微积分 极限 微积分求弧长 微积分求面积 如何求微积分 利用泰勒公式求极限 微积分..
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利用微积分求极限的简捷方法
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求极限的各种方法和求微积分的各种方法,
求极限的各种方法和求微积分的各种方法,
求数列或函数极限,是高等数学里的一类基础而重要的问题.常见的求法归纳起来有如下几种： 1．先估计数列或函数的极限值,而后利用定义进行验证,这是求极限的最基本的方法,可用于求一些简单的极限.2．利用有限个函数的和、差、积、商以及复合函数求极限的运算法则求极限,可以使一些复杂的极限计算问题得到简化.3．利用无穷小的性质求极限.这主要包括：①有限个无穷小的和(差、积)仍是无穷小.②有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.③非零无穷小与无穷大互为倒数.④等价无穷小代换.当求两个无穷小之比的极限时,分子与分母都可用等价无穷小代替.正因为等价无穷小的这一性质,所以在求极限时,可以简化计算,减少运算量,快速地解决问题,起到事半功倍的效果.要用好此性质,当然需要适当掌握一些等价的无穷小量.4．两个重要极限及其推广形式 (这里f(x)为一自变量同一变化过程中的无穷小量).5．利用准则I(两边夹法则)和准则Ⅱ(单调有界数列必有极限)求极限.6．利用洛必达法则求0/0型,(无穷)/（无穷）型,0,无穷,无穷-无穷,0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方型函数极限.利用微积分求极限的简捷方法_百度文库
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利用微积分求极限的简捷方法
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微积分(数学概念)微积分是研究微分学和积分学的统称，英文名称是Calculus，意为计算。这是因为早期微积分主要用与天文、力学、几何学中的计算的问题。后来人们也将微积分称为分析学，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。极限是整个微积分学的基础。微分学包括求导和微分的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学包括不定积分和定积分的概念和应用，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。目录 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。 （1）运动中速度与距离的互求问题 已知物体移动的距离 表为以时间为变量的函数 ，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是 ，而 是无意义的。但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。 （2）求曲线的切线问题 这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。 （3）求长度、面积、体积、与重心问题等 这些问题包括，求曲线的长度（如行星在已知时期移动的距离），曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心，一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。实际上，关于计算椭圆的长度的问题，就难住数学家们，以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了，直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题，早古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积，如求抛物线在区间 上与 轴和直线 所围成的面积 ，他们就采用了穷竭法。当分割的份数越来越多时，所求得的结果就越来越接近所求的面积的精确值。但是，应用穷竭法，必须添上许多技艺，并且缺乏一般性，常常得不到数字解。当阿基米德的工作在欧洲闻名时，求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。穷竭法先是逐渐地被修改，后来由于微积分的创立而根本地修改了。 （4）求最大值和最小值问题（二次函数，属于微积分的一类） 例如炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾斜角，即发射角。一个“实际”的问题是：求能够射出最大射程的发射角。十七世纪初期，Galileo断定（在真空中）发射角是 时达到最大射程；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题。从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是积分的思想早在古代就已经产生了。积分学的早期史中国古代 微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互理关系。 微积分思想在古代中国早有萌芽，公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中就有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）等思想。 