五 轴向拉伸与压缩5– 1力图。 试求图示各杆横截面 1-1、2-2、3-3 上的轴力，并作轴5 – 2 一根中部对称开槽的直杆如图所示。试求横截面 1-1 和 2-2 上的正应力。1 2 P 1 C 20 10 4 4 2 20 D B3 P 3P2P1 P=2kN 1 N1 2kN N1=2kN N2=0kN N3=-2kNP=14kN A2kN 2kN2 N3 N2 P 2 2N (kN)解： 1．轴力 由截面法可求得，杆各横截面上的轴力为 N ? ?P 2．应力P1=18kN3P2=3kN2 P3=25kN1P4=10kN? 1?1 ?3 N ?P ? 1 4? 1 0 Pa ? ?175 MPa ? ? A1?1 A1?1 2 0? 4 ? 1 0?63 18kN N3 3kN 18kN21 10kN? 2? 2 ?N1= 10kN N2= -15kN N3= -18kN3 N ?P ? 1 4? 1 0 Pa ? ?350 MPa ? ? A2?2 A2?2 ?2 0? 1 0 ? ? 4 ? 1 0?6N1 N2 10N (kN) 18 1511-15 – 3 一桅杆起重机如图所示。起重杆 AB 的横截面是外径为 20 mm、内径为 18 mm 的圆环，钢丝绳 CB 的横截面面积为 10 mm2。 试求起重杆和钢丝绳横截面上的应力。45?5– 4 由铜和钢两种材料组成的等直杆如图所示。 铜和钢的弹性模量分 别为 E1 ? 100 GPa 和 E 2 ? 210 GPa。若杆的总伸长为 ?l ? 0.126 mm， 试求杆横截面上的应力和载荷 P。?40A2钢 1铜By B NBC30o 15oP B 600 CC400xNABP15?P=2kN解： 1．横截面上的应力 由题意有A解： 1．轴力 取节点 B 为研究对象，受力如图所示，?X ?0： ?Y ? 0 ：N BC ? N AB cos 30? ? P cos 45? ? 0 ? P sin 45? ? N AB sin 30? ? 0N AB ? ?2.83 kN， N BC ? 1.04 kN? l1 Pl1 Pl l ? ? 2 ??? ? 2 ? ? ? E1 A E 2 A ? E1 E 2 ? 由此得到杆横截面上的应力为 ?l 0.126 ?? ? Pa ? 15.9 MPa l1 l2 600 400 ? ? E1 E 2 100 ? 10 9 210 ? 10 9 ?l ? ?l1 ? ?l 2 ?2．载荷由此解得：P ? ?A ? 15.9 ? 106 ??4? 40 2 ? 10 ?6 N ? 20 kN2．应力 起重杆横截面上的应力为? AB ?N AB ? 2.83 ? 103 Pa ? ?47.4 MPa ? ? A ? 20 2 ? 18 2 ? 10 ?6 4??钢丝绳横截面上的应力为 N 1.04 ? 10 3 ? BC ? BC ? Pa ? 104 MPa A 10 ? 10 ?611-25– 5 一阶梯状钢杆如图所示。材料的弹性模量 E ? 200 GPa。试求杆 横截面上的最大正应力和杆的总伸长。?40B 400 800 405– 6 一水压机如图所示。若两立柱材料的许用应力 [? ] ? 80 MPa，试校核立柱的强度。?20CP=40kN1工件802AN (kN)?P=600KN解： 1．最大正应力 由于杆各横截面上的轴力相同，故杆横截面上的最大正应力发生 在 BC 段的任一横截面上，即解： 立柱横截面上的正应力为 P2 600 ? 10 3 2 ?? ? Pa ? 59.7MPa ? [? ] A ? ? 80 2 ? 10 ?6 4 所以立柱满足强度条件。N 40 ? 103 ? max ? ? Pa ? 1 2 7 . 3 M P a Amin ? ? 20 2 ? 10 ?6 4 2．杆的总伸长 Pl Pl ?l ? ?l AB ? ?l BC ? AB ? BC EA1 EA2? Pl AB E ??d12 4?Pl BC E3?2 d2?4P E?? l AB l BC ? ? d2 ? d2 2 ? 1? ? ? ? ? ?m ? 0.57mm ? ?4 ? 400 ? 10 ?3 800 ? 10 ?3 ? ? 40 2 ? 10 ?6 ? 20 2 ? 10 ?6 ?4 ? 40 ? 10 200 ? 10 9 ?11-35– 7 电子秤的传感器为一空心圆筒形结构如图所示。 圆筒材料的弹性 模量 E ? 200 GPa。在秤某一沿筒轴向作用的重物时，测得筒壁产生的轴向线应变 ? ? ?49.8 ? 10 ?6 ，试求此重物的重量 P。5– 8 油缸盖与缸体采用 6 个螺栓连接如图所示。 若螺栓材料的许用应 力 [? ] ? 40 MPa，试确定螺栓的内径。350PPp =1MPa9解： 由于内压的作用，油缸盖与缸体将有分开的趋势，依靠六个螺栓 将它们固定在一起。 油缸盖受到的压力为80解： 由虎克定律???E?P EA可以得到此重物的重量为 P ? ? EA? 49.8 ? 10 ?6 ? 200 ? 10 9 ? ? 20kN?4? 80 2 ? ?80 ? 9 ? 2? ? 10 ?6 N2??4 每个螺栓承受的轴向为 P 1 ?D 2 N ? ? p? 6 6 4 由螺栓强度条件 1 ?D 2 ? p? 2 N 4 ? pD ≤ [? ] ?? ?6 A ?d 2 6d 2 4 可得螺栓的直径应为 p 1 d ≥ D? ? 350 mm ? 22.6mm 6[? ] 6 ? 40P? p??D 211-45– 9 一铰接结构由杆 AB 和 AC 组成如图所示。 杆 AC 的长度为杆 AB 的两倍，横截面面积均为 A ? 200 mm2 。两杆材料相同，许用应力 [? ] ? 160MPa，试求结构的许可载荷。Ay NAB B NAC45? 30?y RA a NAC RA RACC 2P D P a RB P NCD RB 2a 2P 2P NDBA PxA PB解： 由?X ?0：N AB sin 45? ? N AC sin 30? ? 0可以得到： N AC ? 2 N AB ? N AB ，即 AC 杆比 AB 杆危险，故解： 为一次超静定问题。设支座反力分别为 R A 和 R B ，如图所示。 由截面法求得各段轴力分别为 N AC ? R A ， N CD ? RB ? P ， 静力平衡方程为由?N AC ? [? ] A ? 160 ? 106 ? 200 ? 10 ?6 N ? 32 kN 1 N AB ? N AC ? 16 2 kN 2 N AB cos 45? ? N AC cos 30? ? P ? 0N DB ? RB① ② ③Y ?0：?Y ? 0 ：R A ? 2 P ? P ? RB ? 0可求得结构的许可荷载为P ? 43.7 kN变形协调方程为 ?l ? ?l AC ? ?lCD ? ?l DB ? 0 物理方程为5– 10 试求图示等直杆 AB 各段内的轴力。N CD 2a N a ， ?l DB ? DB EA EA 7 5 由①②③④联立解得： R A ? P ， RB ? ? P 4 4 7 P 5 故各段的轴力为： N AC ? P ， N CD ? ? ， N DB ? ? P 。 4 4 4 ?l AC ? ?lCD ?N AC a ， EA④11-55– 11 一结构如图所示。横梁 AB 可视为刚体。杆 1、2 和 3 的横截面 面积均为 A。