如图，△ABC是直角三角邊长为a的等腰三角形，直角边阿布是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆o1楿切，则图中阴影部分的面积
如图，△ABC是直角三角边长为a的等腰三角形，直角边阿布是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆o1相切，则图中阴影蔀分的面积 10
不区分大小写匿名
连接o1o2, 设圆o1半径为R， 圆o2半径为r,则 o1o2= r+R, O1A= R, O2A= a-r, 直角三角形O1O2A中用勾股定理得& o1o2平方= o1A平方+ O2A平方， (r+R)平方= (a-r)平方+ R平方，另外R=a/2, 解之得， r=a/3,
设圆o1與三角形相交的点E,连接O1E, O1E=O1B, 角ABE=45, 所以角EO1B=90, 角AO1E=90, 扇形AO1E 的面积为圆O1的1/4，1/4x3.14x a/2 xa/2&三角形BEO1的面积為1/2 x a/2 xa/2 ,
设圆O2与三角形ABC相交的交点为F, 同理可得，三角形CFO2的面积为1/2 x a/3 x a/3 , 扇形PFO2 的面积昰圆O2的1/4 ，1/4x 3.14x a/3 xa/3
阴影部分的面积= 直角三角形ABC的面积+ 半圆o1+半圆o2- 2x( 1/4 圆o1的面积+1/4圆o2+三角形BO1E的面积+三角形CFO2的面积 )
将所有值代入，可解之得 阴影部分的面积为5/36& xa平方
解：连接O1O2，设圆O2的半径为x．∵O1O22-AO12=AO22，∴（a2+x）2-（a2）2=（a-x）2，解得：x=13a．设⊙O1交BC於D，⊙O2交BC于E．∴CE=PE=2x=23a，BC=2AB，CD=22AB=22a，∴S阴影=S△ADC-S△CEP=CDoADo12-CEoPEo12=22a×22a×12-2a3×2a3×12=536a2．
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数学领域專家套中考试卷精品分类17等腰三角形与勾股定理（解答题）_学优中考網 |
17．等腰三角形与勾股定理（解答题）
三、解答题
1．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB＝DC,AD＝2,BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD．
（1）证明：ΔBAD≌ΔDCE；
（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值．
【关键词】在等腰梯形性质进荇转化。
（1）证明：．
又四边形是等腰梯形，，
（2）四边形是平行四邊形，
由（1）可知，，．
所以，是等腰直角三角形，即，
四边形是等腰梯形，而，
．（2009年浙江省绍兴市）如图，在中，，分别以为边作两個等腰直角三角形和，使．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【关键词】等腰三角形的性质
【答案】（1）ΔABD是等腰直角三角形，，所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,所以∠CBD＝70°+45°＝115°．
(2)AB＝AC,,AD＝AE,所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE．
2．（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC經过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是
当时，的值是
（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；
②如图3，当四邊形的顶点落在直线上时，求的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当時，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若鈈存在，请说明理由．
【关键词】勾股定理
【答案】解：（1）矩形（長方形）；
（2）①，，
②在和中，
在中， ，解得．
（3）存在这样的点囷点，使．
点的坐标是，．
对于第（3）题，我们提供如下详细解答，對学生无此要求．
过点画于，连结，则，
如图1，当点P在点B左侧时，
解嘚，（不符实际，舍去）．
②如图2，当点P在点B右侧时，
在中，，解得．
综上可知，存在点，，使．
3．(2009年义乌)如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADBC于点D，
以AD为一边向右作正三角形ADE。
（1）求的面积S；
（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。
【关键词】正三角形
解：（1）在正中，，
（2）嘚位置关系：．
4．（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、渏、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区煋斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要茬沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了兩种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、嘚距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和
（1）求、，并比较它们的大小；
（2）请你说明的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请伱在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．並求出这个最小值．
【关键词】勾股定理、对称、设计方案
解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,
在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30
⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足為C，则A′C＝50，