三国时期的刘徽，于公元263年首创的割圆术求圆面积和放椎体积，求得圆周率约等于3.1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界上古代极限思想的深刻体现。刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明，到公元5世纪，祖暅求球体体积的方法中都使用到微积分的思想方法。 北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创的“隙积术”、“哈圆术”和“方法棋局都数术”开创了对高阶等差别数求和的研究。 南宋大数学家秦九韶于1247年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法求任意次数（高次）方程的近似解，比西方早500多年。特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和“增乘开方法”、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键，中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键的一步上落伍了。 西方 公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。 16世纪下半叶，开普勒，卡瓦列利等求积中出现不可分量思想和方法基，并在17世纪开始发展、建立起近代的微积分使用概念和法则。微积分产生到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了一个基本概念，在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数——或变量间关系——的概念。紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里得几何之后，全部数学中的一个最大的创造。围绕着解决上述四个核心的科学问题，微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。其创立者一般认为是牛顿和莱布尼茨。在此，我们主要来介绍这两位大师的工作。 实际上，在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 例如费马、巴罗、笛卡尔都对求曲线的切线以及曲线围成的面积问题有过深入的研究，并且得到了一些结果，但是他们都没有意识到它的重要性。在十七世纪的前三分之二，微积分的工作沉没在细节里，作用不大的细微末节的推理使他们筋疲力尽了。只有少数几个大学家意识到了这个问题，如詹姆斯·格里高利说过：“数学的真正划分不是分成几何和算术，而是分成普遍的和特殊的”。而这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家牛顿和莱布尼茨提供的。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现时数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿 牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。 莱布尼茨 德国的莱布尼茨（又译“莱布尼兹”）是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多用初等数学无法解决的问题，运用微积分，这些问题往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门学科的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的，微积分也是这样。 不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场轩然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展落后了整整一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。十七世纪以来，微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用来解决天文学、物理学中的各种实际问题，取得了巨大的成就。但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹面内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。整个十八世纪，微积分的基础是混乱和不清楚的，许多英国数学家也许是由于基本下仍然为古希腊的几何所束缚，因而怀疑微积分的全部工作。这个问题一直到十九世纪实际下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决，柯西极限存在准则使得微积分注入了严密性，这就是极限理论的创立。极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上，它也为20世纪数学的发展奠定了基础。 注：在中世纪（14—17世纪）欧洲数学大发展的时期，我国基本处于停滞状态（明、清时期）。所以，我国的数学家与微积分无缘。微积分(湖南人民出版社出版图书)目录由于科学技术的迅猛发展。数量分析已渗透到社会、经济各个领域，数学的重要性已被整个社会所公认，数学的应用日益广泛深入。高等院校作为培育人才的摇篮，其数学课程的开设具有特别重要的意义。 