各杆材料相同，其许用应力为 [? ] 。试求许可载荷。E 2l C a P a y l B5– 12 图示为铰接的正方形结构，各杆材料均为铸铁，其许用压应力 [? ] 与许用拉应力的比值为 ? ? 3 。各杆横截面面积均为Ａ。试求该结 [? ? ]构的最大许可载荷Ｆ。ND l AF NADFNCE P NBFAD aB N (a) D N N N‘ F解： 为一次超静定问题。 由对称性可知， N AD ? N BF ， ?l AD ? ?l BF 。 静力平衡条件：C aB F(b)解： ① B 点受力如图(a)所示，由平衡条件可得： N ? F 拉杆强度条件?Y ? 0 ：N AD ? N CE ? N BF ? P ? 0 ?l AD ? ?lCE N ADl N CE ? 2l ? EA EA N AD ? 2 N CE22 ，由变形协调条件： 即 即由对称性可知，AD、BD、AC、BC 四杆受拉，拉力为 F?? ?② 可得≤ [? ? ] A F ≤ 2[? ? ] A'F2①由①②解得： N AD ? N BF ? 2 N CE ?2 P 5 2P 5 ≤ [? ] ，可得该结构的 AD 点受力如图(b)所示，由平衡条件可得： N ? ? 2 N ? ?F CD 杆受压，压力为 F ，由压杆强度条件由 AD、BF 杆强度条件 ? AD ? ? BF ? 许可载荷为?? ?可得F ≤ [? ? ] ? 3[? ? ] A F ≤ 3[? ? ] A②5 P ≤ [? ] A 2由①①可得结构的最大许可载荷为 F ? 2[? ? ] A 。11-6六 剪 切6– 1 如图所示拉杆接头。已知销钉直径 d ? 30 mm，材料的许用剪 应力 [? ] ? 60 MPa，欲传递拉力 P ? 100 kN，试校核销钉的剪切强度。 若强度不够，则设计销钉的直径。P6– 2 如图所示凸缘联轴节。凸缘之间用四只对称分布在 D0 ? 80 mm圆 周 上 的 螺 栓 联 接 ， 螺 栓 内 径 d ? 10 mm ， 材 料 的 许 用 剪 应 力 [? ] ? 60 MPa。若联轴节传递转矩 M 0 ? 200 N ? m ，试校核螺栓的剪切 强度。Q D0M0M0QD0Q M0Q解： 设每个螺栓承受的剪力为 Q，则由P解： 1．校核销钉的剪切强度 P2 2P 2 ? 100 ? 10 3 Pa ? 70.7 MPa ? [? ] ?? 2 ? 2 ? ?d 4 ?d ? ? 30 2 ? 10 ?6 ∴ 销钉的剪切强度不够。 2．设计销钉的直径 P2 由剪切强度条件 ? ? ≤ [? ] ，可得 ?d 2 4d≥Q?可得D0 ? 4 ? M0 2Q? M0 2 D0螺栓的剪应力 M0??2M Q 2 D0 2 ? 200 Pa ? ? 2 0 ? 2 2 A ?d ?d D0 ? ? 10 ? 10 ?6 ? 80 ? 10 ?3 4 ? 15.9 MPa ? [? ]2P 2 ? 100 ? 103 m ? 32.6 mm ? ? [? ] ? ? 60 ? 10 6∴螺栓满足剪切强度条件。11-76– 3 矩形截面木拉杆的接头如图所示。已知轴向拉力 P ? 50 kN，截 面宽度 b ? 250 mm，木材的顺纹容许挤压应力 [? jy ] ? 10 MPa，顺纹的容许剪应力 [? ] ? 1 MPa，求接头处所需的尺寸 L 和 a。6– 4 螺 栓 接 头 如 图 所 示 。 已 知 P ? 40 kN ， 螺 栓 的 许 用 剪 应 力 [? ] ? 1 3 0MPa，许用挤压应力 [? jy ] ? 300 MPa。试按强度条件计算螺栓所需的直径。PaPd解： 设螺栓的直径为 d。 1．由螺栓的剪切强度条件 ? ?d ≥LL解：P ≤ [? jy ] ，可得 ab P 50 ? 10 3 m ? 20 mm ? a≥ b[? jy ] 250 ? 10 ?3 ? 10 ? 10 6 P 2．由剪切强度条件 ? ? ≤ [? ] ，可得 bL P 50 ? 10 3 ? m ? 200 mm L≥ b[? ] 250 ? 10 ?3 ? 1 ? 10 61． 由挤压强度条件 ? jy ?P2?d 2 4≤ [? ] ，可得2P 2 ? 40 ? 103 m ?14 mm ? ? [? ] ? ? 130 ? 10 6 P 2．由螺栓的挤压强度条件 ? jy ? ≤ [? jy ] ，可得 d ? 20 ? 10 ?3 P 40 ? 103 d ≥ m ? 6.7 mm ? 20 ? 10 ?3 [? jy ] 20 ? 10 ?3 ? 300 ? 106综合 1、2，螺栓所需的直径为 d ≥ 14 mm。七 扭 转11-81020P10bP7– 2 如图所示一传动轴 AC，主动轮 A 传递外扭矩 m1 ? 1 kN ? m ，从 7– 1 某圆轴作用有四个外力偶矩 m1 ? 1 kN ? m ， m2 ? 0.6 kN ? m ，m3 ? m4 ? 0.2 kN ? m 。(1) 试作轴扭矩图； (2) 若 m1 、 m 2 位置互换，扭矩图有何变化？m4 m3 m2 m1A l B l CB l A l C动轮 B、C 分别传递外扭矩为 m2 ? 0.4 kN ? m ， m3 ? 0.6 kN ? m ，已 知轴的直径 d ? 4 cm，各轮间距 l ? 50 cm，剪切弹性模量 G ? 80 GPa， 试求： (1) 合理布置各轮位置；m1 m2 m3m2 m1 m32m2.5m2.5m解：T ( kN . m) 0.4 (1) 0.2 0.4 1.0(2) 求出轮在合理位置时轴的最大剪应力、轮 A 与轮 C 之间的 相对扭转角。 T ( kN·m ) 0.6 1.0 0.60.40.2 (2)解： 1．由扭矩图可以看出：按原先的布置，轴的最大扭矩为 1.0 kN ? m ； 当主动轮 A 位于中间位置时，轴的最大扭矩降低为 0.6 kN ? m ，因此， 将主动轮 A 布置在两从动轮 B 和 C 中间较为合理。 2． ? max ?0.6? AC? AC或TAC 0.6 ? 103 ? Pa ? 47.7MPa ? Wt 3 ?6 ? 4 ? 10 16 T l 0.6 ? 103 ? 50 ? 10 ?2 ? ? AC ? ? 0.0 1 4r9 ad ? 0.8 5 4 ? GI p 9 4 ?8 80 ? 10 ? ? 4 ? 10 32 ? maxl T AC l T AC l ? ? ? d d GI p G GWt 2 211-97– 3 一空心圆轴的外径 D ? 90 mm，内径 d ? 60 mm，试计算该轴的 抗扭截面模量 Wt ；若在横截面面积不变的情况下，改用实心圆轴，试比较两者的抗扭截面模量 Wt ，计算结果说明了什么？ 解： 1．空心圆轴的抗扭截面模量7– 4 阶梯形圆轴直径分别为 d1 ? 4 cm， d 2 ? 7 cm，轴上装有三个皮带轮，如图所示。已知由轮 3 输入的功率为 P3 ? 30 kW，轮 1 输出的 功率为 P1 ? 13 kW，轴作匀速转动，转速 n ? 200 r/min，材料的许用剪 应力 [? ] ? 60 MPa， 剪切弹性模量 G ? 80 GPa， 许用扭转角 [? ] ? 2 ? / m ， 试校核轴的强度和刚度。Wt ?? D 4 ? d 4 32 ? D 4 ? d 4D2 ? 16D???? ? ? ?90? 