求隐函数的二阶导数f(x)=x㏑(1+x)在x=0处的n阶导数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-11-17 22:52 标签： 复合函数的高阶偏导数
求函数f(x)=x㏑(1+x)在x=0处的n阶导数_百度知道
求函数f(x)=x㏑(1+x)在x=0处的n阶导数
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写出一般规律式，然后将0代入，总结规律先计算几个低阶导数，但计算繁琐。题目简单，用数学归纳法证明即可，认真些就可以了
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f(x)=x^2 ㏑(1+x)在x=0处的n阶导数
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n&2时，显然有$f^{(n)}(0)=0$n>=2时由n阶导的公式有：$f^{(n)}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k(x^2)^{(k)} (ln(1+x))^{(n-k)} $注意$x^2$在三阶导之后，就为零了。所以$k\geq 3$的项都是0.$k\leq 1$时，都含有x为因子，所以代0进去，也是0所以只有k=2的项，在最后不为0$f^{(n)}(x)=2C_n^2(ln(1+x))^{(n-2)}|_{x=0}
$$=2(-1)^{(n-1)}(n-2)!\cdot\cfrac{n(n-1)}{2} $$=(-1)^{(n-1)}\cdot{n!} $
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n阶导数=（-1）^（n-1）(n-1)!/(1+x)^n
+(n-1)!/(1-x)^n
课本上有相应的ln(1+x)的n阶导数，ln(1-x)也容易得到再利用对数性质ln(1-x2)=ln(1+x)+ln(1-x)得出结论。自己算吧。& 2013 - 2014 作业宝. All Rights Reserved. 沪ICP备号-9

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