本书编写的宗旨是：坚持“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，以“掌握概念，强化应用，培养技能”为重点，以“数学为本，经济为用”为目标。本书突出数学方法与经济应用，在每章后面专门一节介绍经济应用、经济模型：同时也不失数学理论的系统性和科学性。 本书作为普通高等学校精品课程教材，适用于高职高专经济管理类专业的学生。教材内容包括函数、极限与连续、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、多元函数微分学、微分方程初步，并附有习题和参考答案。教学时可根据专业需要、学生基础、课时实际，有针对性地选择，实行模块化教学，使学生能够更扎实地掌握所学知识，提高教学效果。第1章　函数 第1节　函数的概念及其基本性质 第2节　初等函数 第3节　经济学中常见的函数 第2章　极限与连续 第1节　数列的极限 第2节　函数的极限 第3节　函数极限的运算性质 第4节　无穷小量与无穷大量 第5节　两种重要极限 第6节　函数的连续性 第7节　极限在经济学中的应用举例 第3章　导数与微分 第1节　导数的概念 第2节　求导法则 第3节　高阶导数 第4节　微分及其运算 第5节　导数与微分在经济学中的应用 第4章　微分中值定理与导数的应用 第1节　微分中值定理 第2节　洛必达（L'HosPitol）法则 第3节　函数的单调性与极值 第4节　极值在经济学中的应用 第5章　不定积分 第1节　不定积分的概念 第2节　不定积分的运算法则与直接积分法 第3节　换元积分法 第4节　分部积分法 第5节　不定积分在经济问题中的应用举例 第6章　定积分 第7章　多元函数微积分 第8章　微分方程初步 微积分(高等教育出版社图书)目录书名:微积分(下)/面向21世纪课程教材 ISBN: 作者:同济大学应用数学系统 出版社:高等教育出版社 定价:23.9 页数:404 出版日期: 版次: 1 开本:16开 包装:本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材和教育部工科数学学科“九五”规划教材． 本书是在同济大学编《高等数学》的基础上，按照改革精神编写成的一本面向21世纪的微积分教材．全书分上下两册．上册内容为一元微积分和微分方程，下册内容为空间解析几何、多元微积分及无穷级数． 本书教学内容深广度与现行的《高等数学课程教学基本要求》大体相当，按照渗透现代数学思想，加强应用能力的培养要求，对一些传统内容进行了重新处理，更加注意对基本概念、基本定理和重要公式的几何意义和实际背景的介绍，突出微积分的基本思想和方法，加强对数学方法的分析和指导；多元微积分融进了向量和矩阵方法；无穷级数突出了函数逼近思想；使用了现代数学的概念和术语，为学习现代数学提供了一些接口；对一些内容和定理证明，作了简化和新的处理，更适合工科和其他非数学类专业学生的特点，并便于教师灵活掌握；增加了有实际应用背景的例题和习题及一些上机计算题，书后有习题答案和提示． 本书引进了数学软件，编进了14个紧密结合教学内容的数学实验(上册8个，下册6个)，内容简单有趣，易于上手，并有详细步骤和结果．还有相关的实验习题． 本书保持丁同济大学编《高等数学》的结构严谨、逻辑清晰、叙述详尽、例题较多的特点，便于在教学改革中使用．本书可作工科和其他非数学类专业的教材或教学参考书．第五章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系(2) 二、向量与向量的表示(4) 三、向量的加法与数乘运算(8) 习题5—1(12) 第二节 向量的乘法运算 一、向量的数量积(点积、内积)(13) 二、向量的向量积(叉积、外积)(16) 三、向量的混合积(20) 习题5～2(22) 第三节 平面与直线 一、平面(23)二、直线(27)习题5—3(33) 第四节 曲面 一、柱面与旋转曲面(35) 二、二次曲面(39) 习题5—4(45) 第五节 曲线 一、空间曲线及其方程(45) 二、空间曲线在坐标面上的投影(47) 习题5—5(49) 总习题五 第六章 多元函数微分学 第一节 多元函数的基本概念 一、多元函数(54) 二、Rn中的线性运算、距离及重要子集类(56) 三、多元函数的极限(60) 四、多元函数的连续性(61) 习题6一l(62) 第二节 偏导数 一、偏导数(63) 二、高阶偏导数(67)习题6—2(69) 第三节 全微分 一、全微分(70) 二、线性函数(75) 习题6—3(77) 第四节 复合函数的求导法则 习题6—4(84) 第五节 隐函数的求导公式 一、一个方程的情形(85) 二、方程组的情形(89) 习题6—5(93) 第六节 方向导数与梯度 一、方向导数(94) 二、梯度(98) 习题6—6(102) 第七节 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面(103) 二、空间曲面的切平面与法线(108) 三、梯度在场论中的意义(112) 习题6—7(114) 第八节 多元函数的极值 一、极大、极小值与最大、最小值(115) 二、条件极值(121) 习题6—8(126) 总习题六 第七章 重积分 第一节 重积分的概念与性质 一、重积分的概念(131) 二、重积分的性质(135) 习题7一1(137) 第二节 二重积分的计算 一、利用直角坐标计算二重积分(138) 习题7—2(1)(144) 二、利用极坐标 计算二重积分(145) 习题7—2(2)(151) 三、二重积分的换元法(152) 习题7—2(3)(156) 第三节 三重积分的计算 一、利用直角坐标计算三重积分(157) 二、利用柱面坐标计算三重积分(161) 三、利用球面坐标计算三重积分(163) 习题7—3(165) 第四节 重积分应用举例 一、曲面的面积(167) 二、重心和转动惯量(170) 三、引力(173) 习题7—4(175) 总习题七 第八章 曲线积分与曲面积分 