60 4 ? 11.5 ? 10 4 mm3 16 ? 904?m1 Am2 C D1mm3 B2．实心圆轴的抗扭截面模量 设实心圆轴的直径为 d ? ，由实心圆轴与空心圆轴的横截面面积相 等，即0.5m 0.3m?4d ?2 ??4?D2? d 2 ，可得?解：T (kN·m)d ? ? D 2 ? d 2 ? 902 ? 602 ? 67.1mm故实心圆轴的抗扭截面模量为Wt? ??16d ? 3 ? 5.9 ? 10 4 mm33．比较 1 和 2 可知：在横截面相同的情况下，空心圆截面要比实心 圆截面的抗扭截面模量大，因而，在扭转变形中，采用空心圆截面要 比实心圆截面合理。13 ? 0.62 kN ? m 0.62 200 1.43 30 m3 ? 9.55 ? ? 1.43 kN ? m 200 3 T ?? AC ?max ? AC ? 0.62 ? 10 Pa ? 49.3MPa ? [? ] ?Wt ? AC ? ? 4 3 ? 10 ?6 16 T AC 0.62 ?103 ? AC ? ? ? 0.031 rad m ? 1.77 ? m ? [? ] ? G?I p ?AC 80 ?109 ? ? 4 4 ?10 ?8 32 3 ?? DB ?max ? TDB ? 1.43 ? 10 Pa ? 21.2MPa ? [? ] ?Wt ?DB ? ? 7 3 ? 10 ?6 16 m1 ? 9.55 ?? DB ?TDB ? G I p DB? ?1.43 ? 10 3 80 ? 109 ??32? 0.008 rad m ? 0.43? m ? [? ]? 7 4 ? 10 ?811-107– 5 如图所示， 有一外径 D ? 100 mm， 内径 d ? 80 mm 的空心圆轴与 直 径 D1 ? 80 mm 的 实 心 圆 轴 用 键 相 连 。 轴 的 两 端 作 用 外 力 偶 矩10 ? 10 ? 30 mm3 ，键的许用剪应力 [? ]2 ? 100 MPa ，许用挤压应力m ? 6 kN ? m ， 轴 的 许 用 剪 应 力 [? ]1 ? 80 MPa ； 键 的 尺 寸 为7–6 如图所示，两圆轴用法兰上的 12 个螺栓联接。已知轴的传递扭 矩 m ? 50 kN ? m ， 法 兰 边 厚 t ? 2 cm ， 平 均 直 径 D ? 30 cm ， 轴 的 [? ]1 ? 40 MPa，螺栓的 [? ] 2 ? 60 MPa，[? bs ] ? 120 MPa，试求轴的直径d 和螺栓直径 d1 值。m d. . .[? bs ] ? 280MPa，试校核轴的强度并计算所需键的个数 n。m..d1 D. . .m d D D1mF m 1010 30..解： 1．求轴的直径t t解： 1．校核轴的强度 空心轴： D 100 m 32 ? 6 ? 103 ? ? 10 ?3 2 2 Pa ? 51.8 MPa ? [? ]1 ? max ? ? ? D 4 ? d 4 32 ? ? 1004 ? 80 4 ? 10 ?12由轴的剪切强度条件： ?? max ?1 ?m?d 3 16≤ [? ]1 ，可得d ≥3????16m 3 16 ? 50 ? 103 m ? 185 mm ? ? [? ]1 ? ? 40 ? 10 6F?2．求螺栓的直径实心轴：? ? ? maxm?D13 16?16 ? 6 ?10 3? ? 80 3 ?10 ?9Pa ? 59.7 MPa ? [? ]1∴ 轴满足强度条件。 2．求所需键的个数 3 m 2 ? 6 ?1 0 N ? 150 kN F? ? D1 2 8 0? 1 0?3F 150 ? 103 [ ? ] ≤ 可得： ≥ n ?5 2 10 ? 30 ? 10? 6 ? 100 ? 106 n ? 10 ? 30 ? 10 ? 6 F 150 ?10 3 [ ? ] 由 ? bs ? ≤ 可得： ≥ n ? 3.6 bs n ? 5 ? 30 ? 10 ? 6 150 ?10 ?6 ? 280 ?10 6 ∴ 所需键的个数 n ≥ 5 。1 m 50 ? 103 N ? 27.8 kN ? 12 D 2 6 ? 30 ? 10 ?2 Q 4F ? 2 ≤ [? ] 2 ，可得 由螺栓的剪切强度条件： ? ? 2 ?d1 4 ?d1每个螺栓所受到的力为由? ?4F 4 ? 27.8 ? 103 m ? 24 mm ? ? [? ] 2 ? ? 60 ? 10 6 P F 由螺栓的挤压强度条件： ? bs ? bs ? ≤ [? bs ] ，可得 Abs td1d1 ≥t[? bs ] ∴ d1 ≥ 24 mm。d1 ≥F?27.8 ? 10 3 m ?12 mm 2 ? 10 ? 2 ? 120 ? 10 611-11八 弯曲内力8– 1 试用截面法求下列各梁中 n-n 截面上的剪力和弯矩。A 1m n n C 1m (a) 8kN M Q O 6kN P1=8kN P2=6kN B A RA 2m n n 2m (b) O M Q q=4kN/m B 2m8– 2 试用截面法求下列各梁中 1-1、2-2 截面上的剪力和弯矩。并讨 论该两截面上内力值的特点。设 1-1、2-2 截面无限接近于载荷作用位 置。 P m 1 1 2 2 A B A B 1 2 1 2 RA RB RA RB C l/2 l/2 l/2 l/2(a) M1 M2 P/2 P/2 m/l (b) M1 M2 m/l2m4kN/m 6kNQ1Q2Q1Q2解： (a) 以整个梁为研究对象，求得支反力：解： (a) 将梁从 n-n 截面处截开，截面形心为 O，取右半部分研究。R A ? RB ?P 2由截面法，分别以 1-1 截面左半部分、2-2 截面右半部分为研究对象， 求得：? ?M ?MY ?0：OQ ?8?6?0，M ? 8 ?1 ? 6 ? 3 ? 0 ，Q ? 14 kNM ? ?26 kN ? m? 0：P Pl ， M1 ? 2 4 P Pl Q2 ? ? ， M 2 ? 2 4 Q1 ? RA ? ? m m ， RB ? l l(b) 对整个梁B可见，集中力作用处，剪力有突变，突变值为 P，弯矩不变。 (b) 以整个梁为研究对象，求得支反力：?0：RA ? 4 ? 4 ? 6 ?1 ? 0 ，6 ? 4? 2 ? Q ? 0R A ? 6 kNQ ? ?2 kN由截面法，分别以 1-1 截面左半部分、2-2 截面右半部分为研究对象， 求得：?Y ? 0 ： ?M ? 0 ：O将梁从 n-n 截面处截开，截面形心为 O，取左半部分研究。1 6 ? 2 ? ? 4 ? 22 ? M ? 0 2M ? 4 kN ? mm m ， M1 ? ? l 2 m m Q2 ? ? ， M 2 ? l 2 Q1 ? ?11-12可见，集中力偶作用处，弯矩有突变，突变值为 m ，剪力不变。8– 3 试写出下列梁的内力方程，并作剪力图和弯矩图。m=12kN·m A ( a) RA 12kN·m ( a 1) 7kN 7 (a2) Q(kN) 9 (a3) M(kN·m) 3 M (x ) M(x ) 3m Q( x ) x x B 3m Q(x ) 3kN P=10kN C RB x3．作内力图，图( a2 )，( a3 )。x (b) A RA q (b1) Q( x ) Q( x ) ql (b2) Q ql (b3) M ql 2/2 l RB q x B ql C l /2 qlM(x ) M(x )12解： 1．