证明题 证明数列极限存在 图中第二题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-10 23:47 标签： 数列极限的四则运算
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高三数学数列极限复习
函数、数列以及极限的综合题　　　　例 已知函数的图象是自原点出发的一条折线．当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义．
　　（1）求和的表达式；
　　（2）求的表达式，并写出其定义域；
（3）证明：的图像与的图象没有横坐标大于1的交点．
　　分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．
　　（1）由斜率分式求出，同样由斜率公式求出关于的递推式，然后求出，（2）由点斜式求出段的的表达式，用极限的方法求出定义域．（3）与没有交点，只要时，或时恒成立，当，由于，只要证
　　解：（1）依题意，又由，当时，函数的图象是斜率为的线段，故由得
　　又由，当时，函数的图象是斜率为的线段，故由
　　，即得
　　记由函数的图象中第段线段的斜率为，故得　　　　又　　∴　　由此知数列为等比数列，其首项为1，公比为
　　因，得　　即　　（2）当时，从（1）可知，即当时，
　　当时，即当时，由（1）可知　　　　为求函数的定义域，须对进行讨论．
　　当时，
　　时，，也趋向于无穷大．
　　综上，当时，的定义域为
　　当时，的定义域为
　　（3）证法1
首先证明当时，恒有成立．
　　对任意的，存在使，此时有　　　　　　又　　　　　　即有成立．
　　其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立．
　　故函数的图象与的图象没有横会标大于1的交点．
首先证明当时，恒有成立．
　　用数学归纳法证明：
　　（）由（1）知当时，在上，所以成立．
　　（）假设时在上恒有成立．
　　在上，
　　也成立．
　　由（）与（）知，对所有自然数在上都即时，恒有
　　其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立．
　　说明： 本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学知识、思想方法解决问题的能力．解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能力，本题的（2）用求极限的方法求定义域，反映了高考命题&不拘泥于大纲&的原则，不过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为0.02，三人平均不足1分，创了近年高考得分低的记录．
　　命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置．本题得分低一方面是试题&超前&，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是&大运用量&的模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法．以后坚持考不等式证明题的方向不会改变，试题难度会适度降低．
判断数列极限命题的真假　　　　例
判断下列命题的真假：
　　（1）数列的极限是0和1．
　　（2）数列的极限是0．
　　（3）数列的极限不存在．
　　（4）数列的极限是0．
　　分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化趋势．
　　解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命题．
　　（2）随着n无限增大，数列的项无限趋近于0，因此它的极限是0，是真命题．
　　（3）随着n无限增大，数列的项无限趋近于0，因此数列无限趋近于0，是假命题．
　　（4）有穷数列无极限，是假命题．
　　说明：（3）中容易认为极限不存在．
（4）容易错误认为是真命题，尽管数列随着n的增大而逐渐趋近于0，但由于数列只有10001项，是有穷数列，不存在极限．
根据数列的极限确定参数的范围　　　　例
若，则a的取值范围是（
　　分析：由（a为常数），知，所以由已知可得，解这个不等式就可求得a的取值范围．
　　解：由，得，
　　所以，
　　两边平方，得：，　　，　　所以或．
　　说明：解题过程容易误认为只有，得，错选A．解决含有涉及到求字母取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题．
分析数列求极限
已知数列1.9，1.99，1.999，...，，...．
（1）写出它的通项；
（2）计算；
（3）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.01？
（4）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.001？
（5）指出这个数列的极限．
分析：观察数列的特点，可以通过特殊数归纳总结规律，简化数列通项的一般形式，再求极限．
　　解：（1）可将数列改写为
　　（2-0.1），（2-0.01），（2-0.001），...，（），...
　　于是此数列的通项．
　　（2）．
　　（3）令即，解得
　　故这个数列的第2项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.01．
　　（4）令即，解得
　　故这个数列的第3项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.001．
　　说明：可以通过特殊数帮助理解无限接近的意义，从而帮助求解极限．　　求数列奇数项和的极限　　　　例
数列的前n项和记为，已知，求的值．
　　分析：为求当的极限，应先求出的表达式．从已知条件中给出与的关系式，可以利用，设法求出的表达式．
　　解：由及，可得．
　　又时，，则
　　两式相减，得
　　于是，数列是以为首项，公比为的无穷等比数列．
　　进而可得，数列是以为首项，公比为的无穷等比数列，于是可求出极限．　　　　说明：这同1999年全国高考文史类试题．对于这类求极限的题目，必须先用数列的性质求出的通项公式，或确定数列的特征再求极限．由于所求数列是一个公式的无穷等比数列，所以在解题时，可以不必再求极限，而直接代入无穷等比数列求和的公式．
等比数列和的极限
　　已知数列满足条件：，（），且是公比为q （）的等比数列．设（），求与，其中．
　　解：因为，
　　所以．
　　，所以是首项为1+r ，公比为q的等比数列，从而．
　　当时，，；
　　当时，，；
　　当时，，．
　　所以　　　　反思升华：
　　已知数列满足条件：，（），，对任意，有．设，，求．
课时考点6 数列、极限、数学归纳法 考纲透析 考试大纲： 数学归纳法，数列的极限，函数的极限，极限...数列极限的运算法则 教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 教学重点：...高考数学复习：数列专项练习 一．选择题 1．若an是等差数列,首项a1＞0,a2 003+a2 004＞0,a2 003?a2...求第一类函数的极限 例 讨论下列函数当时的极限： （1） （2） （3） 分析：先作出函数的图像，根据...数 列 极 限 一、重点难点分析： 1.三个最基本的极限 (1)常数数列的极限就是其本身，即：C=C。 (2)=...数列及其应用 一、 等比等差数列 【基础自测】 1.等差数列中，，，则 21 . 2.已知等差数列中，的等...2010届高三数学一轮复习资料二 11、题目 高中数学复习专题讲座 综合运用等价转化、分类讨论、数形结...2010届高三数学一轮复习资料四 29、题目 高中数学复习专题讲座：排列、组合的应用问题 高考要求 排...09届高三数学第一轮复习训练题 数学（十九）（理科?极限） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分...学年度上学期 高中学生学科素质训练 高三数学第一轮复习单元测试（2）- 《数列》 一、选...
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