第一节 数量值函数的曲线积分(第一类曲线积分) 一、第一类曲线积分的概念(179) 二、第一类曲线积分的计算法(181) 习题8—1(186) 第二节 数量值函数的曲面积分(第一类曲面积分) 一、第一类曲面积分的概念(187) 二、第一类曲面积分的计算法(189) 三、数量值函数在几何形体上的积分及其物理应用综述(193) 习题8—2(196) 第三节 向量值函数在定向曲线上的积分(第二类曲线积分) 一、第二类曲线积分的概念(197) 二、第二类曲线积分的计算法(201) 习题8—3(206) 第四节 格林公式 一、格林公式(208) 二、平面曲线积分与路径无关的条件(213) 三、曲线积分基本定理(219) 习题8—4(220) 第五节 向量值函数在定向曲面上的积分(第二类曲面积分) 一、第二类曲面积分的概念(221) 二、第二类曲面积分的计算法(226) 习题8—5(233) 第六节 高斯公式与散度 一、高斯公式(234) 二、散度(237) 习题8—6(238) 第七节 斯托克斯公式与旋度 一、斯托克斯公式(239) 二、旋度(243) 三、向量微分算子(246) 习题8—7(247) 总习题八 第九章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念与基本性质 一、基本概念(254) 二、无穷级数的基本性质(256) 习题9一1(259) 第二节 正项级数及其审敛法 习题9—2(267) 第三节 绝对收敛与条件收敛 一、交错级数及其审敛法(268) 二、级数的绝对收敛与条件收敛(270) 习题9—3(276) 第四节 幂级数 一、幂级数及其收敛性(277) 二、幂级数的运算与性质(283) 习题9—4(286) 第五节 函数的泰勒级数 一、泰勒级数的概念(287) 二、函数展开成幂级数的方法(290) 三、欧拉公式(298) 习题9—5(299) 第六节 函数的幂级数展开式的应用 一、函数值的近似计算(300) 二、积分的近似计算(303) 三、微分方程的幂级数解法(304) 习题9—6(306) 第七节 傅里叶多项式 一、问题的提出(307) 二、三角正交系与最佳均方逼近(309) 习题9—7(320) 第八节 傅里叶级数及其收敛性质 一、傅里叶级数的均方收敛性(321) 二、傅里叶级数的逐点收敛问题(325) 习题9—8(329) 第九节 一般周期函数的傅里叶级数 一、周期为2l的周期函数的傅里叶逼近(330) 二、正弦级数与余弦级数(332) 习题9—9(336) 总习题九 实验 实验1 空间立体图形的绘制 实验2 鲨鱼袭击目标的前进途径 实验3 多元函数极值与一元函数极值的比较 实验4 重积分的计算 实验5 无穷级数与函数逼近 实验6 最小二乘法 附录 矩阵与行列式简介 习题答案与提示 微积分(杨乾尧著图书)目录书名：微积分 ISBN：9 作者：杨乾尧、陈忠实、牛玉玲 定价：35元 出版日期： 出版社：清华大学出版社本书根据教育部高等学校经济管理类专业微积分教学大纲的要求编写而成. 全书共10章，内容分为预备知识、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、一元函数积分学、空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、无穷级数、常微分方程与差分方程初步.全书采用知识讲授、各章小结、综合例题、数学软件、综合习题相结合的全方位、多层次的立体化教学模式. 本书可作为普通高等学校经济、管理类各专业的教材使用，亦可供职业技术学院、职工大学和微积分自学者选用.第1章 预备知识1 1.1 集合1 1.1.1 集合的概念1 1.1.2 集合的表示法1 1.1.3 集合之间的关系及运算2 习题1.14 1.2 实数集5 1.2.1 实数与数轴5 1.2.2 绝对值5 习题1.26 1.3 函数6 1.3.1 函数的概念6 1.3.2 函数的表示法6 1.3.3 函数记号6 1.3.4 函数定义域7 习题1.39 1.4 函数的性质10 1.4.1 单调性10 1.4.2 奇偶性10 1.4.3 周期性11 1.4.4 有界性11 习题1.412 1.5 反函数与复合函数12 1.5.1 反函数12 1.5.2 复合函数13 习题1.513 1.6 初等函数13 1.6.1 基本初等函数13 1.6.2 初等函数17 1.6.3 隐函数18 微积分目 录 1.6.4 多值函数18 习题1.619 1.7 常用符号、综合例题与数学实验19 1.7.1 常用符号19 1.7.2 综合例题21 1.7.3 数学实验22 小结23 综合习题一24 第2章 极限与连续25 2.1 数列极限25 2.1.1 数列25 2.1.2 数列的极限25 习题2.128 2.2 函数的极限28 2.2.1 当?x?→∞时函数?f(x)?的极限29 2.2.2 当?x→x?0时函数f(x)?的极限29 2.2.3 左极限与右极限31 习题2.232 2.3 无穷大量与无穷小量32 2.3.1 无穷大量32 2.3.2 无穷小量32 2.3.3 无穷小量的性质33 2.3.4 无穷小量与无穷大量的关系33 2.3.5 无穷小量的阶33 习题2.334 2.4 极限的运算法则34 习题2.437 2.5 两个重要的极限37 2.5.1 极限存在准则37 2.5.2 两个重要的极限38 习题2.541 2.6 利用等价无穷小量代换求极限41 习题2.642 2.7 函数的连续性43 2.7.1 函数改变量43 2.7.2 连续函数的概念43 2.7.3 函数的间断点44 2.7.4 连续函数的运算法则46 2.7.5 闭区间上连续函数的性质46 习题2.747 2.8 综合例题与数学实验48 2.8.1 综合例题48 2.8.2 数学实验51 小结51 综合习题二52 第3章 