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一元二次方程应用复习教案(2)教师版
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3秒自动关闭窗口三元一次方程解题方法_百度知道
三元一次方程解题方法
可以用代入消元法或加减消元法！。先消掉其中的一个未知数！！手机提问的朋友在客户端右上角评价点【满意】即可，化成二元一次方程组！三元一次方程的解题思路是消元，将解出的两个未知数的值代入原方程组中的任一方程！！，求出另一个未知数的值即可。如果您满意我的回答，请及时点击【采纳为满意回答】按钮！，再求出这个二元一次方程组的解！！谢谢！！你的采纳是我前进的动力
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可以用代入消元法或加减消元法，即（x-1）先乘以6x^2，具体算发就和算除法时一样。先消掉其中的一个未知数，并把最前面的项的系数化为和被除数一样,这时（x-1）再乘以 -11x得-11x^2+11x，化成二元一次方程组，再求出这个二元一次方程组的解,可化为（3x-1)(2x-3),(x-1)再乘以3，将解出的两个未知数的值代入原方程组中的任一方程,方程的解一目了然，求出另一个未知数的值即可,则原式可化为(x-1)(3x-1)(2x-3)=0，得6x^3-6x^2 。高中数学中最常见的是试根法，再与下一项+14x连看便是-11x^2+14x三元一次方程的解题思路是消元，两项两项看，除得的结果便是 6x^2-11x+3, 用 -17x^2减 -6x^2=-11x^2，可试出1是方程的一个解。例如求6x^3-17x^2+14x-3=0的解时,3x再与最后的-3连看便是3x-3，也就是说当方程可以看出一根时（比如x=1)，就可化为(x-1)(ax-b)(cx-d)=0的形式，然后把（6x^3-17x^2+14x-3）作为被除数，综上，（x-1）作为除数,用14x减11x得3x
1.逐个消元2.寻找系数的特点3.特殊化取值
三元一次方程的相关知识
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出门在外也不愁一个长方形上长14x下长11x+3求x是多少_百度知道
一个长方形上长14x下长11x+3求x是多少
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长方形对边相等： 14x=11x+3x=1
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出门在外也不愁哪位大哥能给我找一些因式分解的题啊？？？？
哪位大哥能给我找一些因式分解的题啊？？？？
，这里有，你自己看看吧。
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一、填空题
1、因式分解： 9x2－1=_________________, 4x2－4x＋1=_________________.
a4－b4=_________________, an＋2－an=____________________
2、多项式x2＋mx＋36是一个完全平方式，则m=_____________.
3、多项式x2＋ax＋b可以因式分解成（x－1）（x＋3）则a=_______, b=______.
4、如果x=3时，多项式x3－4x2－9x＋m的值为0，则m=_________,多项式因式分解的结果为_______________________.
二、选择题
1、下列从左到右的变形，属于因式分解的是……………………………………（ ）
（A）（a＋3）（a－3）=a2－9 （B）4a2＋4a＋3=（2a＋1）2＋2
（C）x2－1=（x＋1）（x－1） （D）－2m（m2－3m＋1）=－2m3＋6m2－2m
2、下列各式，能用完全平方因式分解的多项式的个数为………………………（ ）
①－a2－b2＋2ab ②a2－ab＋b2 ③a2－a＋14 ④4a2＋4a－1
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
3、用因式分解多项式3xy＋6y2－x－2y时，分解正确的个数………………… （ ）
①3xy＋6y2－x－2y =（3xy－x）＋（6y2－2y）
②3xy＋6y2－x－2y=（3xy＋6y2）－（x＋2y）
③3xy＋6y2－x－2y=（3xy－2y）＋（6y2－x）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
三、选择题
）1.下列多项式中何者含有2x＋3的因式 (1)2x3＋3 (2)4x2－9 (3)6x2－11x＋3 (4)2x2＋x＋3
（ ）2.下列何者是2x2－11x－21的因式？ (1)(x－6) (2)(x＋7) (3)(2x－3) (4)(2x＋3)
（ ）3.下列何者为甲×丙＋乙×丙的因式 (1)甲＋乙×丙 (2)甲＋乙 (3)甲＋丙 (4)丙＋乙。
（ ）4.下列各式中，何者不是x2－4的因式？ (1)x＋2 (2)x－2 (3)x2－4 (4)x2。
（ ）5.a2－b2的因式不可能是下列那一个？ (1)a2＋b2 (2)a＋b (3)a－b (4)a2－b2。
（ ）6.下列何者错误？ (1)(-a＋b)2＝a2－2ab＋b2 (2)(a－b)(a＋b)＝a2－b2 (3)(a－b)2＝a2－2ab－b2 (4)(4＋3)2＝42＋8×3＋32。
（ ）7.下列各式中，何者是2x2－11x－21的因式？ (1)2x－3 (2)x＋7 (3)x－7 (4)2x＋7。
（ ）8.下列何者为2x2＋3x＋1与4x2－4x－3的公因式？ (1)x＋1 (2)x＋2 (3)2x－3 (4)2x＋1。
（ ）9.因式分解（a＋2)2－3(a＋2)＝ (1)(a＋2)(a－3) (2)(a＋2)(a＋3) (3)(a＋2)(a＋1) (4)(a＋2)(a－1)。
（ ）10.下列何者正确？ (1)a2－b2＝(a－b)2 (2)a2－2ab＋b2＝(a＋b)(a－b) (3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 (4)a2＋b2＝(a＋b)(a－b)。
（ ）11.因式分解9x2－1＝ (1)(9x＋1)(9x－1) (2)(3x－1)2 (3)(3x＋1)(3x－1) (4)(9x－1)2。
（ ）12.若5x2－7x－6＝(5x＋a)(x＋b)，则 (1)a＝-3 (2)b＝-2 (3)ab＝6 (4)a＋b＝5。
（ ）13.x2＋mx＋n＝(x＋a)(x＋b)，若m＜0，n＞0，则 (1)a＞0，b＞0 (2)a＜0，b＜0 (3)a＞0，b＜0 (4)a＜0，b＞0。
（ ）14.找出下列何者是15x2＋x－2的因式？ (1)5x－2 (2)15x＋2 (3)3x－1 (4)3x＋1。
（ ）15.下列何者是(x－4)(x－5)－42的因式？ (1)x－2 (2)x＋11 (3)x－11 (4)x＋3。
（ ）16.若6x2－25x＋4＝(ax＋b)(cx＋d)则下列何者正确？ (1)abcd＝25 (2)a＋b＋c＋d＝24 (3)若a＝1，则必cd＝6 (4)若a＝1，则必d＝-1。
（ ）17.4a2－1等於下列何式？ (1)(4a－1)2 (2)(2a－1)2 (3)(4a＋1)(4a－1) (4)(2a＋1)(2a－1)。
（ ）18.x2＋y2等於 (1)(x＋y)2 (2)(x＋y)2＋2xy (3)(x－y)2＋2xy (4)(x－y)2－2xy。
（ ）19.你能利用2片边长xcm的正方形，9片长宽各为x，1cm的长方形和4片边长1cm的正方形，拼出长为(x＋4)cm的长方形，其宽为 (1)(2x＋1)cm (2)(x＋3)cm (3)(2x＋4)cm (4)(2x＋2)cm。
（ ）20.下列何式是2x2＋3x＋1与4x2－4x－3的因式？ (1)2x－1 (2)2x＋1
(3)2x－3 (4)x＋1。
（ ）21.下列那一个式子不是9x2－25的因式？ (1)3x＋5 (2)3x－5 (3)9x＋5 (4)9x2－25。
（ ）22.因式分解x2－3x＋2＝(x＋a)(a＋b)则 (1)a＋b＝3 (2)a＞0，b＜0
(3)ab＝-2 (4)a＞0，b＞0。
（ ）23.下列各二次式，何者有因式x－1? (1)x2＋5x＋6 (2)x2－5x－6 (3)x2＋5x－6 (4)x2－5x＋6。
（ ）24.(-x＋y)2等於 (1)-(x－y)2 (2)(x－y)2 (3)(x＋y)2 (4)(-x－y)2。
（ ）25.若x＋y＝-5，x－y＝15 ，则x2－y2＝ (1)-5 (2)-1 (3)-15 (4)1。
（ ）26.x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)，若a＜0，b＜0，则 (1)p＞0 (2)q＜0 (3)pq＞0 (4)q＞0。
（ ）27.若(x－5)2－(x－5)－12可分解为(x＋a)(x＋b)，则a＋b等於 (1)-11 (2)9 (3)11 (4)-9。
（ ）28.ax－cx－by＋cy＋bx－ay可分解为下列何式？ (1)(x－y)(a－b－c)
(2)(x＋y)(a＋b－c) (3)(x－y)(a－b＋c) (4)(x－y)(a＋b－c)。
（ ）29.下列何者正确？ (1)x2＋2ax＋x＝x(x＋2a) (2)2x2－8＝x2－4＝(x－2)(x＋2) (3)36x2－84x＋49＝(7－6x)2 (4)x2－6＝(x－2)(x＋3)。
四、填充题
1.若2x3＋3x2＋mx＋1为x＋1的倍式，则m＝
2.因式分解3a3b2c－6a2b2c2＋9ab2c3＝
3.因式分解xy＋6－2x－3y＝
4.因式分解x2(x－y)＋y2(y－x)＝
5.因式分解2x2－(a－2b)x－ab＝
6.因式分解a4－9a2b2＝
7.若已知x3＋3x2－4含有x－1的因式，试分解x3＋3x2－4＝
8.因式分解ab(x2－y2)＋xy(a2－b2)＝
9.因式分解(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a)＝
10.因式分解a2－a－b2－b＝
11.因式分解(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2＝
12.因式分解(a＋3)2－6(a＋3)＝
13.因式分解(x＋1)2(x＋2)－(x＋1)(x＋2)2＝
14.若2×4×(32＋1)×(34＋1)×(38＋1)×(316＋1)＝3n－1，求n＝ 。
15.利用平方差公式，求标准分解式4891＝ 。
16.2x＋1是不是4x2＋5x－1的因式？答： 。
17.若6x2－7x＋m是2x－3的倍式，则m＝
18.x2＋2x＋1与x2－1的公因式为 。
19.若x＋2是x2＋kx－8的因式，求k＝ 。
20.若4x2＋8x＋3是2x＋1的倍式请因式分解4x2＋8x＋3＝ 。
21.2x＋1是4x2＋8x＋3的因式，请因式分解4x2＋8x＋3＝ 。
22.(1)x＋2 (2)x＋4 (3)x＋6 (4)x－6 (5)x2＋2x3＋24 上列何者x2－2x－24的因式 （全对才给分）
23.因式分解下列各式：
(1)abc＋ab－4a＝ 。
(2)16x2－81＝ 。
(3)9x2－30x＋25＝ 。
(4)x2－7x－30＝ 。
24.若x2＋ax－12＝(x＋b)(x－2)，其中a、b均为整数，则ab＝ 。
25.请将适当的数填入空格中：x2－16x＋ ＝(x－ )2。
26.因式分解下列各式：
(1)xy－xz＋x＝ ；(2)6(x＋1)－y(x＋1)＝
(3)x2－5x－px＋5p＝ ；(4)15x2－11x－14＝
27.设7x2－19x－6＝(7x＋a)(bx－3)，且a,b为整数，则2a＋b＝
28.利用乘法公式展开99982－4＝ 。
29.计算(1.99)2－4×1.99＋4之值为 。
30.若x2＋ax－12可分解为(x＋6)(x＋b)，且a,b为整数，则a＋b＝ 。
31.已知9x2－mx＋25＝(3x－n)2，且n为正整数，则m＋n＝ 。
32.若2x3＋11x2＋18x＋9＝(x＋1)(ax＋3)(x＋b)，则a－b＝ 。
34.填入适当的数使其能成为完全平方式4x2－20x＋ 。
35.因式分解x2－25＝ 。
36.因式分解x2－20x＋100＝ 。
37.因式分解x2＋4x＋3＝ 。
38.因式分解4x2－12x＋5＝ 。
39.因式分解下列各式：
(1)3ax2－6ax＝ 。
(2)x(x＋2)－x＝ 。
(3)x2－4x－ax＋4a＝ 。
(4)25x2－49＝ 。
(5)36x2－60x＋25＝ 。
(6)4x2＋12x＋9＝ 。
(7)x2－9x＋18＝ 。
(8)2x2－5x－3＝ 。
(9)12x2－50x＋8＝ 。
40.因式分解(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)＝ 。
41.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝ 。
42.因式分解9x2－66x＋121＝ 。
43.因式分解8－2x2＝ 。
44.因式分解x2－x＋14 ＝ 。
45.因式分解9x2－30x＋25＝ 。
46.因式分解－20x2＋9x＋20＝ 。
47.因式分解12x2－29x＋15＝ 。
48.因式分解36x2＋39x＋9＝ 。
49.因式分解21x2－31x－22＝ 。
50.因式分解9x4－35x2－4＝ 。
51.因式分解(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3)＝ 。
52.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝ 。
53.因式分解x(y＋2)－x－y－1＝ 。
54.因式分解(x2－3x)＋(x－3)2＝ 。
55.因式分解9x2－66x＋121＝ 。
56.因式分解8－2x2＝ 。
57.因式分解x4－1＝ 。
58.因式分解x2＋4x－xy－2y＋4＝ 。
59.因式分解4x2－12x＋5＝ 。
60.因式分解21x2－31x－22＝ 。
61.因式分解4x2＋4xy＋y2－4x－2y－3＝ 。
