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九、图形的相似－复习
所属科目：数学&&&&文件类型：doc
类别：教案/同步练习
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文档内容预览：&&九、图形的相似朱明芬& 常熟市孝友中学【近四年江苏省十三大市中考图形的相似的分值与比率】(仅供参考)2006年2007年2008年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市108．33108．3321．67苏州市86．4075．601713．08无锡市86．1564．6286．15常州市32．5043．3321．67镇江市32．5054．1732．50扬州市32．0064．0021．33泰州市42．6753．3385．33南通市75．3832．0085．33盐城市64．0085．3364．00淮安市96．9232．00138．67宿迁市00．0042．6753．33徐州市64．0096．0053．33连云港市106．6774．6742．67合计777783平均6．424．796．424．676．924．92【09年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为3分，比率为2%】【课标要求】1．比例线段了解比例的基本性质；了解线段的比、成比例线段；了解黄金分割．2．相似多边形通过实例认识图形的相似，探索相似多边形的性质和识别方法．3．相似三角形(1)了解相似三角形的概念，探索两个三角形相似的条件及其主要性质．(2)能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题．4．位似了解图形的位似，能够利用位似的方法将一个图形放大或缩小．5．图形与坐标(1)能建立适当的坐标系，描述物体的位置．灵活运用不同的方式确定物体的位置．(2)在同一直角坐标系，感受图形变换后点的坐标的变化．【课时分布】图形的相似在第一轮复习时大约需要6课时,其中包括单元测试及评析．下表为内容及课时安排(仅供参考)．课时数内&& 容1比例线段、相似多边形2相似三角形1位似、图形与坐标2图形的相似单元测试与评析【知识回顾】1． 知识脉络2． 基础知识(1)比例线段　对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作或a：b＝c：d．线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段d叫做a，b，c的第四比例项．如果或a：b＝b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项．(2)比例基本性质如果，那么．如果，那么．特殊地，如果那么；如果，那么．(3)黄金分割把线段AB分成两条线段AC和BC(AC&BC)且使AC2＝AB?BC,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点．(4)相似多边形①形状相同的图形叫做相似图形．相似多边形对应边的比叫做相似比．②相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等，对应边的比相等，面积比等于相似比的平方．③相似多边形的识别:如果两个多边形对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．(5)相似三角形①相似三角形:对应角相等，对应边的比相等，那么这两个三角形相似．②相似三角形的性质:相似三角形对应边成比例；对应角相等；对应线段(高、中线、角平分线)成比例；周长之比等于相似比；面积之比等于相似比平方．③相似三角形的识别:如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例且夹角对应相等；那么这两个三角形相似；如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形就相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个三角形就相似．(补充内容)射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；一条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项．(补充内容)(6)位似若两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似，这个交点叫做位似中心．3． 能力要求　　例1& 若，则& ．【分析】根据已知条件，可用设k法，把x，y，z都用k表示，就可算出比值．【解】设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则．【说明】设k法是求解比例问题的重要而又普遍适用的方法，它能把比例式中的各个量都统一用k来表示，清楚地揭示了各个量相互间的关系，从而使形式与内容达到统一，简化了计算，要熟练地掌握这一解题方法．例2
如图9-1，在RT△ABC中，为直角，于点，BC＝3，AB＝5，写出其中的一对相似三角形是& &
；并写出它们的面积比 __．【分析】直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似(即有△ABC∽△ACD∽△CBD)，如选△ABC∽△CBD，则AB，BC为两三角形的对应边，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得面积比为25：9． 【解】其中一对相似三角形是△ABC∽△CBD，面积比为25：9．【说明】本题考查相似三角形的判定和性质．图中共有三对相似三角形，关键要准确找出相似三角形的对应边，复习时要强调相似三角形的对应关系．例3& 如图9-2，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中相似的是(& )【分析】根据在格点图中的位置，可以算出各边的长，再计算阴影部分的三角形与是否满足三边对应成比例(也可用两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似来判断)．【解】选B．【说明】把图形放入格点图中，各层次的学生可从不同角度来判断两三角形相似，既考查了学生对相似三角形的判定方法的掌握程度，又能培养学生识图能力和解决问题的能力．例4