导数与微分59 3.1 导数的概念59 3.1.1 引例59 3.1.2 导数的定义60 3.1.3 导数的几何意义62 3.1.4 单侧导数63 3.1.5 可导与连续的关系63 习题3.164 3.2 导数的运算法则64 3.2.1 导数的四则运算法则65 3.2.2 反函数的求导法则66 3.2.3 复合函数的求导法则67 习题3.269 3.3 几类特殊函数的求导法70 3.3.1 隐函数求导法70 3.3.2 对数求导法71 3.3.3 参数方程所确定的函数求导法72 3.3.4 分段函数求导法74 习题3.375 3.4 高阶导数75 习题3.477 3.5 微分78 3.5.1 微分的定义78 3.5.2 微分的基本公式与运算法则80 3.5.3 微分在近似计算中的应用81 习题3.582 3.6 导数在经济学中的应用83 3.6.1 边际与边际分析83 3.6.2 弹性与弹性分析84 习题3.686 3.7 综合例题与数学实验86 3.7.1 综合例题86 3.7.2 数学实验89 小结90 综合习题三91 第4章 微分中值定理与导数的应用94 4.1 微分中值定理94 习题4.197 4.2 洛必达法则97 4.2.1 00型和∞∞型未定式97 4.2.2 其他类型的未定式100 习题4. 函数的单调性的判定法102 习题4. 函数的极值及其求法104 习题4. 函数的最值及其应用106 习题4. 函数的凹凸性与拐点110 4.6.1 凹凸性110 4.6.2 拐点111 习题4. 函数作图112 4.7.1 曲线的渐近线112 4.7.2 函数作图113 习题4. 综合例题与数学实验115 4.8.1 综合例题115 4.8.2 数学实验118 小结119 综合习题四119 第5章 一元函数积分学123 5.1 原函数与不定积分的概念123 习题5. 不定积分的基本性质126 习题5. 不定积分的换元法127 5.3.1 第一换元法(凑微分法)127 5.3.2 第二换元法129 习题5. 分部积分法132 习题5. 定积分的概念及其几何意义134 5.5.1 实例134 5.5.2 定积分的概念136 习题5. 定积分的基本性质137 习题5. 微积分学基本定理140 习题5. 定积分的换元法与分部积分法143 5.8.1 定积分的换元法143 5.8.2 定积分的分部积分法145 习题5. 广义积分147 5.9.1 无限区间的广义积分147 5.9.2 无界函数的广义积分148 习题5. 定积分的应用149 5.10.1 平面图形的面积149 5.10.2 旋转体的体积151 5.10.3 经济应用问题举例152 习题5. 综合例题与数学实验153 5.11.1 综合例题153 5.11.2 数学实验156 习题5.11156 小结157 综合习题五158 第6章 空间解析几何与向量代数161 6.1 向量及其线性运算161 6.1.1 向量的概念161 6.1.2 向量运算161 习题6. 空间直角坐标系与向量的坐标运算162 6.2.1 空间直角坐标系162 6.2.2 向量的坐标运算163 习题6. 向量的数量积与向量积164 6.3.1 向量的数量积164 6.3.2 向量的向量积165 习题6. 曲面及其方程166 6.4.1 柱面166 6.4.2 旋转曲面166 6.4.3 二次曲面167 习题6. 平面及其方程169 6.5.1 平面的点法式方程169 6.5.2 平面的一般式方程169 6.5.3 几种特殊位置平面的方程169 6.5.4 平面的截距式方程170 6.5.5 空间中点到平面的距离公式170 习题6. 空间直线及其方程171 6.6.1 直线的一般式方程171 6.6.2 直线的对称式方程171 6.6.3 直线的参数式方程171 6.6.4 直线的两点式方程172 习题6. 综合例题与数学实验173 6.7.1 综合例题173 6.7.2 数学实验173 习题6.7174 小结174 综合习题六177 第7章 多元函数微分法及其应用179 7.1 多元函数的基本概念179 7.1.1 平面点集179 7.1.2 ?n?维空间180 7.1.3 多元函数的概念180 习题7. 二元函数的极限和连续性182 7.2.1 二元函数的极限定义182 7.2.2 二元函数的连续性183 7.2.3 有界闭域上多元连续函数的性质184 习题7. 偏导数184 7.3.1 偏导数的定义及其计算方法185 7.3.2 高阶偏导数187 习题7. 二元函数全微分189 7.4.1 实例189 7.4.2 全微分的定义189 习题7. 多元复合函数微分法191 习题7. 隐函数的偏导数193 习题7. 偏导数的几何应用195 7.7.1 空间曲线的切线与法平面195 7.7.2 曲面的切平面与法线196 习题7. 方向导数与梯度198 7.8.1 方向导数198 7.8.2 梯度200 习题7. 多元函数的极值及其求法201 7.9.1 二元函数的极值的定义201 7.9.2 最大值、最小值203 7.9.3 条件极值、拉格朗日乘数法204 习题7. 综合例题与数学实验207 7.10.1 综合例题207 7.10.2 数学实验209 小结212 综合习题七214 第8章 重积分216 8.1 二重积分的概念216 8.1.1 实例216 8.1.2 二重积分的概念218 8.2 二重积分的性质219 习题8. 直角坐标系下二重积分的计算221 习题8. 极坐标系下二重积分的计算228 8.4.1 极坐标系简介228 8.4.2 极坐标系下计算二重积分228 习题8. 综合例题与数学实验232 8.5.1 综合例题232 8.5.2 数学实验235 小结236 综合习题八237 第9章 无穷级数240 9.1 级数的概念和性质240 习题9. 正项级数244 习题9. 任意项级数249 习题9. 