向量组线性相关 线性表示

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-27 09:07 标签： 向量组线性无关
向量 线性相关试证：任一四维向量B=(b1,b2,b3,b4)都可由向量组a1=(1,0,0,0),a2=(2,1,0,0),a3=(3,2,1,0),a4=(4,3,2,1)线性表示并且表示方式只有一种,写出这种表示方式._百度作业帮
向量 线性相关试证：任一四维向量B=(b1,b2,b3,b4)都可由向量组a1=(1,0,0,0),a2=(2,1,0,0),a3=(3,2,1,0),a4=(4,3,2,1)线性表示并且表示方式只有一种,写出这种表示方式.
试证：任一四维向量B=(b1,b2,b3,b4)都可由向量组a1=(1,0,0,0),a2=(2,1,0,0),a3=(3,2,1,0),a4=(4,3,2,1)线性表示并且表示方式只有一种,写出这种表示方式.
首先写出a1..a4用四维空间的标准基的表示方式a1=(1 0 0 0) a2=2(1 0 0 0)+(0 1 0 0)=2a1+(0 1 0 0)a3=-a1+2a2+(0 0 1 0) a4=-a2+2a3+(0 0 0 1)(1 0 0 0)=a1(0 1 0 0)=-2a1+a2(0 0 1 0)=a1-2a2+a3(0 0 0 1)=a2-2a3+a4(b1 b2 b3 b4)=b1(1 0 0 0)+b2(0 1 0 0)+b3(0 0 1 0)+b4(0 0 0 1)=b1*a1+b2(-2a1+a2)+b3(a1-2a2+a3)+b4(a2-2a3+a4)下面算出来就可以了,不用我算了把
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文本预览：
R( A) = R( A, b ),
Ax = b 有解
向量b能由向量组A线性表示
方程 AX = B 有解
R( A) = R( A, B )
向量组 B : β 1 , β 2 ,
,α m 线性表示
, β l 可由向量组 A : α 1 ,α 2 ,
问题 Ax=0只有零解可有非零解，怎么用向量组说明？
k1α 1 + k 2α 2 +
+ k mα m = 0.
k1 = k2 = = km = 0. 有非零解
k1 , k2 , , km不全为0.
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向量组的线性相关性
一、定义 给定向量组 A : α 1 , α 2 , , α m , 如果存在 不 全 为零的数 k1 , k 2 , , k m 使 k1α 1 + k 2α 2 + + k mα m = 0 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关． 注意
1. 若 α 1 ,α 2 , ,α n 线性无关 , 则只有当 + λ nα n = 0 成立 .
= λ n = 0时 , 才有
λ 1α 1 + λ 2α 2 +
线性相关 .
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2. 对于任一向量组 , 不是线 性无关就是
3. 向量组只包含一个向量 α 时, 若α = 0 则说 α 线性相关 , 若α ≠ 0, 则说 α 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向量组 , 它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例， 几何意义是两向量共线； 三个向量相关的几何意义是三向量共面 .
二、线性相关与线性表示的关系 定理 向量组 α 1 ,α 2 , ,α（当 m ≥ 2时）线性相关 m 的充分必要条件是α 1 , α 2 , , α m 中至少有一个向 量可由其余 m
1个向量线性表示． 证明 充分性 设 a1 , a 2 , , a m 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示. 即有 a m = λ1α 1 + λ 2α 2 + + λ m 1α m 1 故
因 λ1 , λ 2 , , λ m 1 , ( 1) 这 m 个数不全为0， 故 α1 ,α2 , ,αm 线性相关.
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λ1α 1 + λ 2α 2 +
+ λ m 1α m 1 + ( 1)a m = 0
必要性 设 α 1 , α 2 , 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,
, α m 线性相关，
k1α 1 + k 2α 2 +
因 k1 , k 2 , 不妨设 k1 ≠ 0, 则有
+ k mα m = 0.
, k m 中至少有一个不为0，
即 α 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
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三、线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某方程是其余方程的线性组合,那么, 这个方程就是多余的，则称方程组（各个方程）是线性相关的；
方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关 （或线性独立） .
方程组解 与相关性
向量组 A 线性相关就是齐次线性 方程组 x1α 1 + x 2α 2 + + x mα m = 0 , 即 A x = 0 有非零解 . 其中 A = (α 1 , α 2 ,
而 : m 元齐次线性方程组 Ax = o 有非零解
R( A) < m m 元齐次线性方程组 Ax = o 只有零解
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结论 向量组 A 线性相关就是齐次线性 方
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向量组及线性表示
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