如图9-3，是小明设计用手电来测量某古城墙高度示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1．2米，BP＝1．8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是(& )A．6米&& B． 8米&& C．18米&& D．24米【分析】要求古城墙CD的高度，就要列出有关CD的比例线段，利用物理学知识入射角等于反射角，即可得出△ABP∽△CDP，从而得，解得CD＝8米．【解】选B．【说明】相似三角形应用范围十分广泛，不仅局限于测量高度、距离，它在其他学科中的应用也较广泛，要注意和其他学科结合．例5&& 在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF＝60°．　(1)如图9-4，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；　(2)若直线向右平移到图9-5、图9-6的位置时(其它条件不变)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；　(3)探究：如图9-4，当BD满足什么条件时(其它条件不变)，？请写出探究结果，并说明理由．(说明：结论中不得含有未标识的字母)【分析】(1) (2)根据已知∠BPF＝60?以及等边三角形中60?的内角，挖掘图中的公共角，即可找到与△BPF相似的三角形；(3)探索成立的条件，可考虑30°角所对的直角边与斜边的关系，故猜测为的平分线．【解】(1)，．以为例，证明如下：∵∠BPF＝∠EBF＝60?，，∴．(2)均成立，均为，．(3)当平分时，．　证明：∵BD平分∠ABC，　　　　　　∴∠ABP＝∠PBF＝30?．　　　　　　∵∠BPF＝60?，　　　　　　∴∠BFP＝90?．　　　　　　∴．　　　　　又∵∠B EF＝60?－30?＝30?＝∠ABP，　　　　　　∴BP＝EP．　　　　　　∴．【说明】这是一个开放性问题, 既有探索结论，又有条件的探索，同时还结合了图形的变换，教师复习时要关注培养学生的发散思维能力，多进行变式训练，加强一题多解、一题多变、一题多思．例6& 如图9-7，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T(1，1)，A(2，3)，B(4，2) ．(1)以点T(1，1)为位似中心，按比例尺(TA?∶TA)3∶1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B?，放大后点A,B的对应点分别为A?，B?．画出△TA′B?，并写出点A′，B?的坐标；(2)在(1)中，若C(a，b)为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C ?的坐标．【分析】利用位似的方法将一个图形放大，从特殊到一般，探究、归纳位置变换后点的坐标的变化．也可利用相似的性质，进一步验证．【解】：(1)如图所示，点A?，B?的坐标分别为(4，7)，(10，4)；(2)变化后点C的对应点C′的坐标为．【说明】将图形放入平面直角坐标系里，通过量化的方式来研究图形和图形之间的关系，体现了形与数的统一，它是用代数方法研究图形的起始与基础．让学生经历实验、探究、归纳、发现、运用与拓展的过程，经历从特殊到一般的抽象概括过程．感受同一直角坐标系，图形变换后点的坐标的变化．如果题目中“在位似中心的同侧”这一条件去掉,那么还要考虑两种情况，教师复习时要强调画位似图形应注意方向．例7
有一块直角三角形木板如图9-8所示，已知∠C＝90?，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm．根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．【分析】要在Rt△ABC内裁出面积最大的正方形DEFG，有两种可能的裁法，如图9-9和9-10，可分别求出正方形的面积(正方形的顶点都在△ABC的边上)．【解】方案一：如图9-9，作CM⊥AB于M，交DE于N．设正方形边长为xcm．由得,．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，即：．& ∴．∴．方案二：如图9-10，设正方形边长为y cm．∵ EF∥AC，∴ △BFE∽△BCA．
∴ ．& 即．∴ ．∵x＜y
∴方案二裁出的正方形的面积最大．这时正方形的边长是cm．【说明】解决实际应用问题，探究设计方案，分析图形中与面积有关的线段数量关系，利用相似三角形对应边的比等于相似比，对应高的比也等于相似比这个性质来解决的．例8　如图9-11，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．(1)当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于___秒；(2)当P，Q，C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？【分析】(1)利用PQ∥AB，过D作DE∥AB，构造△QPC∽△EDC，利用三角形相似判定的性质，寻找与Q点运动路线相关的成比例线段，即可求得Q运动的时间．(2)△QPC为直角三角形，注意挖掘动态的直角三角形与隐含的固定的直角三角形有相似关系．根据相似三角形对应线段成比例，列出比例关系,注意分类讨论．【解】(1)如图9-11，过点D作DE∥AB，∵AB∥DE，∴PQ∥DE．∴△QPC∽△EDC，
∴，即，&&& 　∴x＝秒；　(2)当P，Q，C三点构成直角三角形时，有两种情况：　　①如图9-12，当PQ⊥BC时，设P点离开D点x秒．　 作DE⊥BC于E，∴PQ∥DE，．　　　& ∴，．∴x＝．　　　& ∴当PQ⊥BC时，P点离开D点秒．②如图9-13当QP⊥CD时，设P点离开D点x秒．　　& ∵∠QPC＝∠DEC＝90°，∠C＝∠C．　　& ∴△QPC∽△DEC．　　& ∴，．∴x＝．∴当QP⊥CD时，点P离开D点秒．综上所述，当P，Q，C三点构成直角三角形时，点P离开D点秒或秒．【说明】灵活运用相似三角形识别和性质，利用平行与相似关系构造相似三角形．点P，Q是动点，注意挖掘动态的直角△QPC与固定的直角△DEC的关系，注意对应边成比例，分类讨论，这是解题的关键．【复习建议】(1)紧扣教材，抓住“双基”． 中考面对的是九年义务教育的全体毕业生，选择题、填空题、解答题三种题型中的大部分题目都立足于考查初中数学的基础知识、基本技能及隐含于其中的基本数学思想方法．同时，大部分基础性试题都源于课本，将教材中的例题、习题，通过适当变形成为中考试题．因此，必须紧扣教材，帮助学生系统整理相关知识，突出核心内容．可以结合相关中考试题，引导学生系统回顾与反思所学的基础知识与基本技能，可以从知识体系这一明线和思想方法这一暗线两方面去帮助学生构建初中数学的知识网络．对基础较差的学生，要查漏补缺，拿住基础分．(2)重视数学思想方法．新课程十分重视数学的思想方法．本章复习中应重视以下思想方法的渗透：方程与函数思想、数形结合思想、分类思想、化归思想等．这些思想方法在各地中考试题中得到充分的体现，在运用相似去处理问题过程中，体现了运动变化、分类讨论等思想方法．(3)联系实际，重视数学应用．“图形的相似”比较容易与实际问题联系起来．复习中，应当引导学生通过阅读背景材料，透过现象看本质，学会将实际问题转化为数学问题，建立起数学模型，从而解决问题．应用性问题解答的关键在于审题：数学阅读、图形观察、抽象概括、隐含条件的挖掘、问题的表征等，灵活应用三角形相似的判定和性质．
