椭圆中求三角形面积积最大怎么求

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-05 23:37 标签： 海伦公式求三角形面积
已知点 为椭圆 上一定点，过点A作两条直线与椭圆交于B、C两点.若直线AB、AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求直线BC的斜率，并求在什么条件下△ABC的面积最大？最大面积是多少？..域名：学优高考网，每年帮助百万名学子考取名校！问题人评价，难度：0%已知点 为椭圆 上一定点，过点A作两条直线与椭圆交于B、C两点.若直线AB、AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求直线BC的斜率，并求在什么条件下△的面积最大？最大面积是多少？马上分享给朋友：答案还没有其它同学作出答案，大家都期待你的解答点击查看答案解释还没有其它同学作出答案，大家都期待你的解答点击查看解释相关试题当前位置： >
椭圆中一个三角形面积最大值的探求
　　摘要:求在不同条件下椭圆中三角形面积的最大值是高考的常见题型,本文经过探索,得到了该三角形的三类面积最大值问题及相应的解决方法.
　　关键字:三角形;最大值;设点法
　　已知椭圆上的两个动点与椭圆中心组成一个三角形,探求在不同条件下该三角形面积的最大值,在近几年的高考中频频出现.本文给出该三角形的三类面积最大值问题的求法.
　　问题1已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,d为原点O到直线AB的距离,则
　　当d∈a,a时,(S△AOB)max=•;
　　当d∈b,a时,(S△AOB)max=;
　　当d∈0,b时,(S△AOB)max=•.
　　证明 设直线AB的方程为y=kx+m,?摇 则d=.
　　联立y=kx+m,+=1,所以(b2+a2k2)x2+2ka2mx+a2m2-a2b2=0.
　　所以AB==.(1)
　　记直线AB的倾斜角为θ,则1+k2=,b2+a2k2=.
　　即AB=2ab.(2)
　　可以验证当θ=90°时,(2)式也成立.
　　设f(θ)=,令=t,则t∈,. 所以f(θ)=f(t)=-d2t2+t,其中t∈,.
　　因为f(t)的对称轴为t=,所以当<,即d∈a,a时,[f(t)]max=f=. 所以ABmax=. 所以(S△AOB)max=;
　　当≤≤,即d∈b,a时,[f(t)]max=f=. 所以ABmax=. 所以(S△AOB)max=;
　　当>,即d∈0,b时,[f(t)]max=f=. 所以ABmax=. 所以(S△AOB)max=.
　　从上述的证明过程可以发现,解决问题的关键是(2)式,它揭示了AB与d的函数关系,令AB=l,?摇a2-c2cos2θ=t,t∈[b2,a2],则d2=-t2+t, (3)
　　由(3)式可知,当AB的长度为定值时,同样可求S△AOB的最大值.
　　思考已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,若直线AB的斜率为定值,求△AOB面积的最大值.
　　问题2 已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,O为坐标原点,若OA⊥OB,则△AOB面积的最大值为ab.
　　证明设A(ρ1cosα,ρ1sinα),Bρ2cosα+,ρ2sinα+.
　　则ρ==,ρ=,所以S△ABC=ρ1ρ2=.
　　所以当sin2α=0时,(S△AOB)max=ab.
　　从上述证明过程中,容易发现+=+,其几何意义为原点到直线AB的距离为常数.
　　思考已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,O为坐标原点,若OA⊥OB,求AB的最大值.
　　问题3 已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点, O为坐标原点,则△AOB面积的最大值为ab.?摇
　　证明 因为S△AOB=&#8226;sin∠AOB=,
　　所以S△AOB=&#8226;=&#8226;.
　　设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),所以S△AOB=absin(α-β).
　　所以当sin(α-β)=±1时,(S△AOB)max=.
　　思考求椭圆+=1(a>b>0)中内接四边形ABCD面积的最大值.
　　本文针对三个问题,采取了三种不同的解法,充分展示了解析法的特点及其魅力. 特别是问题2和问题3,似乎是难以逾越的问题,但通过不同的设点方法,竟轻松一跃而过,令人拍案叫绝,乐而忘返.
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a^2=4,b^2=3的椭圆,直线x=t(t>0)交椭圆于M,N两点.圆C以MN长为直径交y轴于AB两点,求三角形ABC面积最大值?
C（t,0）由x=t,x&#178;／4+y&#178;／3=1得 y&#178;=12-3t&#178;／4．r=√12-3t&#178;／2,d=t,∴ 0＜t＜2√21／7．|AB|=√12-7t&#178;S=1／2&#8226;t√12-7t&#178;= 3√7／7当 √7t=√12-7t&#178;,t=√42／7成立最大值为 3√7／7
∵C(t,0)、CM=√(3-3t&#178;/4)圆C方程为：(x-t)&#178;+y&#178;=(3-3t&#178;/4)则OA=√(3-7t&#178;/4)S△ABC=1/2*AB*OC=OA*OC=√(3-7t&#178;/4)*t=√(-7(t&#178;-7/6)&#178;+7*(7/6)&#178;)当t&#178;=7/6S△ABC最大=7√7/6
椭圆方程:x&#178;/4+y&#178;/3=1 ,O为原点
x&#178;/4+|CM|&#178;/3=1
S△ABC=1/2|OB||OC|当且仅当|AB|=|CD|时，三角形面积最大，即3-7/4t&#178;=t&#178;
t&#178;=12/11故三角形面积最大值为1/2t&#178;=6/11椭圆中三角形的最大面积_百度知道
椭圆中三角形的最大面积
参数a椭圆的标准方程，上有两点A,B，与原点O构成三角形最大面积,b
.一个固定的椭圆啊，随便找两个点...估计超出高中了.
提问者采纳
Y1)！，这样算得最大为（1&#47，b*sinβ）向量OA=（a*cosα，b*sinα）向量OB=（a*cosβ;2)*(X1*Y2+X2*Y1)其中 向量AB=（X1！;2)a*b我不能保证这就是对的;a^2 +Y^2 &#47，b*sinβ）根据向量法求三角形ABC面积公式得S=(1&#47,Y2)将数据代入就行了.向量AC=（X2;b^2 =1，b*sinα）点B（a*cosβ.点A（a*cosα设椭圆的方程为X^2 &#47
提问者评价
万分感谢！
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