（2011o广州模拟）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：；．专题：；．分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程是x2=ay，根据焦点为F的坐标求得a，进而可得抛物线的方程．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），进而可得抛物线C在点P处的切线方程和直线PQ的方程，代入抛物线方程根据韦达定理，可求得x1+x2和x1x2的表达式，根据×求得y1=4及点P的坐标．解答：解：（Ⅰ）设抛物线C的方程是x2=ay，则，即a=4．故所求抛物线C的方程为x2=4y．（Ⅱ）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则抛物线C在点P处的切线方程是12x-y1，直线PQ的方程是1x+2+y1．将上式代入抛物线C的方程，得2+8x1x-4(2+y1)=0，故x1+x2=1，x1x2=-8-4y1，所以x2=1-x1，y2=1+y1+4．而=（x1，y1-1），=（x2，y2-1），×=x1x2+（y1-1）（y2-1）=x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=-4（2+y1）+y1（1+y1+4）-（1+2y1+4）+1=y12-2y1-1-7=（y12+2y1+1）-4（1+y1+2）=（y1+1）2-1+1)2y1=1-4)(y1+1)2y1=0，故y1=4，此时，点P的坐标是（±4，4）．经检验，符合题意．所以，满足条件的点P存在，其坐标为P（±4，4）．点评：本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线的关系．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：★★★★★推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1/4）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，交抛物线于点B、C两点，若恒有直线BC与圆I相切，求圆I的半径r的值．-乐乐题库
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已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，14）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，交抛物线于点B、C两点，若恒有直线BC与圆I相切，求圆I的半径r的值．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1/4）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，交抛物线于...”的分析与解答如下所示：
（I）由抛物线的标准方程与基本概念，结合题中数据加以计算，可得抛物线C的方程为x2=y；（II）设A（x1，x12）、B（x2，x22）、C（x3，x32），其中xi≠0且xi≠±r（i=1，2，3）且横坐标互不相等．求出直线AB、AC、BC的方程，根据AB与圆I相切利用点到直线的距离公式列式并化简，算出x2、x3是一元二次方程（x12-r2）x2+（4-2r2）x1x+4-r2-r2x12=0的两个根．利用根与系数的关系得到用x1、r2表示x2+x3和x2x3的式子．由BC与圆I相切得√(x3+x2)2+1=r，代入前面求出的式子化简得r2x14+r2（4r4-18r2+16）x12+r6=（2-r2）2x14+2（4-3r2）（2-r2）x12+（4-3r2）2，再采用比较系数法建立关于r2的等式，解之可得r的值．
解：（Ⅰ）&根据题意，设抛物线C的标准方程为x2=2py，∵焦点为F（0，14），得p2=14，∴2p=1．可得抛物线C的标准方程为x2=y．（Ⅱ）设A（x1，x12），B（x2，x22），C（x3，x32），其中xi≠0，xi≠±r且横坐标互不相等，（i=1，2，3），则AB的斜率kAB=x12-x22x1-x21+x2，得直线AB的方程为：y-x12=（x1+x2）（x-x1），化简得（x1+x2）x-y-x1x2=0，同理可得直线AC的方程为（x1+x3）x-y-x1x3=0，直线BC的方程为（x2+x3）x-y-x2x3=0．∵直线AB与圆I相切相切，∴圆心到AB的距离等于圆I的半径，即√(x1+x2)2+1=r，化简得（x12-r2）x22+（4-2r2）x1x2+4-r2-r2x12=0，同理得（x12-r2）x32+（4-2r2）x1x3+4-r2-r2x12=0，∴x2、x3是一元二次方程（x12-r2）x2+（4-2r2）x1x+4-r2-r2x12=0的两个根．可得x2+x3=x1(2r2-4)x12-r22x3=-r2+4-r2x12x12-r2√(x3+x2)2+1=r，代入上式化简，得r2x14+r2（4r4-18r2+16）x12+r6=（2-r2）2x14+2（4-3r2）（2-r2）x12+（4-3r2）2，由x1的任意性，可知若上式恒成立，必须有r2=(2-r2)2r2(4r&4-18r2+16)=2(4-3r2)(2-r2)r6=(4-3r2)20＜r＜1.2，解之得r=1．
本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程，并依此求△ABC的内切圆半径．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
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已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1/4）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，...