(4)加强综合训练，重视思维培养受高考能力立意影响，近几年中考涌现出一大批内涵丰富、立意新颖、综合性强、发人深思的探究性题，对学生的思维能力有比较高的要求．对此，复习中，在重视基础的同时，应当较早地加强综合训练，在复习中适当布置一些有一定难度，对思维要求较高的题，以培养学生的探究意识，提高他们的思维能力． (5)重视学生的数学表达与书写的规范，养成良好的解题习惯．从历年中考阅卷情况看，不少学生基础题、会做的题得不到满分，出现了很多不应有的失误．复习中不能轻视数学表达能力的训练和书写规范的训练．&&& 【返回目录】十、解直角三角形李建东& 苏州工业园区第一中学【近四年江苏省中考中解直角三角形的分值与百分比】(仅供参考)2006年2007年2008年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市119．797．586．67苏州市64．864．886．15无锡市96．9129．286．15常州市10．810．886．67镇江市10．821．721．67扬州市003242．67泰州市42．753．353．33南通市53．856474．67盐城市74．73285．33淮安市43．13210．67宿迁市42．742．732徐州市85．3386．6786．67连云港市323242．67合计636574平均4．853．645．003．745．694．26【2009年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为11，比率为7．33%】【课标要求】1．体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形．2．通过实例认识锐角三角函数(sin A、cos A、tan A)；知道30?、45?、60?角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角．3．运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．【课时分布】解直角三角形在第一轮复习时大约需要6课时,其中包括单元测试及评析．下表为内容及课时安排(仅供参考)．课时数内容1测量和勾股定理1锐角三角函数2解直角三角形及应用`2单元测试与评析【知识回顾】1．知识脉络&&& 2．基础知识(1)勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方．即：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么．②勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形．(3)锐角三角函数①锐角三角函数的定义如图10-1,在Rt△ABC中,∠C ＝ 90?,则sin A ＝ ＝,cos A＝＝,tan A＝＝,cot A＝＝．sin A、cos A、tan A、cot A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切,统称为锐角∠A的三角函数．②锐角三角函数的取值范围0＜sin A＜1,0＜cos A＜1,tan A＞0,cot A＞0．③各锐角三角函数间的关系sin2 A＋cos2 A＝1,tan A?cot A＝1．④特殊角的三角函数值?sin ?cos ?tan ?cot ?30?45?1160?⑤使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角．(4)解直角三角形①解直角三角形的依据角的关系：两个锐角互余；边的关系：勾股定理；边角关系：锐角三角函数；特殊结论：在直角三角形中如果一个锐角等于30?,那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．②解直角三角形的常见类型“已知两边”或“已知一边一角”．③实际问题中术语的含义如图10-2,在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角．如图10-3,坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即．坡度通常写成1∶m的形式,如i＝1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作?,有＝tan ?．④解决实际问题的关键在于建立数学模型,要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,应根据题目要求的精确度确定答案．3．能力要求例1
已知在Rt△ABC中,∠C＝90?,sin A＝,则tan B的值为(& )A．&&& &&& &&& B．&&& &&& &&& C．&&& &&& &&& D．【分析】先画出图形,由于tan B＝,故只需求得AC,BC的关系,可利用sin A＝先求得BC，AB的关系,再利用勾股定理即可求得．【解】选A． 【说明】本题主要是要学生了解三角函数的定义及勾股定理．解决这一类问题,必须熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理的应用,把它们有机地结合起来,因此在复习时要引导学生加强对基础知识的巩固． 例2
如图10-4,在平地上种植树时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m．如果在坡度为1U2的山坡上种植树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为& m．【分析】将实物图转化为数学图形,由坡度为1U2,可先求出相邻两棵树的垂直距离,再利用勾股定理可求出相邻两棵树的坡面距离．【解】2．【说明】本题涉及坡度、坡角、水平宽度、铅垂高度、锐角三角函数等概念,利用解直角三角形的方法来解决问题,对此类问题要熟悉相关的定义、术语的含义,要引导学生数形结合,画出正确的几何图形解决问题．例3& 如图10-5-1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运．根据经验,木板与地面的夹角为20?(即图10-5-2中∠ACB ＝ 20?)时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离AB ＝ 1．5m,木板超出车厢部分AD ＝ 0．5m,请求出木板CD的长度．(参考数据：sin 20?≈0．3420,cos 20?≈0．9397,精确到0．1m)．【分析】在Rt△ABC中,利用∠ACB的正弦即可求得AC的长,进而可得CD．【解】由题意可知：AB⊥BC．在Rt△ABC中,∵sin ∠ACB＝,∴AC＝＝＝≈4．39m ．∴CD＝AC＋AD＝4．39＋0．5＝4．89≈4．9m．答：木板的长度约为4．9m．【说明】本题考查学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能力．