求支反力，图( b )，解： 1．求支反力，图( a )，?M ? 0 ： ?Y ? 0 ：CR A ? 6 ? 12 ? 10 ? 3 ? 0 ，R A ? 7kN?M ? 0 ： ?Y ? 0 ：B1 l RA ? l ? ql 2 ? ql ? ? 0 ， 2 2 R A ? RB ? q ? l ? ql ? 0 ，RA ? 0RB ? 2qlR A ? RB ? 10 ? 0 ，RB ? 3kN2．列内力方程，图( b )和( b1 )，2．列内力方程，图( a )和( a 1 )，?7 kN Q( x ) ? ? ?? 3 kN0? x?3 3? x ?6? 7 x ? 1 2 k N? m M ( x) ? ? ?3(6 ? x) k N? m0? x?3 3? x ?60? x?l ?? qx Q( x ) ? ? l ? x ? 3l 2 ? ql 2 ? ? qx 2 0? x?l M ( x) ? ? l ? x ? 3l 2 ?? ql (3l 2 ? x) 3．作内力图，图( b2 )，( b 3 )。11-138– 4 试作出下列梁的剪力图和弯矩图。2P A B Pa C A a (a) 2P Q Pa M Pa M qa2 qa2/2 Q qa2/2 2qa a a (b) B a C qa2 q8– 5 试作下列各梁的剪力图和弯矩图。q A RA=3ql/8 l/2 (a) Q 3ql/8 Q(kN) 3l/8 9ql 2/128 M ql /8 ql 2/16 M(kN·m) 5 15 15 10 10 C RB=ql/8 l /2 B A RC=40kN 1m 1m (b) 30 1m q P=20kN C q=30kN/m B RE=40kN 1mD E3011-148– 6 起吊一根单位长度重量（力）为 q ( kN / m )为的等截面钢筋混 凝土梁（如图），要想在起吊中使梁内产生的最大正弯矩与最大负弯 矩的绝对值相等，应将起吊点 A、B 放在何处（即 a ? ? ）？P=qlA a l qB aql/2ql ? l ? q?l ? ? ? a? ? ? ? 2 ?2 ? 2 ?2?2ql/2Mq a2 2 q a2 2解： 作梁的计算简图及其 M 图。由 M ? 即 即 求得max? M?max，ql ? l qa 2 ? q?l ? ? ? a? ? ? ? ? 2 ?2 2 ? 2 ? 2?a 2 ? la ?a?2l2 ?0 4 2 ?1 l ? 0.207l 。 211-158– 7 试用叠加法作下列各梁的弯矩图。q B DP=ql/4 A Cl/2l/2 (a)l/2ql/4qql/4q=3ql/4 ql/2 ql/8 Q ql/4 ql2/16 M ql2/8 ql/8 ql/8+ql/8 5ql/8 ql/2=ql/8+ql/8=+ql2/811-168–8 长度为 250 mm，截面尺寸为 h ? b ? 0.8mm ? 25mm 的薄钢尺，由q A qa a (b) q 3qa2 qa qa 2qa Q qa q C 2a B=qa2 qa qa+4qa2 2qa 2qa=qa qa2+=M 2qa2 3qa2+2qa2 4qa2八（2） 弯曲应力于 两 端 外 力 偶 的 作 用 而 弯 成 中心角为 60 ? 的圆弧。已知弹性模量 E ? 210GP a。试求钢尺横截面上的最大正应力。 解： 根据题意11-17??可以得到l?，1??M EI z40 ? 150 ? ? 103 ? ? ? 40 ? ? 10 ?3 M 1?1 y a 11 2 ? ? ?a ? ? Pa ? 6.03 MPa Iz 21.09 ? 10 ?6M E ? ? ?E? Iz ? l故钢尺横截面上的最大正应力为 My max ? h ? max ? ?E? ? Iz l 2? 210 ? 10 9 ? ? 352 M P a0.8 ? 10 3 ? ?3 2 250 ? 10??3PaPa ? 0.38 MPa 75 ? 10 ?3 ? 21.09 ? 10 ?6 40 ? 150 ? ? 10 3 ? ? ? ? 10 ?3 ? M y 11 ? 2 ? Pa ? ?12.93 MPa ? b ? 1?1 b ? ?6 Iz 21.09 ? 10 ?b ? 0 bI z?a ?* Q1?1 S z?? ? 40 ? 150 40 ? ? 103 ? ?75 ? 40 ? ? ? ? ? 10 ?9 ? 11 2 ? ? 2 ? ?5– 10 一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受载荷如图所示。 木料的许 用弯曲正应力 [? ] ? 10 MPa。 现需要在梁的截面Ｃ上中性轴处钻一直径为 d 的圆孔，问在保证该梁强度的条件下，圆孔的最大直径 d（不考 虑圆孔处应力集中的影响）可达多少？2kN/m 5kN A 250 C 1000 B160 160z y C 截面8– 9 矩形截面简支梁如图所示。试计算 1-1 截面上 a、b 两点的正应力和剪应力。 解： 1．求 1-1 截面上的剪力和弯矩解：1 A 1 RA 00 RB 150 7511-188kN B 10 b?MB? 0：R A ? 2.2 ? 8 ? 1 ? 0 ，40 RA ? kN 11 40 40 ? kN ， M 1?1 ? kN ? m 11 11∴ 1-1 截面上的剪力和弯矩为： Q1?12．求 1-1 截面上 a、b 两点的应力 75 ? 1503 ? 10 ?12 Iz ? ? 21.09 ? 10 ?6 m 4 12a 40C 截面为危险截面。1．作 M 图，求 I zC1 2 M C ? ?5 ? ?1000 ? 250? ? 10?3 ? ? 2 ? ?1000 ? 250? ? 10?6 kN ? m 2? ?4.31 kN ? myC ?I zC160 ?
? d 3 40 Iz ? ? mm 4 ? 1603 ? d 3 mm 4 12 12 3 160 y max ? mm ? 80 mm 2 M C y max M C y max 由 ? max ? ≤ [? ] ，可得 ? 40 Iz 3 3 ?12 160 ? d ? 10 3??200 ? 30 ? 215 ? 200 ? 30 ?100 ? 157.5 mm 200 ? 30 ? 200 ? 30 200 ? 30 3 30 ? 2003 ? ? 200 ? 30 ? 57.5 2 ? ? 200 ? 30 ? 57.5 2 12 12 ? 6.01 ? 10 7 mm 420 ? 103 ? 72.5 ? 10 ?3 Pa ? 24.1MPa? [? l ] I zC 20 ? 103 ? 157.5 ? 10 ?3 Pa ? 52. 2 M P?a [? y ] I zC 10 ? 103 ? 72.5 ? 10 ?3 Pa ? 12.1MPa? [? y ] I zC 10 ? 103 ? 157.5 ? 10 ?3 Pa ? 2 6 . 2 M ? P [a ?l ] I zC2．强度校核 B 截面： ? Bl ? ? B上 ???? By ? ? B下 ?d ≤ 3 1603 ?3 M C y max 40 ? 10 ?12 [? ]mmC 截面： ? Cy ? ? C上 ?? 