62.因式分解9x5－35x3－4x＝ 。
63.因式分解下列各式：
(1)3x2－6x＝ 。
(2)49x2－25＝ 。
(3)6x2－13x＋5＝ 。
(4)x2＋2－3x＝ 。
(5)12x2－23x－24＝ 。
(6)(x＋6)(x－6)－(x－6)＝ 。
(7)3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3)＝ 。
(8)9x2＋42x＋49＝ 。
64.9x2－30x＋k可化为完全平方式(3x＋a)2，则k＝ a＝ 。
65.若x2＋mx－15可分解为(x＋n)(x－3)，m、n皆为整数，则m＝ n＝ 。
66.求下列各式的和或差或积或商。
(1)(6512 )2－(3412 )2＝ 。
(2)(×7913 ×23 ＋49 ＝ 。
(3)－798×0.48－798×0.52＋＝ 。
67.因式分解下列各式：
(1)(x＋2)－2(x＋2)2＝ 。
(2)36x2＋39x＋9＝ 。
(3)2x2＋ax－6x－3a＝ 。
(4)22x2－31x－21＝ 。
68.利用平方差，和的平方或差的平方公式，填填看
(1)49x2－1＝（ ＋1）（ －1）
(2)x2＋26x＋ ＝（x＋ ）2
(3)x2－20x＋ ＝（x－ ）2
(4)25x2－49y2＝（5x＋ ）（5x－ ）
(5) －66x＋121＝（ －11）2
69.利用公式求下列各式的值
(1)求＝ (2)求(7512 )2－(2412 )2＝
(3)求392＋39×22＋112＝ (4)求172－34×5＋52＝
(5)若2x＋5y＝13 ＋7 ，x－4y＝7 －13 求2x2－3xy－20y2＝
70.因式分解3ax2－6ax＝ 。
71.因式分解(x＋1)x－5x＝ 。
72.因式分解(2x＋1)(x－3)－(2x＋1)(x－5)＝
73.因式分解xy＋2x－5y－10＝
74.因式分解x2y2－x2－y2－6xy＋4＝ 。
五、计算题
1.因式分解x3＋2x2＋2x＋1
2.因式分解a2b2－a2－b2＋1
3.试用除法判别15x2＋x－6是不是3x＋2的倍式。
4.(1)判别3x＋2是不是6x2＋x－2的因式？（写出计算式）
(2)如果是，请因式分解6x2＋x－2。
5.a＝19912 ，b＝9912 ，(1)求a2－2ab＋b2之值？ (2)a2－b2之值？
6.判别2x＋1是否4x2＋8x＋3的因式？如果是，请因式分解4x2＋8x＋3。
7.因式分解(1)3ax2－2x＋3ax－2 (2)(x2－3x)＋(x－3)2＋2x－6。
8.设6x2－13x＋k为3x－2的倍式，求k之值。
9.判别3x是不是x2之因式？（要说明理由）
10.若-2x2＋ax－12，能被2x－3整除，求 (1)a＝？ (2)将-2x2＋ax－12因式分解。
11.(1)因式分解ab－cd＋ad－bc
(2)利用(1)求91×71＋×1991的值。
12.利用平方差公式求＝？
13.利用乘法公式求(6712 )2－(3212 )2＝？
14.因式分解下列各式：
(1)(2x＋3)(x－2)＋(x＋1)(2x＋3) (2)9x2－66x＋121
15.请同学用曾经学过的各种不同因式分解的方法因式分解16x2－24x＋9
(1)方法1: (2)方法2:
16.因式分解下列各式：
(1)4x2－25 (2)x2－4xy＋4y2 (3)利用(1)(2)之方法求a2－b2＋2bc－c2
17.因式分解
(1)8x2－18 (2)x2－(a－b)x－ab
18.因式分解下列各式
(1)9x4＋35x2－4 (2)x2－y2－2yz－z2
(3)a(b2－c2)－c(a2－b2)
19.因式分解(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3)
20.因式分解39x2－38x＋8
21.利用因式分解求(6512 )2－(3412 )2之值
22.因式分解a(b2－c2)－c(a2－b2)
23.a、b、c是整数，若a2＋b2＋c2＋4a－8b－14c＋69＝0，求a＋2b－3c的值
24.因式分解7(x－1)2＋4(x－1)(y＋2)－20(y+2)2
25.因式分解xy2－2xy－3x－y2－2y－1
26.因式分解4x2－6ax＋18a2
27.因式分解20a3bc－9a2b2c－20ab3c
28.因式分解2ax2－5x＋2ax－5
29.因式分解4x3＋4x2－25x－25
30.因式分解(1－xy)2－(y－x)2
31.因式分解
(1)mx2－m2－x＋1 (2)a2－2ab＋b2－1
32.因式分解下列各式
(1)5x2－45 (2)81x3－9x (3)x2－y2－5x－5y (4)x2－y2＋2yz－z2
33.因式分解：xy2－2xy－3x－y2－2y－1
34.因式分解y2(x－y)＋z2(y－x)
35.设x＋1是2x2＋ax－3的因式，(1)求a＝？ (2)求2x2＋ax－3＝0之二根
36.(1)因式分解x2＋x＋y2－y－2xy＝？
(2)承(1)若x－y＝99求x2＋x＋y2－y－2xy之值？
分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．& 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）& =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）& =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2& =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]& =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)& =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]& =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．& 2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：& x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．& 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)& =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)& =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)& =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)& =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．& （分解因式的过程也可以参看右图。）& 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。& 3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。& 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。& 证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，& ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．& ∴(a-c)(a+2b+c)=0．& ∵a、b、c是△ABC的三条边，& ∴a＋2b＋c＞0．& ∴a－c＝0，& 即a＝c，△ABC为等腰三角形。& 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。& 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)& =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)． 2m2x+4mx2的公因式___________。 2. a2b+ab2+a3b3的公因式_____________。 3. 5m（a-b）+10n（b-a）的公因式____________。 4. -5xy-15xyz-20x2y=-5xy（____________）. 自主学习： 1. 张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10本，4元一瓶的墨水10瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9折出售，问共需多少钱。 关于这一问题两位同学给出了各自的做法。 方法一：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元） 方法二：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元） 请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？ 答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数10×90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量。 2. （1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb呢？ （2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。 答案：（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x，多项mb2+nb各项都含有相同的公因式b。 3. 将下列各式分解因式： 3x+6； 7x2-21x； 8a3b2-12ab3c+abc； a（x-3）+2b（x-3）； 5（x-y）3+10（y-x）2。 答案：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2） （2）7x2-21x=7xox-7xo3=7x（x-3） （3）8a3b2-12ab3c+abc=abo8a2b-abo12b2c+aboc=ab（8a2b-12b2c+c） （4）a（x-3）+2b（x-3）=（x-3）（a+2b） （5）5（x-y）3+10（y-x）2=5（x-y）3+10[-（x-y）]2=5（x-y）3+10（x-y）2=5（x-y）2（x-y+2） 4. 把下列各式分解因式： （1）3x2-6xy+x （2）-4m3+16m2-26m 答案：（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1） （2）-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13） 5. 把 分解因式 答案： = 6. 把下列各式分解因式： （1） 4q（1-p）3+2（p-1）2 （2） 3m（x-y）-n（y-x） （3） m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1） 答案：（1）4q（1-p）3+2（p-1）2=2（1-p）2（2q-2pq+1） （2）3m（x-y）-n（y-x）=（x-y）（3m+n） （3）m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）=2am（x+y） 7. 计算 （1） 已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值； （2） -19992 答案：（1）a2b+ab2=ab（a+b）,当a+b=13时，原式=40×13=520 （2）-1 8. 比较03与02的大小。 解答：设2002=x ∵03-02=xo10001（x+1）-（x+1）o10001 x=0 ∴03=02 §2.3运用公式法 教学目的和要求: 经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；运用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数） 教学重点和难点： 重点：发展学生的逆向思维和推理能力 难点：能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性. 快速反应： 1. 分解因式：①x2-y2= ; x2-4= ;②a2b2-2ab+1= ; = ; 2. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A．16a2-25b3 B．-16a2-25b2 C．16a2+25b2 D．-(16a2-25b2) 3. 下列各式不能用完全平方公式分解的是( ) A．x2+y2+2xy B．-x2+y2+2xy C．-x2-y2-2xy D．-x2-y2+2xy 4. 把下列各式分解因式： (1)9a2m2-16b2n2; (2) ; (3)9(a+b)2-12(a+b)+4 (4) 自主学习： 1. (1)观察多项式x2-25.9x-y2,它们有什么共同特证？ (2)将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。 答案：(1)多项式的各项都能写成平方的形式。如x2-25中：x2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x-y2也是如此。 (2)逆用乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,可知x2-25= x2-52=(x+5)(x-5),9x2-y2=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y). 2. 