本题取材于学生熟悉的生活实际,解决这类题目的难度虽不大,但有利于引导学生关注生活中的数学,关注身边的数学,培养他们从实际问题中抽象出数学模型的能力,促进学生形成学数学、用数学、做数学的良好意识．例4& 如图10-6,一艘小船从码头A出发,沿北偏东53°方向航行,航行一段时间到达小岛B处后,又沿着北偏西22?方向航行了10海里到达C处,这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上,求此时小船与码头之间的距离(≈1．4,≈1．7,结果保留整数)．【分析】要求AC，首先考虑AC在一个怎样的三角形中，不难发现△ABC是一个含有30?和45?角的三角形,所以想到过B作AC的垂线BD把△ABC分成两个直角三角形，利用BD是它们的公共边逐一解直角三角形即可求得AC的长．【解】由题意知：∠BAC＝53°－23°＝30°,∠C＝23?＋22?＝45?．过点B作BD⊥AC,垂足为D,则CD＝BD．在Rt△BCD中,∵cos C＝,∴CD＝BC?cos 45?＝10×＝5≈7．0．在Rt△BCD中,∵cot ∠DAB＝,∴AD＝BC?cot 30°＝×≈5×1．4×1．7＝11．9．∴AC＝AD＋CD＝11．9＋7．0＝18．9≈19．答：小船到码头的距离约为19海里． 【说明】本题中涉及到方位角的问题,引导学生分析三角形的形状后,通过作高构造直角三角形是解题的关键．这一问题的解决,会让学生进一步感悟到数学知识在现实生活中的广泛应用．例5
如图10-7,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1．7m,看旗杆顶部M的仰角为45?；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1．5m,看旗杆顶部M的仰角为30?．两人相距28米且位于旗杆两侧(点B,N,D在同一条直线上)．请求出旗杆MN的高度．(参考数据：≈1．4,≈1．7,结果保留整数)【分析】根据已知条件,分别过点A,C作AE⊥MN于E,CF⊥MN于F．构造Rt△AME和Rt△CMF,分别把AE,CF用MN表示出来,然后根据AE,CF的和等于BD列出关于MN的方程即可求得．【解】过点A作AE⊥MN于E,则NE＝AB＝1.7,过点C作CF⊥MN于F,则NF＝CD＝1.5．设MN＝x,则ME＝MN－EN＝x－1.7,MF＝MN－FN＝x－1.5．在Rt△AEM中,∵∠AEM＝90?,∠MAE＝45?,∴AE＝ME＝x－1.7．在Rt△MFC中,∵∠MFC＝90?,∠MCF＝30?,∴CF＝MF?cot ∠MCF＝(x－1.5)．∵AE＋CF＝BD,∴x－1.7＋(x－1.5)＝28．解得,x≈12．答：旗杆高约为12米．【说明】在直角三角形的实际应用中,根据两个直角三角形的公共边或边长之间的关系,利用方程思想是解决此类问题的关键．老师在复习过程中应及时引导学生进行归纳、总结．【复习建议】1．复习时,要注意对锐角三角函数定义的理解,特别是几个特殊角的三角函数值必须熟记,适当加强对勾股定理与锐角三角函数知识的应用．如例1、例4和例5．2．应理解仰角、俯角、方位角、坡角和坡度(或坡比)的概念．如例2、例4和例5．3．本专题的题型多以比较基础的填空题和选择题为主,也有小型综合题和应用题．因此在复习时应紧紧围绕基本概念、基本图形展开,在重点夯实“双基”的同时，还要重视学生的书写的规范，养成良好的解题习惯．4．要注意数学思想方法的渗透、总结．如在引导学生通过实际问题构建数学模型,并把不同类型的问题归纳到基本图形上去解决问题时,要强调“转化”思想的作用；在不同问题情景下解决问题时,要指导学生重视应用数形结合思想等．如例3、例4和例5．5．要注意培养学生数学建模能力及解决问题的能力,尤其对于常见的基本模型应使人人都要掌握的．在复习时我们可以通过串“典型图形”的方法,把在不同问题情境中的典型问题(如将图形分解为两个直角三角形的问题)串起来,以便培养学生数学建模能力及解决问题的能力．当然,我们应由易到难,逐步深入,照顾到不同类型的学生．【返回目录】十一、圆徐伟东& 苏州高新区通安中学【近四年江苏省十三大市中考圆的分值与比率】(仅供参考)2006年2007年2008年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市119．171411．671714．17苏州市75．6086．4086．15无锡市64．62129．23129．23常州市86．6743．3343．33镇江市86．6775．83108．33扬州市149．33117．33128．00泰州市128．001510．001912．67南通市1310．001711．331812．00盐城市2114．00106．67106．67淮安市84．62106．671610．67宿迁市2416．00138．672214．67徐州市106．67117．3353．33连云港市128．0074．671812．00合计154139171平均12．839．1111．588．2614．2510．10【09年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为9分，比率为6．00%．】【课标要求】1．认识圆并掌握圆的有关概念和计算(1) 知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性．(2) 通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素．(3) 利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理．(4) 探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．(5) 掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理．(6) 了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念．(7) 掌握圆内接四边形的性质．2．点与圆的位置关系(1) 能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系．(2) 知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图．3．直线与圆的位置关系(1) 能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系．(2) 了解切线的概念，能运用切线的性质进行简单计算和说理．(3) 掌握切线的识别方法．(4) 了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念．(5) 能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算．4．圆与圆的位置关系(1) 了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系．