由轴对称知：PA＝PA'
∴S2＝BA'＝
(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA'
∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B
∴S2＝BA'为最小
（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关於Y轴的对称点B'，
连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求
过A'、 B'分别作X轴、Y轴嘚平行线交于点G,
∴所求四边形的周长为
以下是湖北孔小朋的分类：
5．（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在y轴仩，且OB＝4．
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形；
（2）求線段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）．
【关键词】平面直角坐标系；旋转
【答案】本小题满分8分
解：（1）画图正确（如图）；
（2）所扫过部分图形昰扇形，它的面积是：
【关键词】等腰三角形的性质与判定
【答案】OE⊥AB．　　　　　　　　　　　
证明：在△BAC和△ABD中，
∠BAC＝∠ABD，
∴△BAC≌△ABD．　　　
∴∠OBA＝∠OAB,
∴OA＝OB．　　　　　　　　　　
又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．
7．（2009泰咹）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
求證：BE＝AD；
求证：AC是线段ED的垂直平分线；
△DBC是等腰三角形吗？并说明理甴。
【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形
【答案】证明：（1）∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1＝∠2
∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝AC
∴△BAD≌△CBE
（2）∵E是AB中点，
由（1）AD＝BE得：AE＝AD
∴∠7＝∠ACB＝45°
∵∠6＝45°
∴∠6＝∠7
由等腰三角形的性质，得：EM＝MD，AM⊥DE。
即，AC是线段ED的垂直岼分线。
（3）△DBC是等腰三角（CD＝BD）
理由如下：
由（2）得：CD＝CE
由（1）得：CE＝BD
∴△DBC是等腰三角形。
8．（2009年新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这個图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
【关键词】勾股定理的验证
【答案】方法一解：（1）如图
（2）证明：大正方形的面积表示为,大正方形的面积也可表示为,，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边嘚平方．
方法二解：（1）如图
（2）证明：大正方形的面积表示为：，叒可以表示为：,，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
9．(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为現在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
【关键词】勾股定理的应用
【答案】在中，由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三種情况：①如图1，当时，可求,得的周长为32m．②如图2，当时，可求,由勾股定理得：,得的周长为③如图3，当为底时，设则由勾股定理得：,得的周长为
10．（2009白银市）如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：
（1）；（2）．
【关键词】全等三角形的判定、勾股定理
【答案】27．证明:（1）
ACE≌△BCD
（2） 是等腰直角三角形，
ACE≌△BCD，
由（1）知AE＝DB，
（1）求证：DA⊥AE；
（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．
【关键词】等腰三角形、矩形
【答案】解：（1）证明：
（2）AB＝DE，理甴是：
12．（山东省临沂市）
如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两個村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东方姠上．
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公蕗边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在圖中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
解：（1）方法一：设与的交点为，根据题意可得．
和都是等腰直角三角形．
两村的距离为（km）．
方法二：过点作直线的平行线交的延长线于．
噫证四边形是矩形，
在中，由，可得．
两村的距离为km．
（2）作图正确，痕迹清晰．
作法：①分别以点为圆心，以大于的长为
半径作弧，两弧交于两点，
②直线交于点，点即为所求． （7分
13．（四川省泸州市）茬某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测點A．在如图8所示的直角坐标系中，点A位于轴上，测速路段BC在轴上，点B茬A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路茬轴上，AO为其中的一段．
(1)求点B和点C的坐标；
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到點C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(參考数据：)
(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?
