知识点梳理
【一元二次根与系数的关系】如果&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根是&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，那么&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}（隐含&a≠0）．特别地，当一元二次方程的二次项系数为&1&时，设&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是方程&{{x}^{2}}+px+q=0&&的两个根，则&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-p，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}=q．【一元二次方程根与系数关系得逆用】如果实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&满足&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}&，那么&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（）的两个根．以两个实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&为根的一元二次方程（二次项系数为&1）是&{{x}^{2}}-\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{x+x}_{1}}o{{x}_{2}}=0&．【一元二次方程根与系数的应用】（1）不解方程，利用根与系数的关系求关于&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&的对称式的值，如&{{{{x}_{1}}}^{2}}+{{{{x}_{2}}}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}{{-2x}_{1}}o{{x}_{2}}&，&\left({{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}，&{{|x}_{1}}{{-x}_{2}}|=\sqrt[]{\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}}，&{\frac{1}{{{x}_{1}}}}+{\frac{1}{{{x}_{2}}}}={\frac{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}，&{\frac{1}{{{{{x}_{1}}}^{2}}}}+{\frac{1}{{{{{x}_{2}}}^{2}}}}={\frac{\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\left({{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}}}．（2）根的符号的讨论．利用根与系数的关系可以讨论根的符号，设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&．i）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0&时，两根同号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}>0.}\end{array}}\right&&&两根同正．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&两根同负．ii）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0&时，两根异号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}0.}\end{array}}\right&&&两根异号且正根的较大．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&&两根异号且负根的绝对值较大．（3）其他结论．①&设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&（其中&{{x}_{1}}≥{{x}_{2}}&），若&m&为实数，当&Δ≥0&时，一般会有以下结论存在：i）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0
{{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}<m&．ii）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&& {{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}>m&．iii）&\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0&& {{x}_{1}}<m，{{x}_{2}}<m&．②&若有理系数一元二次方程有一个根是&a+\sqrt[]{b}，则必有另一个根为&a-\sqrt[]{b}&．③&若&ac<0，则方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）必有两个实数根．④&逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．以上利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的&Δ，一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“（2004o沈阳）阅读下列解题过程：题目：已知方程x2+3x...”，相似的试题还有：
阅读下列解题过程：题目：已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，求\sqrt{\frac{α}{β}}+\sqrt{\frac{β}{α}}的值．解：∵△=32-4×1×1=5＞0∴α≠β(1)由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3，αβ=1(2)∴\sqrt{\frac{α}{β}}+\sqrt{\frac{β}{α}}=\frac{\sqrt{α}}{\sqrt{β}}+\frac{\sqrt{β}}{\sqrt{α}}=\frac{α+β}{\sqrt{αβ}}=\frac{-3}{1}=-3(3)阅读后回答问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程．
设2x2-5x+1=0的根为α、β，不解方程求：(1)α2+β2；&(2)(1-\frac{1}{α})(1-\frac{1}{β})的值．
请先阅读下面的解题过程，再完成后面的问题．已知方程x2+3x+1=0的两个实数根为α，β，求\sqrt{\frac{α}{β}}+\sqrt{\frac{β}{α}}的值．解：因为△=32-4×1=5＞0，所以α≠β．…①由根与系数的关系，得α+β=-3，αβ=1．…．②所以\sqrt{\frac{α}{β}}+\sqrt{\frac{β}{α}}=\frac{\sqrt{α}}{\sqrt{β}}+\frac{\sqrt{β}}{\sqrt{α}}=\frac{α+β}{\sqrt{αβ}}=\frac{-3}{1}=-3．…③上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程．已知x=1是一元二次方程x2+bx+5=0的一个解，求b的值及方程的另一个根．
ballance1﹔0升
根据二次方程根与系数的关系，可得x1ox2=5，x1+x2=-b，而已知其中一根为1，有1ox2=5，可得x2=5，又有x1+x2=-b，解可得b=-6．故b的值为-6，方程的另一个根为5．
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根据一元二次方程根与系数的关系，可得x1ox2=5，解可得方程的另一根，再由两根之和为-b，解可得b的值．
本题考点：
一元二次方程的解；根与系数的关系．
考点点评：
主要考查了根的判别式和根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2=-，x1x2=．把所求的代数式变形成x1+x2，x1x2的形式再整体代入是常用的方法之一．本题还可以根据一元二次方程解的定义得出一个关于b的方程，求出b的值．
把x=1代入方程得1+b+5＝0b=-6x1+x2=6x2=5
由以知得。 将X=1代入原方程得 1+b+5=0 解得b=-6 将b=-6代入原方程得 X的平方+5X+5=0 解出方程就可以了 不过这个，你原方程是不是 X的平方+bx+5=0啊。如果不是，这题就没法做了
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已知方程5x2+kx-10=0一个根是-5，求它的另一个根及k的值。
题型：解答题难度：中档来源：期末题
解：k=23，。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知方程5x2+kx-10=0一个根是-5，求它的另一个根及k的值。-九年级..”主要考查你对&&一元二次方程的解法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一元二次方程的解法
一元二次方程的解： 能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解一元二次方程方程： 求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。 韦达定理：一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）一般式：ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系：x1+x2= -b/ax1·x2=c/a一元二次方程的解法： 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b&0时，方程没有实数根。 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 的求根公式：求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b2-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b2-4ac≥0。4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
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与“已知方程5x2+kx-10=0一个根是-5，求它的另一个根及k的值。-九年级..”考查相似的试题有：
545565212478126896504096421014463794已知a,b分别是方程X的平方+X减1等于0的两个根,求2a的五次方+5b的立方的值我给很高的分数
首先 a^2 + a - 1 =0,b^2 + b -1 =0a^2 =1 -ab^2 =1 -b2a^5 + 5b^3=2* a * a^2 * a^2 + 5 * b * b^2= 2a * (1-a)^2 + 5 * b * (1-b)= 2a * (1-2a +a^2) + 5 *(b -b^2)= 2a * (1-2a + 1-a) + 5*(b-1+b)= 2a * (2-3a) ...
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提问者采纳
b=(a+b)/ab
对于一元二次方程 两根的和为-b/a+1/b=(a+b)/a+1/ab=-6/a
两根的积为 c/a
所以 本题 a+b=6 ab=-51&#471&#47
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