(2) 能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系．5．圆中的计算问题(1) 掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量．(2) 掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用．(3) 了解圆锥的高、母线等概念．(4) 结合生活中的实例(模型)了解圆柱、圆锥的侧面展开图．(5) 会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用．(6) 能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积．【课时分布】圆的部分在第一轮复习时大约需要8个课时，其中包括单元测试．下表为内容及课时安排(仅供参考)．课时数内　　容1 圆的认识及有关概念2 与圆有关的位置关系1与圆有关的计算2圆的综合性问题2& 圆的单元测试与评析【知识回顾】1、知识脉络2、基础知识(1)圆的有关性质①弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧(优弧)、两条弦、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等．②圆周角定理：在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角度数的一半．圆周角定理的推论：Ⅰ．同弧或等弧所对圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．Ⅱ．90?的圆周角所对的弦是直径．Ⅲ．半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90? (直角)．③垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:Ⅰ．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．Ⅱ．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．Ⅲ．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．④圆内接四边形的性质:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角．(2)点与圆的位置关系①点与圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在圆内．②设点与圆心的距离为，圆的半径为，则点在圆外；点在圆上；点在圆内．③过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．④经过三角形的三个顶点的圆叫三角形的外接圆．三角形有且只有一个外接圆．⑤三角形的外心是三角形外接圆的圆心．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．(3)直线与圆的位置关系①直线与圆的位置关系有三种：相离、相交、相切．②设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．③切线的性质:与圆只有一个公共点．圆心到切线的距离等于半径．圆的切线垂直于过切点的半径．④切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．⑤与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．⑥三角形的内心是三角形内切圆的圆心．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等．⑦切线长的定义：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．⑧切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．(4)相交弦定理：圆内两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(5)圆与圆的位置关系①圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含．②设两圆圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含．③两个圆构成轴对称图形，连心线(经过两圆圆心的直线)是对称轴．由对称性知:两圆相切，连心线经过切点． 两圆相交，连心线垂直平分公共弦．(6)与圆有关的计算①弧长公式：(其中为圆心角的度数，为半径)；扇形面积公式：(其中为圆心角的度数，为半径)；或(其中为弧长，为半径)．②圆柱的侧面展开图是矩形．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边所在的直线为轴旋转而成的几何体．圆柱的侧面积＝底面周长×高；圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积．③圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转而成的几何体．④圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积．3、能力要求例1& 如图11-1，AC为⊙O 的直径，B、D、E都是⊙O上的点，则∠A＋∠B＋∠C的度数是____．【分析】由AC为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE，这样将∠CAD (∠A)、∠C放在了△AEC中，而∠B与∠EAD是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解．【解】 90?．【说明】这里通过将∠B转化为∠EAD，从而使原本没有联系的∠A、∠B 、∠C都在△AEC中，又利用“直径对直角”得到它们的和是90?．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”(直径)转化为“特殊的角”(直角)，很好地体现了“转化”的思想方法；当然本题也可直接用∠A、∠B、∠C所对的三段弧、、的和恰好是一个半圆，这样把三个角的和转化为弧的度数来解决，同样体现了数学的转化思想．例2& 如图11-2所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；(2)若OA＝5， AB＝8，求tan∠AEB的大小．【分析】本题利用垂径定理，可知＝ ＝ 度数一半，由圆周角定理推论可知：∠DEB＝∠AED＝∠AOD＝26°，∠AEB＝∠AOD，故tan∠AEB＝tan∠AOD即可求得．【解】．