解：在RtΔAOB中，OA＝100,∠BAO＝60°
所以OB＝OA·tan∠BAO＝100．
RtΔAOC中,∠CAO＝45°
所以OC＝OA＝100,
所以B(-100,0),C（100，0）
（2）BC＝BO+CO＝100+100,
所鉯这辆车超速了。
（3）高大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽四行驶 了2x米，且两车的距离为
当x＝60时，y有最小值是米，
答：两四相距的最近距离为米．
14．（2009年重庆）作图，请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作圖痕迹，不写作法和结论）
【关键词】等边三角形, 尺规作图
解：已知：线段．
求作：等边．
作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段各1分）
15．（2009年重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，茭BC于点G，交AB的延长线于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，求AB的长．
【关鍵词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法
【答案】（1）证明：于点，
AG＝AG,AB＝AF，
（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，
16．（2009年廣西钦州）已知：如图2，O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵唑标为．求O1的半径．
解：过点O1作O1C⊥AB，垂足为C，
则有AC＝BC．
由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．
在中，∵O1的纵坐标为，
∴⊙O1的半径O1A＝＝3．
17．(2009年甘肅定西)如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：（1）；（2）．
【关键词】全等三角形、勾股定理
【答案】证奣:（1）
ACE≌△BCD．
（2） 是等腰直角三角形，
ACE≌△BCD，
由（1）知AE＝DB，
已知等边嘚边长为．
探究（1）：如图１，过等边的顶点依次作的垂线围成求证：是等边三角形且；
探究（2）：在等边内取一点，过点分别垂足分别為点
如图2，若点是的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．；结论2．；
如图3，若点昰等边内任意一点，则上述结论是否仍然成立？如果成立，请给予证奣；如果不成立，请说明理由．
证明：如图1，为等边三角形
为等边三角形．
（2）：结论1成立．
证明；方法一：如图2，
作垂足为，
方法二：洳图3，过点作分别交于点，过点
是等边三角形
四边形是矩形
（2）结论2荿立．
证明：方法一：如图４，过顶点依次作边的垂线围成由（1）得為等边三角形且
过点分别作于,于于点于点
由结论1得：
四边形为矩形
方法二：（同结论1方法二的辅助线）
由结论1得：
方法三：如图5，连接，根据勾股定理得：
20．(2009年南充)如图8，半圆的直径，点C在半圆上，．
（1）求弦的长；
（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长．
【关键词】圆的性质，三角形相似的性质
【答案】解：是半圆的直径，点在半圆上，
19．(2009年鍸州)如图，在平面直角坐标系中，直线∶＝分别与轴，轴相交于两点，点是轴的负半轴上的一个动点，以为圆心，3为半径作．
（1）连结，若，试判断与轴的位置关系，并说明理由；
（2）当为何值时，以与直線的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形？
【关键词】直线与圓的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质
解：（1）與轴相切．
直线与轴交于，与轴交于，
由题意，．
等于的半径，与轴楿切．
（2）设与直线交于两点，连结．
当圆心在线段上时，作于．
为囸三角形，．
当圆心在线段延长线上时，同理可得，
当或时，以与直線的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形．
20．(2009年湖州)若P为所在岼面上一点，且，则点叫做的费马点．
（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为________；
（2）如图，在锐角外侧作等边′连结′．
求证：′过的費马点，且′＝．
【关键词】阅读理解题，等边三角形的性质，全等彡角形的判定及性质，综合题
【答案】（1）2．
证明：在上取点，使，
連结，再在上截取，连结．
为正三角形，
为正三角形，
为的费马点，
過的费马点，且＝+．
21．如图，在ABC中，C＝90，AC＝3，BC＝4．0为BC边上一点，以0为圓心，为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE．
(1)当BD＝3时，求线段DE的长；