把乘法方式 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2,反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2 上面这个变化过程是分解因式吗？说明你的理由。 答案：a2±2ab+b2=(a±b)2是分解因式。因为(a+b)2是因式的乘积的形式，(a-b)2也是因式的乘积的形式。 3. 把下列各式分解因式： (1)25-16x2； (2) (3)9(m+n)2-(m-n)2; (4)2x3-8x; (5)x2+14x+49; (6)(m+m)2-6(m+n)+9(7)3ax2+6axy+3ay2; (8)-x2-4y2+4xy 答案： (1)25-16x2=(5+4x)(5-4x) (2) = (3)9(m+n)2-(m-n)2=4(2m+n)(m+2n) (4)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-2x)=2x(x+2)(x-2) (5)x2+14x+49= x2+2×7x+72=(x+7)2 (6)(m+m)2-6(m+n)+9=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2 (7)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2 (8)-x2-4y2+4xy=-(x-2y)2 4. 把下列各式分解因式： (1) ； (2)(a+b)2-1； (3)-(x+2)2+16(x-1)2； (4) 答案： (1) ; (2)(a+b)2-1=(a+b+1)(a+b-1) (3)-(x+2)2+16(x-1)2=3(x-2)(5x-2); (4) 5. 把下列各式分解因式： (1)m2-12m+36； (2)8a-4a2-4； (3) ； (4) 。 答案：(1)m2-12m+36=(m-6)2； (2)8a-4a2-4=-4(a-1)2； (3) ； (4) 6. 求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。 证明一：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1 =(x2+5x)2+10(x2+5x)+25 =(x2+5x+5)2 ∴原命题成立 证明二：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1 令a=x2+5x+4，则x2+5x+6=a+2 原式=a(a+2)+1=(a+1)2 即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2 证明三：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1 令 原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1 =(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2 7. 已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0试判断△ABC的形状。 答案：∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 ∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0 ∴(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0 ∵(a-b) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-c) 2≥0 ∴a-b=0，b-c=0，a-c=0 ∴a=b，b=c，a=c ∴这个三角形是等边三角形. 8. 设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值？ 答案：当x+2z=3y时，x2-9y2+4z2+4xz的值为定值0。 6. 求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。 证明一：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1 =(x2+5x)2+10(x2+5x)+25 =(x2+5x+5)2 ∴原命题成立 证明二：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1 令a=x2+5x+4，则x2+5x+6=a+2 原式=a(a+2)+1=(a+1)2 即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2 证明三：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1 令 原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1 =(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2 1. 根据因式分解的概念，判断下列各等式哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）6abxy=2abo3 （2） （3）（2x-1）o2=4x-2 （4）4x2-4x+1=4x（x-1）+1. 2. 填空 （1）（2m+n）（2m-n）=4m2-n2此运算属于 。 （2）x2-2x+1=（x-1）2此运算属于 。 （3）配完全平方式 49x2+y2+ =（ -y）2
4X?Y?&+2Y?&&&
（x?）?—4
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一元二次方程应用复习教案(2)教师版
深圳市高仁江工作室一元二次方程应用复习教案（2）姓名 分数 家长评价福勒是美国一个黑人佃农的儿子。 他五岁开始劳动， 岁以前以赶骡子为生， 9
他们一家人一直过着贫穷的生活。 福勒有一个不平常的母亲，她发现福勒与其他 6 个孩子不同。这位母亲有 意识地经常将福勒拉在身边，跟他谈谈心中的想法。她反复地说：“福勒，我 们不应该贫穷！我们的贫穷不是由上帝安排的，而是我们家庭中的任何人都没 有产生过出人头地的想法。” 我们贫穷是因为没有奢望过富裕！这个观念在福勒的心灵深处刻下了深深 的烙印，以致成就了他日后天比辉煌的事业。 福勒改变贫穷的愿望像火花一样迸发出来――他挨家挨户出售肥皂长达 12 年之久，并由此获得了许多商人的尊敬和赞赏。慢慢地，福勒不仅在最初工作 的那个肥皂公司，而且在其他 7 个公司都获得了控股权。福勒获得了巨大的成 功，彻底改变了家庭的贫穷的面貌，扭转了家庭的命运。 哲人说：所有伟大的成就在它开始时都不过是一个想法罢了――不过是一 个想法！感悟：【经典导航 1】知识提炼： 一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫 做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ，它的特征是：等式左边十 一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中 ax 2 叫做二次项，a 叫做 二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方 法。直接开平方法适用于解形如 ( x ? a) 2 ? b 的一元二次方程。根据平方根的 定义可知， x ? a 是 b 的平方根，当 b ? 0 时， x ? a ? ? b ， x ? ?a ? b ，当 b&0 时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式 a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2 ， 把公式中的 a 看做未 知数 x，并用 x 代替，则有 x 2 ? 2bx ? b 2 ? ( x ? b) 2 。 学年度第二学期八年级1学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为 1，再同时 加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法， 它是解一元二次方程的一 般方法。 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的求根公式：? b ? b 2 ? 4ac 2 x? (b ? 4ac ? 0) 2a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为 a，一次项的系数为 b，常数项的系数为 c 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单 易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式 法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积 的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根 之积=c/a 也可以表示为 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二 次方程中的各系数，在题目中很常用 一元二次方程根的判别式 根的判别式 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 中 ， b 2 ? 4ac 叫 做 一 元 二 次 方 程ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的判别式，通常用“ ? ”来表示，即 ? ? b 2 ? 4acI 当△&0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根； II 当△=0 时，一元二次方程有 2 个相同的实数根； III 当△&0 时，一元二次方程没有实数根一元二次方程根与系数的关系 学年度第二学期八年级2学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室b 如果方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1，x2 ，那么 x1 ? x 2 ? ? ， a c x1 x2 ? 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方 a 程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数； 两根之积等于常数项除以二 次项系数所得的商。一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法， 在图象中表示等等， 其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次 方程也是二次函数的一个特殊情况， 就是当 Y 的 0 的时候就构成了一元二次方程 了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象 与 X 轴的交点。也就是该方程的解了 一元二次方程应用题学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的 应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔， 事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找 到已知的条件和未知问题， 必要时可以通过画图、 列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之 间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正 确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.【经典导航 2】已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。 解：设直角三角形的三边长为 x，x+1，x+2。 x?+(x+1) ?=(x+2) ?（只需要列车方程到这步即可） x?-2x-3 =0 x?-2x+1?=3+1? (x-1) ?=4 x-1=±2 知识点 1 直接开平方（重点；掌握） 定义： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平 方法 直接开平方法的理论依据是平方根的定义。直接开平方法试用于解形如下 (x+a) ? =b(bR0)的一元二次方程。 （此段看不懂可先看下面的， 到时候自然会懂） 先给出解题的前提条件，让大家重点掌握！ （重点，必背） （下面的用在二次项系数为“1”的情况下） ① 移（移常数项） ② 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ③ 构成(x+n) ?=m 的形式，然后开方（x，m 只是代数） ④ 解：x+m=±√n，x+m=±√n-m。 或 （下面的用在二次项系数不为“1”的情况下） ① 化二次项系数为 1 学年度第二学期八年级3学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室② 移 将常数项移到方程右边 ③ 配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ④ 开方(x+m) ?=n（m，n 只是代数） ⑤ 解：x+m=±√n，x+m=±√n-m。 上面的背好后 简单记住：一化、二移、三配、四开、五解（统一使用此方法记住） 例题：课本 P55 页随堂练习 （1）x ?-10x+25 =7 x ?-10x+25-7=0（首先先使右边为 0，将“7”移到左边，左右两边移动要变号。 ） x ?-10x+18 =0（为一元二次方程的一般形式） x?-10x+5?=-18+5?（一移，常数项“18”移到方程右边；方程两边同乘以一次项系数一半的平方）(x-5) ?=7（构成(x+m) ?=n 的形式了） x-5 =±√7（解的步骤，从上一步到下一步，方程左边去掉括号和平方后，右边直接开方，开不了的用根号。必须为正和负两个） ∴x1=5+√7,x2=5-√7（2）x?+6x=1 x?+6x-1 =0（无论怎样都先化为一元二次方程的一般形式） x?+6x+3? =1+3?（一移，常数项“1”移动到右边，方程两边加上一次项系数一半的平方）（x+3）?=10（构成(x+m) ?=n 的形式了） x+3 =±√10（方程左边去掉括号后，右边进行开方）∴x1=-3+√10,x2=3+√10（3）x?-14x=8 x?-14x-8=0 x?-14x+7?=8+7? (x+7) ?=57 x+7=±√57∴x1=7+√57,x2=7-√57（4）x?+2x+2=8x+4 （为了检验你是否会做，答案放在后面，现在考考你） =0 =0 x?-6x=0 x?-6x+ =2+ ( ) ?=11 x-3=±√ ∴x1= ，x2= 看看你上面的是否做对了呢！第四小题偏难。 第四小题答案 x?+2x+2-8x-4=0 x?+2x-8x+2-4=0 学年度第二学期八年级4学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室x?-6x-2=0 x-6x+3?=2+3? (x-3) ?=11 x-3=±√11 ∴x1=3+√11,x2=3-√11 我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根， 这种解一元二次 方程的方法称为配方法。 用配方法解下列方程（增订内容） （1） x?+8x-9=0 （2）3x?+8x-3=0 分析：当二次项系数为 1 时，只要先把常数项移动到右边，然后左右两边同时加 上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方，变成(x+m) ?=n(n≥0)的形式， 再用直接开平方法求解，当二次项系数不是 1 时，先将二次项系数华为 1，再用 配方法解过程。 （1）移项，得 x?+8x=9 配方，得 x?+8x+4?=9+4?（两边同时加上一次项系数一半的平方） 即(x+4) ?=25 直接开平方得 x+4=±5 即 x+4=5 或 x+4=-5 所以 x1=1，x2=-9 （2） 两边同除以 3，得 x?+8/3x-1=0（之前说过二次项系数非 1 的要先华为 1， 就是把一次项系数和常数项各除以二次项系数，二次项系数被除后可去 除，这样变为 1） 移项，得 x?+8/3x=1 配方，得 x?+8/3x+(4/3) ?=1+(4/3) ?（两边同时加上一次项系数一半的平 方） 即(x+4/3) ?=(5/3) ? 直接开平方，得 x+4/3=±5/3，所以 x1=1/3，x2=-3 公式法 公式法是万能的， 任何的一元二次方程都能用公式法解，但要看哪种方法比较简 单，否则不建议都用公式法。 b?-4ac&0 有一个实数根 b?-4ac=0 有两个不同的实数根 b?-4ac&0 没有实数根 当 a ?R0 时，它的根是 “ x=-b±√b ?-4ac” 2a 知识拓展 1.被开方数 b ?-4ac 必须是非负数，否√b ?-4ac 没有意义。 b 2.在 x+ 2a =±√b ?-4ac =±√b ?-4ac 这步中，√4a 应等于±2|a|，但是式子前面 4a 2|a| b 有双重符号“±” ，所以无论 a&0，还是 a&0，最终结果都是 x+ 2a=±√b ?-4ac。 2a 学年度第二学期八年级5学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室由于分类讨论的书写过程比较麻烦，所以这里就省略了讨论的过程。 3.由于根公式可知，一元二次方程的根是有其系数 a，b，c 决定的，只有确定了 a，b，c 的值，就可带入公式求一元二次方程。 计算时以一元二次方程一般式为主， 不是的要先化， 二次项系数可以是非 1 的数！ 分别用 a，b，c 来取代 二次项系数，一次项系数，常数项。但方程右边确保要 等于 0 的情况下。 提示：先将一次项系数化为 1（这样能使方程简便） ，然后再用 a、b、c 取值， 但是在化为 1 时发现会出现分数的情况下，就尽量不要化为 1，这个时候直接用 a、b、c 代替取值。 例题：x ?-7x-18=0（一元二次方程一般形式） a=1 b=-7 c=-18 （二次项系数或一次项系数为一的用 1 代替，常数项为 0 的照样用 0 代替） b ?-4ac=(-7) ?－4×1×(-18) （牢记固定公式“b?-4ac” ，直接计算） =49－(-72) =121 x=-b±√b?-4ac（套用公式）x=7±11 。x1=9，x2=-9 2a 2 例题 2: 2x?-9x+8=0 a=2 b=-9 c=8 b?-4ac =(-9) ?－4×2×8 =81-64 =17 x=9±√17 4 x1=9＋√17， x2=9－√17 4 4第1节 分解因式法 分解因式分别有：平方差公式、完全平方公式、提取公因式和十字相乘法。 其实只需要利用一下以上公式， 有的要从以上公式变位一元二次方程的一般形式 才能计算，有的可以直接计算。 知识点 对于一般形式的一元二次方程 ax?+bx+c=0（a≠0）来说，诺其左端能够分解因 式，得(a1x+b1)(a2x+b2)=0，必有 a1x+b1=0 或 a2x+b2=0，进而求得方程的解， 这种方法就是分解因式。 例题： 用分解因式法解下列各题。 （1） x?+x-2=0 （2）49(x-3) ?=16(x+6) ? （3）(x-1) ?-2(x?-1)=0 （4）(x-3)(x+1)=5 学年度第二学期八年级6学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室解： （1）原方程变形为(x+2)(x-1)=0，所以 x+2=0，所以 x1=-2，x2=1. （2） 原方程变形为 49(x-3) ?-16(x+6) ?=0，即[7(x-3)] ?-[4(x+6)] ?=0，所以 (7x-21+4x+24)(7x-21-4x-24)=0，所以 11x+3=0 或 3x-45=0，所以 x1=-3/11， x2=15. （3） 原方程变形为(x-1) ?-2(x+1)(x-1)=0，(x-1)(x-1-2x-2)=0，所以 x-1=0 或 -x-1=0，所以 x=1，x=-3. （4） 原方程变形为(x-3)(x+1)-5=0， x?-2x-8=0， 即 所以(x-4)(x+2)=0， 所以 x-4=0 或 x+2=0，所以 x1=4，x2=-2.〖典型例题 1〗 一、增长率问题 例 1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一 月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求 这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是 x.，则根据题意，得 200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得 x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答 这两个月的平均增长率是 10%.说明 这是一道正增长率问题， 对于正的增长率问题， 在弄清楚增长的次数和问题中每 一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2＝n 求解，其中 m＜n.对于负的增长率问题，若经过 两次相等下降后，则有公式 m(1－x)2＝n 即可求解，其中 m＞n. 二、商品定价 例 2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商 品售价 a 元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商 店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解 根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得 a2－56a+775＝0，解这个方程，得 a1＝25，a2＝31. 因为 21× (1+20%)＝25.2，所以 a2=31 不合题意，舍去. 所以 350－10a＝350－10× 25＝100（件）. 答 需要进货 100 件，每件商品应定价 25 元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
学年度第二学期八年级7学生版编辑：高仁江深三、储蓄问题圳市高仁江工作室例 3 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后 将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入， 这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解 设第一次存款时的年利率为 x.则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得 90x2+145x－3＝0. 解这个方程， x1≈0.%， 2≈－1.63.由于存款利率不能为负数， 得 x 所以将 x2≈ －1.63 舍去. 答 第一次存款的年利率约是 2.04%.说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例 4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽 4 米，旁 边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高 2 米，二人 没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚 好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解 设渠道的深度为 xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得1 (x+0.1+x+1.4+0.1)? x＝1.8，整理，得 x2+0.8x－1.8＝0. 2解这个方程，得 x1＝－1.8（舍去） 2＝1. ，x 所以 x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答 渠道的上口宽 2.5m，渠深 1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔， 但只要能仔细地阅读和口味， 就能从中找到等量 关系，列出方程求解. 五、古诗问题 例 5 读诗词解题： （通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）. 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 学年度第二学期八年级8学生版编辑：高仁江深解圳市高仁江工作室设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x－3.则根据题意，得 x2＝10(x－3)+x，即 x2-11x+30＝0，解这个方程，得 x＝5 或 x＝6. 当 x＝5 时，周瑜的年龄 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去； 当 x＝6 时，周瑜年龄为 36 岁，完全符合题意. 答 周瑜去世的年龄为 36 岁.说明 本题虽然是一道古诗问题， 但它涉及到数字和年龄问题， 通过求解同学们应从中 认真口味. 六、象棋比赛 例 6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0 分.如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是 ，.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参 加. 解 设共有 n 个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计 n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为1 n(n 2－1)局.由于每局共计 2 分，所以全部选手得分总共为 n(n－1)分.显然(n－1)与 n 为相邻的自 然数， 容易验证， 相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0， 6， 2， 故总分不可能是 1979， 1984， 1985，因此总分只能是 1980，于是由 n(n－1)＝1980，得 n2－n－1980＝0，解得 n1＝45，n2 ＝－44（舍去）. 答 参加比赛的选手共有 45 人.说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题， 都可以仿照些方 法求解. 七、情景对话 例 7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游， 推出了如图 1 对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元.请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 解 设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游.因为 1000× 25＝2， 所以员工人数一定超过 25 人. 则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000. 整理，得 x2－75x+1350＝0，解这个方程，得 x1＝45，x2＝30.