幂级数251 习题9. 函数的幂级数展开257 习题9. 综合例题与数学实验263 9.6.1 综合例题263 9.6.2 数学实验265 小结265 综合习题九267 第10章 常微分方程与差分方程初步270 10.1 微分方程的基本概念270 习题10. 一阶微分方程272 10.2.1 可分离变量的方程273 10.2.2 齐次方程274 10.2.3 一阶线性微分方程275 习题10.227...微积分(韩玉良编图书)目录书名：微积分 ISBN：0 作者：韩玉良、于永胜、李宏艳 定价：26元 出版日期： 出版社：清华大学出版社本书是为高等院校经济、管理类专科学生编写的教材.全书分为9章，内容包括：准备知识、极限与连续、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、级数、多元函数的微分学、重积分. 本书可作为高等学校经济、管理类专科生的教材.第1章 准备知识 11.1 集合与符号1 1.2 函数5 1.3 切线与速度、面积与路程15 人物传记 牛顿19 第2章 极限与连续 21 2.1 数列的极限21 2.2 函数的极限25 2.3 函数极限的性质和运算30 2.4 两个重要极限36 2.5 无穷小与无穷大40 2.6 连续函数44 第3章 导数与微分 53 3.1 导数53 3.2 求导法则与导数公式58 3.3 隐函数与由参数方程所确定的函数的导数65 3.4 微分69 3.5 高阶导数75 第4章 中值定理与导数的应用 79 4.1 微分中值定理794.2 洛必达法则85 4.3 函数的单调性与极值91 4.4 函数的凹凸性与拐点97 4.5 渐近线101 4.6 函数图形的描绘103 人物传记 拉格朗日107 目 录目 录第5章 不定积分 108 5.1 不定积分的概念与性质108 5.2 换元积分法112 5.3 分部积分法122 第6章 定积分 126 6.1 定积分的概念126 6.2 定积分的基本性质129 6.3 微积分基本定理132 6.4 定积分的换元积分法137 6.5 定积分的分部积分法141 6.6 定积分在几何中的应用143 人物传记 莱布尼茨151 第7章 级数 152 7.1 级数的概念与性质152 7.2 正项级数156 7.3 一般级数，绝对收敛161 7.4 幂级数164 人物传记 阿贝尔169 第8章 多元函数的微分学 171 8.1 二元函数的基本概念171 8.2 二元函数的极限和连续175 8.3 偏导数178 8.4 全微分180 8.5 复合函数和隐函数的偏导数183 8.6 二元函数的极值188 第9章 重积分 194 9.1 简单的曲面与空间曲线194 9.2 二重积分的概念和性质206 9.3 二重积分的计算209 9.4 利用极坐标计算二重积分214 部分习题答案 218 附录A 积分表 227 附录B 极坐标 236 附录C 常用曲线 244 附录D 常用公式 246 微积分(清华大学出版社出版图书)目录 书号：2 作者：李辉来等 定价：25元 出版日期： 出版社：清华大学出版社内容简介本书分上、下册. 上册内容包括函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分和定积分及其应用.下册内容包括向量与空间解析几何、多元函数微分学、二重积分、无穷级数、常微分方程和差分方程. 与本书(上、下册) 配套的有习题课教材、电子教案. 该套教材汲取了现行教学改革中一些成功的举措, 总结了作者在教学科研方面的研究成果,注重数学在经济管理领域中的应用, 选用大量有关的例题与习题；具有结构严谨、逻辑清楚、循序渐进、结合实际等特点.可作为高等学校经济、管理、金融及相关专业的教材或教学参考书.图书目录第1章 函数 1 1.1 集合 1 1.1.1 集合的概念 1 1.1.2 集合的运算 2 1.1.3 区间与邻域 3 习题1.1 4 1.2 函数 5 1.2.1 映射 5 1.2.2 函数的概念 6 1.2.3 函数的几种特性 9 习题1.2 13 1.3 反函数与复合函数 14 1.3.1 反函数 14 1.3.2 复合函数 15 习题1.3 16 1.4 基本初等函数与初等函数 17 1.4.1 基本初等函数 17 1.4.2 初等函数 20 习题1.4 20 1.5 经济学中常用的函数 21 1.5.1 需求函数与供给函数 21 1.5.2 成本函数 23 1.5.3 收益函数与利润函数 24 1.5.4 库存函数 27 1.5.5 其他应用举例 29 习题1.5 30 总习题1 31 第2章 极限与连续 34 2.1 数列的极限 34 2.1.1 数列极限的概念 35 2.1.2 数列极限的性质 38 习题2.1 41 2.2 函数的极限 41 2.2.1 函数极限的定义 41 2.2.2 函数极限的性质 46 习题2.2 48 2.3 极限的运算法则 48 2.3.1 极限的四则运算法则 48 2.3.2 复合运算法则 51 习题2.3 52 2.4 极限存在准则及两个重要极限 53 2.4.1 夹逼准则 53 2.4.2 单调有界准则 56 习题2.4 61 2.5 无穷小与无穷大 62 2.5.1 无穷小 62 2.5.2 无穷小的性质 63 2.5.3 无穷小的比较 64 2.5.4 无穷大 67 习题2.5 69 2.6 连续函数 69 2.6.1 连续函数的概念 69 2.6.2 函数的间断点 71 习题2.6 74 2.7 连续函数的运算与初等函数的连续性 75 2.7.1 连续函数的运算 75 2.7.2 初等函数的连续性 76 习题2.7 77 2.8 闭区间上连续函数的性质 77 2.8.1 最值定理 77 2.8.2 介值定理 79 习题2.8 80 总习题2 80 第3章 导数与微分 84 3.1 导数的概念 84 3.1.1 导数概念的引出 84 3.1.2 导数的定义 86 3.1.3 求导举例 88 3.1.4 导数的几何意义 91 3.1.5 函数的可导性与连续性之间的关系 92 习题3.1 94 3.2 求导法则 95 3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 95 3.2.2 反函数的求导法则 99 3.2.3 复合函数求导法则 101 3.2.4 初等函数的导数 106 习题3.2 108 3.3 高阶导数 109 习题3.3 113 3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 113 3.4.1 隐函数的导数 114 3.