解：(1)，＝& & (2) ，∴＝ ＝ AC＝BC＝AB＝4，为直角三角形，∴∠AEB＝∠AOD∵， 由勾股定理可得OC＝ ∴tan∠AEB＝tan∠AOC＝【说明】圆中有关圆心角、圆周角问题由圆周角定理及其推论解决；弦的问题，通常利用垂径定理，由半径、弦的一半、弦心距构成直角三角形．圆中有许多常见的辅助线和许多基本图形，教师在复习时应与学生一起归纳整理．例3　如图11-3，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作EM⊥AB交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为1，且AC＝CE，求MO的长．【分析】欲证CF是⊙O切线，根据切线的判定方法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．故连结OC，证OC⊥CF即可；欲求MO，只须求出BM，由条件可求：BC＝2，AC＝，BE＝，在RtΔBME中，MB＝BE?sin30°，∴MO＝MB－OB即可求得．【解】(1)连结OC，∵OC＝OB& ∴∠OCB＝∠B&
∵EM⊥OB， ∴∠E＋∠B＝90°∵∠ECF＝∠E，∴∠ECF＋∠OCB＝90°∵∠ECF＋∠OCF＋∠OCB ＝180° ∴∠OCF＝90°∴OC⊥CF& ∴CF为⊙O的切线& && (2)∵AB为⊙O的直径& ∴∠ACB＝90°∵∠A＝30° ∴AC＝AB?cos30°＝， BC＝AB?sin30°＝∵AC＝CE，∴BE＝BC＋CE＝& 在Rt△BEM中，∠E＝30°，∠BME＝90°∴ MB＝BE?sin30°∴MO＝．【说明】本题主要考查切线的判定方法、直径所对的圆周角是直角及圆中的有关解直角三角形的有关知识，教师在复习中要注重分析，引导学生由已知想可知，由要知想需知，将条件进行转化，对常见的条件转化要进行归纳整理．例4& 如图11-4，某服装厂有大量的形状为等腰直角三角形的边角布料．现找出其中的一种，测得∠C＝90°，AC＝BC＝4．今要从这种三角形布料中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切．请你设计出所有符合题意可能的方案示意图，并求出扇形的半径和面积．(只要求画出图形，直接写出各种方案的扇形半径和面积)【分析】本题是一道方案设计题，知识涉及了扇形的面积与半径的关系及解直角三角形等几个方面，而数学思想涉及了分类思想、数形结合的思想，分别从(1)与AB边相切；(2)与AC边相切(3)与BC边相切(4)与AC、BC边同时相切(5)与BC、AB边同时相切(6)与AC、AB边同时相切几种情形来考虑．如图(1) 与AB边相切：半径，； 如图(2)与AC边相切：半径，；第(3)种情形与(2)相同；如图(3)与AC、BC边同时相切：半径，； 如图(4) 与BC、AB边同时相切：半径，； 第(6)种情形与第(5)种相同．综合以上，可知有4种不同的情形．【解】如图所示：【说明】本题是一道方案设计题，涉及的知识较多，数学分类思想在这里体现得很充分，学生在解题的时候，就是想不全，他们只能写出其中的1～2种，假如采用的分类的方法，就不会有遗留，这一类题近几年的中考中经常有涉及；另外这里可以引导学生从最简单的情形开始入手，大胆探索,渗透“由特殊到一般”的数学思想方法，这对于学生的探索能力培养非常重要． 例5　如图11-5，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°．O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．(1)∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？(2)求由DG、GE和
围成图形的面积(阴影部分)．【分析】先作出判断：∠BFG＝∠BGF，初看这两个角很难说明，但只要你注意了条件⊙O与AC相切于点D，就想到连结OD，由切线的性质知：OD⊥AC，由∠C＝90°可得出OD∥CG，就把说明∠BFG＝∠BGF转化为说明∠ODF＝∠OFD就可以了；求由DG、GE和
围成图形的面积(阴影部分)，只须进行面积分割，就可以了．【解】(1)∠BFG＝∠BGF．& 理由：连结OD．& ∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD． ∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC．&
又∵∠C＝90°，即GC⊥AC，OD∥GC，∴∠BGF＝∠ODF．&&
又∵∠BFG＝∠OFD，∴∠BFG＝∠BGF．& (2)连结OE，则四边形ODCE为正方形且边长为3．& ∵∠BFG＝∠BGF，& ∴BG＝BF＝OB－OF＝∴
＝×3×(3＋3)－(32－×32)＝．【说明】本题涉及到了切线的性质、等腰三角形的性质定理、平行线的性质与判定、直角三角形的有关计算、不规则图形的面积分割及扇形面积计算等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度．要求学生重视基本图形，对常见的定理如切线等要形成一种惯性：即看见切线要连结圆心与切点有垂直出现，这在复习过程中要注意培养学生这方面的意识；另圆中的计算与证明往往与前面的全等三角形、相似三角形、解直角三角形的知识会紧密联系，在复习中注意引导，拓展思路．【复习建议】①圆的复习应紧紧围绕基本概念、基本图形、重要定理及圆的有关计算进行，重视“双基”，回归课本，对“了解、理解、掌握、灵活运用”四个能级要求要做到心中有数，教师在复习中一定要控制难度．②教师在复习教学中要让学生注重对基本图形的掌握，指导学生在复杂图形中分解出基本图形，或通过添加适当的辅助线，构造或分解基本图形，学会将较复杂问题转化为易解决问题，提升自己的转化能力．③对于圆中常见的辅助线，如例1、例3、例5中添加的辅助线等，在解题中可以多加引导．要让学生进行归纳整理，熟知它们的作用．④复习教学中要让学生体会圆中一些隐含条件的作用，如：“同弧所对的圆周角相等”；“半径都相等”等，培养挖掘隐含条件的意识和能力．⑤复习教学中应注意前后知识间的联系，渗透转化、方程、函数、由特殊到一般、分类讨论等思想方法以及运动变化的观点，可以提高学生解决圆的综合性问题的能力，教师对有关思想方法应及时归纳和指导．【返回目录】十二、统计与概率许宏云& 苏州市虎丘实验学校【近四年江苏省十三大市中考统计与概率的分值与比率】(仅供参考)2006年2007年2008年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市1613．331714．171815．00苏州市1512．001915．20129．23无锡市118．461612．311612．31常州市2016．671915．831613．33镇江市2016．671210．0086．67扬州市2919．332617．332516．67泰州市2818．672818．67128．00南通市96．92149．331610．67盐城市117．332013．332416．00淮安市1914．622114．002214．67宿迁市2013．332214．672214．