3 1603 ?3 ? 4.31 ? 103 ? 80 ? 10 ?3 mm ? 115 mm 40 ? 10 ?12 ? 10 ? 10 6? Cl ? ? C下 ?3．若倒置成?形时， ? Bl ? ? B上 ? 52.2 MPa ? [? l ] ，∴不合理。8– 11 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。 许用拉应力 [? l ] ? 40 MPa， 许用压应力 [? y ] ? 160 MPa。 试按正应力强度条件校核梁的强度。 若载荷不变，但将 T 形横截面倒置成为?形，是否合理？何故？ 200 q=10kN/m 30 P=20kN B C D A30kN 2m M(kN·m) 20 3m10kN 1m 10zC20030 yC y11-19[? ] ? 100 MPa， 8– 12 若图示梁的 [? ] ? 160 MPa， 试选用工字钢型号。 8–13 为改善载荷分布， 在主梁 AB 上安置辅助梁 CD。设主梁和辅助10kN/m A RA=18kN RB=26kN 4m Q ( kN ) 18⊕4kN B C 2m 4梁的抗弯截面模量分别为 W1 和 W2 ，材料相同。试求 a 的合理长度。P C Al?a 2 a 2 a 2 l?a 2D BmPa 4m1.8m 16.2 M(kN·m) 8 22MCD MABP ?l ? a ? 4解： 1．求支反力，作剪力、弯矩图。 Qmax ? 22 kN ， M max ? 16.2 kN ? m 2．按正应力强度条件选择工字钢型号 M 由 ? max ? max ≤ [? ] ，得到 Wz解： 1．作主梁 AB 和辅助梁 CD 的弯矩图 2．求主梁和辅助梁中的最大正应力 ?M AB ?m a x P?l ? a ? 4 P?l ? a ? ? ? 主 梁： ?? AB ?m a x? W1 W1 4W1 辅助梁：M 16.2 ? 103 ? 101.25 cm 3 W z ≥ max ? 6 [? ] 160 ? 10查表选 14 号工字钢，其 * Wz ? 102 cm 3 ， b ? 5.5 mm ， I z S z ? 12.0 cm 3． 剪应力强度条件校核 Qmax 22 ? 103 ? max ? ? Pa ? 33.3 M P a ? [? ] * b I z Sz 5.5 ? 10 ?3 ? 12.0 ? 10 ?2 满足剪应力强度条件。 ∴ 选择 14 号工字钢。?? CD ?m a x??M CD ?m a xW2?Pa 4 Pa ? W2 4W23．求 a 的合理长度 最合理情况为即： 由此求得：?? AB ?max ? ?? CD ?max P?l ? a ? Pa ?4W1 4W2a?W2 l W1 ? W211-208– 14 图示外伸梁由 25a 号工字钢制成，其跨长 l ? 6 m，且在全梁上 受集度为 q 的均布载荷作用。当支座处截面Ａ、Ｂ上及跨中截面Ｃ上 的最大正应力均为 ? ? 140 MPa 时，试问外伸部分的长度 a 及载荷集 度 q 各等于多少？q D A l/2 a l2 ? q? ? l ? a2 ? ? 2? 4 ? ?CB aE yzM解： 1．求支反力，作弯矩图 2．确定 a 和 q 对截面 A、B： 由 ? A max ? ? B max ?qa2/2qa2/2查表得：25a 号工字钢的 I z ? 5020 cm 4 ， h ? 250 mm 。qa 2 2 ? ?h 2? ? [? ] ，得到 Iz4[? ]I z 4 ? 140 ? 10 6 ? 5020 ? 10 ?8 ? ? 1.124 ? 10 5 N ? m ① h 250 ? 10 ?3 对截面 C： q l 2 4 ? a 2 2 ? ?h 2? q 9 ? a 2 h 由 ? C max ? ? ? [? ] ，得到 Iz 4I z 4[? ]I z ② q 9 ? a2 ? ? 1.124 ?105 N ? m h 由①②解得： q ? 25 kN/m ， a ? 2.12 m 。 qa 2 ???????11-219P 9 ? 40 ? 103 3 ? m ? 0.208 m h 4[? ] 4 ? 10 ? 106 [? ] ? 10 MPa。 m， 试确定抗弯截面模量为最大时矩形截面的高宽比 ， b Q 1.5P 9 P 以及锯成此梁所需木料的最小直径 d。 ? 2 ≤ [? ] ，可得 由剪应力强度条件 ? max ? 1.5 max ? A bh 4h P Ph ≥3A C a M 3a Pa D a y b d B h z8– 15 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知 P ? 5 kN， a ? 1.59P 9 ? 40 ? 103 ? m ? 0.173 m 4[? ] 4 ? 3 ? 106 ∴ h ≥ 0.208 m ， b ? 2h 3 ≥ 0.139 mh≥九 弯曲变形9– 1 试问下列各梁用积分法求变形时有几个积分常数？试列出相应的边界条件和光滑连续性条件。解： 1．作弯矩图 2．求高宽比1 1 Wz ? bh 2 ? b d 2 ? b 2 6 6由??dWz ? 0 ，求得 db d b? ，h ? 32 3dd3 h ? 2 ，此时， Wz ? b 9 3∴ 抗弯截面模量最大时的高宽比为：3．确定所需材料的最小直径 M 9 3Pa 由 ? max ? max ? ≤ [? ] ，得到 Wz d3d ≥39 3Pa 3 9 3 ? 5 ? 103 ? 1.5 ? m ? 0.227 m [? ] 10 ? 10611-22解： (a) 四个 当 x ? 0 时， y1 ? 0 ， ? 1 ? 0 ； 当 x ? a 时， y1 ? y 2 ， ? 1 ? ? 2 。 (b) 六个 当 x ? a 时， y1 ? y 2 ? 0 ， ? 1 ? ? 2 ； 当 x ? a ? b 时， y 2 ? y3 ? 0 ，m 1 a (a) P 1 a 1 2 b (b) 2 3 q 3 a 2m9– 2 试用积分法求图示外伸梁的 ? A 、 ? B 及 f A 、 f D 。y x P=ql/2 x q B l/2解： AB 段( 0 ? x ?2 P 2mAD l/2 lCxal )： 2?2 ??3 。(c) 六个 当 x ? 0 时， y1 ? 0 ， ? 1 ? 0 ； 当 x ? a 时， y1 ? y 2 ； 当 x ? a ? b 时， y 2 ? y3 ? 0 ，ab (c)lql1?2 ??3 。(d) 二个 当 x ? 0 时， y ? 0 ，l (d)1 ?? ? M ?x? ? ? qlx EIy1 2 1 ? ? ? qlx 2 ? C1 EIy1 4 1 EIy1 ? ? qlx3 ? C1 x ? D1 12 l 3l BC 段( ? x ? )： 2 2 2 1 ? 3l 1 ? 3l ? ? ?? ? M ?x ? ? ? q? ? x ? ? ql? ? x ? EIy 2 2 ?2 4 ?2 ? ?? ? EIy 2 1 ? 3l 1 ? 3l ? ? q? ? x ? ? ql ? ? x ? ? C 2 6 ?2 8 ?2 ? ?1 ? 3l 1 ? 3l ? ? ? 