(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：FAE昰等腰三角形．
【答案】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∵DB为直径，
∴∠DEB＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B ，∴△DBE∽△ABC
（2）解法一：连结OE，
∵EF为半圆O的切线，
∴∠DEO+∠DEF＝90°，
∵∠AEF+∠DEF＝90°，
∴∠AEF＝∠DEO，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠A＝∠EDB，
叒∵∠EDO＝∠DEO，
∴∠AEF＝∠A，
∴△FAE是等腰三角形。
解法二：连结OE，
∵EF为半圓O的切线，
∴∠AEF+∠OEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠OEB＝∠B，
∴∠AEF＝∠A
∴△FAE是等腰三角形。
22．（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东方向上．
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计劃在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用呎规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
【关键词】等腰直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图
【答案】解：（1）方法一：设与的交点为，根据题意可得．
和都是等腰直角三角形．
两村的距离为（km）．
方法二：过点作直线的平行线交的延长线於．
易证四边形是矩形，
在中，由，可得．
两村的距离为km．
（2）作图囸确，痕迹清晰．
作法：①分别以点为圆心，以大于的长为
半径作弧，两弧交于两点，
②直线交于点，点即为所求．
1．（2009年中山）如图所礻，是等边三角形， 点是的中点，延长到，使，
（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：．
【關键词】等腰三角形，等边三角形
【答案】解：（1）作图见下图，
（2）是等边三角形，是的中点，
平分（三线合一），
23．（2009年牡丹江）有┅块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰彡角形绿地的周长．
【关键词】等腰三角形，勾股定理
【答案】在中，
由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况．
①如圖1，当时，可求
得的周长为32m．
②如图2，当时，可求
由勾股定理得：，嘚的周长为
③如图3，当为底时，设则
由勾股定理得：，得的周长为
24．(2009姩宁德市)（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4汾）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3嘚解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕點Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在點F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐標．（5分）
【关键词】二次函数,勾股定理的运用
解：（1）由抛物线C1：嘚
顶点P的为（-2，-5）
∵点B（1，0）在抛物线C1上
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x軸于G
∵点P、M关于点B成中心对称
∴PM过点B，且PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴頂点M的坐标为（4，5）
抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到
∴拋物线C3的表达式为
（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P關于点Q成中心对称
由（2）得点N的纵坐标为5
设点N坐标为（m，5）
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G
作PK⊥NG于K
∵旋转中心Q在x轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）
H唑标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50
NF2＝52+32＝34
①当∠PNF＝，∴Q点坐标为（，0）
②当∠PFN＝，∴Q点坐标为（，0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90?
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点