67徐州市138．67128．00149．33连云港市85．332214．672013．33合计219248225平均18．2513．4420．6714．7918．7513．32【09年江苏省中考数学为全省统一命题，此部分分值为22分，比率为14．67%】【课标要求】1．统计(1)从事收集、整理、描述和分析的活动，能用计算器处理较复杂的统计数据．(2)通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果．(3)会用扇形统计图、条形统计图、折线统计图表示数据．(4)在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度．(5)探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度．(6)通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题．(7)通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差．(8)根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流．(9)能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法．(10)认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题．2．概率(1)在具体情境中了解概率的意义，运用列举法(包括列表和画树状图)计算简单事件发生的概率．(2)通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值．(3)通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题．【课时分布】概率与统计部分在第一轮复习时大约需要7个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)课时数内&& 容1数据的收集、表示及初步处理1平均数、中位数和众数1极差、方差与标准差；通过样本了解总体1可能与机会；通过实验估计概率和通过计算预测概率1统计概率的应用(利用数据说理或决策)2统计与概率单元测试与评价【知识回顾】&& 1．知识脉络(1)统计(2)概率2．基础知识(1)数据的收集①通过调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题→确定调查对象→选择调查方法→展开调查→记录结果→得出结论．②调查的方法一般有三类：民意调查，实地调查，媒体查询．③统计的基础概念：我们把所要考察的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察对象叫做个体．从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本．样本中所包含的个体的个数叫做样本容量．④数据的收集方法：普查和抽样调查．普查是通过调查总体的方式来收集数据的．抽样调查是通过调查样本的方式来收集数据的．我们常常采取抽样调查的方法来了解总体．⑤用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样．这使每个个体都有相等的机会被选入样本．⑥频数与频率：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数．每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)称为频率频率分布反映了样本数据在各个小组内所占的比的大小．在样本中各小组的频数之和等于数据的总数,频率之和等于1．(2)数据的处理①条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．②记录频数的数量统计表叫做频数分布表，利用频数分布表可以使一组比较零乱的数据系统化，可以比较清楚地反映出数据的整体分布情况．用小长方形的宽表示组距，小长方形的高表示频数，可以将频数分布表绘制成频数分布直方图，将每个小长方形上面一条边的中点顺次连接起来，就得到了频数折线图．③平均数：一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数．④中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数(或正中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．⑤众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数．⑥加权平均数：在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．⑦极差：一组数据中的最大值减去最小值所得差称为极差．它可以反映这组数据的变化范围．⑧方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．方差可以反映一组数据与其平均值的离散程度．计算方差公式：设一组数据是是这组数据的平均数．则这组数据的方差是：⑨标准差：一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差．标准差的数量单位与原数据的数量单位一致．用公式可表示为：⑩ 平均数、众数和中位数是描述一组数据集中趋势的的特征数；方差、标准差、是描述一组数据波动大小的特征数；而极差是刻画数据离散程度的一个统计量．(4)可能性与概率①那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．②无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件．③表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率．④概率的探求方法：用重复实验的方法观察频率，进而求得概率；对一些简单的事件我们可以用画树状图或列表的方法列举所有等可能的结果，分析可能发生事件的概率的大小；对于某些事件可以通过分析的方法来预测其概率．3．能力要求例1& 某商场试销一种新款衬衫，一周内销售情况如下表所示：型号(厘米)383940414243数量(件)25303650288商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是(& )A．平均数&&& &&& B．众数&&& &&& C．中位数&&& &&& D．方差【分析】众数、中位数、平均数则是反映样本数据集中趋势的特征数，而方差、标准差和极差是衡量样本数据波动大小(离散程度)的特征数．本题中，商场经理关注的是哪种型号的衬衫销售量最多，因此应关注众数． 【解】选B【说明】统计中，数据的代表比较多，如平均数、众数、中位数、方差、极差、频数、频率等等，它们表示的意义各不相同，我们应抓住它们的本质．