3l ? q? ? x ? ? ql? ? x ? ? C 2 ? ? x ? ? D2 24 ? 2 24 ? 2 ? ? ?2 ?3 2 4 332qll1 当 x ? l 时， y ? ??l1 ? ? 2 E1 A1（注： E1 和 A1 分别为拉杆的弹性模量和横截面面积）EIy 2 ? ?q ? 3l ql ? 3l ? ? BC 段： ? 2 ? ? ? x? ? ? ? x? 6 EI ? 2 8EI ? 2 ? ?11-23y2 ? ?由此可得到：q ? 3l ql ? 3l ? ? ? ? x? ? ? ? x? 24EI ? 2 24EI ? 2 ? ?? 5ql 3 ， 48EI ql 4 ， 24EI43(a) 1．当 P 单独作用时，查表得? A ? ?1f A ? y1x ?0? B ? ?1f D ? y2l x? 2??ql 3 ， 24EIql 4 。 384EIx ?0??x ?lPl 2 16 EI Pl 3 f CP ? ? 48EI 2．当 m0 单独作用时，查表得 ml ? Am0 ? ? 0 6EI m0 l 2 f Cm0 ? ? 16 EI 3．当 P 和 m0 共同作用时，? AP ? ?0 ? ? A ? ? AP ? ? Am0 ? ?? ? 16EI ? 6EI ? ? ?? Pl 2m l?? Pl 3 m0 l 2 ? ? f C ? f CP ? f Cm0 ? ?? ? ? 48EI 16EI ? ? ?9– 3 试用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角。 设梁的抗弯刚 度 EI 为已知。P m0l/2解：l/2 (a) ? A ， fC11-24q A a B a (b) ? C , y CP=qa C9–4 已 知 一 钢 轴 的 飞 轮 重 P ? 20 kN ， 而 轴 承 B 处 允 许 转 角 [? ] B ? 0.5? ，试确定轴所需要的直径 d (已知 E ? 200 GPa)。A B d C? Bqf CqP=20kN a=1m b=2m PP m0=Pa? Bm 0轴的受力简图：P? CP 1PaP(b) 1．当 q 单独作用时，查表得 qa 3 qa 4 ? Cq ? ? Bq ? f Cq ? ? Bq ? a ? ， 24EI 24 EI 2．当 P 单独作用时，查表得 qa 2 ? a qa ? a 2 5qa 3 ? CP ? ? Bm0 ? ? CP1 ? ? ? ?? 3EI 2 EI 6 EI 3 3 qa qa ? a 2qa 4 f CP ? ?? Bm0 ? a ? f CP1 ? ? ?a ? ?? 3EI 3EI 3EI 3． 当 q 和 P 共同作用时， qa 3 5qa 3 19qa 3 ? C ? ? Cq ? ? CP ? ? ?? 24EI 6 EI 24EI 4 4 qa 2qa 5qa 4 f C ? f Cq ? f CP ? ? ?? 24EI 3EI 8EI解： 1．作轴的受力简图 2．由刚度条件确定轴的直径 由?B ?可得d ≥Pa ? b ? 3EIPab ? ≤ [? ] B ? 4 180 ?d 3E 64? 64 ? 20 ? 10 3 ? 1 ? 2464Pab43?E?180[? ] B3? ? 200 ? 10 9 ??180m ? 112 mm? 0.511-259– 5 图示悬臂梁 AB 和简支梁 DG 均用 No.18 工字钢制成；BC 为圆截 面 钢 杆 ， 直 径 d ? 20 mm 。 梁 和 杆 的 弹 性 模 量 E ? 2 0 0 GPa 。若 P ? 30 kN，试计算梁的最大正应力，并计算 C 处的垂直位移。 A B A B N1.4m D C P 2m 2m D B G C N C N P G N20.2 ? 10 3 Pa ? 109 .2 MPa W 185 ? 10 ?6 ?30 ? 9.8? ? 103 ? 4 3 m ? 8.1mm ? C 点的垂直位移： f C ? 48 ? 200 ? 10 9 ? 1660 ? 10 ?8梁内的最大正应力：? max ??M DG ?max???十应力状态和强度理论10– 1 试用单元体表示图示构件中 A、B 点的应力状态。并算出单元 体上的应力数值。240N.m AB80N.m解： 为一次超静定问题。 f B ? ?l BC ? f C 变形协调方程： 即： 即： 查表得：3 3 ?P ? N ?l DG Nl Nl AB ? BC ? 3EI EA 48EI 8N 1.4 N 64?P ? N ? ① ? ? 3I A 48I I ? 1660 cm 4 ， W ? 185 cm 3 由①式求得： N ? 9.8 kN 最 大 弯 矩 ： ?M AB ?max ? M A ? 9.8 ? 2 kN ? m ? 19.6 kN ? m(a) P=100N50q=20N/m A 2m20B 1m 2m (b)200120506m?M DG ?max ? M C ? ?30 ? 9.8? ? 4 kN ? m ? 20.2 kN ? m411-26?B ?解： (a) A 点： TA ? 240 ? 80 ? 160N ? m T 16T A 16 ? 160 ?A ? A ? ? Pa ? 1 0 . 1 9M P a 3 Wt ?d ? ? 20 3 ? 10 ?9 B 点： TB ? ?80N ? m T 16TB 16 ? 80 ?B ? B ? ?? Pa ? ?5 0 . 9 M P a 3 Wt ?d ? ? 20 3 ? 10 ?9 (b)* QB S zB 100 ? 10 3 ? 120 ? 50 ? 75 ? 10 ?9 ? Pa ? 4 . 7 M P a bI z 120 ? 10 ?3 ? 8 ? 10 ?59.0 10– 2 试用解析法求图示各单元体斜截面上的应力（图中应力单 位为 MPa）。yn100?5020n5020n?40?30 x80 1 40 ? 2 ? ? 20 ? 2 2 ? kN ? m 3 2 3 80 40 QA ? ? 20 ? 2 ? ? kN 3 3 3 ?12 120 ? 200 ? 10 Iz ? ? 8 ? 10 ?5 m 4 12 40 ? 103 ? 50 ? 10 ?3 M A yA 3 ?A ? ? Pa ? 8 . 3 3 M P a Iz 8 ? 10 ?5 40 ? ? 10 3 ? 120 ? 50 ? 75 ? 10 ?9 * Q A S zA 3 ?A ? ? Pa bI z 120 ? 10 ?3 ? 8 ? 10 ?5 ? ?0.63M P a B 点： M B ? ?100 ? 1 ? ?100kN ? m QB ? 100kNA 点： M A ?(a)(b)(c)解： (a) ? x ? ?50MPa ， ? y ? 100MPa ， ? xy ? 0 ， ? ? 150?? 150? ?? 150?? 50 ? 100 ? 50 ? 100 ? cos 300? ? 0 ? ?12.5M P a 2 2 ? 50 ? 100 ? sin 300? ? 0 ? 65.0M P a 2(b) ? x ? ?40MPa ， ? y ? 0 ， ? xy ? 20MPa ， ? ? 60 ?? 60? ?? 60?? 40 ? 0 ? 40 ? 0 ? cos120? ? 