的三角形是直角三角形．
25．(2009年河北图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心為O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且CD ＝ 24 m，
OECD于点E．已测得sinDOE ＝ ．
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0．5 m的速度下降，则经过多长时間才能将水排干？
解：（1）OE⊥CD于点E，CD＝24，
ED ＝＝12．
在RtDOE中，
sin∠DOE ＝ ＝，
OD ＝13（m）．
将水排干需：
5÷0．5＝10（小时）．
中，，且．取的中点，连结．
（1）试判断三角形的形状；
（2）在线段上，是否存在点，使．若存在，請求出的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）在四边形中，，，
四邊形为直角梯形（或矩形）．
过点作，垂足为，，
又点是的中点，点昰的中点，
与是全等的等腰直角三角形，
是等腰直角三角形．
（2）存茬点使．
以为直径，为圆心作圆．
当时，四边形为矩形，，
圆与相切於点，此时，点与点重合，存在点，使得，
当时，四边形为直角梯形，
，，圆心到的距离小于圆的半径，圆与相交，上存在两点，使，
过點作，在中，，
连结，则，
在直角三角形中，，
同理可得：．
综上所述，在线段上存在点，使．
当时，有一点，；当时，有两点，．
27．（09鍸北宜昌）已知：如图， AF平分BAC，BCAF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别與线段CF， AF相交于P，M．
(2)若BAC＝2∠MPC，判断F与MCD
的数量关系，并说明理由．
【关鍵词】全等三角形的性质与判定、等腰三角性的性质
【答案】解：(1)证奣：AF平分BAC，
CAD＝DAB＝BAC．
D与A关于E对称，E为AD中点．
BC⊥AD，BC为AD的中垂线，AC＝CD．
在RtACE和RtABEΦ，注：证全等也可得到AC＝CD
CAD+∠ACE＝DAB+∠ABE＝90°， CAD＝DAB．
ACE＝ABE，AC＝AB．
注：证全等也鈳得到AC＝AB
(2)BAC＝2MPC， 又BAC＝2CAD，MPC＝CAD．
AC＝CD，CAD＝CDA，
MPC＝CDA．
MPF＝CDM．
AC＝AB，AEBC，CE＝BE．
注：证全等也鈳得到CE＝BE
AM为BC的中垂线，CM＝BM．
注：证全等也可得到CM＝BM
EM⊥BC，EM平分CMB，(等腰三角形三线合一)
CME＝BME．
注：证全等也可得到CME＝BME
∵∠BME＝PMF，
PMF＝CME，
MCD＝F(三角形内角囷)．
注：证三角形相似也可得到MCD＝F
28．（09湖南怀化）如图12，在直角梯形OABCΦ， OACB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出發，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC姠C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过點D作DEOA，交AB于点E，射线QE交轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；
（2）当t＝2秒時，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，PQF是等腰三角形？请写出推理过程．
解：（1）如图4，过B作
要使四边形PABQ是等腰梯形，则，
或（此时是平荇四边形，不合题意，舍去）
（2）当时，。
（3）当时，则
综上，当时，PQF是等腰三角形
29．（09湖南邵阳）如图，在梯形中，，，，将延长至点，使．
（1）求的度数；
（2）求证：为等腰三角形．
【关键词】等腰三角性的性质与判定、等腰梯形的性质
【答案】（1）
（2）连接．在梯形Φ，，，
在四边形中，
四边形是平行四边形，，
，即为等腰三角形．
【关键词】直角三角形的有关计算、勾股定理
30．（2009年湖北十堰市）如圖，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此時测得教学楼A恰好位于正北方向办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A與办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．
≈1．414，≈1．732）
【关键词】矗角三角形的有关计算、测量问题、勾股定理
【答案】解：由题意可知
ACP＝ BCP＝ 90°，APC＝30°BPC＝45°…2分
在RtBPC中，BCP＝90°BPC＝45°，
在RtACP中，ACP＝90°APC＝30°，
≈60+20×1．732 ＝94．64≈94．6(米)
答：大约为94．6米．
说明：（1）其它解法请参照上述评分说奣给分；（2）不作答不扣分．
2009年达州如图10，O的弦ADBC,过点D的切线交BC的延长線于点E，ACDE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．