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 116 习题3.4 118 3.5 微分 119 3.5.1 微分的概念 119 3.5.2 微分的几何意义 123 3.5.3 微分的计算 123 3.5.4 微分在近似计算中的应用 127 习题3.5 128 3.6 导数在经济分析中的意义 129 3.6.1 边际分析 129 3.6.2 弹性分析 133 习题3.6 136 总习题3 136 第4章 微分中值定理与导数应用 140 4.1 微分中值定理 140 4.1.1 Rolle中值定理 140 4.1.2 Lagrange中值定理 143 4.1.3 Cauchy中值定理 147 习题4.1 148 4.2 L'Hospital法则 148 4.2.1 型未定式定值法 148 4.2.2 型未定式定值法 150 4.2.3 其他未定式定值法 152 习题4.2 154 4.3 Taylor公式 155 习题4.3 159 4.4 函数的单调性与极值 159 4.4.1 函数的单调性的判别法 159 4.4.2 函数的极值 162 习题4.4 166 4.5 函数的凸性与拐点 167 习题4.5 170 4.6 函数的最值及其在经济分析中的应用 170 4.6.1 函数的最值 170 4.6.2 函数最值在经济分析中的应用举例 172 习题4.6 174 总习题4 175 第5章 不定积分 179 5.1 不定积分的概念和性质 179 5.1.1 原函数与不定积分 179 5.1.2 不定积分的性质 183 5.1.3 基本积分公式 183 习题5.1 186 5.2 换元积分法 187 5.2.1 第一类换元积分法 187 5.2.2 第二类换元积分法 193 习题5.2 199 5.3 分部积分法 200 习题5.3 205 5.4 有理函数的积分 206 5.4.1 简单有理函数的积分 206 5.4.2 三角函数有理式的积分 211 习题5.4 213 总习题5 213 第6章 定积分及其应用 216 6.1 定积分的概念 216 6.1.1 面积、路程和收益问题 216 6.1.2 定积分的定义 219 习题6.1 222 6.2 定积分的性质 223 习题6.2 228 6.3 微积分学基本定理 229 6.3.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 229 6.3.2 积分上限的函数与原函数存在定理 230 6.3.3 Newton-Leibniz公式 232 习题6.3 236 6.4 定积分的换元积分法 238 习题6.4 244 6.5 定积分的分部积分法 245 习题6.5 249 6.6 广义积分 240 6.6.1 无穷区间上的广义积分 250 6.6.2 无界函数的广义积分 253 6.6.3 ??函数 255 习题6.6 257 6.7 定积分的几何应用 258 6.7.1 定积分的元素法 258 6.7.2 平面图形的面积 260 6.7.3 立体的体积 265 6.7.4 平面曲线的弧长 269 习题6.7 271 6.8 定积分在经济学中的应用 272 6.8.1 已知边际函数求总函数 272 6.8.2 求收益流的现值和将来值 273 习题6.8 275 总习题6 275 习题参考答案 279 参考文献 303书号：3 作者：萧树铁 定价：17元 出版日期： 出版社：清华大学出版社内容简介全书分上、下两册.上册包括函数、函数的极限、函数的导数、微分与不定积分、定积分、空间解析几何6章内容和一个附录，附录包括初等代数中的几个问题、平面解析几何、集合与逻辑符号等内容.书中每节都配有适量的习题，每章配有部分具有一定难度的复习题，书末对大部分题目都给出了答案或提示. 本书结构严谨、例题与插图丰富、叙述直观清晰、通俗易懂，可供普通高等院校非数学专业的学生使用.图书目录第1章 函数1 1.1 函数的概念与图形4 1.1.1 函数的概念4 1.1.2 函数的图形7 1.1.3 分段函数10 习题1.113 1.2 三角函数、指数函数、对数函数13 1.2.1 三角函数13 1.2.2 指数函数16 1.2.3 反函数18 1.2.4 对数函数20 1.3 函数运算21 1.3.1 函数的四则运算21 1.3.2 复合函数22 1.3.3 函数图形的运算--平移23 习题1.325 1.4 函数的参数表示和极坐标表示27 1.4.1 函数的参数表示27 1.4.2 函数的极坐标表示28 复习题131 第2章 函数的极限33 2.1 函数在一点附近的性态、无穷小量33 2.1.1 无穷小量33 2.1.2 无穷小量的运算和无穷小的阶35 习题2.136 2.2 函数在一点的极限及在一点的连续性37 2.2.1 函数在一点的极限37 2.2.2 函数极限的运算、函数在一点的连续性40 2.2.3 连续函数的性质42 习题2.245 复习题247 第3章 函数的导数48 3.1 导数的概念48 3.1.1 正比关系48 3.1.2 函数在一点的导数50 习题3.152 3.2 导数的运算52 习题3.256 3.3 导函数与函数的高阶导数58 习题3.360 3.4 导数的应用61 3.4.1 函数的图形61 3.4.2 函数的极值和最值65 3.4.3 函数不定式的极限 69 习题3.473 复习题375 第4章 微分与不定积分77 4.1 微分的概念77 4.2 微分的运算80 习题4.283 4.3 高阶微分和泰勒公式84 4.3.1 函数在一点附近的泰勒展开式84 4.3.2 微分中值定理87 习题4.389 4.4 不定积分90 4.4.1 函数求导数的逆运算--不定积分90 4.4.2 不定积分的性质91 4.4.3 求不定积分举例92 习题4.497 复习题4100 第5章 定积分101 5.1 定积分的定义101 5.2 定积分的性质105 习题5. 