媒质里的电场： 1）电流密度满足J = γE?ρ =0 ?t ??J = ?? ? ?? ? D = 0 ? ? D = εE ?2）电场是无旋场 ? × E = 0 3）在导电媒质里的电场?n × ( E1 ? E2 ) = 0 ? ? ? n ? ( J1 ? J 2 ) = 0 ?南京工业大学通信工程系? E1t = E2t ? ? J1n = J 2 n?? × E = 0 ? ? ?? ? J = 0 ? ? J = γE ? ??1 = ? 2 ? ? ? ?1 ?? 2 = γ2 ?γ 1? ?n ?n676712
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