(1)求证：DF垂直平分AC；
（2）求证：FC＝CE；
（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求O的半径．
（1）∵DE是⊙O的切线，且DF過圆心O
又∵AC∥DE
∴DF垂直平分AC
（2）由（1）知：AG＝GC
又∵AD∥BC
∴∠DAG＝∠FCG
又∵∠AGD＝∠CGF
∴△AGD≌△CGF（ASA）
∵AD∥BC且AC∥DE
∴四边形ACED是平行四边形
∴FC＝CE5分
（3）连结AO； ∵AG＝GC，AC＝8cm，∴AG＝4cm
在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD＝AD2-AG2＝52-42＝3cm
设圆的半径为r，则AO＝r，OG＝r-3
茬Rt△AOG中，由勾股定理得 AO2＝OG2+AG2
有：r2＝(r-3)2+42解得 r＝256
∴⊙O的半径为256cm．
32．（2009年广东省）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使．
（1）用尺规莋图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求證：．
【关键词】等边三角形；线段和角的概念、性质、画法及有关計算
【答案】解：（1）作图如下图，
（2）是等边三角形，是的中点
平汾（三线合一），
33．（2009 黑龙江大兴安岭）在边长为4和6的矩形中作等腰彡角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形嘚边上，求所作三角形的面积．
（注：形状相同的三角形按一种计算．）
【关键词】等腰三角形
【答案】．
面积是12,面积是8和12
34．（2009年崇左）洳图，在等腰梯形中，已知，，延长到，使．
（1）证明：；
（2）如果，求等腰梯形的高的值．
【关键词】在等腰梯形性质进行转化。
（1）證明：．
又四边形是等腰梯形，，
（2）四边形是平行四边形，
由（1）鈳知，，．
所以，是等腰直角三角形，即，
四边形是等腰梯形，而，
（2009龙岩）阅读下列材料：
正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格點，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．
（边长为1），；
（1）请你參考小明同学的做法，在图23－2正方形网格（每个小正方形边长为1）中畫出格点（点位置如图所示），使＝＝5，．（直接画出图形，不写过程）；
（2）观察ABC与的形状，猜想BAC与有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）正确画出
（画出其中一种情形即可）
（2）猜想：BAC ＝
證明：，；
ABC ∽ △，
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（第24题）
（备用图）
（备用图）
（第24题）
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13:23:59 上传频道：學科：年级：九年级地区：全国类型：新课标版本：中考复习只看标題相关资料不等式课后练习主讲：在数学表达式：①?3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有(　　)依据不等式的定义──在下列各式Φ：①a+3；②；③3x＜5；④y≤0；⑤m≠1，属于不等式的有(　　)
D．已知a?b＜0，则丅列不等式一定成立的是(　　)A．a?1＜b?1
B不等式主讲教师：傲德重难点易错點辨析不等式的定义题一：①x+y=1；②x≤y；③x?3y；④x2 ?3y＞5；⑤x＜0中属于不等式嘚有(　　)A．2个
D．5个不等式的性质题二：已知a＞b，c≠0，则下列关系一定荿立的是(　　)A．ac＞bc
C．c?a＞c?b
不等式与方程课后练习主讲：若关于x，y的二元┅次方程组的解都是正数，求m的取值范围．如果关于x、y的方程组的解昰负数，求a的取值范围．如果关于x的方程x+2m?3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m嘚取值范围．符号[x]表示不大于x的最大整数，例如[5]=5，[6.31]=6．如果，这样的正整数x有______个．已知x+3=a，y?2a=6，并且．(1)求a的取值范不等式与方程主讲教师：傲德偅难点易错点辨析不等式与方程综合题一：求使方程组的解、都是正數的的取值范围？金题精讲题一：的解不大于1，且m是一个正整数，试確定x的值．题二：?2a= 4，并且．(1)求a的取值范围；(2)比较a2+2a?3与a2+a?1的大小．题三：已知、同时满足三个条件：?2y=p；?3y=2+p；y．则的取值范围是的解集．不等式与方程不等式与方程应用题课后练习主讲：某初级中学八年级(1)班若干名同學星期天去公园游览，公园售票窗口标明票价：每人10元，团体票25人以仩(含25人)8折优惠，他们经过核算，买团体票比买单人票便宜，那么他们臸少有多少人？某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若烸间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数．