20 sin120? ? ?27.3M P a 2 2 ? 40 ? 0 ? sin120? ? 20 cos120? ? ?27.3M P a 2?B ?M B yB ? 100 ? 10 ? ? 50 ? 10 ? Iz 8 ? 10 ?53?? ??3? Pa ? 6 2 . 5 M P a(c) ? x ? 30MPa ， ? y ? 50MPa ， ? xy ? ?20MPa ， ? ? 30 ?11-2730 ? 50 30 ? 50 ? cos 60? ? ?? 20?sin 60? ? 52.3M P a 2 2 30 ? 50 ? 30? ? sin 60? ? ?? 20?cos 60? ? ?18.7M P a 2 . 10– 3 锅炉内径 D ? 1m，壁厚 t ? 10 mm，内受蒸汽压力 p ? 3 MPa，? 30? ?? 60? ?? 2 ? ?12sin120? ?75 ? 150 sin120? ? ?32.5MPa 2试求： (1) 壁内主应力 ? 1 、 ? 2 以及最大剪应力 ? max ； (2) 斜截面 ab 上的正应力及剪应力。10–4 已知应力状态如图所示（图中应力单位皆为 MPa），试用解析法求： (1) 主应力大小和主平面位置； (2) 在单元体上绘出主平面位置和主应力方向； (3) 最大剪应力。?1a30??2bp20?320?3?150?1? 0 ? 52?40 40? 0 ? ?19.33?解： (1) ? 1 ?pD 3 ?1000 ? ? 150MPa 2t 2 ?10 pD 3 ?1000 ?2 ? ? ? 75MPa 4t 4 ?10 ?3 ? 0 ? ??3 ? max ? 1 ? 75MPa 2 (2) ? ? 60 ? ? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 60? ? 2 ? cos120? 2 2 75 ? 150 75 ? 150 ? ? cos120? ? 131.3MPa 2 2(a)(a) ? x ? 50MPa ， ? y ? 0 ， ? xy ? 20MPa2(b)解：?? x ?? y ? max ? ? x ? ? y ? ? ?? ? ? min ? 2 2 ?? ? ? ? xy ? ?? ?22 ? 57.0 50 ? 50 ? ? ? ? ? ? 20 2 ? ? MPa 2 ? 2 ? ? ? 7 .0 ∴ ? 1 ? 57.0MPa ， ? 2 ? 0 ， ? 3 ? ?7.0MPa 2? xy 2 ? 20 4 tg2? 0 ? ? ?? ? ? ， ? 0 ? ?19.3? 或70.7? ? x ?? y 50 511-28? max ??1 ? ? 32?57 ? ?? 7? ? 32M P a 2(b) ? x ? ?40MPa ， ? y ? ?20MPa ， ? xy ? ?40MPa2 ? max ? ? 40 ? 20 ? 11.2 ? ? 40 ? 20 ? 2 ? ? MPa ? ? ? ?? 40? ? ? ? ? min ? 2 2 ? ? ?? 71.22 ? max ? 30 ? ?? 20? ? 52.2 ? 30 ? ?? 20? ? ? ? ? 40 2 ? ? MPa ?? ? ? min ? 2 2 ? ? ?? 42.2 ， ? 2 ? 50MPa ， ? 3 ? ?42.2MPa ? 1 ? 52.2M P a 52.2 ? ?? 42.2? ? max ? ? 47.2M P a 2 10– 6 两种应力状态如图所示，试按第四强度理论比较两者的危险程∴ ? 1 ? 11.2MPa ， ? 2 ? 0 ， ? 3 ? ?71.2MPatg2? 0 ? ?? max2 ? ?? 40? ? 0 ? 52? 或 ? 38? ? ?4 ， ? 40 ? 20 11.2 ? ?? 71.2? ? ? 41.2M P a 2度。10–5 试求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为 MPa）。解： 对图(a)2 ?1 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? ，? 2 ? 0 ? ?3? 2 2 ? ?解： (a)? r4 ?对图(b)1 ?? 1 ? ? 2 ?2 ? ?? 2 ? ? 3 ?2 ? ?? 3 ? ? 1 ?2 ? ? 2 ? 3? 2 2??? 1 ? ? 2 ? 50M P a ， ? 3 ? ?50MPa ? ? ? 3 50 ? ?? 50? ? max ? 1 ? ? 50M P a 2 2? 1 ? ? ， ? 2 ? ? ， ? 3 ? ?? （假设 ? ≥ ? ， ? ≤ ? 同理）? r 4 ? ? 2 ? 3? 2由于两者的相当应力相同，故两者的危险程度相同。(b)11-2910– 7 两端封闭的铸铁圆筒，承受内压 p ? 5 MPa，轴向压力 P ? 100kN ， 转 矩 T ? 3 kN ? m ， 如 图 所 示 ， 若 其 内 径 D ? 200 mm ，壁厚 t ? 10 mm，材料的许用拉应力 [? l ] ? 40 MPa，泊松比 ? ? 0.25 ；试按 第二强度理论校核其强度。T P p T P十一 组合变形11– 1 如图所示，截面为正方形的短柱承受载荷 P 作用，若在短柱 中间开一切槽，使其最小截面面积为原面积的一半。试问开一切槽后， 柱内最大压应力是原来的几倍？P解： 危险点为筒壁上各点 D0 ? D ? t ? 210mmPa/21 1pD P 5 ? 200 100 ? 103 ? ? ? MPa ?9. 84MP a 4t ?D0 t 4 ? 10 ? ? 210 ? 10 ?r ? 0 pD 5 ? 200 ?t ? ? MPa ?50MP a 2t 2 ?10 2T 2 ? 3 ? 103 ?? ? MPa ?4.33MPa 2 ?D0 t ? ? 2102 ? 10 ? 10 ?3?x ?a aa a 1--1y x2 ? max ? ? x ? ? t ? ? x ??t ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? min ? 2 2 ? ?切槽前，柱的变形为轴向压缩，柱内各点压应力为 P P ?? ? 2 2 ?2a ? 4a?50.46 9.84 ? 50 ? 9.84 ? 50 ? 2 ? ? ? MPa ? ? 4.33 ? ? 2 2 ? ? ? 9.38 ∴ ? 1 ? 50.46MPa ， ? 2 ? 9.38MPa ， ? 3 ? 0 ? r 2 ? ? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ? ? 50.46 ? 0.25 ? 9.38 ? 48.12M P a ? [? l ]故不满足强度条件。11-302AF切槽后，柱的切槽部分为偏心压 缩，其最大压应力为11– 2 图示起重架的最大起吊重量(包括行走小车等)为 P ? 40 kN ， 横梁 AB 由两根 No.18 槽钢组成， 材料为 A3 钢， 许用应力 [? ] ? 120 MP a 。 试校核横梁的强度。C1.75P Pl/4? ? ? maxM N∴3P 2? ? max ? 