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经过分析，习题“已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1/4）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，交抛物线于...”主要考察你对“抛物线的标准方程”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程．
与“已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1/4）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，交抛物线于...”相似的题目：
如图，已知点A（4，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合，M为&BC中点．（Ⅰ）求该抛物线的方程和焦点F的坐标；（Ⅱ）求BC所在直线的方程．&&&&
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，-2√2)，求该抛物线的标准方程．
抛物线y2=4x的焦点到直线x-√2y=0的距离是&&&&2√32√331
“已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为...”的最新评论
该知识点好题
1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是&&&&
2设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为&&&&
3设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为&&&&
该知识点易错题
1已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为&&&&．
2顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y=x+1截得的弦长是√10，则抛物线的方程是&&&&
3以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（1，-2）的抛物线的方程为&&&&
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解:圆的半径.如答图,连接,是切线,.在中,,,,,,,.点,的坐标分别为,.抛物线过,两点,所以可设抛物线解析式为:,又抛物线经过点,,解得.抛物线的解析式为:.,顶点的坐标为.如答图,由抛物线的对称性可知:,.若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点,使与相似,必须有.设交抛物线的对称轴于'点,显然,直线的解析式为,由,得(舍去),..过作轴,垂足为,在中,,,...与不相似,(分)同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点.所以在该抛物线上不存在点,使得与与相似.(分)如答图,连结,,在和中,由垂径定理易知:弧弧.,又,,,(分)在中,(或利用)即:为定值.
本题为二次函数与圆的综合题型,考查了二次函数的图象与性质,待定系数法,切线的性质,垂径定理,相似三角形,勾股定理等重要知识点.第问为存在型问题,注意解题过程中反证法与分类讨论思想的应用.
3830@@3@@@@二次函数综合题@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
求解答 学习搜索引擎 | 已知,如图(a),抛物线y=a{{x}^{2}}+bx+c经过点A({{x}_{1}},0),B({{x}_{2}},0),C(0,-2),其顶点为D.以AB为直径的圆M交y轴于点E,F,过点E作圆M的切线交x轴于点N.角ONE={{30}^{\circ }},|{{x}_{1}}-{{x}_{2}}|=8.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)连结AD,BD,在(1)中的抛物线上是否存在一点P,使得\Delta ABP与\Delta ADB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由;(3)如图(b),点Q为\hat{EBF}上的动点(Q不与E,F重合),连结AQ交y轴于点H,问:AHoAQ是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.如图，抛物线C：x2=2py与圆O：x2+y2=1在第一象限的交点为Q，圆O和抛物线C在点Q处的切线的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=1，则p=24．考点：．专题：；．分析：设Q（m，n），则圆O在Q处的切线方程为mx+ny=1，则k1=-，求导数可得k2=，利用k1+k2=1，可得-+=1，结合m2=2pn，m2+n2=1，即可求出p的值．解答：解：设Q（m，n），则圆O在Q处的切线方程为mx+ny=1，则k1=-，∵抛物线C：x2=2py，∴y′=，∴k2=，∵k1+k2=1，∴-+=1，∵m2=2pn，m2+n2=1，∴p=，m=n=，故答案为：．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查切线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷
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同类试题1：（2012 四川）如图，动点M与两定点A（-1，0）、B（1，0）构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=x+m（m＞0）与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．解：（Ⅰ）设M（x，y），则kMA=yx+1，kMB=yx-1∵直线MA、MB的斜率之积为4，∴yx+1×yx-1=4∴4x2-y2-4=0又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1综上点M的轨迹方程为4x2-y2-4=0（x≠±1）（Ⅱ）直线y=x+m与4x2-y2-4=0（x≠±1）联立，消元可得3x2-2mx-m2-3=0①∴△=16m2+48＞0当1或-1是方程①的根时，m的值为1或-1...
同类试题2：（2012 湖南）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．（Ⅰ）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|=(x-5)2+y2-3且圆C2上的点位于直线x=-2的右侧∴(x-5)2+y2=x+5化简得曲线C1的方程为y2=20x（Ⅱ）证明：当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-4，y0），∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y-y0=k（x+4），即kx-y+y0+4k=0，∴|...