学年度第二学期八年级9学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室当 x＝45 时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去 x1； 当 x2＝30 时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意. 答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游. 说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系， 求得的解还要注意分类讨论， 从中找 出符合题意的结论. 如果人数不超过 25 人，人 均旅游费用为 1000 元. 如果人数超过 25 人， 每增加 1 人， 人均旅游费用降低 20 元， 但人均 旅游费用不得低于 700 元.图1八、等积变形 例 8 将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二.（精确到 0.1m） （1）设计方案 1（如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案 2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半 径；若不能符合条件，请说明理由. 解 都能.（1）设小路宽为 x，则 18x+16x－x2＝2 × 15，即 x2－34x+180＝0， 18× 3解这个方程，得 x＝34 ? 436 ，即 x≈6.6. 22 × 15，即 r2≈57.32，所以 r≈7.6. 18× 3B（2）设扇形半径为 r，则 3.14r2＝说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变； 或形变积也变，但重量不变，等等..cnQ A C P 图4 .cn学生版图2
学年度第二学期八年级图310编辑：高仁江深圳市高仁江工作室九、动态几何问题 例 9 如图 4 所示，在△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝6cm，BC＝8cm，点 P 从点 A 出发 沿边 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动， Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动. 点 （1）如果 P、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为 8 平方厘米？ （2）点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面 积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. 解 因为∠C＝90° ，所以 AB＝AC 2 ? BC 2 ＝ 62 ? 82 ＝10（cm）.（1） xs 后， 设 可使△PCQ 的面积为 8cm2， 所以 AP＝xcm， PC＝(6－x)cm， CQ＝2xcm. 则根据题意，得1 ? (6－x)? 2x＝8.整理，得 x2－6x+8＝0，解这个方程，得 x1＝2，x2＝4. 2所以 P、Q 同时出发，2s 或 4s 后可使△PCQ 的面积为 8cm2. （2）设点 P 出发 x 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半. 则根据题意，得1 1 1 (6－x)? 2x＝ × × 8.整理，得 x2－6x+12＝0. 6× 2 2 2由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ 的面积等于 ABC 面积一半的时刻. 说明 本题虽然是一道动态型应用题， 但它又要运用到行程的知识， 求解时必须依据路 程＝速度×时间. 十、梯子问题 例 10 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角 6m. （1）若梯子的顶端下滑 1m，求梯子的底端水平滑动多少米？ （2）若梯子的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端滑动多少米？ （3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少 米？ 解 依题意，梯子的顶端距墙角 102 ? 62 ＝8（m）.（1）若梯子顶端下滑 1m，则顶端距地面 7m.设梯子底端滑动 xm. 则根据勾股定理，列方程 72+(6+x)2＝102，整理，得 x2+12x－15＝0， 解这个方程，得 x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去） ， 所以梯子顶端下滑 1m，底端水平滑动约 1.14m. （2）当梯子底端水平向外滑动 1m 时，设梯子顶端向下滑动 xm. 则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得 x2－16x+13＝0.11 学年度第二学期八年级学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室解这个方程，得 x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）. 所以若梯子底端水平向外滑动 1m，则顶端下滑约 0.86m. （3）设梯子顶端向下滑动 xm 时，底端向外也滑动 xm. 则根据勾股定理，列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得 2x2－4x＝0， 解这个方程，得 x1＝0（舍去） 2＝2. ，x 所以梯子顶端向下滑动 2m 时，底端向外也滑动 2m. 说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动， 梯子始终与墙上、 地面构成直角三角 形. 十一、航海问题 例 11 如图 5 所示，我海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里 处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 恰好位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 上且恰好处于 小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航．一艘补给 船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰. （1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？ （2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处， 那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到 0.1 海里） 解（1）F 位于 D 的正南方向，则 DF⊥BC.因为 AB⊥BC，D 为 AC 的中点，所以 DF＝A DC F B E .cn图51 AB＝100 海里，所以，小岛 D 与小岛 F 相距 100 海里. 2（2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE＝x 海里，AB+BE＝2x 海里，EF＝AB+BC －(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里. 在 Rt△ DEF 中， 根据勾 股定 理可 得方 程 x2 ＝ －2x)2 ，整 理，得 3x2 － ＝0. 解这个方程，得 x1＝200－100 6 100 6 ≈118.4，x2＝200+ （不合题意，舍去）. 3 3所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里. 说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形 中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程. 十二、图表信息 学年度第二学期八年级12学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室例 12 如图 6 所示，正方形 ABCD 的边长为 12，划分成 12× 个小正方形格，将边长 12 为 n（n 为整数，且 2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第 一张 n× 的纸片正好盖住正方形 ABCD 左上角的 n× 个小正方形格，第二张纸片盖住第一 n n 张纸片的部分恰好为(n－1)× (n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形 ABCD 的右下角为止. 请你认真观察思考后回答下列问题： （1）由于正方形纸片边长 n 的取值不同，? 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不 同，请填写下表： 纸片的边长 n 使用的纸片张数 （2）设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为 S1，未被盖住的面积 为 S2. ①当 n＝2 时，求 S1∶S2 的值； ②是否存在使得 S1＝S2 的 n 值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由. 解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7. （2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12. ①当 n＝2 时，S1＝－22+25× 2－12＝34，S2＝12× 12－34＝110. 所以 S1∶S2＝34∶110＝17∶55. ②若 S1＝S2，则有－n2+25n－12＝ 图6 2 3 4 5 61 × 2，即 n2－25n+84＝0， 12 2解这个方程，得 n1＝4，n2＝21（舍去）. 所以当 n＝4 时，S1＝S2.所以这样的 n 值是存在的. 说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表， 及时挖掘其中的隐含条件， 对于 求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方 程是否有实数根来加以判断. 十三、探索在在问题 例 13 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段， 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方 形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别 是多少?
学年度第二学期八年级13学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能， 请说明理由. 解（1）设剪成两段后其中一段为 xcm，则另一段为（20－x）cm.? x ? ? 20 ? x ? 则根据题意，得 ? ? + ? ? ＝17，解得 x1＝16，x2＝4， ?4? ? 4 ?22当 x＝16 时，20－x＝4，当 x＝4 时，20－x＝16， 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm 和 16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 ycm，则另一段为（20－y）cm.则由 题意得 ?? y ? ? 20 ? y ? 2 2 ? +? ? ＝12，整理，得 y －20y+104＝0，移项并配方，得(y－10) ＝－4 ?4? ? 4 ?2 2＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为 12cm2. 说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的 b2－4ac 来判定.若 b2－4ac≥0，方 程有两个实数根，若 b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的 b2－4ac＝－16＜0 即无解. 十四、平分几何图形的周长与面积问题 例 14 如图 7，在等腰梯形 ABCD 中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点 E? 在下底边 BC 上，点 F 在腰 AB 上. （1）若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设 BE 长为 x，试用含 x 的代数式表示△BEF 的面积； （2）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 BE 的长；若不存在，请说明理由； （3） 是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 1∶2 的两部分？若存 在，求此时 BE 的长；若不存在，请说明理由. 解（1）由已知条件得，梯形周长为 12，高 4，面积为 28. 过点 F 作 FG⊥ 于 G，过点 A 作 AK⊥ 于 K. BC BC 则可得，FG＝A FD12 ? x × 4， 5BG K E C .cn 图7所以 S△BEF＝1 2 2 24 BE? FG＝－ x+ x（7≤x≤10）. 2 5 5 2 2 24 x+ x＝14，解这个方程，得 x1＝7，x2＝5（不合题意， 5 514（2）存在.由（1）得－ 学年度第二学期八年级学生版编辑：高仁江深舍去） ，圳市高仁江工作室所以存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长与面积同时平分，此时 BE＝7. （3）不存在.假设存在，显然有 S△BEF∶S 多边形 AFECD ＝1∶2， 即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－2 2 16 28 x+ x＝ ， 5 5 3整理，得 3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的 b2－4ac＝576－840＜0， 所以不存在这样的实数 x.即不存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 1∶2 的两部分. 说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定 x 的取值范围；二是在求得 x2＝5 时，并 不属于 7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来 探索问题的存在性. 十五、利用图形探索规律 例 15 在如图 8 中，每个正方形有边长为 1 的小正方形组成：图8 （1）观察图形，请填写下列表格： 正方形边长 黑色小正方形个数 1 3 5 7 ? ? n（奇数）正方形边长 黑色小正方形个数2468? ?n（偶数）（2）在边长为 n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的 个数为 P2，问是否存在偶数 n，使 P2＝5P1？若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明理 ．． 由. 解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、?、n 时，黑色正方形的个数 为 1、5、9、13、2n－1（奇数） ；正方形的边长为 2、4、6、8、?、n 时，黑色正方形的个 数为 4、8、12、16、2n（偶数）.