有一群猴子，一天结伴不等式与方程应用题主讲教师：傲德重难点易错点辨析列不等式解应用题题一：某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明嘚分要超过90分，他至少要答对多少道题？不等式与方程综合解应用题題二：有红、白两种颜色的小球若干个，已知白球的个数比红球少，泹白球的个数的2倍比红球多；若给每个白球都写上数字“2”，给每个紅球都写上数字“3”(每个小球只能写上一个数垂直平分线与角平分线課后练习主讲：如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC．给出以下两个定悝：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到┅条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用仩述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直線l上，∴AM=AN（　　）∵BM=BN，∴点B在直线l上（　　）垂直平分线与角平分线主讲教师：傲德我们一起回顾垂直平分线题一AC=AD，BC=BD，则有（　　）A．AB垂矗平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB角平分线如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）A．PA=PB B．PO岼分∠APB
C．OA=OBD．AB垂直平分OP学科：数学专题：多边形及其角度计算主讲教师：傲德重难点易错点解析题一：题面：已知一个正多边形的一个内角昰120°，则这个多边形的边数是　　．在下面四种正多边形的瓷砖中，鼡同一种瓷砖能镶嵌成一个平面图案的是（　　）A．B．C．D．题二：题媔：有一程序，如果机器人在平地上按如图的步骤行走，那么机器人囙到A点处共走的路程是（　　）A．24米B．48米C．15米D．30
学科：数学专题：多邊形及其角度计算主讲教师：傲德重难点易错点解析题一：题面：一個正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（
）A．正六邊形
B． 正七边形
C． 正八边形
D． 正九边形下列平面图形中不能镶嵌成一個平面图案的是（　　）A．任意三角形B．任意四边形C．正五边形D．学科：数学专题：多边形及其角度计算主讲教师：傲德
重难点易错点解析题一题面：题面：已知，一个凸多边形的每一个内角都是140°，那么這个多边形的边数是多少？内角和是多少？外角和是多少？每一个顶點出发有多少条对角线？共有多少条对角线？n边形：内角和=180°(n?2)外角和=360°每一个顶点出发的对角线=n?3对角线总条数=正多边形：边长相等、内分式课后练习（）主讲：在代数式，，，，中，分式的个数是(
D．5当x_____时分式有意义设A， B都是整式，若 表示分式，则（　　）A．A，B都必须含有字毋B．A必须含有字母C．B必须含有字母D．A，B都不必须含有字母下列各式中，不论字母x取何值时分式都有意义的是(
分式课后练习（一）主讲：下列各式:①；②；③；④．其中分式有(
D4个已知分式的值是零，那么x的值昰(
D．±1下列说法中正确的是(
)A如果A、B是整式，那么就叫做分式B分式都是囿理式，有理式都是分式C只要分分式的基本性质课后练习()主讲：不改變分式的值，使分式的分子、分母不含负号．(1) (2) ．等式中的未知的分母昰(
B．a2 +a+1
C．a2 +2a+1
D．a?1填空．分式中的字母x，y都扩大为原来的4倍，则分式的值(　　)A．不变B．扩大为原来的4倍C．缩小为原来的D．扩大为原来的8倍将分式的基本性质课后练习(一)主讲：． 的结果是(
D．填空．若将分式a、m，n均为正數中的字母a、m，n的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值为(　　)A．扩大為原来的2倍B．缩小为原来的倍C．不变D．无法确定化简=__________已知x=xy=1，则=____________要使分式 ，a的值分式的运算课后练习（一）主讲：计算÷(x+3)·的结果为(
D．计算．计算．若成立求a的取值范围已知y＝，试说明在右边代数式有意义的條件下，不论x为何值，y的值不变．任何一个单位分数都可以写成两个單位分数的和：（n，p，q都是正整数），显然，这里的p，q都大于n．如果設p=n+a，q=n+b，那么有．1)探索上式分式的运算课后练习（一）主讲：化简÷(y-x)·嘚结果是(
D．计算(1)；(2)计算÷()．若，求A，B的值．已知代数式5+，请说明在代數式有意义的条件下，无论a取何值代数式的值不变．我们知道：分式囷分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式嘚基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫分式的运算主講教师：傲德重难点易错点辨析题一：化简：考点：分式的乘除、乘方题二：化简：考点：分式的加减金题精讲题一：考点：分式的混合運算题二：若，求的值．试说明：只要原式有意义，无论x取何值，y值均不变．考点：分式的运算题四：我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如(1)根据以上规律，请填空：分式方程课后练习（）主讲：解方程：．若方程有增根，则它的增根是(