定积分的计算107 习题5. 定积分的应用111 5.4.1 极坐标表示下求曲线所围的面积111 5.4.2 平面曲线的弧长及在一点的曲率112 5.4.3 旋转曲面所围的体积和面积116 5.4.4 平面图形的重心118 5.4.5 变化的力所做的功119 习题5.4120 复习题5122 第6章 空间解析几何124 6.1 三维空间的直角坐标124 习题6. 两点间的距离和方向126 习题6. 向量代数127 6.3.1 向量的加法与数乘向量128 6.3.2 向量的坐标130 6.3.3 向量的内积运算130 6.3.4 向量的外积和混合积运算132 习题6. 平面和空间直线方程136 6.4.1 平面方程136 6.4.2 空间直线方程137 习题6. 二次曲面140 习题6.5143 复习题6143 附录A145 A.1 初等代数中的几个问题145 A.1.1 一元二次方程145 A.1.2 代数不等式147 A.1.3 复数148 A.1.4 数列150 A.1.5 二项式定理151 A.2 平面解析几何152 A.2.1 平面直线152 A.2.2 简单二次曲线153 A.3 集合与逻辑符号156 A.3.1 集合156 A.3.2 一些逻辑符号157 习题答案159书号：9 作者：萧树铁 定价：21元 出版日期： 出版社：清华大学出版社内容简介全书分上、下两册．下册包括二元函数、二元函数的偏导数和全微分、重积分、向量值函数的积分、无穷级数、常微分方程6章内容．书中每节都配有适量的习题，每章配有部分具有一定难度的复习题，书末对大部分题目都给出了答案或提示． 本书结构严谨，例题与插图丰富，叙述直观清晰、通俗易懂，可供普通高等院校非数学专业的学生使用．图书目录第7章二元函数 7.1二元函数及其图形 7.1.1二元函数的概念 7.1.2二元函数的图形 习题7.1 7.2函数运算 习题7.2 7.3多元函数的参数表示和空间极坐标与球坐标表示 习题7.3 7.4二元函数的极限及其连续性 7.4.1二元函数在一点附近的性态、无穷小量 7.4.2函数在一点的极限及在一点的连续性 习题7.4 复习题7 第8章二元函数的偏导数和全微分 8.1偏导数的概念 8.1.1二元函数的偏导数 8.1.2二元函数的全微分和泰勒公式 习题8.1 8.2函数的方向导数和梯度向量 习题8.2 8.3微分的进一步应用 8.3.1曲面在一点的切平面和法线 8.3.2二元函数的极值和条件极值 习题8.3 复习题8 第9章重积分 9.1累次积分和二重积分 9.1.1曲面下的体积 9.1.2函数在一般区域上的二重积分 习题9.1 9.2二重积分的计算 9.2.1长方形上二重积分的计算 9.2.2一般区域上二重积分的计算 习题9.2 9.3二重积分中的变量代换 9.3.1变量代换的雅可比行列式 9.3.2二重积分的极坐标变换 习题9.3 9.4二重积分的应用 9.4.1平面薄板的质心 9.4.2曲面的面积 习题9.4 9.5三重积分 9.5.1直角坐标系下的三重积分 *9.5.2柱坐标系和球坐标系下的三重积分 习题9.5 复习题9 第10章向量值函数的积分 10.1曲线积分 10.1.1向量场 10.1.2数值函数在曲线上的积分 10.1.3向量值函数在曲线上的积分 习题10.1 10.2平面曲线积分与路径无关的条件、格林公式 10.2.1平面曲线积分的牛顿?莱布尼茨公式 10.2.2平面曲线积分与路径无关的条件 10.2.3格林公式（平面区域上重积分的牛顿?莱布尼茨公式） 习题10.2 10.3曲面积分 10.3.1数值函数在曲面上的积分 10.3.2向量值函数在有向曲面上的积分 习题10.3 10.4三重积分的高斯公式与斯托克斯公式 习题10.4 复习题10 第11章无穷级数 11.1数列与数项级数的基本概念 11.1.1数列 11.1.2数项级数的概念 11.1.3收敛级数的性质 习题11.1 11.2正项级数 11.2.1比较判敛法 11.2.2比值判敛法 习题11.2 11.3任意项级数 11.3.1交错级数 11.3.2绝对收敛与条件收敛 习题11.3 11.4幂级数 11.4.1幂级数的收敛半径 11.4.2幂级数的性质 习题11.4 11.5函数的幂级数展开和傅里叶级数展开 11.5.1泰勒级数 11.5.2函数展开为幂级数举例 11.5.3函数在[-π,π)区间上的傅里叶展开 11.5.4一般区间[-l,l)上的傅里叶级数、函数按正（余）弦级数展开 习题11.5 11.6广义积分 11.6.1无穷积分 11.6.2瑕积分 习题11.6 复习题11 第12章常微分方程 12.1基本定义 习题12.1 12.2解常微分方程的一些初等方法 习题12.2 12.3二阶线性常系数微分方程 习题12.3 12.4二阶常系数线性方程的应用 复习题12 习题答案作者：韩玉良、于永胜、李宏艳 ISBN：0 定价：26元 印次：1-2 装帧：平装 印刷日期：
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