学年度第二学期八年级15学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室（2）由（1）可知 n 为偶数时 P1＝2n，所以 P2＝n2－2n.根据题意，得 n2－2n＝5×2n， 即 n2－12n＝0，解得 n1＝12，n2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数 n＝12，使得 P2＝5P1. 说明 本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解. 综上所言， 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、 二元一次方程组解应用题的延 续和发展， 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型， 然后通过解方程获得对实际 问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将 实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词 语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌 握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长 率问题中的一些特殊关系等等. 第 1 题、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 如果人数不超过 25 人，人 均旅游费用为 1000 元． 如果人数超过 25 人， 每增加 1 人， 人均旅游费用降低 20 元， 但人均 旅游费用不得低于 700 元．某单位组织员工去天水湾风景区旅游， 共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元． 请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 解：设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游． 因为 1000 ? 25 ? 25000 ? 27000 ，所以员工人数一定超过 25 人． 可得方程 [1000 ? 20( x ? 25)]x ? 27000 ． 整理，得 x ? 75 x ? 1350 ? 0 ，2解得 x1 ? 45 x2 ? 30 ． ， 当 x1 ? 45 时， 1000 ? 20( x ? 25) ? 600 ? 700 ，故舍去 x1 ； 当 x2 ? 30 时， 1000 ? 20( x ? 25) ? 900 ? 700 ，符合题意． 答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游．第 2 题、 机械加工需用油进行润滑以减小摩擦， 某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 ．．．
学年度第二学期八年级16学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室90 千克，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 ．．．．． 36 千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减 少实际耗油量进行攻关． ．．．．． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70 千克，用油的 ．．． 重复利用率仍然为 60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多 ．．．．． 少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率， ．．． 并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少 1 千克，用油的重复利用率将增加 ．．． 1.6% ．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克．问乙车间技术革新 ．．．．． 后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ ．．． 解： （1）由题意，得 70 ? ?1 ? 60%? ? 70 ? 40% ? 28 （千克） ． （2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为 x 千克． ．．．1.6% ? 60% ? ? 12 ． 由题意，得 x??1 ? ? 90 ? x ?? ? ?整理，得 x ? 65x ? 750 ? 0 ．2解得： x1 ? 75 ， x2 ? ?10 （舍去） ．?90 ? 75? ?1.6% ? 60% ? 84% ．答： （1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是 28 千克． ．．．．． （2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为 75 千克，用油的重复 ．．． 利用率为 84% ． 第 3 题. (2006 成都课改)已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量 100 万台提高到 121 万台，那么每年平均增长的百分数是 ．按此年平均增长率，预计第 4 年该工厂的年产量应为 万台． 答案： 10％ ， 146.41 第 4 题、假设 A 型进口汽车（以下简称 A 型车）关税率在 2001 年是 100%，在 2006 年是 25%，2001 年 A 型车每辆的价格为 64 万元（其中含 32 万元的关税） ． （Ⅰ）已知与 A 型车性能相近的 B 型国产汽车（以下简称 B 型车） ，2001 年每辆的价格为 46 万元，若 A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证 2006 年 B 型车的价格为 A 型车 价格的 90%， B 型车价格要逐年降低，求平均每年下降多少万元； （Ⅱ）某人在 2004 年投资 30 万元，计划到 2006 年用这笔投资及投资回报买一辆按（Ⅰ） 中所述降低价格后的 B 型车，假设每年的投资回报率相同，第一年的回报计入第二年的投 资，试求每年的最低回报率． （参考数据： 3.2 ? 1.79 1.2 ? 1.1 ） ， 解： （Ⅰ）设 B 型汽车平均每年下降 x 万元，
学年度第二学期八年级17学生版编辑：高仁江深根据题意，得圳市高仁江工作室4 6? 5 ? 3 2 (? x 125? ) ． 0% % 9解这个方程，得 x ? 2 ． 答： B 型汽车平均每年下降 2 万元． （Ⅱ）设每年的投资回报率为 x ，2006 年降价后 B 型车价格为 36 万元． 根据题意，得3 0 (? x 2 ) 1 ?． 36( 1? x 2 ? 1 ． ) .2?1 ?x ? ? . ． 1 1． ? x1 ? 0，x2 ? ?2.1（负值舍去） 答：每年的最低回报率约为 10%． 第 5 题、从社会效益和经济效益出发，某地制定了三年规划，投入资金进行生态环境建设， 并以此发展旅游产业． 根据规划， 第一年度投入资金 800 万元， 第二年度比第一年度减少 第三年度比第二年度减少1 ， 31 ．第一年度当地旅游业收入估计为 400 万元，要使三年内的投 2入资金与旅游业总收入持平，则旅游业收入的年平均增长率应是多少？（以下数据供选用： ． 2 ≈1414，13 ≈ 3.606 ，计算结果精确到百分位） ． 解：设三年内旅游业收入每年的平均增长率为 x ， 根据题意，得方程4 0? 04 0 x ?1 ?0 (2) x 2 ? 0 (?1 ? 4 01 1 1 ?) ? 8 ? 0 ? 8 ? 0 ? ( ? ． 0 0 1 ) 3 3 28 0 0(1)(1化简，得 x ? 3x ? 1 ? 0 . 解得 x1 ??3 ? 13 ?3 ? 13 ，x2 ? （不合题意，应舍去） ． 2 2 3 .?6 0 6 3 ? 0 . 3 ≈3 0 2 3 ．0 %x?1 3 3 ? ≈ 2答：三年内旅游业收入每年的平均增长率应约为 30% ． 第 6 题、 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段， 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多 少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请 说明理由．
学年度第二学期八年级182 2学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室解：设这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为 xcm ，则另一个正 方形的边长为20 ? 4 x ? (5 ? x)cm ． 4依题意列方程得：x2 ? (5 ? x)2 ? 17 ，解方程得： x1 ? 1 x2 ? 4 ， ， 因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm、16cm． （2）两个正方形的面积之和不可能等于 12cm ．理由： 设两个正方形的面积和为 y ，则：2y ? x 2 ? ( 5? x )2 ? 2 (? x? a ? 2 ? 0 ，当 x ?5 22? )25 ， 25 ， y 的最小值 ? 12.5 ? 12 ． 2? 两个正方形的面积之和不可能等于 12cm2 ．（另解：由（1）可知： x2 ? (5 ? x)2 ? 12 ， 化简后得： 2 x ? 10 x ? 13 ? 0 ，2? ? ? (?10)2 ? 4 ? 2 ?13 ? ?4 ? 0 ，? 方程无实数解，所以两个正方形的面积之和不可能等于 12cm ． ）2第 7 题、某城市 2003 年底已有绿化面积 300 公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到 2005 年底增加到 363 公顷．设绿化面积平均每年的增长率为 x ，由题意，所列方程正确的 是（ ） Ａ． 300 ?1 ? x ? ? 363 Ｃ． 300 ?1 ? 2x ? ? 363 答案：Ｂ 第 8 题、某公司 2003 年缴税 60 万元，2005 年缴税 80 万元，设该公司这两年缴税的年平均 增长率为 x ，则得到方程（ ） Ａ． 60 ? 2 x ? 80 Ｃ． 60 x ? 802Ｂ． 300 ?1 ? x ? ? 3632Ｄ． 363 ?1 ? x ? ? 3002Ｂ． 60 ?1 ? x ? ? 80 Ｄ． 60 ?1 ? x ? ? 802 学年度第二学期八年级19学生版编辑：高仁江深答案：D圳市高仁江工作室第 9 题. （2006 湛江课改）近年来，我市开展以“四通五改六进村”为载体，以生态文明 为主要特色的新农村建设活动取得了明显成效． 下面是市委领导和市民的一段对话， 请你根 据对话内容，替市领导回答市民提出的问题（结果精确到 0.1%） ． 全市一共有 13233 个自然村， 2005 年已建成生 态文明村 2315 个，计划到 2007 年全市生态文 明村数要达到自然村总数的 24.4%领导，按这个计划，从 2005 年到 2007 年， 平均每年生态文明村增长率约是多少？ 领导市民 答案：解：设平均每年生态文明村增长率是 x ，根据题意，得2315(1 ? x)2 ? 1%解得： x1 ≈ 0.181 x2 ≈ ?2.181 （不合题意，舍去） ， 答：平均每年生态文明村增长率约是 18.1%．第 10 题、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 如果人数不超过 25 人，人 均旅游费用为 1000 元． 如果人数超过 25 人， 每增加 1 人， 人均旅游费用降低 20 元， 但人均 旅游费用不得低于 700 元．某单位组织员工去天水湾风景区旅游， 共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元． 请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 解：设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游． 因为 1000 ? 25 ? 25000 ? 27000 ，所以员工人数一定超过 25 人． 