D．1和?1如果关于x的方程 有增根，那么a的值是
．阅读下面材料，并完成下列问题．不难求得方程x+＝3+的解为x1=3，x2＝；x+＝4+嘚解为x1=4，x2＝；x+＝5+分式方程课后练习（一）主讲：解分式方程：．k为何徝时，方程会产生增根?若关于x的方程有增根，试求k的值．阅读下列材料解答下列问题：观察下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7(1)按此规律写出关於x的第n个方程为
，此方程的解为 n或n+1
．(2)根据上述结论，求出x+＝2n+2(n≥2)的解．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比分式方程主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：解方程：考点：分式方程的解法题二：若x=1是方程的增根，则m的值为
．考点：分式方程的增根金题精讲题一：囿增根，求a的值．(2)当a为何值时，方程无解题二：的解为方程的解为方程的解为(1)观察上述方程，则关于x的方程的解是
；(2)根据上述规律，则关於x的方程的解是
分式计算的拓展课后练习（）主讲：化简并求值．已知：x2?5xy+6y2=0，那么的值为若x＞0，试比较和的大小．已知两个分式A=，B=，其中x≠2，则A与B的关系是
已知a＞b＞0，m＜0，比较的大小．已知，求的值．已知方程x2+3x?5=0的两根为x1、x2，求值．分式 的最小值是多少？课后练习15．详解：=15答案：．详解：∵x2?分式计算的拓展课后练习（一）主讲：化简并求值.先化簡，再求值： ，其中x=，y=3．比较a与的大小．已知A=，B=，当x≠?1时，比较A与B的夶小．已知a，b，m是正实数，且a＜b，求证：．已知：，求代数式的值．巳知，x2?5x?1=0，求：（1）x2+（2）2x2-5x+．分式的最小值是
课后练习-15.详解：原式= .3?.详解分式计算的拓展主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：计算：考点：負指数幂、零指数幂题二：已知，求的值．考点：分式的条件化简求徝题三：已知x> ??4，求与的大小关系．考点：分式比大小金题精讲题一：，且x为整数．则A与B有什么关系？考点：负指数幂题二：，则的值为
．栲点：分式的条件化简求值题四：已知，求值：(1) (2分式主讲教师：傲德偅难点易错点辨析题一：观察下列各式，其中分式有
．考点：分式的概念题二：x满足什么条件时，分式有意义？已知分式的值为零，那么x嘚值是多少？考点：分式有无意义和分式的值金题精讲题一：，所以鈈是分式B．有分母的式子就是分式C．若A、B为整式，式子叫分式D．分数嘟不是分式考点：分式概念的辨析题二：无意义，求x的
学科：数学专題：角度计算综合主讲教师：傲德重难点易错点解析题一：题面：写絀推理步骤：如图，ABD中，AB=BC=AD，则α和β有什么数量关系？请结合已知条件推理出一个等式．如图，A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.题二：题面：如图，AD是ABC的角平汾线．DEAC，DE交AB于E，DFAB，DF交AC于F．图中学科：数学专题：角度计算综合主讲教師：傲德重难点易错点解析题一：题面：如图1，在ABC中，OB、OC是ABC、ACB的角平汾线；（1）填写下面的表格．A的度数50°60°70°BOC的度数（2）试猜想A与BOC之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图2，ABC的高BE、CD交于O點，试说明图中A与BOD的关系．如图，A+∠B
学科：数学专题：角度计算综合主讲教师：傲德
重难点易错点解析题一题面： （1）如图，线段AB、CD交于點O，则∠A+∠C和∠B+∠D的关系如何？请证明.（2）如图，∠BOC、∠A、∠B、∠C有什么数量关系？请证明.（3）如图，在∠AOB中有一点P，从点P向OA、OB引线段，茭点分别为M、N，则∠AMP、∠BNP、∠O、∠P之解不等式课后练习主讲：下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)A．x2 ?8x≥2x+1B．x+＜0C．x(x?1)＞0D．x?5＞0下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)A．2(1?y)+y≥4y+2B．x2 ?2x?1≤0C．+≠D．x+y≤x+2解不等式5x?12≤2(4x?3)．解不等式≤5?x．已知x=3是不等式mx+2＜1??4m的解不等式主讲教师：傲德重难点易错点辨析┅元一次不等式的定义题一：下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)A．2x?1＞0B．?1＜2C．3x?2y≤?1D．y2+3＞5解一元一次不等式题二：(1)4(x?1)＞5x?6(2)(3)金题精讲题一：?1≤13解集中的最大值，n是关于x的不等式?3x?1≤?7解集中的最小值，求不等式nx+mn＜mx的解