对统计概念的掌握一直以来都是中考的考点，新课标下的中考也不例外．例2& 有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片(卡片中除图案不同外，其余均相同)，现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到印有中心对称图案的卡片的概率是& ．【分析】这是一道考查学生求简单事件发生的概率的题目．在五个图形中，& 圆、矩形、菱形、正方形均是中心对称图形．【解】【说明】求简单随机事件发生的概率，常见于填空或选择题中．求随机事件的概率的关键是确定所有可能的结果数和所求事件可能出现的结果数．例3& 如图12-1，某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．根据上述信息，回答下列问题：(l)该厂第一季度哪一个月的产量最高?& 月．(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的&& ％．(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98％．请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程)【分析】此题就是考查学生的读图、识图的能力． 从统计图中处理数据的情况一般有以下几种:一、分析数据大小情况；二、分析数据所占的比例；三、分析数据的增加、减少等趋势或波动情况． 【解】(1)三& (2)30(3)(1900÷38)×98＝4900答：该厂第一季度大约生产了4900件合格的产品．【说明】条形统计图和扇形统计图是一种基本的统计图表，通过条形统计图可以看到各个对象或多个因素的绝对统计数据，能反映具体的数据；通过扇形统计图可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比．例4& 下表是某校初三(1)班20名学生某次测验的成绩统计表：成绩(分)60708090100人数(人)152(1)若这20名学生成绩的平均分数为82分，求和的值；(2)在(1)的条件下，设这20名学生本次测验成绩的众数为，中位数为，求、的值．【分析】根据平均数的计算公式及题中给出的样本容量，可以得出两个等式，从而问题可以解决．&&& 【解】(1)由题意得解得，即得80分的有5人，得90分的有7人(2)由(1)可以得出，90分是众数，∴分，中位数分【说明】本题是以统计初步知识在统计学生测验成绩中的应用为背景，设置了统计中的平均数、众数、中位数运算．例5& 如图12-2所示，甲转盘被分成3个面积相等的扇形， 乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y(当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止)．(1)求出点(x，y)落在第二象限内的概率；(2)直接写出点(x，y)落在函数y＝－图像上的概率．【分析】本题是一道综合题，结合了函数、点的坐标以及概率的计算．为了直观而又有条理地分析问题，避免重复和遗漏，本题可用列表或画树状图的方法把所有等可能的结果一一罗列出来，然后求其概率．【解】(1)根据题意，画出树状图如图所示：由上图可知，点(x，y)的坐标共有12种等可能的结果：(1，－1)，(1，－)，(1，－)，(1，2)，(－2，－1)，(－2，－)，(－2，)，(－2，2)，(3，－1)，(3，－)，(3，)，(3，2)，其中点(x，y)落在第二象限的共有2种：(－2，)，(－2，2)．所以P(点(x，y)落在第二象限)＝＝．或根据题意，列表如下：1－23－1(1，－1)(－2，－1)(3，－1)－(1，－)(－2，－)(3，－)(1，)(－2，)(3，)2(1，2)(－2，2)(3，2)& 由表格可知共有12种结果，其中点(x，y)落在第二象限的有2种．&& 所以P(点(x，y)落在第二象限)＝＝．(2)P(点(x，y)落在y＝－图像上)＝＝．【说明】采用列表或树状图的方法，可使分析和计算过程得到简化．本题既考查了学生正确掌握求概率方法的程度，同时又与其它知识点有机结合，考查了学生运用知识解决实际问题的能力．无论是强化应用意识，还是培养综合能力，都是有价值的，是今后命题的趋势．例6& “十?一”假期，某公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图12-3所示．根据统计图回答下列问题： (1)前往 A地的车票有__张，前往C地的车票占全部车票的__%； (2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为___； (3)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试分析，这个规则对双方是否公平？【分析】这是一道统计与概率相结合的中考题，只要读懂统计图表即可求出车票的张数、相关概率,同时可以通过列表或树状图得出公平与否．【解】(1)30；20&& (2)&& (3)可能出现的所有结果列表如下：小李小张12341(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)或画树状图(略)共有16种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)， ∴小张获得车票的概率为；则小李获得车票的概率为．∴这个规则对小张、小李双方不公平．【说明】结合具体问题，直接考察学生对统计与概率的有关概念的把握、图象信息的捕捉运用能力，判断游戏是否公平的(或者奖项设置是否合理)原则是双方获胜的概率是否相等，公平的游戏机会是相等的；这类题既可以考查同学们正确掌握求概率方法的程度，也可以考查同学们运用概率思想和知识解决实际问题的能力是近几年中考的一个特色． 【复习建议】1．立足教材，理清概念，夯实基础，学生通过复习，应熟练掌握概率与统计的基本概念、基本技能和基本方法．2．要突出统计思想，用样本估计总体是统计的基本思想，在复习中要使学生有更多的机会接触这一思想，使学生对抽样的必要性、样本的代表性、用样本估计总体的可行性，以及对不同的抽样所得结果的不确定性有更多的体会．3．统计与现实生活、科学领域的联系是非常紧密的，复习中应特别注意将统计的学习与实际问题密切结合，选择典型的、充满趣味性和富有时代气息的现实问题作为例子，使学生在解决问题的过程中，学习数据处理方法，理解统计的概念和原理，培养学生的统计观念．4．突出概率建模思想，对概率的计算问题，可以把不同背景下的各类问题加以变通，寻找他们之间是否存在相同的数学本质，对相同的一类问题，我们可以用一个概率模型来解决．这样也能对学生思维的灵活性、缜密性和开放性加以锤炼．5．加强用列表法和树状图求简单事件的概率的复习，渗透分类讨论思想． 6．复习时除要求学生对统计和概率知识准确理解、熟练识记外，还要关注社会热点问题，加强判断、决策能力的培养．【返回目录】
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