可得方程 [1000 ? 20( x ? 25)]x ? 27000 ． 整理，得 x ? 75 x ? 1350 ? 0 ，2 学年度第二学期八年级20学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室解得 x1 ? 45 x2 ? 30 ． ， 当 x1 ? 45 时， 1000 ? 20( x ? 25) ? 600 ? 700 ，故舍去 x1 ； 当 x2 ? 30 时， 1000 ? 20( x ? 25) ? 900 ? 700 ，符合题意． 答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游． 第 11 题、在一幅长 60cm，宽 40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂 图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是 2816cm2 ，设金色纸边的宽为 xcm ，那么 x 满足 的方程是（ ） Ａ． (60 ? 2 x)(40 ? 2 x) ? 2816 Ｂ． (60 ? x)(40 ? x) ? 2816 Ｃ． (60 ? 2 x)(40 ? x) ? 2816 Ｄ． (60 ? x)(40 ? 2 x) ? 2816 答案：Ａ 第 12 题、某商店从厂家以每件 18 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．据市场调 查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价 a 元，则可卖出 ? 320 ?10a ? 件，但物价 部门限定每件商品加价不能超过进货价的 25% ．如果商店计划要获利 400 元，则每件商品 的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？（每件商品的利润＝售价 ? 进货价） 解法：设每件商品的售价定为 x 元， 则 ? x ?18??320 ?10x ? ? 400 整理得 x ? 50 x ? 616 ? 02? x1 ? 22 ， x2 ? 28 ．?18 ?1 ? 25%? ? 22.5 ，而 28 ? 22.5 ，? x ? 22 ．卖出商品的件数为 320 ? 10 ? 22 ? 100 ． 答：每件商品的售价应定为 22 元，需要卖出这种商品 100 件． 第 13 题、商场某种新商品每件进价是 120 元，在试销期间发现，当每件商品售价为 130 元 时， 每天可销售 70 件， 当每件商品售价高于 130 元时， 每涨价 1 元， 日销售量就减少 1 件． 据 此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为 170 元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日 盈利可达到 1600 元？（提示：盈利＝售价－进价） 解： （1）当每件商品售价为 170 元时，比每件商品售价 130 元高出 40 元， 即 170 ? 130 ? 40 （元） ，
学年度第二学期八年级21学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室则每天可销售商品 30 件，即 70 ? 40 ? 30 （件） 商场可获日盈利为 ?170 ?120? ? 30 ? 1500 （元） （2） 设商场日盈利达到 1600 元时， 每件商品售价为 x 元， 则每件商品比 130 元高出 ? x ? 130 ? 元，每件可盈利 ? x ? 120 ? 元 每日销售商品为 70 ? ? x ?130? ? 200 ? x （件） 依题意得方程 ? 200 ? x ?? x ?120? ? 1600 整理，得x2 ? 320 x ? 25600 ? 0即 ? x ? 160 ? ? 02解得 x ? 160答：每件商品售价为 160 元时，商场日盈利达到 1600 元．第 14 题、大连某小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为 300 平方米的一块长方形绿地， 并且长比宽多 10 米，设长方形绿地的宽为 x 米，则可列方程为 ． 答案： x( x ? 10) ? 300 第 15 题、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过两次连 续降价后，由每盒 200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 解：设这种药品平均每次降价的百分率是 x ， 由题意，有 200(1 ? x)2 ? 128 ． 则 (1 ? x)2 ? 0.64 ．?1 ? x ? ?0.8 ．? x1 ? 0.2 ? 20% ， x2 ? 1.8 （不合题意，舍去） ．答：这种药品平均每次降价 20% ．第 16 题、2004 年，自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市开办区内初 中班，重点招收农牧民子女及其他家庭贫困的学生．某市 2004 年 9 月招收区内初中班学生 50 名，并计划在 2006 年 9 月招生结束后，使区内初中班三年招生总人数达到 450 名．若该 ．．．．．．． 市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率． 解：设平均增长率为 x ． 根据题意列方程： 50 ? 50(1 ? x) ? 50(1 ? x) ? 450 ，2整理得： x ? 3x ? 6 ? 0．2解得： x1 ??3 ? 33 ?3 ? 33 ≈137 ≈137% ． ． （舍） x2 ? ， 2 222 学年度第二学期八年级学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室答：平均增长率为 137%． 第 17 题. （2006 聊城课改） 某款手机连续两次降价， 售价由原来的 1185 元降到 580 元． 设 平均每次降价的百分率为 x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） Ａ． 1185x ? 58022 Ｃ． 1185 1 ? x ? 580Ｂ． 1185 ?1 ? x ? ? 5802??Ｄ． 580 ?1 ? x ? ? 11852答案：Ｂ 第 18 题、 某西瓜经营户以 2 元／千克的价格购进一批小型西瓜， 3 元／千克的价格出售， 以 每天可售出 200 千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降 价 0.1 元／千克，每天可多售出 40 千克．另外，每天的房租等固定成本共 24 元．该经营户 要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 解：设应将每千克小型西瓜的售价降低 x 元． 40 x ? ? 根据题意，得 (3 ? 2 ? x) ? 200 ? ? ? 24 ? 200 ． 0.1 ? ? 解这个方程，得 x1 ? 0.2，x2 ? 0.3 ． 答：应将每千克小型西瓜的售价降低 0.2 或 0.3 元． 第 19 题、某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2 ，因为准备工作不足，第一天少拆迁了 20%．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了 1440m ． 求： （1）该工程队第一天拆迁的面积； （2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分 数． 解： （1） 1250(1 ? 20%) ? 1000(m ) ，22所以，该工程队第一天折迁的面积为 1000m ． （2）设该工程队第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是 x ， 则 1000(1 ? x) ? 1440 ．解得 x1 ? 0.2 ? 20% x2 ? ?2.2 （舍） ，22所以，该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是 20%． 第 20 题、在一幅长为 80cm ，宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边，制 成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm ，设金色纸边的宽为2xcm ，那么 x 满足的方程是（Ａ． x ? 130 x ? 1400 ? 02） Ｂ． x ? 65x ? 350 ? 02Ｃ． x ? 130 x ? 1400 ? 02Ｄ． x ? 65x ? 350 ? 02 学年度第二学期八年级23学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室答案：Ｂ 第 21 题、小资料：财政预计，三峡工程投资需 2039 亿元，由静态投资 901 亿元，贷款利 息成本 a 亿元，物价上涨价差 ? a ? 360? 亿元三部分组成．但事实上，因国家调整利率，使 贷款利息减少了 15.4％ ；因物价上涨幅度比预测要低，使物价上涨价差减少了 18.7％ ． 2004 年三峡电站发电量为 392 亿度，预计 2006 年的发电量为 573 亿度，这两年的发电 量年平均增长率相同．若年发电量按此幅度增长，到 2008 年全部机组投入发电时，当年的 发电量刚好达到三峡电站设计的最高年发电量．从 2009 年起，拟将三峡电站和葛洲坝电站 的发电收益全部用于返还三峡工程投资成本．葛洲坝年发电量为 270 亿度，国家规定电站 出售电价为 0.25 元／度． （1）因利息调整和物价上涨幅度因素使三峡工程总投资减少多少亿元？（结果精确到 1 亿 元） （2）请你通过计算预测：大约到哪一年可以收回三峡工程的投资成本？ 解： （1）由题意可知： 901 ? a ? ? a ? 360? ? 2039 （1 分）解得： a ? 389 （2 分） 三峡工程总投资减少得资金为： 15.4％a ?18.7％? a ? 360?? 0.154 ? 389 ? 0.187 ? ?389 ? 360? （3 分）? 199.969 ≈ 200 （亿元） 分） （4（注：不按要求精确扣 1 分，无单位扣 1 分，以上两要求都没有也只扣 1 分． ） （2）设 2004 年到 2006 年这两年的发电量平均增长率为 x ， 分）则依题意可知： （1392 ?1 ? x ? ? 573 （2 分）2（注：若学生不直接求出 x 而是以 ?1 ? x ? ?2573 整体代入计算三峡电站的最高年发电量 392573 ?1 ? x ? ? 573 ?2573 ≈ 838 （亿度） ，评 3 分） 392解得： x1 ≈ 21 （无此结论不扣分） ％，x2 ≈ ?2.21（应舍去） 2008 年的发电量（即三峡电站的最高年发电量） ：573 ?1 ? 21 ? ? 839 （亿度） 分） ％ （322009 年起，三峡电站和葛洲坝电站的年发电总收益为： （ 839 或 838 ? 270 ） ?0.25 ? 277.25 或 277 （亿元） 收回三峡电站工程的投资成本大约需要的年数： （注：直接精确到 7 年不扣分） （6 ? 到 2015 年可以收回三峡电站工程的投资成本． 分） 第 22 题、李大伯承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质油桃，今年已进入第三年收获 期．今年收获油桃 6912 千克，已知李大伯第一年收获的油桃重量为 4800 千克．试求去年和