8 ，即切槽后柱内的最大压 ?P 2P ? ? 2 a ? 2a 1 ? 2a ? a 3 a 12Pa a ? 2 2z A P 3.5 m 30。 B y应力是原来的 8 倍。? y max ?P Ma1 ? ? 2.9 ? 35.2 ? 32.3MPa ? [? y ] A Iy∴ 框架立柱满足强度条件。解： 横梁 AB 为轴向压缩与弯曲的组合变形，并且以弯曲变形为主要 变形，因此，当载荷 P 移动到横梁的中点时，横梁最危险。由横梁的 平衡可求得： F ? P 。 横梁的内力为N ? 3P 2 ? 34.64 kN M max ? P ? 3.5 4 ? 35 kN梁的中间截面为危险截面，其上边缘各点为危险点，为压应力。 查表得， A ? 29.299 cm 2 ， Wy ? 152 cm3 ，故横梁的最大压应力? y max ?但是N M max 34.64 ? 103 3.5 ? 103 ? ? ? Pa A Wy 2 ? 29.299 ? 10 ?4 2 ? 152 ? 10 ?6 ? 5.91 ? 115.13 MPa ? 121.04 MPa ? [? ] ? y max ? [? ] 121.04 ? 120 ? 100% ? ? 100% ? 0.87% ? 5% [? ] 120????所以，可认为横梁满足强度要求。11-3111– 3如图所示，铁道路标圆信号板，装在外径 D ? 60 mm 的空心 圆柱上， 信号板所受的最大风载 p ? 2 kN m ，[? ] ? 60 MPa 。 试按第三强度理论选择空心圆柱的厚度。211–4如图所示，手摇绞车轴的直径 d ? 30mm ，材料为 3 号钢， [? ] ? 80MPa 。试按第三强度理论求绞车的最大起吊重量 P。400 4000.5mdMT0.8m0.6mC A B180PPm AmP B C P/2 0.2P (a)解： 作用在信号板上的合力为0.P 80.P 6P/2 M T 0.18PP??4D12 ? p ??4? 0.52 ? 2 ? 103 ? 3 9 . 2 7N合力 P 作用在信号板的形心上，故空心圆柱为弯扭组合变形，作其内 力图，由此可知，固定端为危险截面， M ? 0.8 P ， T ? 0.6 P 设空心圆柱内径为 d ，由第三强度理论(b)? r3 ?可得?0.8P ? ? ?0.6P ? M 2 ?T2 32PD ≤ [? ] ? ? ? W ? D ? ? D4 ? d 4 4 4 D ?d ? ? 64 ?2?2 2????解： 1．将载荷向 AB 轴的轴线简化，作 AB 轴的计算简图，如图(a)所示 m ? 0.18P 可见，AB 轴为弯扭组合变形； 2．作 AB 轴的弯矩图和扭矩图，可知 C 截面为危险截面 由第三强度理论d ≤ 4 D4 ?32PD ? [? ]可得? r3 ?2 MC ? TC232 ? 392.7 ? 60 ? 10 ?3 m ? 54.7mm ? ? 60 ? 106 D?d ∴ 空心圆柱厚度 t ≥ ? 2.65mm 。 2 ? 4 60 4 ? 10 ?12 ?W??0.2P ?2 ? ?0.18P ?2?d 3 32? 788N≤ [? ]P≤?d 3 [? ]32 0.2 2 ? 0.18211-32bh 12 bh 在俯视图所在平面内，如图(b)所示，压杆的柔度为 ? l 0.5l 3l 3 ? 240 ?b ? b ? ? ? ? 103.9 3 ib b 4 hb 12 bh ∵ ?a ? ?b ? ?1 ，∴为大柔度杆?a ??alia?1? l3?2 3l 2 3 ? 240 ? ? 138.6 h 6十二 压杆稳定12– 1故压杆的临界力为Pcr ?? 2E ? 2 ? 210 ? 109 A ? ? 6 ? 4 ? 10 ?4 N ? 259kN 2 ?2 138 . 6 a12– 2 两端固定的矩形截面细长压杆，其截面尺寸为 h ? 60mm ， 图示压杆的材料为 A3 钢，?1 ? 100 ， E ? 210GPa ，在主视 b ? 30mm ， 已 知 材 料 的 比 例 极 限 ? p ? 200MPa ， 弹 性 模 量 图 a 所在平面内，两端为铰支座，在俯视图 b 的平面内，两端为固定， E ? 210G P a ，试求此压杆适用于欧拉公式时的最小长度。 试求此压杆的临界力。 解： 由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在抗弯刚度最小 (a) 的平面内失稳，即杆件横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转 动。b=4cm h=6cm(b)i min ?=240cmI min ? Ahb 3 12 ? b bh 2 3欧拉公式适用于 ? ≥ ?1 ，即解： 在主视图所在平面内，如图(a)所示，压杆的柔度为 由此得到?lim i n≥? 2E ?p11-33l≥b?E2 3? ? p?30 ? 10 ?3 ? ? 2 3 ? 0.5210 ? 10 9 m ? 1.76m 200 ? 10 6故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为 1.76m。?d 64 ?d 2 4 b ? 1.12MPa ， ?1 ? 100 ， a ? ? s 304 ? 235 ?2 ? ? ? 61.6 b 1.12 故 ? 2 ? ? ? ?1 ，AB 杆为中柔度杆。 ? cr ? a ? b? ? 304 ? 1.12 ? 80 ? 214.4M P a ? N cr ? ? cr A ? 214.4 ? 106 ? ? 4 2 ? 10?4 N ? 269.4kN 44???li?l?4l 4 ? 800 ? ? 80 查 表 得 ： a ? 304MPa ， d 40图示托架中，AB 杆的直径 d ? 4cm ，长度 l ? 80cm ，两端 铰支， 材料为 A3 钢。 (1) 试根据 AB 杆的失稳来求托架的临界载荷 Pcr ；12– 3(2) 若已知实际载荷 P ? 70kN ， AB 杆的规定稳定安全系数 n st ? 2 ，问此托架是否安 600 300 全？ 解： (1) sin? ? 7 4 对 CD 杆，C B l d C P7 N cr ? 118.8kN 6 6 6 P? ? 70 ? 158.7kN (2) N ? 7 7 N 269.4 n ? cr ? ? 1.7 ? nst ? 2 N 158.7 ∴ 拖架不安全。 12– 4 某钢材的 ? p ? 230MPa ， ? s ? 274MPa ， E ? 200GPa ， Pcr ?? cr ? 338 ? 1.22? 。 试 计 算 ?1 和 ?2 值 ， 并 绘 出 临 界 应 力 总 图 （ 0 ? ? ? 150 )。解：N sin? ? 600 ? P ? ?600 ? 300? ? 0?M杆C? 0：A?1 ?P ? 7N 6对 AB ， 其 柔 度?N P?2 ?? 2E 200 ? 10 9 ?? ? 92.6 ?p 230 ? 10 6 338 ? ? s 338 ? 2741.22 ? 1.22 ? 52.511-34? cr (MPa)? cr ? 274274 230? cr ? 3 38 ? 1 .22?? cr ?? 2E ?252.592.6?临界应力总图11-35