学年度第二学期八年级242039 ? 200 ≈ 6.6 （年） 277.25或277学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室今年两年油桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年油桃的产量为多少千克？ 解：设油桃今年和去年的年平均增长率为 x ，依题意得：4800(1 ? x)2 ? 6912 ．解方程得： x ? 0.2 或 x ? ?2.2 （舍去负根）得 x ? 0.2(20%) ． 预计明年的产量为： 6912 ? (1 ? 20%) ? 8294.4 （千克） ． 答：年平均增长率为 20%，照此增长率，预计明年的产量为 8294.4 千克． 第 23 题. 、某厂前年缴税 30 万元，今年缴税 36.3 万元，若该厂缴税的年平均增长率为 x ， 则可列方程是（ ） Ａ． 30 x ? 36.32Ｂ． 30(1 ? x)2 ? 36.3 Ｄ． 30(1 ? x)2 ? 36.3Ｃ． 30 ? 30(1 ? x) ? 30(1 ? x)2 ? 36.3 答案：Ｄ第 24 题、某地 2004 年外贸收入为 2.5 亿元，2006 年外贸收入达到了 4 亿元，若平均每年的 增长率为 x ，则可以列出方程为（ ） ． Ａ． 2.5(1 ? x)2 ? 4 Ｃ． 2.5(1 ? x)(1 ? 2 x) ? 4 答案：Ａ 第 25 题.、如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分） ， 余下的部分种上草坪． 要使草坪的面积为 540m2 ， 求道路的宽． （部分参考数据：322 ? 1024 ， 2 2 52 ? 2704 ， 48 ? 2304 ） 32m Ｂ． (2.5 ? x%)2 ? 4 Ｄ． 2.5(1 ? x%) ? 4220m 解法（1） ：由题意转化为右图，设道路宽为 x 米（没画出图形不扣分） 根据题意， 可列出方程为 ? 20 ? x ??32 ? x ? ? 540 ） 整理得 x ? 52 x ? 100 ? 02 学年度第二学期八年级25学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室解得 x1 ? 50 （舍去） x2 ? 2 ， 答：道路宽为 2 米 解法（2） ：由题意转化为右图，设道路宽为 x 米，根据题意列方程得：20 ? 32 ? ? 20 ? 32? x ? x2 ? 540整理得： x ? 52 x ? 100 ? 02解得： x1 ? 2 ， x2 ? 50 （舍去） 答：道路宽应是 2 米第 26 题.）某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为 10 元／千克，月销售 量为 1000 千克． 经市场调查， 若将该种水果价格调低至 x 元／千克， 则本月份销售量 y （千 克）与 x （元／千克）之间满足一次函数关系 y ? kx ? b ．且当 x ? 7 时， y ? 2000 ； x ? 5 时， y ? 4000 ． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）已知该种水果上月份的成本价为 5 元／千克，本月份的成本价为 4 元／千克，要使本 月份销售该种水果所获利润比上月份增加 20％ ，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果 ．．．．．．． 价格每千克应调低至多少元？［利润＝售价－成本价］ 解： （1）由已知得 ??7k ? b ? 2000 ?5k ? b ? 4000 ?k ? ?1000 ?b ? 9000解得 ?? y ? ?1000 x ? 9000（2）由题意可得1000(10 ? 5)(1 ? 20％) ? (?1000 x ? 9000)( x ? 4)整理得 x ? 13x ? 42 ? 02得 x1 ? 6，x2 ? 7 （舍去） 答：该种水果价格每千克应调低至 6 元．中考中的一元二次方程应用题 学年度第二学期八年级26学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室列一元二次方程求解应用题是中考命题热点之一，其主要类型有以下两种： 一、有关增长率问题 求解增长率问题的关键是正确理解增长率的含义．一般地，如果某种量原来是 a ，每次 以相同的增长率 （或减少率）x 增长 （或减少） 经过 n 次后的量便是 a(1 ? x)n ， （或 a(1 ? x)n ） ． 例１（广东）某商场今年 2 月份的营业额为 400 万元， 3 月份的营业额比 2 月份增加 10％ ， 5 月份的营业额达到 633.6 万元，求 3 月份到 5 月份的营业额的平均月增长率． 解析： 3 月份到 5 月份月增长是经过 2 次增长，平均月增长率是每次增长的百分数相 同．设平均月增长率为 x ，则六月份的营业额是： 3 月份的营业额 ?(1 ? x)2 ，因此，应先求3 月 份 的 营 业 额 ． 显 然 ， 3 月 份 的 营 业 额 是 2 月 份 的 营 业 额?(1 ? 10％) ? 400(1 ? 10％) ? 440 ，故依题意，得 440(1 ? x)2 ? 633.6 ， (1 ? x)2 ? 1.44 ， 两边直接开平方，得 1 ? x ? ?1.2 ， 所以 x1 ? 0.2 ? 20％，x2 ? ?2.2 （不合题意，舍去） ． 练习（郴州）今年，我国政府为减轻农民负担，决定在 5 年内降低农业税．某乡今年人 均上缴农业税 25 元，若两年后人均上缴农业税为 16 元，假设这两年降低的百分率相同． （1）求每年降低的百分率； （2）若小红家有四人，明年小红家减少多少农业税？ （3）小红所在的乡有 16000 个农民，问该乡农民减少多少农业税？ 二、有关图形面积 例２（镇江）学校为了美化校园环境，在一块长 40 米，宽 20 米的长方形空地上计划 新建一块长 9 米，宽 7 米的长方形花圃． （1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使 它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多 1 平方米，请你给出你认为合适的三种不同 的方案； （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加 2 平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由． 解析： （1）学校计划新建的花圃的面积是 9 ? 7 ? 63 （平方米） ，比它多 1 平方米的长方 形面积是 64 平方米，因此可设计以下方案： 方案一：长和宽都是 8 米； 方案二：长为 10 米，宽为 6.4 米； 方案三：长为 20 米，宽为 3.2 米． 说明：显然，此方案很多，但要注意空地的大小实际． （2） 假设在计划新建的长方形周长不变的情况下长方形花圃的面积能增加 2 平方米． 由 于计划新建的长方形的周长是 2 ? (9 ? 7) ? 32 （米） ，设面积增加后的长方形的长为 x 米， 则宽是 (32 ? 2 x) ? 2 ? (16 ? x) （米） ，依题意，得 x(16 ? x) ? 65 ， 整理，得 x ? 16 x ? 65 ? 0 ，2因为 b ? 4ac ? (?16) ? 4 ? 65 ? ?4 ? 0 ，此方程没有实数根，2 2 学年度第二学期八年级27学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室所以， 在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下， 长方形花圃的面积不能增加 2 平方米． 练习（陕西）在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制 成一幅矩形挂图（如图所示） ，如果要使整个挂图的面积是 5400cm ，设金色纸边的宽 为 xcm ，那么 x 满足的方程是（ Ａ． x ? 130 x ? 1400 ? 02 2） Ｂ． x ? 65x ? 350 ? 02Ｃ． x ? 130 x ? 1400 ? 02Ｄ． x ? 65x ? 350 ? 02姓名以练代讲 分数一、填空 1.把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果??,那么??”的形式是 ________________________________________________________________________. 2.命题“如果 a ? b2 2,那么 a ? b ”的逆命题是________________________________.3.命题“三个角对应相等的两个三角形全等” 是一个______命题(填“真”或“假”). 4.如图,已知梯形 ABCD 中, AD∥BC, AD＝3, AB＝CD＝4, BC＝7,则∠B＝_______. 5.用反证法证明“b1∥b2”时,应先假设_________. 6.如图,在Δ ABC 中,边 AB 的垂直平分线交 AC 于 E, Δ ABC 与Δ BEC 的周长分别为 24 和 14, 则 AB＝________. 7.若平行四边形的两邻边的长分别为 16 和 20, 两长边间的距离为 8,则两短边的距离为__________. 8.如图,在Δ ABC 中,∠ABC＝∠ACB＝72°, BD、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,它们的交点为 F,则图中等腰三角形有______个. 二、选择题
学年度第二学期八年级28学生版编辑：高仁江深圳市高）仁江工作室1.下列语句中,不是命题的是（ A.直角都等于 90° C.互补的两个角不相等 2.下列命题是真命题的是（ A.两个等腰三角形全等 C.同位角相等 3.下列条件中能得到平行线的是（ ）B.面积相等的两个三角形全等 D.作线段 ABB.等腰三角形底边中点到两腰距离相等 D.两边和一角对应相等的两个三角形全等 ）①邻补角的角平分线；②平行线内错角的角平分线；③平行线同位角的平分线； ④平行线同旁内角的角平分线. A. ①② C. ②③ B. ②④ D. ④ ）4.下列命题的逆命题是真命题的是（ A.两直线平行同位角相等2 2 C.若 a ? b ,则 a ? bB.对顶角相等 D.若 (a ? 1) x ? a ? 1 ,则 x ? 1 ）5.三角形中,到三边距离相等的点是（ A.三条高的交点 C.三条角平分线的交点B.三边的中垂线的交点 D.三条中线的交点 ）6.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ A.两条直角边对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等 D.面积相等 ）7.△ABC 的三边长 a , b, c 满足关系式 (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 0 ， 则这个三角形一定是 （ A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.等边三角形 D.无法确定8.如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 EB 的长为 1， EC 的长为 2，那么正方形 ABCD 的面积是（ A. 3 B. 5 C.3 ） D.5三、解答题（每题 8 分,共 32 分） 1.判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一个反例说明. （1）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
学年度第二学期八年级29学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形.2.如图, BD∥AC,且 BD＝1 AC, E 为 AC 中点,求证:BC＝DE. 23.如图.三角形纸片 ABC 中,∠A＝65°,∠B＝75°,将纸片的一角折叠,使点 C 落在Δ ABC 内, 若∠1＝20°,求∠2 的度数.4.如图,梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC＝60°, BD 平分∠ABC, BC＝2AB. 求证:AB=CD.5、已知,如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1,G 为 CD 边上的一个动点（点 G 与 C、D 不重合）,以 CG 为一边向正方形 ABCD 外作正方形 GCEF,连接 DE 交 BG 的延长线于点 H. （1）求证:①Δ BCG≌Δ DCE ②HB⊥DE（2）试问当 G 点运动到什么位置时, BH 垂直平分 DE?请说明理由. 学年度第二学期八年级30学生版编辑：高仁江深圳市高仁江工作室6、已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE∥DF；求证：BE＝DF；A E O F D CB7.已知： 如图， 为 BE 上一点， A， 分别在 BE 两侧． C 点 D AB∥ED， AB＝CE， BC＝ED． 求 证：AC＝CD． A B C ED 8.如图，AE 是∠BAC 的平分线，AB=AC，D 是 AE 反向延长线的一点，则△ABD 与△ACD 全等 吗？为什么？ 学年度第二学期八年级31学生版编辑：高仁江
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